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高精度高时空分辨率的地球重力场和大地水准面可以为地球物理学、地球动力学、海洋学和地震学等研究地球结构和动力学过程的学科提供基础空间信息，同时也满足空间科学、军事科学和大地测量学对精细地球重力场的实际应用需求。随着挑战小卫星有效载何卫星(Challenging Minisatellite Payload, CHAMP)、重力恢复与气候实验卫星(Gravity Recovery and Climate Experiment, GRACE)和地球重力场和海洋环流探测器(Gravity Field and Steady-State Ocean Circulation Explorer, GOCE)三代重力卫星任务的相继实施，利用重力卫星观测数据恢复的全球重力场模型的精度持续提高，继海洋卫星测高之后卫星重力测量研究进入新的发展阶段[1-2]。虽然GOCE卫星已于2013-11-11坠落，但其海量的观测数据还有待深入分析。GRACE和GOCE卫星均采用高低卫-卫跟踪观测模式，同时两者还分别采用K波段星间测距和重力梯度观测技术，用于恢复中长波和中短波重力场信号。两代重力卫星所采用的观测技术只能有效探测不同频段的重力场信号，单独采用某一类观测数据只能恢复有限频段的重力场信号。因此联合GRACE和GOCE观测数据恢复宽频段、高精度、高分辨率的全球静态重力场模型及将其用于地球物理解释成为当前大地测量学和地球物理学的一个研究热点[3-4]。
GRACE卫星可以有效恢复中长波重力场信号，众多研究机构和学者对此进行了广泛深入的研究，典型的GRACE全球静态重力场模型有GGM03S[5]、EIGEN-5S[6]、AIUB-GRACE03S[7]和ITG-GRACE2010S[8]等，这些模型的最大阶次一般为150~180，使用了至少4 a的卫星观测数据。GOCE卫星采用独特的梯度观测技术，可有效恢复中短波重力场信号，利用纯GOCE数据恢复的重力场模型有欧洲空间局(European Space Agency, ESA)发布的时域法和空域法GOCE模型(TIM和SPW系列)[9]、文献[10-11]联合GOCE轨道和梯度数据恢复的230阶左右的JYY_GOCE02S和ITG-GOCE02模型。单独采用GOCE数据恢复的重力场模型精度无法达到100 km尺度上大地水准面精度优于1 cm的预期目标，因此联合GRACE和GOCE数据恢复高精度静态重力场模型成为发展趋势。文献[12]采用直接法并联合GRACE数据恢复了5代DIR系列模型；文献[13]联合GRACE数据恢复了250阶重力场模型DGM-1S;文献[10, 14]采用一种新的策略并联合GRACE数据恢复了TUMGOCE02S和GOGRA02S模型; 文献[15-17]联合GRACE数据恢复了GOCO系列模型; 文献[18]联合LAGEOS、GRACE和GOCE等多类观测数据恢复了EIGEN-6S模型。同时，许多学者还联合地形数据、地面重力数据和卫星测高数据恢复了一系列超高阶、超高分辨率的重力场模型[19]。
本文利用近3 a的GOCE数据并联合7 a左右的GRACE数据计算的ITG-GRACE2010S模型的法方程，采用不同结构的法矩阵相加组成联合加权法方程求解，确定了210阶全球重力场模型SWJTU-GOGR01S；并将其与已有GOCE、GRACE模型和GPS水准数据进行比较，为确定高精度、高分辨率的全球重力场模型进行了有益的探索。
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ITG-GRACE2010S是目前精度较高的GRACE静态重力场模型，其利用2002-08-2009-08共计7 a的GRACE轨道和星间距离变率数据，并采用最大弧长为60 min的短弧积分法恢复得到，最大阶次为180。在处理过程中采用Kalman滤波和AOD1B产品以降低混叠效应的影响，该模型确定的重力场信号包含整个大气和海洋的质量。由于该模型采用的方法成熟、数据处理精细，本文直接采用其法方程用于联合GOCE数据的结果恢复重力场模型[8]。
采用欧洲空间局提供的2009-11~2013-08共3 a左右的GOCE观测数据，首先利用移动窗口阈值法和Grubbs法相结合的组合方法对梯度观测数据进行粗差探测[20]。梯度仪本身的设计特点导致梯度观测数据在特定频段内的精度较好，即在0.005~0.1 Hz频段内的测量精度较高，在频段外(特别是低频部分)表现为有色噪声特性，因此需要对梯度数据进行滤波处理。本文采用带通频率范围为0.005~0.1 Hz的零相位有限脉冲带通数字滤波器(finite impulse response, FIR)和“移去-恢复”法对梯度数据进行滤波处理，滤波窗函数采用1 000阶的Hanning窗[21-23]。采用“移去-恢复”法进行滤波处理后的数据反演的重力场模型的信号在长波部分与参考模型较为接近，但是梯度数据主要用于恢复中短波重力场信号，而长波部分信号采用GRACE星间数据恢复，因此先验重力场模型的影响可以忽略。采用零相位滤波器可以避免滤波后数据的相位出现漂移，只需对观测数据进行滤波，不需要对观测数据和观测方程的设计矩阵同时进行滤波处理。限于篇幅，针对GOCE数据的详细处理参见文献[23]。基于直接最小二乘法在梯度仪坐标系中建立梯度数据的法方程，并利用方差分量估计联合ITG-GRACE2010S模型的法方程恢复了210阶次的GOCE/GRACE模型SWJTU-GOGR01S。
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局部指北坐标系(local north-oriented frame, LNOF)和梯度仪坐标系(gradiometer reference frame, GRF)中的梯度张量分别表示为VLNOF和VGRF，将梯度张量对球谐位系数求偏导，可得观测方程的设计矩阵，将其转换至GRF中[10, 24]：
$$ \frac{{\partial {\boldsymbol{V}_{\rm GRF}}}}{{\partial x}} = \boldsymbol{R}^{\rm LNOF}_{\rm GRF}\frac{{\partial {\boldsymbol{V}_{\rm LNOF}}}}{{\partial x}}{\left( {\boldsymbol{R}^{\rm LNOF}_{\rm GRF}} \right)^{\rm{T}}} $$ (1) 式中，x=(Cnm, Snm)表示完全归一化的球谐位系数；RGRFLNOF表示LNOF至GRF的转换矩阵。在GRF中利用引力梯度张量确定地球重力场模型的误差方程可表示为：
$$ \boldsymbol{v} = \frac{{\partial {\boldsymbol{V}_{\rm GRF}}}}{{\partial x}}\cdot x - F\left\{ {{\boldsymbol{y}_{\rm GRF}}} \right\} $$ (2) 式中，F{ }表示滤波算子；v表示观测值改正向量；yGRF为GRF中的梯度张量观测数据。联合GOCE和GRACE的观测方程可得联合法方程[25-27]：
$$ \left( {\sum\limits_i {{w_i}\boldsymbol{A}^{\rm{T}}_i{\boldsymbol{P}_i}{\boldsymbol{A}_i}} } \right)x = \sum\limits_i {{w_i}\boldsymbol{A}^{\rm{T}}_i{\boldsymbol{P}_i}{\boldsymbol{y}_i}} $$ (3) 式中，i表示GOCE或GRACE；Ai和yi分别为第i类误差方程的设计矩阵和常数矩阵；Pi为第i类观测数据的权；wi=1/σi2为第i类观测数据形成的法方程的权；方差分量估计(variance component estimation, VCE)最优权的确定采用鲍姆克简化方法迭代计算得到：
$$ \sigma ^2_i = \frac{{\boldsymbol{v}^{\rm{T}}_i{\boldsymbol{P}_i}{\boldsymbol{v}_i}}}{{{n_i}}} = \frac{{\boldsymbol{y}^{\rm{T}}_i{\boldsymbol{P}_i}{\boldsymbol{y}_i} - \left( {\boldsymbol{A}^{\rm{T}}_i{\boldsymbol{P}_i}{\boldsymbol{y}_i}} \right)x}}{{{n_i}}} $$ (4) 式中，σi2表示方差分量；ni表示第i类观测数据的个数。本文实际计算时，设方差分量的初值为1.0，当计算结果趋近于某一常数时迭代终止。根据文献[17]的建议，在实际计算过程中，ITG-GRACE2010S模型的法方程可以通过公布的协方差矩阵和位系数及其精度信息进行反推计算得到。针对GOCE数据极空白引起的法方程病态，需要进行正则化处理：
$$ {\hat x_\alpha } = {\left( {{\boldsymbol{A}^{\rm{T}}}\boldsymbol{PA} + \alpha \boldsymbol{K}} \right)^{ - 1}}{\boldsymbol{A}^{\rm{T}}}\boldsymbol{Py} $$ (5) 式中，K表示Kaula正则化矩阵；α为正则化参数。
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利用GOCE数据恢复重力场模型时，本文将3 a左右的数据分为若干弧段，将每个弧段形成的法方程进行累加，这样可以减少对计算机内存的需求，每个弧段的长度设为GOCE卫星的运行周期(约为5 400 s)。由于GOCE梯度仪测量的梯度张量中Vxx、Vyy、Vzz和Vxz 4个分量的精度较高，因此本文只对4个分量分别得到的法方程作等权处理，恢复210阶次的梯度重力场模型。采用方差分量估计法经过4次迭代即可得到联合GOCE和GRACE数据恢复重力场模型的最优权，最优权的比值约为1×1021(本文中梯度张量的单位为s-2)。GOCE数据极空白导致的法方程病态采用Kaula正则化方法从150阶开始进行约束。图 1反映了单独利用GOCE梯度数据恢复重力场模型正则化前后的位系数误差谱，可见极空白主要影响重力场模型的低次部分，正则化处理后能较大程度削减极空白的影响，但并不能完全消除。联合GRACE数据后，法方程仍然受极空白的影响，此时最优正则化参数为1×10-11。如图 2所示，正则化的影响基本可以忽略。这是由于受计算机内存限制，本文恢复的梯度模型的阶次较低，与ITG-GRACE2010S模型组成联合法方程之后，GRACE数据已填补两极数据空白，对极空白问题起到可靠的约束作用，如果利用梯度数据恢复的重力场模型阶次更高(如250阶以上)，正则化处理极空白的效果将更明显[14]。将恢复的模型SWJTU-GOGR01S与GOCO02S、GOCO03S、ITG-GRACE2010S、TIM-R4以及DIR-R4比较，各模型的大地水准面误差如图 3所示，需要注意的是各模型的潮汐系统必须统一[16]。
图 1 梯度结果的位系数误差谱(取10为底的对数值)
Figure 1. Spherical Harmonic Coefficients Error of GOCE Gradient Result (in lg Scale)
图 2 GOCE和GRACE联合结果的位系数误差谱(取10为底的对数值)
Figure 2. Spherical Harmonic Coefficients Error of the Combined Result (in lg Scale)
图 3 大地水准面误差比较
Figure 3. Comparison of Geoid Errors
由图 3可知，由于SWJTU-GOGR01S、GOCO02S和GOCO03S模型均联合了ITG-GRACE2010S模型的法方程，这些模型低阶位系数的精度与ITG-GRACE2010S基本一致，而TIM-R4模型仅采用GOCE轨道和梯度数据，其低阶位系数的精度低于采用GRACE数据的模型的精度。SWJTU-GOGR01S模型高阶位系数的精度优于GOCO02S和GOCO03S模型，但差于TIM-R4和DIR-R4模型的精度，这是由于这两个模型均采用上一代GOCE重力场模型作为参考对梯度观测数据进行进一步处理，而SWJTU-GOGR01S模型仅采用EGM2008模型的前300阶作为参考模型对梯度观测数据进行一次处理。根据文献[28]建议，各模型相对于EIGEN-6C2的大地水准面累积误差如图 4所示。除TIM-R4外，其余各模型的低阶位系数的精度差异不大；由于各模型采用的GOCE数据量不一样，并且对梯度数据的处理方式也有差别，因此高阶部分位系数的精度有所不同。比较可知，本文针对GOCE梯度数据的处理达到了预期目的，联合GRACE和GOCE数据恢复的SWJTU-GOGR01S模型的精度与国际最新的卫星重力场模型相比还存在差距。主要原因在于相对ESA模型而言，本文的模型仅采用GOCE梯度数据一次解算，并未采用先验GOCE模型对梯度数据进行迭代处理，而ESA模型(特别是第二代以后的模型)处理梯度数据时，均是采用前一代GOCE模型作为参考模型对梯度数据进行处理，相当于求解的最新GOCE重力场模型经过迭代处理，故精度较高。SWJTU-GOGR01S模型在210阶次的大地水准面误差和累积误差分别为1.3 cm和5.7 cm。
图 4 大地水准面累计误差比较
Figure 4. Comparison of Cumulative Geoid Errors
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采用2011年北美地区的GPS水准网观测数据对SWJTU-GOGR01S模型进行外部检核，该GPS水准网共有25 251个观测数据，其中，美国地区有24 003个数据，加拿大地区有574个数据，墨西哥地区有674个数据(http://www.ngs.noaa.gov/GEOID/)。表 1反映了各模型计算的大地水准面高与GPS水准数据比较的统计结果，各模型的最大阶次分别截断至180和210阶次。整体上，各模型精度相差不大，单独采用GRACE数据的模型的精度差于联合GOCE和GRACE数据的模型，主要原因是GOCE梯度数据有效改善了中短波重力场信号的精度；但各模型相对于GPS水准测量结果的系统偏差都比较大。
表 1 各模型的外符合精度比较/m
Table 1. Comparison of External Precision of Several Models/m
截断阶次 模型 美国GPS水准网 加拿大GPS水准网 墨西哥GPS水准网 平均值 标准差 平均值 标准差 平均值 标准差 180 ITG-GRACE2010S 0.225 0.783 1.111 0.758 －0.567 0.860 TIM_R4 0.219 0.755 1.098 0.746 －0.580 0.777 DIR_R4 0.222 0.756 1.099 0.746 －0.577 0.777 GOCO02S 0.222 0.756 1.099 0.747 －0.579 0.778 GOCO03S 0.222 0.755 1.100 0.747 －0.579 0.779 SWJTU-GOGR01S 0.223 0.756 1.099 0.748 －0.576 0.784 210 ITG-GRACE2010S - - - - - - TIM_R4 0.227 0.707 1.058 0.705 －0.589 0.703 DIR_R4 0.230 0.707 1.057 0.704 －0.585 0.703 GOCO02S 0.230 0.710 1.057 0.708 －0.574 0.709 GOCO03S 0.230 0.709 1.057 0.708 －0.588 0.712 SWJTU-GOGR01S 0.233 0.711 1.060 0.709 －0.590 0.707 模型截断至某一阶次计算的大地水准面高与GPS水准观测数据的标准差如图 5所示。可以看出，在160阶以后ITG-GRACE2010S模型的精度比采用GOCE数据的模型精度差，而150阶次左右开始ITG-GRACE2010S模型的累计误差也开始超过采用GOCE数据的模型(图 4)，这说明梯度数据获取高阶重力场信号的能力较强。对于联合GOCE和GRACE数据的模型，各模型低阶次的差异较小，在高阶次的差异逐渐显现，这反映出不同的梯度数据处理方法之间的差异，并且随着阶次的增加，各模型的截断误差不断减小。
图 5 各模型截断至不同阶次的外符合精度比较
Figure 5. Comparison of External Precision of Several Models Truncation at Different Degree
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本文采用“向前向后”零相位的有限脉冲带通数字滤波器和“移去-恢复”法处理了3 a左右的GOCE卫星梯度观测数据，基于直接最小二乘法恢复了210阶次的梯度重力场模型，并联合采用7 a GRACE观测数据和短弧积分法计算的ITG-GRACE2010S模型的法方程，恢复了GOCE/GRACE重力场模型SWJTU-GOGR01S。利用已有高精度重力场模型和北美地区的GPS水准网观测数据对SWJTU-GOGR01S模型进行内外符合精度比较可知，SWJTU-GOGR01S模型在低阶部分的精度与ITG-GRACE2010S模型基本一致，在高阶部分的精度优于GOCO02S和GOCO03S模型，但高阶部分的精度差于DIR-R4和TIM-R4模型的精度。这反映出本文对梯度数据进行了有效处理，但受计算机硬件限制，并未对GOCE梯度观测数据进行迭代处理，SWJTU-GOGR01S模型在高阶部分的精度还有进一步提升的空间，下一步将采用迭代算法精化处理GOCE数据并恢复更高精度的全球重力场模型。
New Static Gravity Field Model SWJTU-GOGR01S Derived from GOCE Data and GRACE Normal Equation
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摘要: 联合地球重力场和海洋环流探测器（Gravity Field and Steady-State Ocean Circulation Explorer，GOCE）和重力恢复与气候实验（Gravity Recovery and Climate Experiment，GRACE）卫星观测数据确定全球静态重力场模型是当前大地测量学的研究热点之一。联合近3 a的GOCE卫星梯度数据和7 a左右的GRACE星间距离变率数据计算的ITG-GRACE2010S模型的法方程恢复了210阶次的重力场模型SWJTU-GOGR01S。采用带通数字滤波方法处理GOCE卫星的4个高精度梯度观测分量，利用梯度数据恢复重力场模型的观测方程直接建立在梯度仪坐标系中，可以避免坐标转换过程中高精度的梯度观测分量受低精度分量的影响；联合法方程解的最优权采用方差分量估计迭代计算，GOCE数据的两极空白引起的病态问题采用Kaula正则化方法进行约束。基于EIGEN-6C2模型和北美地区的GPS水准网观测数据，对SWJTU-GOGR01S模型进行内外符合精度分析，结果表明，SWJTU-GOGR01S模型在210阶次的大地水准面误差和累计误差分别为1.3 cm和5.7 cm，精度与欧洲空间局公布的第四代时域法模型相当，略优于GOCO02S和GOCO03S模型的精度。Abstract: Global static gravitational field determined by GOCE and GRACE satellite data has become a hotspot in current research of geodesy. In this paper, a satellite-only global static gravity field model entitled SWJTU-GOGR01S up to degree and order 210 is recovered based on 3 years of GOCE gravity gradient data and ITG-GRACE2010S model's normal equation from 7 years GPS and K-band rang rate data. Four high precision GOCE gradiometer components (Vxx, Vyy, Vzz, Vxz) are filtered by the zero phase finite impulse band-pass digital filter, and then gradient observation equation is founded directly in gradiometer coordinates which avoids the loss of gradiometer component in accuracy in the conversion process. The optimal weight of the combination result of GOCE and GRACE data is determined by variance component estimation and the GOCE data polar gaps is dealt with the Kaula regularization method. Comparing the internal and external precision of SWJTU-GOGR01S with EIGEN-6C2 and GPS leveling data of North America, the results show that the geoid error and cumulative error of the SWJTU-GOGR01S model with degree and order 210 are 1.3 cm and 5.7 cm respectively. Compared with the fourth generation direct approach and time-wise approach models released by ESA, GOCO02S and GOCO03S model, the accuracy of the model SWJTU-GOGR01S is verified basically consistent with the model TIM-R4. The precision of SWJTU-GOGR01S model is also better than GOCO02S and GOCO03S model.
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Key words:
- GOCE /
- GRACE /
- gravity field model /
- variance component estimation /
- regularization
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图 1 梯度结果的位系数误差谱(取10为底的对数值)
Figure 1. Spherical Harmonic Coefficients Error of GOCE Gradient Result (in lg Scale)
图 2 GOCE和GRACE联合结果的位系数误差谱(取10为底的对数值)
Figure 2. Spherical Harmonic Coefficients Error of the Combined Result (in lg Scale)
图 5 各模型截断至不同阶次的外符合精度比较
Figure 5. Comparison of External Precision of Several Models Truncation at Different Degree
表 1 各模型的外符合精度比较/m
Table 1. Comparison of External Precision of Several Models/m
截断阶次 模型 美国GPS水准网 加拿大GPS水准网 墨西哥GPS水准网 平均值 标准差 平均值 标准差 平均值 标准差 180 ITG-GRACE2010S 0.225 0.783 1.111 0.758 －0.567 0.860 TIM_R4 0.219 0.755 1.098 0.746 －0.580 0.777 DIR_R4 0.222 0.756 1.099 0.746 －0.577 0.777 GOCO02S 0.222 0.756 1.099 0.747 －0.579 0.778 GOCO03S 0.222 0.755 1.100 0.747 －0.579 0.779 SWJTU-GOGR01S 0.223 0.756 1.099 0.748 －0.576 0.784 210 ITG-GRACE2010S - - - - - - TIM_R4 0.227 0.707 1.058 0.705 －0.589 0.703 DIR_R4 0.230 0.707 1.057 0.704 －0.585 0.703 GOCO02S 0.230 0.710 1.057 0.708 －0.574 0.709 GOCO03S 0.230 0.709 1.057 0.708 －0.588 0.712 SWJTU-GOGR01S 0.233 0.711 1.060 0.709 －0.590 0.707 
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