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卫星钟差预报是全球卫星导航定位系统应用中的一个重要问题。卫星钟差的中、短期预报对于卫星钟时间同步和实时精密单点定位具有重要作用[1, 2]；且现代化之后的GPS卫星、欧盟的伽利略卫星以及中国的北斗二代卫星均具有自主导航能力，而自主导航要求地面预报210 d的星历和钟差作为先验信息，此时卫星钟差的中、长期预报至关重要[3-5]。因此，如何提高卫星钟差的短期、中期和长期预报精度是实现高精度定位、授时和自主导航的关键。
目前，国内外学者在卫星钟差预报方面开展了广泛深入的研究，取得了丰硕的研究成果。其中，应用较多的卫星钟差预报模型主要有二次多项式模型(QPM)、谱分析模型、灰色系统模型(GM)、自回归滑动平均模型(ARMA)、卡尔曼滤波模型、递推最小二乘模型、抗差最小二乘估计模型、求和自回归滑动平均模型模型(ARIMA)、人工神经网络模型和支持向量机模型等[4-18]。
这些方法分别适用于不同条件下导航卫星原子钟钟差的短期、中期和长期预报，但也均有其各自的适用范围和局限性，例如, 二次多项式模型较适用于卫星钟差的短期预报，灰色系统模型较适合于卫星钟差的中、长期预报，ARMA模型只适用于对平稳卫星钟差序列的预报，卡尔曼滤波和最小二乘模型难以抵制粗差和钟跳的影响，人工神经网络模型存在易陷入局部极小、网络结构难以确定等缺点，而支持向量机模型则存在算法复杂和对缺失数据敏感等缺点。
本文结合4种不同变化趋势的GPS卫星钟差序列，将时间序列分析中常用的指数平滑法(exponential smoothing method，ESM)应用于GPS卫星钟差预报中，通过与常用的二次多项式模型和灰色预测模型预报结果的对比分析，发现指数平滑法在GPS卫星钟差短期、中期和长期预报中均具有较好的适用性，且具有可用小数据量建模、计算过程简单、自适应能力强等独特优势，可供卫星钟差预报研究借鉴与参考。
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指数平滑法是20世纪50年代末期由美国数学家布朗和霍尔特发展起来的一种时间序列分析方法，目前已在多个领域中得到应用[19]。这种方法仅依靠自身的有关数据，计算过程简单、方便。尤其是在缺少相关的历史数据或数据变化趋势不明显、不稳定的条件下，用该方法进行中、短期预测，更具优越性[20]。
就基本原理而言，指数平滑法是一种非统计性的时间序列分析方法。该方法的基本思想是：每个时间序列都具有某种特征，即存在着某种基本数学模式，而实际观测值既体现这种模式，又反映其随机变动。因此，指数平滑法的目标就是采用“修匀”历史数据来区别基本数学模式和随机变动，即在历史数据中消除极大值和极小值，获得该时间序列的平滑值，并以此作为对未来时刻的预测值[19, 21]。
在整个预测过程中，指数平滑法可以不断用预测误差来纠正新的预测值，即运用“误差反馈”原理对预测值不断修正，以提高预测的准确度。目前，应用较多的是二次指数平滑法和三次指数平滑法。
指数平滑法的计算过程如下[21]：
设当前时刻为t，已知时间序列观测值为x1, x2, x3, …, xt，则t时刻的一次指数平滑值(期望值)S′t等于t－1时刻的期望值S′t－1加上t时刻观测值xt与S′t－1之差乘以加权系数α：
$$ {{S'}_t} = {{S'}_{t - 1}} + \alpha \left( {{x_t} - {{S'}_{t - 1}}} \right) $$ (1) 式中，xt为t时刻的观测值，α为加权系数，也称为平滑常数。通常也将式(1) 写为：
$$ {{S'}_t} = \alpha {x_t} + \left( {1 - \alpha } \right){{S'}_{t - 1}} $$ (2) 对式(2) 进行展开，可得：
$$ \begin{array}{*{20}{c}} {{{S'}_t} = \alpha {x_t} + \left( {1 - \alpha } \right)\left[ {\alpha {x_{t - 1}} + \left( {1 - \alpha } \right){{S'}_{t - 2}}} \right]}\\ { = \cdots = \alpha \sum\limits_{j = 0}^\infty {{{\left( {1 - \alpha } \right)}^j}{x_{t - j}}} } \end{array} $$ 由此可见，S′t是全部历史数据的加权平均，加权系数分别为α、α(1-α)、α(1-α)2、…，符合指数规律且可用于平滑数据。
一次指数平滑法的预测模型为：
$$ {F_{t + 1}} = {{S'}_t} $$ Ft+1为t+1时刻的预测值：
$$ {F_{t + 1}} = \alpha {x_t} + \left( {1 - \alpha } \right){F_t} $$ 由上式可知，第t+1时刻的预测值即为第t时刻的指数平滑值。
平滑常数α的取值范围为0~1，即0≤α≤1。当α接近于零时，表示对过去时刻的实际观测值赋予最大的权；当α接近于1时，表示对现在的实际观测值赋予最大的权。通常情况下，当时间序列变化趋势平稳时，实际观测值的变动仅受偶然因素的影响，可取小的α值加权；若该时间序列变化不稳定，实际观测值的变动还受到偶然因素以外变动(趋势变动、周期变动等)的影响，则可取较大的α值予以加权。
二次指数平滑是在一次平滑的基础上，再做一次指数平滑。此时，t时刻的二次指数平滑值S″t可表示为：
$$ {{S''}_t} = \alpha {{S'}_t} + \left( {1 - \alpha } \right){{S''}_{t - 1}} $$ (3) 同理，t时刻的三次指数平滑值S′′′t则可表示为：
$$ {{S'''}_t} = \alpha {{S''}_t} + \left( {1 - \alpha } \right){{S'''}_{t - 1}} $$ (4) 式中，S″t －1和S′′′t －1分别是t －1时刻的二次指数平滑值和三次指数平滑值，其他符号的意义同前。
二次指数平滑法的预测模型可用直线趋势模型表示[22]：
$$ {F_{t + m}} = {A_t} + {B_t}m $$ 式中，$ {A_t} = 2{S'_t}-{S''_t};{B_t} = \frac{\alpha }{{1-\alpha }}\left( {{{S'}_t}-{{S''}_t}} \right) $
三次指数平滑法的预测模型可用二次曲线趋势模型表示[22]：
$$ {F_{t + m}} = {A_t} + {B_t}m + \frac{1}{2}{C_t}{m^2} $$ (5) 式中，m是正整数且m≥1;At为t时刻的期望值; Bt为t时刻的线性增量; Ct为t时刻的抛物线增量，且有[22]：
$$ {A_t} = 3{{S'}_t} - 3{{S''}_t} + {{S'''}_t} $$ (6) $$ \begin{array}{*{20}{c}} {{B_t} = \frac{\alpha }{{2{{\left( {1 - \alpha } \right)}^2}}}\left[ {\left( {6 - 5\alpha } \right){{S'}_t} - \left( {10 - 8\alpha } \right){{S''}_t} + } \right.}\\ {\left. {\left( {4 - 3\alpha } \right){{S'''}_t}} \right]} \end{array} $$ (7) $$ {C_t} = \frac{{{\alpha ^2}}}{{{{\left( {1 - \alpha } \right)}^2}}}\left[ {{{S'}_t} - 2{{S''}_t} + {{S'''}_t}} \right] $$ (8) 在进行实际预测时，需要先确定初始值S′1、S″1、S′′′1。为了方便起见，通常可将其取为：
$$ {{S'}_t} = {{S''}_t} = {{S'''}_t} = {x_1} $$ (9) 式中, x1为观测值序列中的第一个值。于是有：
$$ \left\{ \begin{array}{l} {{S'}_2} = \alpha {x_2} + \left( {1 - \alpha } \right){x_1}\\ {{S''}_2} = \alpha S' + \left( {1 - \alpha } \right){x_1}\\ {{S'''}_3} = \alpha {{S''}_2} + \left( {1 - \alpha } \right){x_1} \end{array} \right. $$ (10) $$ {F_{2 + m}} = {A_2} + {B_2}m + \frac{1}{2}{C_2}{m^2} $$ (11) 式(10) 和式(11) 与式(1)~式(8) 一起构成了一套完整的预测过程。
从式(11) 可以看出，应用指数平滑法进行预测时，第一个预测值并不从最初时期开始，而是从2+m时刻开始，这一点在分析预测结果时应该注意。
同时，在上述计算过程中，采用的平滑常数α对预测值的影响较大。一般来说，当外部环境变化较大时，α的取值应大一点，这时模型能迅速地根据当前的信息进行大幅度修正，但曲线不够光滑；当时间序列虽有不规则的起伏变动，但整个长期发展趋势较稳定时，α的取值应小一点，这时预测值Ft+m对时间序列的反映比较缓慢，曲线比较光滑；当原始资料缺乏，初始值选取较随便，一般可取较大一点的初始值，这样可以提高预测模型的自适应能力[21, 23]。
因而，如何选择平滑常数α对于预测结果有着很大的影响。为此，可以采用计算机自动选择，通过对不同α值的预测误差的均方差进行比较，取能使均方差达到最小的平滑常数口作为计算值。显然，这个值在预测过程中可以不断调整，以保证预测结果始终达到最佳值。
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本算例选取4颗GPS Blobk IIR-M型卫星(G05、G12、G15和G31号)在2014年度由IGS发布的精密钟差数据(历元间隔为5 min)作为卫星钟差预报计算试验的数据源。
这4颗卫星的原子钟均为Rb钟，其2014年度精密钟差的变化趋势如图 1所示，其中G05、G12的钟差呈单调递增状态，G15、G31的钟差呈单调递减状态，具有充分的代表性。
图 1 G05、G12、G15和G31号卫星2014年的精密钟差
Figure 1. Precise Satellite Clock Bias of G05、G12、G15 and G31 in 2014
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1) 方案1小数据量建模和预报方案
选用二次多项式模型(QPM)、灰色GM(1, 1) 模型(GM)、二次指数平滑模型(ESM)，用1 d的数据建模，分别对1 d、7 d、30 d、90 d和210 d的卫星钟差进行预报。
2) 方案2中等数据量建模和预报方案
选用二次多项式模型(QPM)、灰色GM(1, 1) 模型(GM)、二次指数平滑模型(ESM)，用7 d的数据建模，分别对1 d、7 d、30 d、90 d和210 d的卫星钟差进行预报。
3) 方案3大数据量建模和预报方案
选用二次多项式模型(QPM)、灰色GM(1, 1) 模型(GM)、二次指数平滑模型(ESM)，用30 d的数据建模，分别对1 d、7 d、30 d、90 d和210 d的卫星钟差进行预报。
本算例采用的精密钟差数据时间范围是2014-01-01~2014-08-28，预报结果的精度通过与IGS发布的精密钟差作差后获得。其中，建模采用的精密钟差数据时间范围是2014-01-01~2014-01-30，钟差预报的起始天均统一为2014-01-31，以便对不同方案的预报结果进行对比分析。
在采用二次指数平滑模型进行计算时，平滑常数α采用计算机自动选择，但不是对不同α值预测误差的均方差进行比较，而是通过对不同α值拟合误差的均方差进行比较，取能使拟合误差均方差达到最小的平滑常数作为最终计算值。
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采用方案1对G05号卫星钟差数据进行建模及预报结果如图 2和表 1所示。其中，图 2(a)为G05号卫星精密钟差的拟合误差，图 2(b)~2(f)分别为1 d、7 d、30 d、90 d和210 d的预报误差。
图 2 G05号卫星精密钟差的拟合误差和预报误差
Figure 2. Fitting Error and Prediction Error of G05's Precise Satellite Clock Bias
表 1 精密卫星钟差预报结果的RMS/ns
Table 1. RMS of Prediction Results for Precise Satellite Clock Bias/ns
卫星号及预报长度 方案1：用1 d的数据建模后预报 方案2：用7 d的数据建模后预报 方案3：用30 d的数据建模后预报 QPM GM ESM QPM GM ESM QPM GM ESM 1 d 0.55 0.78 0.27 1.35 5.08 2.20 0.58 74.30 2.37 7 d 16.48 8.00 4.57 4.07 21.36 18.93 3.28 122.43 20.11 G05 30 d 212.72 181.09 160.30 68.37 229.35 221.86 9.24 457.14 226.83 90 d 1 767.34 1 694.93 1 585.09 610.18 1 834.17 1 771.37 44.96 2 397.62 1 786.29 210 d 9 505.87 9 068.59 8 599.19 3 106.28 9 379.58 9 031.76 197.16 10 581.58 9 066.33 1 d 2.52 0.57 3.32 0.69 1.96 3.23 5.22 19.98 2.85 7 d 46.75 0.87 20.33 4.76 6.03 19.66 11.11 31.86 17.04 G12 30 d 738.64 18.71 101.19 60.72 39.82 98.30 62.05 98.49 87.11 90 d 6 469.82 170.05 460.14 533.45 233.80 451.53 437.52 385.96 418.22 210 d 34 685.51 1 125.68 1 682.90 2 745.27 1 286.84 1 662.95 2 089.86 1 652.93 1 585.82 1 d 0.99 0.77 2.54 0.88 0.41 2.52 0.58 4.54 2.44 7 d 34.68 2.48 19.67 3.36 1.01 19.54 0.56 7.10 19.01 G15 30 d 575.22 22.80 101.45 39.08 17.13 100.86 4.90 30.66 98.59 90 d 5 023.40 220.53 399.70 361.78 202.97 397.96 95.88 238.60 391.17 210 d 26 956.75 1 337.36 1 330.20 2 028.09 1 292.25 1 326.15 653.21 1 379.51 1 310.40 1 d 4.64 1.15 0.99 2.41 1.31 0.99 9.46 24.65 0.99 7 d 101.58 22.19 19.67 2.92 18.50 19.67 8.96 50.17 19.67 G31 30 d 1 408.27 124.05 112.05 53.38 105.79 112.05 38.99 176.23 112.05 90 d 11 844.30 669.82 630.44 568.89 614.46 630.44 293.33 784.63 630.44 210 d 64 058.88 3 329.97 3 220.99 2 940.79 3 199.18 3 220.99 1 236.76 3 573.89 3 220.99 同理，采用方案2和方案3对G05、G12、G15和G31号卫星钟差数据进行建模后预报结果如表 1所示。限于篇幅，方案2和方案3计算结果的图形不再一一展示。
1) 采用小数据量建模对GPS卫星钟差进行预报时，3种方法的短期预报(1 d)效果基本相当，均在5 ns以内；但在卫星钟差的中、长期预报中，二次指数平滑法和灰色模型的预报效果明显优于二次多项式模型，且二次指数平滑法和灰色模型的预报效果基本相当；在对呈线性递增或递减规律的钟差数据(G12和G15号卫星)进行预报时，二次指数平滑法的预报效果略逊于灰色模型。
2) 采用中等数据量建模和预报时，3种方法的短期预报(1 d)效果基本相当，预报结果的RMS可控制在5 ns以内；在卫星钟差的中、长期预报中，除G12和G15号卫星之外，二次多项式模型的预报效果要明显优于二次指数平滑法和灰色模型；但在对呈线性递增或递减规律的钟差(G12和G15号卫星)进行中、长期预报时，灰色模型的预报效果最好，明显优于二次多项式模型和二次指数平滑法。
3) 采用大数据量建模和预报时，可以明显看出，除个别情况外(G12号卫星预报90 d和210 d)，无论是短期预报(1 d)，还是中、长期预报，二次多项式模型的预报效果都明显优于二次指数平滑法和灰色模型，说明建模所采用的数据量越大，二次多项式模型的预报效果越好；但在卫星钟差的短期预报(1 d)中，二次指数平滑法与二次多项式模型的预报效果相当，明显优于灰色模型。
(4) 建模所采用的数据量对二次多项式模型的预报效果影响较大，建模所采用的数据量越大，二次多项式模型的预报效果越好。建模所采用的数据量对灰色模型的预报效果有一定影响，建模数据量大时，灰色模型的预报效果有时反而变差，但这也从另一方面体现了灰色模型在贫信息建模和预报中的优势。相对而言，建模所采用的数据量对二次指数平滑法的预报效果影响最小，从表 1、表2和表3的结果可以看出，建模数据量大小对二次指数平滑法的预报结果的影响不大，其RMS值一直处于同一量级；当建模数据量达到一定程度时，其预报结果的RMS值一直保持不变，也就是说，此时二次指数平滑法的预报结果将不再依赖于历史数据。这与指数平滑法的加权系数(平滑常数)呈指数规律有关，当建模数据达到一定程度时，离预报时刻过远的数据权值逐渐收敛于零，此时增加历史数据对其预报值的贡献较小。
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1) 二次指数平滑法适用于GPS卫星星载原子钟钟差的中、短期预报，其短期预报(1d)精度优于5 ns，中期预报(7d)精度优于20 ns。
2) 二次指数平滑法可采用少量数据建模，计算过程简单、方便，建模所采用的数据量对二次指数平滑法的预报效果影响较小。
3) 相对适用于GPS卫星钟差长期预报的灰色预测模型而言，指数平滑法也适用于GPS星载原子钟钟差的长期预报，其长期预报(210 d)精度可达μs级，与灰色预测模型的精度相当。
4) 通过指数平滑法与二次多项式模型和灰色模型的对比分析可知，在利用较少数据量建模的情况下，指数平滑法和灰色预测模型比二次多项式模型更具优势。
综上所述，在GPS卫星钟差预报中，指数平滑法具有较好的适用性，完全可用于GPS卫星及其他导航卫星钟差的短期、中期和长期预报。但如何在卫星钟差实时预报时选择合适的平滑常数α以及如何结合卫星原子钟的物理特性进行卫星钟差预报仍然值得深入研究。
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摘要: 提出了一种基于指数平滑法的GPS卫星钟差预报方法。该方法可采用少量数据建模，且计算过程简单、方便，尤其是在缺少相关历史数据或数据变化趋势不明显、不稳定的情况下，用该方法仍可取得较好的效果。通过与GPS卫星钟差预报中常用的二次多项式模型和灰色预测模型的对比分析，结果表明：指数平滑法适用于GPS卫星钟差的中、短期预报，其预报精度可达ns级；在利用小数据量建模的情况下，其预报效果优于二次多项式模型，与灰色模型的预报效果基本相当；该方法还可用于GPS卫星钟差的长期预报，其预报精度可达μs级，与灰色预测模型的精度相当。Abstract: A new method of GPS satellite clock bias prediction based on exponential smoothing method (ESM) is presented in this paper. This new method can develop the prediction model successfully by using a small amount of data and has the advantages of easier calculation and convenience in operation. And the good results can still be acquired by this new method when the relevant historical data are absent or the changing trend of data is unobvious or unstable. By contrast with the quadratic polynomial model (QPM) and gray system model (GM) which are usually used in GPS satellite clock bias prediction, the calculating and analyzing results indicated that the ESM can be used in the medium-term and short-term prediction of GPS satellite clock bias and the prediction precision can reach up to nanosecond (ns) level. The prediction results of ESM are better than QPM but on the same level with GM when a small amount of data is used to establish the prediction model. And in the mean time, the ESM can also be used in the long-term prediction of GPS satellite clock bias and the prediction precision can reach up to microsecond (μs) level which is on the same level with GM.
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Key words:
- exponential smoothing method (ESM) /
- GPS /
- satellite clock bias /
- prediction
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图 1 G05、G12、G15和G31号卫星2014年的精密钟差
Figure 1. Precise Satellite Clock Bias of G05、G12、G15 and G31 in 2014
图 2 G05号卫星精密钟差的拟合误差和预报误差
Figure 2. Fitting Error and Prediction Error of G05's Precise Satellite Clock Bias
表 1 精密卫星钟差预报结果的RMS/ns
Table 1. RMS of Prediction Results for Precise Satellite Clock Bias/ns
卫星号及预报长度 方案1：用1 d的数据建模后预报 方案2：用7 d的数据建模后预报 方案3：用30 d的数据建模后预报 QPM GM ESM QPM GM ESM QPM GM ESM 1 d 0.55 0.78 0.27 1.35 5.08 2.20 0.58 74.30 2.37 7 d 16.48 8.00 4.57 4.07 21.36 18.93 3.28 122.43 20.11 G05 30 d 212.72 181.09 160.30 68.37 229.35 221.86 9.24 457.14 226.83 90 d 1 767.34 1 694.93 1 585.09 610.18 1 834.17 1 771.37 44.96 2 397.62 1 786.29 210 d 9 505.87 9 068.59 8 599.19 3 106.28 9 379.58 9 031.76 197.16 10 581.58 9 066.33 1 d 2.52 0.57 3.32 0.69 1.96 3.23 5.22 19.98 2.85 7 d 46.75 0.87 20.33 4.76 6.03 19.66 11.11 31.86 17.04 G12 30 d 738.64 18.71 101.19 60.72 39.82 98.30 62.05 98.49 87.11 90 d 6 469.82 170.05 460.14 533.45 233.80 451.53 437.52 385.96 418.22 210 d 34 685.51 1 125.68 1 682.90 2 745.27 1 286.84 1 662.95 2 089.86 1 652.93 1 585.82 1 d 0.99 0.77 2.54 0.88 0.41 2.52 0.58 4.54 2.44 7 d 34.68 2.48 19.67 3.36 1.01 19.54 0.56 7.10 19.01 G15 30 d 575.22 22.80 101.45 39.08 17.13 100.86 4.90 30.66 98.59 90 d 5 023.40 220.53 399.70 361.78 202.97 397.96 95.88 238.60 391.17 210 d 26 956.75 1 337.36 1 330.20 2 028.09 1 292.25 1 326.15 653.21 1 379.51 1 310.40 1 d 4.64 1.15 0.99 2.41 1.31 0.99 9.46 24.65 0.99 7 d 101.58 22.19 19.67 2.92 18.50 19.67 8.96 50.17 19.67 G31 30 d 1 408.27 124.05 112.05 53.38 105.79 112.05 38.99 176.23 112.05 90 d 11 844.30 669.82 630.44 568.89 614.46 630.44 293.33 784.63 630.44 210 d 64 058.88 3 329.97 3 220.99 2 940.79 3 199.18 3 220.99 1 236.76 3 573.89 3 220.99 
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