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目前，原子时是应用最广泛的时间尺度，它是地球时的准实时实现方式[1]。随着1982年第一颗毫秒脉冲星的发现，科学家们开始探索以毫秒脉冲星高速自转为基础建立时间尺度的可行性[2]。毫秒脉冲星是自转速度非常高的脉冲星，隶属于中子星，具有极其稳定的自转周期，被誉为自然界最稳定的天然时钟，在高速自转的同时发射周期稳定的脉冲信号，完全不受人工干预，大部分自转周期为1~10 ms，其变化率为10-19~10-21，完全满足时间尺度的物理源特征[3-6]。本文以12颗毫秒脉冲星的实测计时资料为基础，运用傅里叶级数建立综合脉冲星时间尺度 (ensemble pulsar timescale, EPT)，从而消除色散、引力波延迟以及原子时误差的影响得到更稳定的时间尺度，达到实现地球时的目的，并采用σz方法评估其稳定度，分析比较与其他原子时的差异。
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毫秒脉冲星在高速自转的同时会发出周期稳定的脉冲信号，到达射电望远镜的时间称为脉冲到达时间 (time of arrival, TOA)，定义为脉冲轮廓上某一点的到达时间，以测站的原子时为参考。计时观测要求对某一颗毫秒脉冲星某一个频率信号进行连续的观测，获取一系列TOA值，通过分析TOA序列可获得脉冲星时间尺度。TOA的精度直接决定所建立的脉冲星时间的稳定度[3]，因此获取高精度的TOA至关重要。本文采用互相关法[7]从观测到的脉冲轮廓获取TOA：
$$P\left( t \right) = a + b \times T\left( {t - \tau } \right) + N\left( t \right)$$ (1) 式中，N(t) 为t时刻的附加噪声；a和b分别为系数。利用单个脉冲轮廓P(t) 拟合标准轮廓T(t)，得到的拟合参数τ及其误差，即为TOA以及误差，仅由观测轮廓的信噪比决定。
TOA的参考时间为测站的原子时，给归整全球联测的TOA带来了不便，因此需要使用统一的时间尺度，即地球时，它是现代地球表面的时间标准。但地球自转和绕太阳公转使得地心参考系相对于脉冲星不是惯性系[8]。为了准确地分析TOA，必须把TOA转换到惯性参考系下的到达时间，通常采用的是太阳系质心参考系，对应的坐标时为太阳系质心时 (solar system barycenter, SSB)，转换结果和脉冲星的位置、自转速率以及太阳系内的天体有关，同时还需要修正脉冲信号在星际介质中传播所受到的色散效应的影响：
$${t_{{\rm{SSB}}}} = t - D/f_{{\rm{SSB}}}^2 + \Delta A + \Delta C + {\Delta _R} + {\Delta _E} + {\Delta _S} + {\Delta _V}$$ (2) 式中，t为脉冲到达射电望远镜的时间；tSSB是脉冲到达太阳系质心的时间；D为色散常量；fSSB是脉冲信号在太阳系质心处的辐射频率，和脉冲星的自转频率是两个不同的概念；ΔA和ΔC分别代表大气延迟和测站所参考的原子时钟差；ΔR、ΔE、ΔS分别为Roemer延迟、Einstein延迟和Shapiro延迟；ΔVP是脉冲星自行引起的时间延迟。
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TOA转换到太阳系质心时后，为了方便计算，通常采用相位φ的泰勒级数展开式描述脉冲星钟模型：
$$\varphi = {\varphi _0} + \upsilon (t - {t_0}) + {\rm{ }}\frac{{\dot \upsilon }}{2}{\rm{ }}{(t - {t_0})^2} + \ldots $$ (3) 式中，φ是t时刻的相位；φ0是初始时刻t0的相位；v和 ${\dot \upsilon }$ 分别是毫秒脉冲星的自转频率及一阶导数，由于毫秒脉冲星自转频率非常稳定，因此只需计算到一阶导数即可。为了直观，通常采用 (φ－φ0)/v表示计时残差，由加权最小二乘法拟合得到，单位为s，需要满足χ2为最小：
$${\chi ^2} = {\sum\limits_{i = 1}^N {\left( {\frac{{(\varphi - {\varphi _0})/v}}{{{\sigma _i}}}} \right)} ^2}$$ (4) 式中，σi为TOA的权重，TOA的误差决定权值大小。
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本文采用澳大利亚国家天文台的Parkes射电望远镜采集到的12颗毫秒脉冲星的计时观测资料，观测时间长度为10 a左右，频率fSSB主要有1 341、1 369、1 405、1 433、3 100、685以及732 MHZ，集中在20 cm、10 cm和50 cm波段，其中自转周期和观测时间长度见表 1。
表 1 12颗毫秒脉冲星的自转周期及观测时间长度
Table 1. Rotation Period and Length of Observation for 12 Millisecond Pulsars
毫秒脉冲星 周期/ms 观测时间长度/a J0437-4715 5.76 8.8 J0613-0200 3.06 10 J0711-6830 5.49 9.5 J1022+1001 16.45 9.4 J1024-0719 5.16 7 J1045-4509 7.47 9.9 J1600-3053 3.60 7 J1643-1224 4.62 9.9 J1713+0747 4.57 10.6 J1857+0943 5.36 9.9 J1939+2134 1.56 8.8 J2145-0750 16.05 9.2 从表 1中可以看出，自转周期主要集中在10 ms以下，最短为1.56 ms。虽然J1022+1001和J2145-0750的周期约为16 ms，但自转极其稳定，也被列入了毫秒脉冲星，并被证实可以建立脉冲星时间尺度[4]。观测时间最短为7 a，最长为10.6 a，但是观测时间段并不相同 (见图 1)。
图 1 12颗毫秒脉冲星的观测时间图
Figure 1. Observation Time for 12 Millisecond Pulsars
图 1中，横坐标代表观测时间，点代表每颗毫秒脉冲星的观测时刻，即TOA的采样时刻。可以明显看出，TOA采样率没有规律可循，这也给长期的计时残差去噪处理增加了难度，J1713+0747观测时间最长，为10.6 a；J1600-3053最短，为7 a。TOA的精度直接决定了综合脉冲星时间尺度的稳定度，本文给出了采用PSRCHIVE软件[9]解算高精度TOA的策略，如图 2所示。
图 2 数据处理流程图
Figure 2. Flowchart for Data-processing
图 2中，P表示脉冲轮廓，共N个，其中信噪比最高的脉冲轮廓称作Pmax，一个脉冲轮廓对应一个TOA；反之，亦然。首先选择Pmax作为初始标准轮廓，和其他N－1个P互相关获取N-1个TOA及其误差。如果误差较大，则视TOA含有粗差，即对应的脉冲轮廓不准确，需要剔除。将准确的脉冲轮廓叠加，可得到非常稳定的标准脉冲轮廓T，然后和N个P互相关处理得到N个TOA。利用式 (2) 转换到太阳系质心时，然后采用式 (4) 对v和拟合，即可得到计时残差。不同接收机接收到的同一颗毫秒脉冲星的同一频率，同一接收机接收到的同一颗毫秒脉冲星的不同频率脉冲星信号的计时残差均存在系统误差，可通过增加系统误差参数消除不同接收机之间的系统误差，不同频率间的系统误差可以通过拟合色散消除。由于篇幅有限，本文仅给出了采用脉冲星计时软件TEMPO2[10]解算的毫秒脉冲星J1022+1001的计时残差 (见图 3)。
图 3 J1022+1001的计时残差
Figure 3. Timing Residuals for J1022+1001
图 3中，红、蓝、绿3种颜色分别代表 50 cm、10 cm以及15 cm波段的信号，横轴为时间，纵轴为相对于地球时 (terrestrial time (international atomic time)，TT (TAI)) 的残差。图 3(a)为拟合v和之前的残差，图 3(b)为拟合后的残差。从图 3中可以看出，不同设备之间以及不同频率之间的系统误差得到了很好的消除，并且加权均方根误差 (weight root mean square, WRMS) 降低了1/3。
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自1995年开始，原子频率标准一直是守时和授时的基础，全球70多个实验室的400多台铯原子钟和氢泽脉冲钟与9台初始频标 (铯原子喷泉钟) 以及若干次级频标计时信息收集起来，提供给国际计量局 (International Bureau of Weights and Measures, BIPM)，然后由BIPM经过算法计算得到准实时的国际原子时TAI。为了保持日常使用中的时间尺度的连续性和实时性，TAI一经公布，不再进行修改。在这两种条件的限制下，TAI并不是现有计时器组合下具有长期稳定性的时间尺度的一种最优估计[11]。为了满足天文与地球科学的观测要求，BIPM每年年初都会对以前所有可用的数据进行事后处理，将计算结果命名为TT (BIPMYYYY) 并向全球发布，YYYY代表所采用的最新数据的年份，最近的是TT (BIPM2013)，是目前最精确的时间尺度，和TAI的差值见图 4。
图 4 TT (TAI) 与TT (BIPM2013) 的差值随着时间的变化
Figure 4. Differences vs. Time Between TT (TAI) and TT (BIPM2013)
图 4中把BIPM (2013) 作为没有误差的理想时间尺度，给出了TT (TAI) 与TT (BIPM2013) 从1975年至2013年38 a内时域上的差值。可以清晰看出，在过去的30多年，TT (TAI) 漂移了近30 ms，呈现了明显的二次曲线变化，去除了该变化之后，结果仍然出现了近似抛物线变化，幅度在-5~3 ms之间，这是由原子频标的二次漂移项引起的。从整体变化看，TT (TAI) 和TT (BIPM) 的差异随着时间的增长在逐渐增大。这表明TAI所实现的秒长虽然经过了一级频标的频率修正，但频率的准确性仍然存在不足，TAI的频率修正原则需要进一步改进。
毫秒脉冲星作为自然界的天体，完全不受人工干预，建立时间尺度的物理原理和原子钟也不相同，毫秒脉冲星的寿命可以达到亿万年，所以可以提供长期时间标准。单颗毫秒脉冲星利用§1.2的脉冲星钟模型建立的时间尺度，受到色散、引力波延迟以及原子时误差等多种因素影响，其中色散延迟和引力波延迟等可以通过拟合多频采样数据以及组合多颗毫秒脉冲星消除其影响，但很难消除原子时误差，所以导致毫秒脉冲星的计时残差相关，尤其是同时间的计时残差[2]。以往的研究通常通过线性加权平均多颗毫秒脉冲星的计时残差建立EPT，但由于毫秒脉冲星的采样时间以及采样率没有规律可循，因此必须通过内插才能采用加权平均法，结果导致了原数据失真，并且无法消除原子时误差，造成所建立的EPT不够准确[12-13]。为了保证原始数据不失真，并能消除计时残差之间的相关性，本文利用傅里叶级数建立综合脉冲星钟模型：
$${x_c}\left( t \right) = \sum\limits_{i = 1}^n {{A_k}{\rm{cos}}(k{\omega _0}t) + {B_k}{\rm{sin}}(k{\omega _0}t)} {\rm{ }}$$ (5) 式中，2π/ω0是总的观测时间长度，单位用a表示；阶数n由具体分析的数据决定；参数Ak和Bk可以通过同时拟合多颗毫秒脉冲星残差求出。求得的信号xc(t) 可以认为是以原子时为参考的时间信号，可以视作一种相对于原子时的时间尺度。按照上述数据处理策略，得到12颗毫秒脉冲星的计时残差，然后利用式 (5) 得到所谓的TT (EPT)，如图 5所示。
图 5 TT (EPT) 相对于TT (TAI) 的差值
Figure 5. Differences Between TT (EPT) and TT (TAI)
图 5中，纵坐标表示TT (EPT) 和TT (TAI) 的差值，实线和虚线分别是TT (EPT) 和TT (BIPM2013) 相对于TT (TAI) 的差值。从图 5中可以看出，二者相对于TT (TAI) 的差值在1 μs之内，和TT (BIPM2013) 相当，TT (EPT) 呈现了稳定的周期变化的趋势，这和基于周期函数的钟模型有关系。为了进一步评估TT (EPT) 的可行性和实用性，本文对其稳定度进行评估。通常采用Allan方差描述时间尺度的稳定度[14]，尤其对于无线性漂移的原子钟或者可测定线性漂移量的原子钟来说，Allan方差已经足够准确地表达其频率稳定度。但对于毫秒脉冲星来说，由于采样率无规律可循，以及脉冲星钟模型中含有不可忽略的频率漂移量，并且每颗毫秒脉冲星的频率漂移量都不相同，Allan方差已不适合，而基于三次差的c方法[15]考虑了频率漂移量，能够描述脉冲星钟的稳定度。
首先将TT (EPT) 相对于TT (TAI) 的残差时间序列划分为连续不重叠的长度为τ的若干区间，对每个区间采用三次多项式拟合：
$$X\left( t \right) = {c_0} + {c_1}(t - {t_0}) + {c_2}{(t - {t_0})^2} + {c_3}{(t - {t_0})^3}$$ (6) 使得[(xi－X(ti))/σi]2=min，则有：
$${\sigma _z}\left( \tau \right) = \frac{{{\tau ^2}}}{{2\sqrt 5 }}{\left\langle {c_3^2} \right\rangle ^{1/2}}$$ (7) 式中，X(ti) 为拟合函数；ci为拟合系数；ti为采样时间；xi和σi为TT (EPT) 相对于TT (TAI) 的残差及其误差；τ=T, T/2, T/4, T/8，…，其中T为总时间长度；〈〉代表子区间内的加权平均，权值和误差大小有关。
本文利用σz分别估算了EPT、国家授时中心 (National Time Service Center，NTSC) 和德国技术物理研究所 (Physikalisch Technische Bundesanstalt，PTB) 发布的当地原子时以及参与建立EPT的12颗毫秒脉冲星各自建立的时间尺度的稳定度。为了能够清晰用图形表示，只给出了J0437-4715、J2145-0750以及J1022+1001建立的时间尺度的稳定度，如图 6所示。
图 6 时间尺度的稳定度
Figure 6. Stability of Time Scale
为了使稳定度随时间延长的变化更加清楚，图 6中横轴 (时间长度) 采用对数形式，纵轴是以10为底σz的对数。从图 6中可以看出，3颗毫秒脉冲星所建立的时间尺度的稳定度随着时间的增长，稳定度在提高，9 a达到10-14，但呈现的变化趋势是非线性的，可见这3颗毫秒脉冲星的计时残差中含有红噪声。NTSC和PTB维持的时间尺度的稳定度分别在2 a和3 a内比较稳定。但随着时间的增长，稳定度指数上下浮动较大，可能和两个实验室的原子钟个数、老化或者引入新原子钟有关，导致和TAI的差值时间序列也含有红噪声。由于脉冲星受到自身物理特点以及星际色散等多种因素的影响，短期稳定度并不理想，EPT 5 a的稳定度和NTSC的原子时稳定度相当，超过10-14；10 a的时候和PTB的原子时稳定度相当，达到10-15，但稳定度随着时间的增加呈现线性增强趋势尤为明显。这说明白噪声是EPT的主要噪声，随着时间的增长，对稳定度的影响会随之减弱。从EPT稳定性以及稳定度两方面考虑，10 a左右 (越长越好) 的毫秒脉冲星计时观测资料建立的EPT可以用来实现地球时，也可以作为TAI的一种检核方式，二者相互检验。
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本文使用多颗毫秒脉冲星的实测计时观测数据，运用傅里叶级数建立综合脉冲星钟模型，采用σz方法评估综合脉冲星时的稳定度，结论如下。
TAI的秒实现存在误差，需要进一步改进，随着时间的积累，TAI会产生频移和频漂，需要不断地调整。毫秒脉冲星自转非常稳定，不存在频移和频漂，利用多颗毫秒脉冲星建立的EPT消弱了色散、原子时等误差；TT (EPT) 的稳定度比参与建立的任何一颗毫秒脉冲星建立的时间尺度稳定度都高，随着时间的积累不断的提高，呈现线性变化趋势，充分说明了白噪声是EPT的主要来源，并且随着时间的增长对稳定度的影响逐渐减弱。TT (EPT) 和TT (TAI) 以及TT (BIPM2013) 的误差在1 μs范围内，证明了本文建立EPT所采用的傅里叶级数模型的正确性和实用性。我国新疆天文台25 m射电望远镜已经积累了十余年的脉冲星计时资料，主要供天体物理特性的研究，正在建设的口径为500 m的全球最大的射电望远镜，都将为我国研究脉冲星时间尺度的研究提供宝贵的资料，本文可为我国将来建立脉冲星钟提供参考。
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摘要: 以澳大利亚国家天文台Parks射电望远镜观测到的12颗毫秒脉冲星共十余年的实测计时数据为基础，首先根据互相关法获取脉冲到达时间及其误差，分析太阳系质心时的计时残差，然后运用傅里叶级数建立综合脉冲星时模型，从而实现地球时，并利用σz方法评估了它的稳定度。结果表明，综合脉冲星时的稳定度呈现线性增强趋势，10 a的稳定度高于10-15。白噪声是主要噪声来源，其对稳定度的影响随着时间的增长逐渐减弱。综合脉冲星时的稳定性和BIPM（2013）相当，可以作为地球时的一种实现方式。Abstract: Based on over 10-year timing data for 12 millisecond pulsars from the Parks telescope at Australia Telescope National Facility, TOAs (time of arrival) for these millisecond pulsars and their errors were solved using the cross-correlation technique. The corresponding timing residuals in Barycentric Coordinate Time were analyzed and then the Ensemble Pulsar Timescale model was constructed using Fourier series in order to realize Terrestrial Time. The stability of the timescale was evaluated with sz method. The results show that the stability of the ensemble Pulsar Timescale reached 10-15 over 10 years, presenting a linear increasing trend with an a upward tendency over time. The stability could rise with a longer observation time. White noise is the primary noise source and its impact on stability of the timescale decreased over time. Ensemble Pulsar Timescale could be considered as a realization of Terrestrial Time since the stability of the timescale is comparable to that of BIPM (2013).
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Key words:
- millisecond pulsar /
- ensemble pulsar timescale /
- terrestrial time
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图 4 TT (TAI) 与TT (BIPM2013) 的差值随着时间的变化
Figure 4. Differences vs. Time Between TT (TAI) and TT (BIPM2013)
表 1 12颗毫秒脉冲星的自转周期及观测时间长度
Table 1. Rotation Period and Length of Observation for 12 Millisecond Pulsars
毫秒脉冲星 周期/ms 观测时间长度/a J0437-4715 5.76 8.8 J0613-0200 3.06 10 J0711-6830 5.49 9.5 J1022+1001 16.45 9.4 J1024-0719 5.16 7 J1045-4509 7.47 9.9 J1600-3053 3.60 7 J1643-1224 4.62 9.9 J1713+0747 4.57 10.6 J1857+0943 5.36 9.9 J1939+2134 1.56 8.8 J2145-0750 16.05 9.2 
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