地面常规网与GNSS基线网联合平差，不仅可以使地面网得到加强，网形结构得到优化，提高网中各种元素的精度和可靠性，而且可以确定地面网的坐标系统与GNSS基线网坐标系统之间的转换参数，分析地面网与GNSS基线网中的系统误差。对于联合平差的理论和方法，国内外学者自二十世纪六、七十年代开始进行了广泛的研究，主要包括地面常规网与GNSS基线网之间的转换模型和转换参数的选择^[1]，联合平差中函数模型的建立和随机模型的估计，转换参数的显著性检验，固定基准之间的兼容性分析及固定位置基准之间的选取^[2-5], 联合平差的实施方案的分析和选取^[6], 联合平差的误差分析^[7]以及联合平差实用程序的设计和实际应用，即商业化软件包的研制和开发^[8]等几个方面。

但以上研究几乎未考虑由于观测量基准不同而引起偏差产生的影响。在大地测量中地面常规网观测量 (如利用全站仪观测到的水平方向、垂直角和边长) 是以测站大地水准面的垂线方向为依据，并受大气折光的影响的。而GNSS技术的观测量依据的是椭球面的法线方向，椭球面的法线和大地水准面的垂线之间的夹角称之为垂线偏差^{[9, 10]}。而在常规大地测量中，测站上的垂线偏差一般都是未知的。所以，在低等测量中均未顾及该项误差的改正。众所周知，垂线偏差越大，对平差结果的影响就越大，尤其在地形起伏复杂的山区，其垂线偏差数值较大，最大可为45″，并且变化无规律，如果忽略了此项改正，将对平差结果带来较大的影响^[11]。

目前，对于垂线偏差的获取，除了采用经验值进行改正以外，也可采用数字天顶摄影仪、卫星测高数据、全球重力场模型解算全球或区域性的垂线偏差分量^[12-14]等。尤其对于地球重力场模型的研究，已成为测绘学科的热门研究内容^{[15, 16]}。垂线偏差的应用范围更加广泛，除了归算观测量的平差基准面之外，还应用在时变的计算和大地水准面中央区效应的改进等多个方面^{[17, 18]}。

虽然可采用地球重力场模型、卫星测高数据计算垂线偏差，但其精度和分辨率都较为有限。为此，本文在联合解算地面常规网观测量和GNSS网基线观测量时，将垂线偏差参数作为附加未知参数纳入平差模型中，通过平差计算有效地消除垂线偏差对观测量的影响，从而提高成果质量。

如图 1所示，地面上一点的重力向量 (OZ₁方向) 和相应椭球面上的法线向量 (OZ₂方向) 之间的夹角定义为该点的垂线偏差μ。μ通常用两个分量来表示，一个是子午圈分量ε，即垂线偏差南北分量；一个是卯酉圈分量η，即垂线偏差东西分量，若Z₁在Z₂之北，则ε为正；若Z₁在Z₂之东，则η为正。

图  1  垂线偏差的定义

Figure 1.  Definition of Vertical Deflection

如图 2所示，在以测站点i为原点，点i垂线方向为U′轴的垂线测站坐标系i－N′E′U′中，j点相对于i点的坐标差为：

图  2  垂线站心坐标系

Figure 2.  Vertical Topocentric Coordinate System

式中，L_ij为i至j方向的观测值；z_i为测站i的定向角参数；β_ij为测站i至观测点j的垂直角；S_ij为测站i至观测点j的边长。

同样，建立以测站点i为原点，点i法线方向为U轴的法线站心坐标系i－NEU。若设i点的大地经纬度为L, B，则法线站心直角坐标系与相应的空间直角坐标之间的换算关系为：

设垂线站心坐标系和法线站心坐标系之间的垂线偏差分量为ε, η，可以推导出两类坐标系的转换关系为^[19]：

式中，R_N、R_E为绕N、E轴的旋转矩阵。其中：

R_Nη=1000cosηsinη0－sinηcosη

将式 (5) 代入式 (4) 得：

再将式 (2) 代入式 (6) 中得：

式 (6)、式 (7) 建立了垂线站心坐标系与法线站心坐标系和空间直角坐标系之间的换算关系，两个公式中都包括了垂线偏差的两个分量参数。

根据式 (1) 可以写出测站i至测点j的地面观测量 (水平方向、垂直角和边长) 在垂线站心坐标系中的观测方程：

式中，(V_Lij, V_βij, V_Sij)为水平方向L_ij、垂直角β_ij和边长S_ij的改正数；z_i为测站i水平方向的定向角；K为大气折光参数；R_a为地球曲率半径。

对式 (8)~(10) 进行线性化，并结合式 (6) 和式 (2)，得到地面常规网观测量在空间直角坐标系中的误差方程为：

式中，为测站i定向角参数改正数；为观测点j在空间直角坐标系中的改正数；R_a为地球平均曲率半径;为垂线偏差分量改正数；为大气折光改正数。

当不考虑垂线偏差时，也就是忽略法线和垂线之间的夹角时，即ε=0，η=0，则式 (4) 转换矩阵为单位阵，此时式 (4) 为：

依据式 (14)，并结合式 (11)~(13) 可以推导出当忽略垂线偏差参数时的地面网中观测量的误差方程，此时的误差方程中并不包括垂线偏差分量参数。

GNSS网的观测量是在WGS-84坐标系下的三维坐标差 (常称为GNSS基线向量)，对于一条基线ij，其误差方程为：

式中，X_i⁰, Y_i⁰, Z_i⁰和X_j⁰, Y_j⁰, Z_j⁰分别为i、j两点的近似空间直角坐标。

将式 (11)~(15) 联立，以矩阵形式表示为：

式中，为其未知参数系数矩阵；为其未知参数系数矩阵；l为误差方程的常数项。

由于GNSS网基线观测量和地面常规网观测量中都包括了方位和尺度信息，因此只需要一个点的位置 (空间直角坐标) 就可以完成式 (16) 的平差计算。

设P_L、P_β、P_S为常规地面网中水平方向、垂直角与边长的权矩阵，由于水平方向和垂直角的经验定权方式几乎相同，故两者的权矩阵统一用P_α表示，为GNSS基线向量的方差协方差矩阵，其权阵为P_G=Σ_G^－1，则地面网观测量和GNSS基线网的权阵P为：

其协方差阵Σ为：

对于不同类观测量，采用经验公式定权是不够准确的。为了提高这3类观测量的方差估计的精度，本文采用赫尔默特方差分量验后估计定权法。

依据式 (16)，得到水平方向和垂直角、边长及GNSS基线向量各自的误差方程分别为：

式中，为其系数矩阵，C_α=A_α, B_α，C_S=A_S, B_S，C_G=A_G, B_G；l_α, l_S, l_G为常数项。

设3类观测量的验前单位权中误差和验后单位权中误差分别为，建立3类观测量改正数的平方和之间的关系为：

式中，

式中，tr代表矩阵的迹，n₁为水平方向和垂直角观测值个数，n₂为边长观测个数，n₃为GNSS基线观测量个数。

以上为3类观测量的赫尔默特方差分量估计公式。其权公式的迭代计算步骤为：

1) 给定3类观测量的初始权阵P_α，P_S，P_G。

2) 进行初始平差，求得平差后3类观测量的改正数平方和。

3) 按式 (21) 求得初始验后单位权方差和，并重新定权，定权公式为：

4) 反复进行步骤2) 和步骤3) 计算，直至为止。

按照间接平差公式求得式 (16) 中和的参数估值及其方差协方差阵为：

式中，。

设, 则协方差阵为：

设

则的协方差阵为：

当忽略垂线偏差参数，由式 (26) 可得出未知参数和方差协方差阵为：

图 3为某区域GNSS基线网和地面控制网联合观测示意图，共计5个控制点，距离最长为113 m，最短为32 m。其中控制点A、B、D采用Trimble双频GNSS接收机观测2个时段，每个时段至少观测12 h。P为全天候进行观测的GNSS站 (基准点)，C点由于观测条件差，不利于采用GNSS技术观测，故使用一台TCA2003全站仪分别安置在A、B、C、D进行观测，在每个测站上均观测所有通视点的水平方向、垂直角和边长，共观测4个测回。其中水平方向和垂直方向观测精度为0.7″，测距精度为1 mm + 1 ppm。

图  3  GNSS网和地面网观测示意图

Figure 3.  Schematic Diagram of GNSS Network and Terrestrial Network

GNSS基线采用高精度的数据处理软件GAMIT解算，解算后的基线中误差优于1 mm；定权方式采用赫尔默特方差分量估计法；考虑该测区为小区域，故只解算一个垂线偏差，即含2个未知参数。

表 1给出了垂线偏差作为未知参数时求得的常规地面网和GNSS基线网中站点的坐标及其中误差。解算的垂线偏差分量及其中误差e=31.6″, s-e=1.9″，h=13.9″, s-h=2.1″。表 2给出了本文解算的垂线偏差分量与EGM2008模型的比较值，其符号一致，差值最大为-1.2″。表 3给出了将EGM2008模型给出的垂线偏差代入观测方程后求得的未知点的坐标及其中误差。表 4给出了直接利用EGM2008模型计算结果与本文结果的比较值，差值均小于0.3 mm。表 5给出了忽略垂线偏差时求得的未知点的坐标及其中误差。表 6和表 7给出了考虑垂线偏差和忽略垂线偏差时的坐标和中误差差值，差值普遍较大，其中坐标差值最大为-12.0 mm，中误差差值最大为-2.9 mm。表 8给出了基于经验定权时的坐标值及其中误差，与表 1的结果相比，点位中误差明显偏大，差值不到1 mm。表 9给出了基于两种定权方式得出结果的差值，差值小于1 mm。

从以上的成果中可以得出结论如下。

1) 是否考虑垂线偏差，求得的坐标有较大的差异，且无论是将垂线偏差作为未知参数还是用EGM2008模型给出的垂线偏差直接代入观测方程中，解算后的未知参数的精度与不考虑垂线偏差时相比都有很大的提高。因此在GNSS基线网和常规地面网联合平差时，引入垂线偏差参数是非常有必要的。

2) 经与EGM2008模型解算的垂线偏差相比，分量参数符号一致，数量相当，说明将垂线偏差作为未知参数引入平差模型中求解是完全可行的。

本文详细介绍了将垂线偏差设为未知参数时，GNSS基线网与地面常规网观测量误差方程的建立过程，并用实际观测数据进行了解算与分析。在地面网和GNSS网联合平差中引入垂线偏差参数，其解算公式严密，易于程序设计，求解垂线偏差的估计值及其精度评定公式是完全可行的。将垂线偏差作为未知参数纳入平差模型中，消除了垂线偏差对观测值的影响，从而提高了观测值的解算精度及可靠性。