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近年来空气污染增多且危害加重,因此空气污染监测与预报已成为关系国计民生的大事。我国已用空气质量指数(AQI)替代原有的空气污染指数(API),且针对单项污染物还规定了分指数,参与AQI评价的主要污染物为PM2.5、PM10、SO2、NO2、O3、CO。目前, AQI值只能通过分布稀疏的气象站点对整个区域进行有限的采样测量。例如,北京市AQI实时监测站只有12个,武汉市只有10个。这些零散分布的监测站无法提供测量点之外位置的AQI,无法实现区域的全面监测。
基于监测站采样点集计算区域中任意坐标的值,是典型的空间插值问题。现有空间插值算法主要包括线性插值、最临近点插值、多项式插值、最小曲率插值、样条函数插值、反距离加权插值、克里金插值等[1-7]。Xu等借助反距离加权法对长江三角洲的SO2与NO2测量数据进行空间插值[4]。Li等用反距离加权法对美国48个州每天的PM2.5数据进行时空插值[6]。Zou等借助克里金插值法分析德克萨斯州1996年和2002年空气污染的时空变化特征[8]。Narashid等将遥感技术和克里金法结合,基于6个监测点数据生成CO和PM10插值图[10]。刘永伟等用反距离加权法、样条函数法和克里金法计算120个城市API时空分布并对插值结果进行交叉检验,发现克里金法精度最高[12]。Lim等使用克里金法、反距离加权法、最邻近点法得到PM2.5的插值图,通过与真实数据的对比验证了克里金法误差最小[13]。因为克里金法的优点,使其在很多场合得到了广泛应用[14-16],如MRI插值、水面高度测量、土壤湿度测量、地表温度测量等。
对于空气污染监测,用于空间插值的AQI数据是过于稀疏的采样点集,即使克里金算法插值结果的可信度也不够高。究其原因,现有空间插值法在考虑采样点集的影响时,用固定的参数(如反距离加权法的距离指数)或函数(如克里金法的典型模型)描述距离与样本因素,导致距离与样本的作用同质且单一。而在现实中,可能因地势、风向、建筑物遮挡等影响造成样本点对某一空间插值点的作用并不一致,当采样点集过于稀疏时其异质特点更为明显。因此, 需要设计新的空间插值模型,并通过参数表达稀疏插值的异质性以进一步提高插值精度。针对此问题,本文提出了一种基于扩展场强模型的用于稀疏AQI数据的空间插值新算法。
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空间插值的理论假设是分布对象都是空间相关的,即彼此接近的对象往往具有相似的特征。因此,物理学中常用的场强模型适用于空间插值。设Q为点电荷电量,k为常系数,在距离点电荷r处的空间某点产生的电场强度为:
$$ E = \frac{{kQ}}{{{r^2}}} $$ (1) 式中,距离对场强的影响过于单一,而不同类型插值受距离影响的方式往往不同。因此,本文提出了更加普适的扩展场强模型。基于描述空间距离的函数复杂度,模型又分为单参数与双参数两种。
为了描述新模型及其参数,以武汉市AQI监测为例进行说明。武汉市面积1 171.70 km2,共设10个测量点,横坐标经度范围从113.8到114.5,纵坐标纬度范围从30.2到30.7。监测站每小时测量一次,2014年7月某时的AQI值如表 1所示。
表 1 武汉市某时的AQI测量值
Table 1. Monitored AQI of Wuhan at a Time
测量点 经度/(°) 纬度/(°) AQI 东湖梨园 114.371 9 30.573 3 60 汉阳月湖 114.255 2 30.561 8 75 汉口花桥 114.281 9 30.618 4 67 武昌紫阳 114.301 5 30.535 7 69 青山钢花 114.381 2 30.618 8 97 沌口新区 114.134 4 30.470 2 66 汉口江滩 114.305 2 30.586 7 56 东湖高新 114.431 7 30.504 2 90 吴家山 114.135 2 30.633 1 71 沉湖七壕 113.872 0 30.293 7 59 -
在式(1) 中,场强随距离的衰减程度是固定的。因此,增加一个参数c,把场强与距离的关系从固定改为可调。单参数扩展场强模型为:
$$ e = \frac{q}{{{r^2} + c}} $$ (2) 式中,q为空间中某监测点的AQI测量值;e为受q影响在待测点处产生的值;r为待测点与监测点的距离;c为参数,为避免出现r2+c=0时e无穷大情况,设置c>0。设测量点P1与P2的经纬度(经度longitude-lo; 纬度latitude-la)地理坐标分别为(lo1, la1)与(lo2, la2),则两点之间距离$ {r_{12}} = \sqrt {{{\left( {l{o_2} - l{o_1}} \right)}^2} + {{\left( {l{a_2} - l{a_1}} \right)}^2}} $。式(2) 基本表达式$ \frac{1}{{{r^2} + c}} $曲线如图 1所示。由图 1可知,不同c值对场强衰减程度有不同影响。参数c值越小,场强衰减程度越强;c值越大,则场强衰减程度越弱。
设空间中有N个已知AQI测量点,对于空间中任一坐标i,该点受所有AQI测量值影响的空间插值结果为:
$$ {E_i} = \sum\limits_{j = 1}^N {\frac{{{q_j}}}{{{r_i}{{_j}^2} + c}}} $$ (3) 式中,qj是第j个监测点AQI测量值;rij是坐标i与监测点j之间的空间距离;Ei是受N个AQI测量值影响叠加后的值。
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为了找到合适的参数c,进一步分析c值与插值结果精度之间的关系。为描述插值结果精度,采用交叉验证的方法,以测量点j为插值点,计算j点受其他N-1个测量点影响而得到的叠加值Ej,则点j处的测量误差(叠加值与实测值之差)为:
$$ {\varepsilon _j} = {E_j}-{q_j} $$ (4) 依次计算N个测量点处的误差,可以得到参数c对应的均方误差RMSE:
$$ {\rm{RMSE}} = \frac{{\sqrt {\varepsilon _{_1}^{^2} + \varepsilon _{_2}^{^2} + \cdots + \varepsilon _{_N}^{^2}} }}{N} $$ (5) 以表 1数据为例,描述参数c对RMSE的影响。若c值过小,场强衰减程度太强,会导致不同距离样本点产生的影响差别太大;若c值过大,场强衰减程度太弱,会导致不同距离样本点产生的影响差别太小。因此,参数c的取值范围设置为[1.0, 50.0],用来调整参数c采样数量的变化步长设置为0.1,求出每个c值对应的RMSE,可得由490组数据构成的两者之间关系图,如图 2所示。
显然,图 2数据分布具有单峰特点。基于二分查找的思想,采用迭代算法求解最优c值(最小RMSE对应的c值),以伪代码表示的步骤如下。
1) 找到最小RMSE对应的c值c0
2) 初始化查找区间起点cs为c0左邻c值,查找区间终点ce为c0右邻c值
3) while |RMSEcs-RMSEce| < 0.0001
4) 求区间中点$ {c_m} = \frac{{{c_s} + {c_e}}}{2}$
5) if RMSEcs>RMSEce
6) cs=cm
7) else
8) ce=cm
9) end if
10) end while
11) 输出cs或ce,即最优c值
基于上述迭代求解算法,从图 2中得到针对表 1中AQI数据的最优c值为8.96,此时对应的最小RMSE为13.897 7。
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从式(2) 与图 1看出,虽然单参数模型场强随距离的衰减程度可调,但是其影响范围仍然是有限的,即在一定的范围内(如r为-10或10时),场强会衰减到几乎相同的程度。因此,增加第二个参数k用于调整场强影响范围。双参数扩展场强模型为:
$$ e = \frac{q}{{k{r^2} + c}} $$ (6) 为避免出现kr2+c=0时e无穷大的情况,设置k>0。当参数c取最优值时,式(6) 基本表达式$ \frac{1}{{k{r^2} + c}} $曲线如图 3,可见不同k值对场强范围有不同程度的影响。参数k值越小,场强影响范围越大;参数k值越大,则场强影响范围越小。
与式(3) 类似,基于双参数模型,空间中任一坐标处受所有已知测量点影响的叠加AQI值,即空间插值计算公式为:
$$ {E_i} = \sum\limits_{j = 1}^N {\frac{{{q_j}}}{{k{r_i}{{_j}^2} + c}}} $$ (7) -
为了找到合适的参数组合c与k,分析参数c、k与插值结果精度之间的关系。若k值过小,场强影响范围太大,会导致不同距离样本点产生的影响差别太小;若k值过大,场强影响范围太小,会导致不同距离样本点产生的影响差别太大。同样以表 1数据为例,设参数c取值范围为[1.0, 50.0]且变化步长为0.1,参数k取值范围为[1.0, 50.0]且变化步长为0.1。循环求出每一对c、k值对应的RMSE,可得由490×490组数据构成的三者之间的关系图,如图 4所示。
显然,图 4中RMSE数据有最低点。为了求解参数c、k的最优组合(对应着最小RMSE值),采用了迭代双线性插值算法。如图 5所示,以伪代码表示的步骤如下。
1) 找到最小RMSE对应的(k0, c0);
2) 得到(k0, c0)的4个相邻坐标点:
Q11(k0-0.1, c0-0.1)、Q12(k0-0.1, c0+0.1)、Q22(k0+0.1, c0+0.1)、Q21(k0+0.1, c0-0.1);
3) while |RMSE(k0, c0)-RMSE(k, c)| < 0.000 1
4) 沿k轴方向线性插值:
$$ \frac{{{k_2}-k}}{{{k_2}-{k_1}}} \times {Q_{11}} + \frac{{k-{k_1}}}{{{k_2} - {k_1}}} \times {Q_{21}}; $$ 5) 沿c轴方向线性插值:
$$ \frac{{{c_2}-c}}{{{c_2}-{c_1}}} \times {Q_{11}} + \frac{{c-{c_1}}}{{{c_2} - {c_1}}} \times {Q_{12}}; $$ 6) 从插值中找到新的最小RMSE及其对应参数组合(k, c);
7) 以(k, c)为新(k0, c0)并获取4个新相邻坐标点;
8) end while;
9) 输出最优组合(k, c)。
基于上述算法,从图 4中得到针对表 1中AQI数据的最优c、k组合为c=8.62,k= 6.40,此时对应的最小RMSE为13.678 2。
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本文选取武汉、北京、天津、郑州等4个城市的AQI值作为测试数据,其中,北京共有12个测量点,天津共有14个测量点,郑州共有9个测量点。针对每个城市监测点的AQI,从2014-08~2015-04中选取了50个时刻的监测值作为实验数据。采用交叉验证法,对每个城市的AQI监测值,依次去掉每个站点的数据,用剩余站点的监测值作为样本数据,插值得到所去掉站点的AQI值,然后基于该站点的插值与实测值得到误差。除了式(5) 的均方误差RMSE,还采用了以下两种评价指标。
1) 绝对误差均值(AME):
$$ {\rm{AME}} = \frac{{\sum\limits_{i = 1}^N {\left| {{E_i}-{q_i}} \right|} }}{N} $$ (8) 2) 平均误差估计百分比(PAEE):
$$ {\rm{PAEE}} = \frac{{\sum\limits_{i = 1}^N {{{\left( {{E_i}-{q_i}} \right)}^2}} }}{{N\cdot\bar q}} $$ (9) 式中,q为所有监测点测量值的均值。
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基于每个城市的50组实验数据,采用单参数分析法计算每组数据的最优参数c,实验结果如图 6所示,横坐标为50次实验,纵坐标为最优c值。可见,不同城市的最优c值不同,但在同一城市中,最优c值是相对稳定的。原因在于插值模型的场强叠加效果取决于样本点分布,而某一区域中AQI监测点的分布是固定的。实际应用中可以根据少量样本数据计算出任何区域对应的最优c值。基于每个城市最优c值的均值计算,可得平均后的武汉市最优c值为8.964 2,北京市最优c值为10.944 6,天津市最优c值为12.972 0,郑州市最优c值为8.004 0。
基于每个城市的50组实验数据,采用双参数分析法计算每组数据的最优c、k组合,实验结果如图 7所示。可见,同一城市最优c、k组合(图 7中圆点)的分布有明显单调性且均在一定范围之内,可以使用低阶多项式拟合。本文尝试了一次与二次多项式拟合,基于拟合结果R值与RMSE的比较,发现二次多项式拟合程度更好,偏差更小。因此,选择二次多项式(图 7中曲线)表达最优c、k参数组合的分布,并可计算50组实验数据之外的c、k值。以北京市为例,从[8.0, 12.0]范围内任取一个c值,通过拟合的多项式计算k值,所得c、k组合(如c= 10.00,k=11.70) 即为一组可用的最优双参数。同时发现,当k=1时,对应的c值就是单参数模型的最优c值,此时的双参数模型(式(6))等同于单参数模型(式(2))。
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为了评价扩展场强模型的插值精度,将克里金插值3种典型模型(指数模型、高斯模型、球状模型)与本文算法类似的反距离加权法进行了对比。基于表 1数据,计算出各模型精度评价指标,如表 2所示。可见已有方法中克里金球状模型精度最高,但仍低于本文提出的扩展场强模型,而扩展场强模型的双参数法精度高于单参数法。
插值方法 RMSE AME PAEE 克里金高斯模型 15.804 0 13.265 5 3.518 0 克里金指数模型 18.029 0 14.580 4 4.578 0 反距离加权法 14.495 0 11.174 5 2.959 2 克里金球状模型 14.001 8 10.888 9 2.761 0 扩展场强单参模型 13.897 7 10.745 3 2.720 0 扩展场强双参模型 13.678 2 10.312 5 2.635 0 针对每个评价指标,基于每个城市的50组数据,计算各插值模型对应的50个评价值,然后计算其平均值。如图 8所示,在RMSE、AME、PAEE的评价指标均值柱状图中,对应于每个城市,从左到右依次为克里金高斯模型、指数模型、球状模型、反距离加权法、扩展场强单参数模型与双参数模型。可见,克里金球状模型、反距离加权法、扩展场强模型均有较好表现,而扩展场强双参数模型总能得到误差最小的插值结果。
图 8 基于不同城市50组数据的各模型精度比较
Figure 8. Precision Comparison of the Methods on 50 Sets of Data from Different Cities
扩展场强单参模型训练时只需获取最优c值,计算速度较快;双参模型训练时需要获取最优c、k组合,计算速度较慢。例如,在Intel i3 CPU 2.53 GHz,4.00 G RAM与Matlab R2011b配置电脑上,单参数分析耗时2.15 s,双参数分析耗时344.80 s。而在稀疏插值时,对表 1所有数据逐个处理,单参插值计算总耗时0.009 8 s,双参插值总耗时0.010 5 s,两者的计算速度差别很小,但双参模型插值效果更优。因此,在模型参数已经确定的情况下,应使用双参数模型以获得更高精度的插值;在模型参数未知且需尽快得到插值结果的情况下,可以使用训练速度较快的单参数模型。
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空气污染通过AQI指数定量描述,但AQI监测点分布过于稀疏,无法提供监测点之外位置的AQI值。而现有的克里金等空间插值法,对稀疏AQI的插值精度不够高。本文基于物理学场强模型,提出了包括单参数与双参数的扩展场强插值新算法,以有效表达稀疏插值的异质性。单参数模型引入参数c控制场强衰减程度,通过c与均方误差的关系图并借助二分查找法计算最优c值。双参数模型加入参数k调整场强影响范围,通过c、k与均方误差的关系图并借助迭代双线性插值法求解最优c、k组合。为验证新模型的有效性,以北京、天津、武汉、郑州4个城市9个月的50组AQI监测值为实验数据,并以RMSE、AME、PAEE为评价指标进行交叉验证。实验证明同一城市中最优c值是相对稳定的,且最优c、k组合分布能够通过二次多项式拟合;扩展场强模型能够得到更好的插值结果,且双参数模型具有最高的插值精度。
本文算法可推广至其他类型与维度的空间数据,如PM2.5、降水量及3D坐标数据等。当然,新方法针对区域中采样点数目与位置均固定的情况,如果换成另一区域则模型参数需重新训练。因此,本文算法不适用于采样点数目或位置持续变化的数据插值。
New Spatial Interpolation Algorithm for Sparse AQI Based on Extended Field Intensity Model
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摘要: 针对空气质量指数(AQI)监测点分布稀疏,现有空间插值算法精度不高问题,提出了新的扩展场强模型与算法。扩展场强单参数模型引入参数c控制场强衰减程度,通过c与误差关系图并借助二分查找法计算最优c值。扩展场强双参数模型加入参数k调整场强影响范围,通过c、k与误差关系图并借助迭代双线性插值法求解最优c、k组合。以北京、天津、武汉、郑州四个城市2014-08~2015-04的50组AQI监测值为实验数据,采用交叉验证法并以RMSE、AME、PAEE为评价指标,实现了单参与双参模型及参数选取,然后与克里金法及类似的反距离加权法进行对比。实验证明,扩展场强模型能够得到针对稀疏AQI的更高插值精度,且双参数模型精度高于单参数模型。本文算法适用于采样点数目与位置均固定的稀疏数据插值,并可推广至其他类型与维度的空间数据。Abstract: The monitoring stations for air quality index (AQI) are sparsely distributed, and spatial interpolations are less accurate from the existing methods. A new algorithm is proposed based on the extended field intensity model. The single parameter model controls intensity attenuation by parameter c, while the optimal c value is computed from the relationship between c and deviation data with binary search method. The double parameters model adjusts intensity range by additional parameter k, while the optimal c and k are computed from the relationship among c, k and deviation data with iterative bilinear interpolation method. The 50 monitored sets of AQI value are taken as experimental data from Beijing, Tianjin, Wuhan and Zhengzhou Between August 2014 and April 2015. Based on cross validation and evaluation criteria RMSE, AME, PAEE, both single parameter model and double parameters model are implemented with their optimal parameters, then the extended field intensity model is compared with Kriging and inverse distance weighted methods. Experimental results prove that the precision of AQI interpolation from our algorithm is higher, while double parameters model obtains the highest precision. Our algorithm is suitable for spatial interpolation of sparse data with fixed number and locations, and can be used for spatial data with other types and dimensions.
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Key words:
- air quality index /
- spatial interpolation /
- sparse data /
- field intensity model
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表 1 武汉市某时的AQI测量值
Table 1. Monitored AQI of Wuhan at a Time
测量点 经度/(°) 纬度/(°) AQI 东湖梨园 114.371 9 30.573 3 60 汉阳月湖 114.255 2 30.561 8 75 汉口花桥 114.281 9 30.618 4 67 武昌紫阳 114.301 5 30.535 7 69 青山钢花 114.381 2 30.618 8 97 沌口新区 114.134 4 30.470 2 66 汉口江滩 114.305 2 30.586 7 56 东湖高新 114.431 7 30.504 2 90 吴家山 114.135 2 30.633 1 71 沉湖七壕 113.872 0 30.293 7 59 -
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