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数字高程模型(digital elevation model，DEM)是空间数据基础设施和数字地球的重要组成部分[1]，在涉及地理空间定位的科学研究和工程实践中都有广泛的应用。对DEM进行全面的精度分析和质量评价是保证其正确应用的基本前提。目前，国家测绘行业标准(CH/T 1015.2-2007, CH/T 9009.2-2010) 及科学研究领域[2-5]仍然广泛采用高程中误差作为DEM的质量评价指标。这种精度指标很难对DEM质量做出正确分析与合理评价。因为DEM是自然地表的数学逼近，其误差来源于离散采样产生的高程误差和插值拟合产生的逼近误差[6]。用高程中误差来讨论DEM逼近误差既缺乏理论依据[7]，也难以反映DEM误差的空间差异[8]。
针对DEM高程中误差评价指标的不足，汤国安等[9]提出了地形描述误差模型，用以描述高程采样误差为零的条件下模拟地面与实际地面之差异。该模型将窗口分析法提取的栅格单元四个角点的高程均值作为中点高程的实际真值并不准确。朱长青等[10]提出重构等高线模型，用重构等高线偏移误差面积与原等高线的长度比评估DEM的整体误差。该模型基于等高线进行计算，忽略了等高距对DEM整体的误差的影响。任志峰等[11]提出了Strahler积分计算模型, 将DEM误差定义为实验DEM与真值DEM的Strahler积分差。但该模型的真值DEM需由数学模拟得到，不能评价非等高线生成的DEM，实用性较差。因此，在DEM精度评估模型问题上，还需作进一步深入探索。
本研究在提出DEM填挖方误差概念和计算方法的基础上，以不同的地貌类型作为试验样区，运用统计与回归分析的理论与方法，揭示了DEM的填挖方误差与DEM分辨率以及地形平均坡度之间的定量关系。
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DEM精度是待评价DEM对真实地形起伏表达的准确程度。本研究在假定DEM高程采样误差为零的条件下，将DEM的填挖方误差(简称Ec)定义为待评价DEM与参考DEM在同一区域的三维体积差异与该区域面积之商。
如图 1所示，在同一地理范围(面积为A)内，设参考DEM相对基准面的三维体积为V0，待评价DEM相对基准面的三维体积为V。那么V与V0的三维体积差异应包括填方Vfill与Vcut挖方两部分。其中填方为待评价DEM高出参考DEM的体积部分，挖方为待评价DEM低于参考DEM的体积部分，用集合方法可表达为：
图 1 填挖方示意图
Figure 1. Diagram of Cut Fill Error
$$ \left\{ \begin{array}{l} {V_{{\rm{fill}}}} = V-V \cap {V_0}\\ {V_{{\rm{cut}}}} = {V_0}-V \cap {V_0} \end{array} \right. $$ (1) 将Vfill与Vcut相加即为V与V0的体积差异：
$$ {V_c} = {V_{{\rm{fill}}}} + {V_{{\rm{cut}}}} $$ (2) 根据定义，可得待评价DEM的填挖方误差数学表达为：
$$ {E_c} = \frac{{{V_c}}}{A} = \frac{{V \cup {V_0}-V \cap {V_0}}}{A} $$ (3) 可见，待评价DEM与参考DEM在表达地形上所存在的任何差异都会最终体现在Ec上，只有地形表达完全一致时，Ec才为零，因此将Ec作为DEM整体精度的评价标准是科学的。而求得待评价DEM相对参考DEM的填方体积和挖方体积又是计算填挖方误差Ec的关键。
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在实际生产应用中，由于分辨率的限制，DEM不可能完全表达真实地表起伏。因此对于待评价DEM的填挖方误差，只能选用更高精度的DEM作为参考DEM进行计算。其中栅格DEM体积可以视为每个栅格高程点对应的长方体的体积的集合。其中每个长方体的底面为正方形(边长为DEM的分辨率)，高为对应栅格高程点的高程[12]。
为了方便求得待评价DEM和参考DEM的体积差异，需要对参考DEM和待评价DEM的栅格单元进行平均分割，使分割之后的参考DEM和待评价DEM的分辨率相同，同时分割之后的栅格单元的高程与对应原始DEM栅格单元高程保持一致。
如图 2所示，对于分辨率为0.5 m的DEM 1以及分辨率为0.4 m的DEM 2，可采用0.1 m为单位对两个DEM进行平均分割。事实上，对于分辨率为d，长为S0，宽为T0的待评价DEM和同一范围的分辨率为D的参考DEM(其中d的小数位数为m，D的小数位数为n)，待评价DEM和参考DEM分割之后的最佳分辨率Δd为：
图 2 DEM平均分割
Figure 2. DEM Segmentation
$$ \Delta d = \frac{{(d \times {{10}^m}, D \times {{10}^n})}}{{{{10}^{{\rm{max}}\left( {m, n} \right)}}}}{\rm{ }} $$ (4) 经过平均分割之后，待评价DEM与参考DEM之间的体积差异即可通过计算每个分割后的栅格单元的体积差异之和得到。设分割后的DEM行列数分别为s和t，则有：
$$ {V_c} = \sum\limits_{i = 1}^s {\sum\limits_{j = 1}^t {} } \Delta {d^2}\left| {{h_{ij}}-{H_{ij}}} \right| $$ (5) 式中，hij和Hij分别为分割后栅格单元对应在待评价DEM和参考DEM中的高程；s=S0/Δd；t=T0/Δd。那么结合式(3)，待评价DEM的填挖方误差为：
$$ {E_c} = \frac{1}{{st}}\sum\limits_{i = 1}^s {\sum\limits_{j = 1}^t {\left| {{h_{ij}}-{H_{ij}}} \right|} } $$ (6) 从式(6) 可见，待评价DEM的填挖方误差为按照本文方式平均分割之后的所有栅格单元的高程差绝对值的平均。
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为了进一步探究DEM填挖方误差和地形平均坡度以及DEM分辨率之间的关系。本文在中国长白山地区选取了多组实验样区进行了实验。实验样区覆盖了平原、丘陵、山地等多种地貌类型，并按照DEM分辨率80 m、60 m、40 m、20 m分为4组，并在每组分辨率的DEM区域范围内选取不同平均坡度的实验样区，坡度范围从1.95°~21.32°之间均匀覆盖。
同时，本文选用了同一地区的1 m的高分辨率DEM作为参考DEM进行计算。
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采用前文所述的平均分割方法，对各个样区的DEM填挖方误差进行了计算，得到不同地形分辨率、不同地形平均坡度条件下的DEM填挖方误差结果，具体见表 1。
表 1 不同分辨率和平均坡度下DEM的Ec值
Table 1. Ec Under Different Average Slope and Resolution
80 m 60 m 40 m 20 m 平均坡度 Ec 平均坡度 Ec 平均坡度 Ec 平均坡
度Ec 1.95 0.81 1.97 0.52 2.09 0.42 2.27 0.21 3.51 1.39 3.53 0.96 3.66 0.69 3.84 0.35 6.41 2.56 6.45 1.80 6.65 1.27 6.94 0.63 8.30 3.27 8.34 2.32 8.58 1.61 8.90 0.81 10.28 4.16 10.32 2.92 10.67 2.04 11.12 1.02 11.90 4.82 11.96 3.40 12.34 2.36 12.84 1.19 13.46 5.31 13.50 3.81 13.82 2.62 14.23 1.31 14.70 5.81 14.78 4.19 15.06 2.87 15.46 1.44 15.54 6.19 15.60 4.46 15.89 3.06 16.30 1.54 17.14 7.02 17.19 4.99 17.62 3.45 18.17 1.73 19.32 7.86 19.39 5.65 19.82 3.88 20.36 1.94 20.46 8.12 20.53 5.93 20.87 4.05 21.32 2.03 对数据进行分析可知，不同分辨率地形下的DEM填挖方误差与平均坡度呈现良好的线性关系。显然，当地形平均坡度为零时，地形绝对平坦，填挖方误差为零。因此采用正比例函数模型y=kx对数据进行回归分析。分析结果如图 3所示。
图 3 Ecf值的线性回归结果
Figure 3. Linear Regression Result of Ecf
可见正比例函数模型在不同分辨率条件下都有非常好的拟合结果，确定系数都在99.87%以上。因此在同一DEM分辨率下，填挖方误差与地形平均坡度呈正比关系。
进一步分析发现，不同地形的分辨率和比例系数k也呈现较好的线性关系。同时，当地形分辨率无限高时，填挖方误差不存在，此时系数k为零。因此也可用正比例函数模型对数据进行回归分析。结果如图 4所示，拟合结果的确定系数为99.83%。
图 4 比例系数与地形分辨率的线性回归结果
Figure 4. Linear Regression of k with DEM Resolution
综合以上结果，可得DEM填挖方误差的定量估算模型为：
$$ {E_c} = 0.004\;8 \cdot R \cdot S $$ (7) 式中，R和S分别表示DEM分辨率与平均坡度。
为了检验估算模型的准确性，本文选择滇西南中高山地区的DEM数据作为检验样区，计算分辨率分别为100 m、70 m、50 m、30 m、10 m的DEM的填挖方误差。通过与定量方程计算结果对比，发现定量方程对4个检验样区估算准确性分别为95.85%、97.85%、98.51%、99.04%、98.27%，可见该定量方程具有良好的误差估算效果。在应用中，可以针对不同的地貌类型，通过DEM误差的限差来推算适宜的DEM分辨率。
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本文提出的DEM填挖方误差模型是DEM对地形模拟表面表达精确程度的科学度量，弥补了传统高程中误差模型在描述DEM精度方面的不足。
DEM分辨率和地形平均坡度对DEM填挖方精度的影响呈正比例关系。通过统计与回归分析得到的定量计算模型，具有良好的估算精度，为确定一定条件下满足精度要求的DEM适宜分辨率提供了依据。
本文的DEM填挖方误差计算过程中选用了高分辨率的DEM作为参考DEM。然而参考DEM也会存在一定的填挖方误差，造成计算结果的不精确，因此本文所得到的只是定量的估算模型。如何消减或消除参考DEM引入的误差值得进一步深入研究。
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摘要: 针对DEM高程中误差评价指标的不足，提出了一种基于填挖方分析的DEM精度评价模型以及计算方法，将DEM填挖方误差Ec定义为待评价DEM与参考DEM在同一区域的三维体积差异和与该区域面积之商。探究了DEM填挖方误差和DEM分辨率R以及地形平均坡度S之间的关系，得到DEM填挖方误差的定量估算模型为Ec=0.004 8·R·S。实验表明，模型估算精度达95.85%以上。该模型为在不同地形条件下，确定满足限差要求的DEM分辨率提供了依据。Abstract: The traditional DEM accuracy evaluation models have some defects in scientificity and applicability. For instance, the wisely used elevation mean error model only shows the overall differences in elevation in the given area, but ignores the fact that DEM representative error still exists even when there is no difference in elevation between a demo DEM and an reference DEM. This research puts forward a novel DEM accuracy evaluation model based on cut fill method in GIS. The DEM cut fill error is defined as the volumetric differences between the DEM and reference DEM divided by the area of the DEM region. Based on the concept and calculation method of DEM cut fill error, we then explored the relationship between Ec and DEM resolution R and the average terrain slope S, in order to find out how DEM resolution and DEM average slope affect the DEM accuracy. Experiments are carried out based on reference DEM with one meter resolution in different landscapes including plains, hills and mountains. We calculate the DEM cut fill error of every DEM part referencing to accurate DEM with our proposed calculation method. Together with the resolution and average terrain slope of every DEM part, quantitative calculation model is found to calculate the DEM cut fill error, which is expressed as Ec=0.004 8·R·S. Finally, further verification experimental results show that the estimation accuracy to predict DEM cut fill error of the quantitative model is more than 95.85%. This model is useful in deciding proper DEM resolution to meet the tolerances of error under different terrain conditions.
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Key words:
- cut fill method /
- digital elevation model /
- accuracy evaluation /
- 3D analyst /
- accuracy model
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表 1 不同分辨率和平均坡度下DEM的Ec值
Table 1. Ec Under Different Average Slope and Resolution
80 m 60 m 40 m 20 m 平均坡度 Ec 平均坡度 Ec 平均坡度 Ec 平均坡
度Ec 1.95 0.81 1.97 0.52 2.09 0.42 2.27 0.21 3.51 1.39 3.53 0.96 3.66 0.69 3.84 0.35 6.41 2.56 6.45 1.80 6.65 1.27 6.94 0.63 8.30 3.27 8.34 2.32 8.58 1.61 8.90 0.81 10.28 4.16 10.32 2.92 10.67 2.04 11.12 1.02 11.90 4.82 11.96 3.40 12.34 2.36 12.84 1.19 13.46 5.31 13.50 3.81 13.82 2.62 14.23 1.31 14.70 5.81 14.78 4.19 15.06 2.87 15.46 1.44 15.54 6.19 15.60 4.46 15.89 3.06 16.30 1.54 17.14 7.02 17.19 4.99 17.62 3.45 18.17 1.73 19.32 7.86 19.39 5.65 19.82 3.88 20.36 1.94 20.46 8.12 20.53 5.93 20.87 4.05 21.32 2.03 
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图(4) / 表(1)
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