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基于粗集的多尺度空间拓扑关系不确定性定量评价模型

牛继强 徐丰 姚高伟 樊勇 林昊

牛继强, 徐丰, 姚高伟, 樊勇, 林昊. 基于粗集的多尺度空间拓扑关系不确定性定量评价模型[J]. 武汉大学学报 ● 信息科学版, 2017, 42(6): 756-761, 781. doi: 10.13203/j.whugis20140904
引用本文: 牛继强, 徐丰, 姚高伟, 樊勇, 林昊. 基于粗集的多尺度空间拓扑关系不确定性定量评价模型[J]. 武汉大学学报 ● 信息科学版, 2017, 42(6): 756-761, 781. doi: 10.13203/j.whugis20140904
NIU Jiqiang, XU Feng, YAO Gaowei, FAN Yong, LIN Hao. Quantitative Evaluation Model of the Uncertainty of Multi-scale Space Topological Relations Based on Rough-Set[J]. Geomatics and Information Science of Wuhan University, 2017, 42(6): 756-761, 781. doi: 10.13203/j.whugis20140904
Citation: NIU Jiqiang, XU Feng, YAO Gaowei, FAN Yong, LIN Hao. Quantitative Evaluation Model of the Uncertainty of Multi-scale Space Topological Relations Based on Rough-Set[J]. Geomatics and Information Science of Wuhan University, 2017, 42(6): 756-761, 781. doi: 10.13203/j.whugis20140904

基于粗集的多尺度空间拓扑关系不确定性定量评价模型

doi: 10.13203/j.whugis20140904
基金项目: 

国家自然科学基金 41201387

国家自然科学基金 41001219

河南省高等学校青-骨干教师资助计划 2012-GGJS-127

河南省高等学校重点科研项目 15A170012

详细信息
    作者简介:

    牛继强, 博士, 副教授, 现从事空间数据不确定性与空间数据挖掘等方面的研究。njq8196@163.com

    通讯作者: 徐丰, 副教授。E-mail:xu-f88@163.com
  • 中图分类号: P208

Quantitative Evaluation Model of the Uncertainty of Multi-scale Space Topological Relations Based on Rough-Set

Funds: 

The National Natural Science Foundation of China 41201387

The National Natural Science Foundation of China 41001219

Youth Core Teachers Funding Scheme of Universities in Henan Province 2012-GGJS-127

Key Projects of Universities in Henan Province 15A170012

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    Author Bio:

    NIU Jiqiang, PhD, associate professor, specializes in spatial data uncertainty, spatial data mining.njq8196@163.com

    Corresponding author: XU Feng, associate professor. E-mail:xu-f88@163.com
图(3) / 表(3)
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出版历程
  • 收稿日期:  2015-07-21
  • 刊出日期:  2017-06-05

基于粗集的多尺度空间拓扑关系不确定性定量评价模型

doi: 10.13203/j.whugis20140904
    基金项目:

    国家自然科学基金 41201387

    国家自然科学基金 41001219

    河南省高等学校青-骨干教师资助计划 2012-GGJS-127

    河南省高等学校重点科研项目 15A170012

    作者简介:

    牛继强, 博士, 副教授, 现从事空间数据不确定性与空间数据挖掘等方面的研究。njq8196@163.com

    通讯作者: 徐丰, 副教授。E-mail:xu-f88@163.com
  • 中图分类号: P208

摘要: 空间拓扑关系不确定性的定量评价可为多尺度拓扑关系一致性的自动评价、空间推理与空间查询等应用的可靠性提供依据。定义了基于几何度量的拓扑距离,构建了拓扑关系不确定性的粗集表达模型;提出了不确定性粗集表达中拓扑距离的量化方法;进而提出了基于粗集的多尺度空间拓扑关系不确定性度量指标。实例研究证明了本文提出模型的科学性与合理性,该方法可用于多尺度表达过程中引起的拓扑关系不确定性的定量评价。

English Abstract

牛继强, 徐丰, 姚高伟, 樊勇, 林昊. 基于粗集的多尺度空间拓扑关系不确定性定量评价模型[J]. 武汉大学学报 ● 信息科学版, 2017, 42(6): 756-761, 781. doi: 10.13203/j.whugis20140904
引用本文: 牛继强, 徐丰, 姚高伟, 樊勇, 林昊. 基于粗集的多尺度空间拓扑关系不确定性定量评价模型[J]. 武汉大学学报 ● 信息科学版, 2017, 42(6): 756-761, 781. doi: 10.13203/j.whugis20140904
NIU Jiqiang, XU Feng, YAO Gaowei, FAN Yong, LIN Hao. Quantitative Evaluation Model of the Uncertainty of Multi-scale Space Topological Relations Based on Rough-Set[J]. Geomatics and Information Science of Wuhan University, 2017, 42(6): 756-761, 781. doi: 10.13203/j.whugis20140904
Citation: NIU Jiqiang, XU Feng, YAO Gaowei, FAN Yong, LIN Hao. Quantitative Evaluation Model of the Uncertainty of Multi-scale Space Topological Relations Based on Rough-Set[J]. Geomatics and Information Science of Wuhan University, 2017, 42(6): 756-761, 781. doi: 10.13203/j.whugis20140904
  • 空间拓扑关系在GIS空间数据建模、空间数据库查询、空间分析与推理、制图综合、地图理解、自然语言界面标准化等方面具有重要的作用[1, 2],是当前地理信息科学研究领域中的热点问题。由于空间数据具有不确定性,拓扑关系同样也存在不确定性。近年来,空间拓扑关系的不确定性已引起国内外学者的广泛关注。目前,描述不确定实体之间拓扑关系的模型主要可以分为两类:① 不确定拓扑关系的精化表达模型[3-6];② 不确定拓扑关系的最可能识别[7-10]。随着GIS的发展,在空间数据的多尺度表达中,空间实体的拓扑关系可以满足一致性、等价性或相似性的要求[11-13],但是其不确定性问题仍然是不容忽视的,并且需要进行定量化的研究以解决其应用需求。

    粗集是一种可以用于描述、推理、量化不确定性的数学方法[8-14]。本文拟以粗集为基础研究多尺度表达中拓扑关系的不确定性问题,针对空间面状实体位置不确定性的变化研究多尺度表达中拓扑关系的不确定性,旨在建立尺度空间拓扑关系不确定性定量评价模型。该模型可以为空间数据的多尺度表达提供拓扑关系分析和评价手段,为地图自动综合中空间关系的维护提供有关的理论基础。此外该模型还可以用于检验和维护多尺度空间数据质量,为多尺度空间数据拓扑关系一致性的自动评价、空间推理与空间查询等应用的可靠性提供依据。

    • 拓扑关系之间的关联性可以用拓扑距离来度量[17]。用拓扑关系的概念邻域计算的拓扑距离是离散的整数[5, 13, 17]。事实上,即使同一种拓扑类型,其相离距离的远近、相交面积的大小等也是有差异的,而且在GIS空间分析中这种差异是非常重要的。本文采用几何度量参数对拓扑距离进行扩展,提出基于几何度量的拓扑距离,使拓扑距离不再是离散的整数,而是连续变化的小数。几何度量参数包括2个分割度量参数(CBCA)和3个接近性度量参数(ICDEBCEC)[18],这5个几何度量参数的取值范围皆为[0, 1],每种拓扑关系与几何度量参数的对应关系如表 1

      表 1  拓扑关系类型与几何度量参数的对应关系

      Table 1.  Corresponding Relations Between Topological Relations and Geometric Measure Parameters

      基本拓扑
      关系
      DCECPOTPP-1NTPP-1TPPNTPPEQ
      几何度
      量参数
      DEBCBCACBCECCBIC-

      定义1 对于两个拓扑关系T1T2,称:

      $$D\left( {{T}_{1}},{{T}_{2}} \right)={{m}_{1}}+{{m}_{2}}+d\left( {{T}_{1}},{{T}_{2}} \right)-1$$ (1)

      $$D\left( {{T}_{1}},{{T}_{2}} \right)={{m}_{1}}-{{m}_{2}}+d\left( {{T}_{1}},{{T}_{2}} \right)$$ (2)

      T1T2之间的基于几何度量的拓扑距离。

      式中,T1T2均表示拓扑关系名称,m1m2分别表示与拓扑关系T1T2对应的几何度量参数的量值,d(T1, T2)表示T1T2之间的基于概念邻域的拓扑距离[17]D(T1, T2)表示T1T2之间的基于几何度量的拓扑距离。

      (1) 如果T1T2为同一种拓扑关系,则:

      $$D\left( {{T}_{1}},{{T}_{2}} \right)=\left| {{m}_{1}}-{{m}_{2}} \right|$$ (3)

      例如两对面状实体均为相离关系,但是距离不同,则它们之间基于几何度量的拓扑距离为:

      $$D\left( D{{C}_{1}},D{{C}_{2}} \right)=\left| DE{{B}_{1}}-DE{{B}_{2}} \right|$$

      (2) 如果T1T2为不相同的拓扑关系,当T1T2其中一个为相离关系时,用式(1) 计算,否则用式(2) 计算。

      表 1对应的几何度量参数和文献[17]中对应的拓扑距离代入式(1) 或式(2),得到基于几何度量的拓扑距离的计算公式(表 2);根据m1m2的取值范围[0, 1]进行计算得到两个面状实体的基于几何度量的拓扑距离取值范围(表 3)。

      表 2  8种基本拓扑关系之间基于几何度量的拓扑距离的计算公式

      Table 2.  Calculation Formula of Topological Distance on Basic Topological Relations Based on the Geometric Measure

      D(-,-)DCECPOTPP-1NTPP-1TPPNTPPEQ
      DC|DEB1-DEB2|DEB1+CB2DEB1+CA2+1DEB1+CB2+2DEB1+CEC2+3DEB1+CB2+2DEB1+IC2+3DEB1+3
      ECCB1+DEB2|CB1-CB2|CA2-CB1+1CB2-CB1+2CEC2-CB1+3CB2-CB1+2IC2-CB1+33-CB1
      POCA1+DEB2+1CA1-CB2+1|CA1-CA2|CB2-CA1+1CEC2-CA1+2CB2-CA1+1IC2-CA1+22-CA1
      TPP-1CB1+DEB2+2CB1-CB2+2CB1-CA2+1|CB1-CB2|CEC2-CB1+1CB2-CB1+2IC2-CB1+22-CB1
      NTPP-1CEC1+DEB2+3CEC1-CB2+3CEC1-CA2+2CEC1-CB2+1|CEC1-CEC2|CB2-CEC1+2IC2-CEC1+22-CEC1
      TPPCB1+DEB2+2CB1-CB2+2CB1-CA2+1CB1-CB2+2CB1-CEC2+2|CB1-CB2|IC2-CB1+12-CB1
      NTPPIC1+DEB2+3IC1-CB2+3IC1-CA2+2IC1-CB2+2IC1-CEC2+2IC1-CB2+1|IC1-IC2|2-IC1
      EQDEB2+33-CB22-CA22-CB22-CEC22-CB22-IC20

      表 3  8种基本拓扑关系之间基于几何度量的拓扑距离的取值范围

      Table 3.  Topological Distance Range of Basic Topological Relations Based on the Geometric Measure

      D(-,-)DCECPOTPP-1NTPP-1TPPNTPPEQ
      DC[0,1)(0,2)(1,3)(2,4)(3,5)(2,4)(3,5)(3,4)
      EC(0,2)[0,1)(0,2)(1,3)(2,4)(1,3)(2,4)(2,3)
      PO(1,3)(0,2)[0,1)(0,2)(1,3)(0,2)(1,3)(1,2)
      TPP-1(2,4)(1,3)(0,2)[0,1)(0,2)(1,3)(1,3)(1,2)
      NTPP-1(3,5)(2,4)(1,3)(0,2)[0,1)(1,3)(1,3)(1,2)
      TPP(2,4)(1,3)(0,2)(1,3)(1,3)[0,1)(0,2)(1,2)
      NTPP(3,5)(2,4)(1,3)(1,3)(1,3)(0,2)[0,1)(1,2)
      EQ(3,4)(2,3)(1,2)(1,2)(1,2)(1,2)(1,2)0
    • 设面状实体A为参照目标,面状实体B为空间查询和分析对象,AB的位置数据均含有不确定性。利用AB的顶点方差,可求得AB误差带的内外边界线方程[19, 20]。从而A误差带的内边界线所封闭的区域为A的下粗近似集AA误差带的外边界线所封闭的区域为A的上粗近似集A(如图 1);同理可得到B的下粗近似集B和上粗近似集[14]

      图  1  空间面状实体粗集表达

      Figure 1.  Rough Set Representation of Spatial Surface Entities

      多尺度表达中,当尺度扩展时,面状实体的边界需要进行化简,简化后面状实体顶点和边界的不确定性值可按节点影响法(VIM)[21]、最大距离法[22]或综合不确定性[23]等方法计算出来,并可建立其误差环及误差环的边界线方程。因此,按照不确定实体粗集表达的方法,可以得出任意尺度上面状实体位置不确定性的粗集模型。

    • 对于任意两个面状实体AB,其空间拓扑关系可用4-交模型、9-交模型、RCC-8模型或4-交差模型等[24-26]进行计算,本文以4-交模型为例,即

      $$T={{R}_{4}}\left( A,B \right)=\left( \begin{matrix} \partial A\cap \partial B&\partial A\cap {{B}^{0}} \\ {{A}^{0}}\cap \partial B&{{A}^{0}}\cap {{B}^{0}} \\ \end{matrix} \right)$$ (4)

      式中,A0∂AA的内部和边界; B0∂BB的内部和边界。

      根据粗集表达方法,式(4) 可转换为4个4-交矩阵来表示AB可能的拓扑关系:

      $${{R}_{4}}\left( \underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle-}$}}{A},\text{ }\underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle-}$}}{B} \right)=\left[ \begin{matrix} \partial \underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle-}$}}{A}\cap \partial \underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle-}$}}{B}&\partial \underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle-}$}}{A}\cap {{{\underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle-}$}}{B}}}^{0}} \\ {{{\underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle-}$}}{A}}}^{0}}\cap \partial \underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle-}$}}{B}&{{{\underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle-}$}}{A}}}^{0}}\cap {{{\underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle-}$}}{B}}}^{0}} \\ \end{matrix} \right]~$$ (5)
      $${{R}_{4}}\left( \underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle-}$}}{A},\bar{B} \right)=\left[ \begin{matrix} \partial \underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle-}$}}{A}\cap \partial \bar{B}&\partial \underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle-}$}}{A}\cap {{{\bar{B}}}^{0}} \\ {{{\underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle-}$}}{A}}}^{0}}\cap \partial \bar{B}&{{{\underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle-}$}}{A}}}^{0}}\cap {{{\bar{B}}}^{0}} \\ \end{matrix} \right]$$ (6)
      $${{R}_{4}}\left( \bar{A},\underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle-}$}}{B} \right)=\left[ \begin{matrix} \partial \bar{A}\cap \partial \underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle-}$}}{B}&\partial \bar{A}\cap {{{\underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle-}$}}{B}}}^{0}} \\ {{{\bar{A}}}^{0}}\cap \partial \underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle-}$}}{B}&{{{\bar{A}}}^{0}}\cap {{{\underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle-}$}}{B}}}^{0}} \\ \end{matrix} \right]$$ (7)
      $${{R}_{4}}\left( \bar{A},\bar{B} \right)=\left[ \begin{matrix} \partial \bar{A}\cap \partial \bar{B}&\partial \bar{A}\cap {{{\bar{B}}}^{0}} \\ {{{\bar{A}}}^{0}}\cap \partial \bar{B}&{{{\bar{A}}}^{0}}\cap {{{\bar{B}}}^{0}} \\ \end{matrix} \right]$$ (8)

      式中,A0AA0AB0BB0B分别为AABB的内部和边界。

      因此,面状实体AB的空间关系可以用拓扑和度量相结合的三元组进行形式化描述:

      $$R\left( A,B \right)=({{R}_{4}}\left( A,B \right),\text{ }M,m)$$ (9)

      式中,R4(A, B)为空间拓扑关系的名称;Mm为几何度量参数及其量值。

      考虑到式(5)~式(8) 分别对应有与之相适应的几何度量参数及量值,将它们代入式(9),即可得到面状实体AB之间不确定拓扑关系的精化描述。

      定义2 对于AB的粗集表达,称其拓扑和几何度量相结合的空间关系的4个三元组

      $$R\left( A,B \right)=\left[ \begin{matrix} ({{R}_{4}}\left( \underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle-}$}}{A},\underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle-}$}}{B} \right),{{M}_{1}},{{m}_{1}}) \\ ({{R}_{4}}\left( \underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle-}$}}{A},\bar{B} \right),{{M}_{2}},{{m}_{2}}) \\ ({{R}_{4}}\left( \bar{A},\underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle-}$}}{B} \right),{{M}_{3}},{{m}_{3}}) \\ ({{R}_{4}}\left( \bar{A},\bar{B} \right),{{M}_{4}},{{m}_{4}}) \\ \end{matrix} \right]$$ (10)

      为面状实体AB之间不确定拓扑关系的精化描述。

      式(10) 中,M1M2M3M4分别为与R4(A, B)、R4(A, B)、R4(A, B)、R4(A, B)对应的几何度量参数,可由表 1查取;m1m2m3m4分别为与M1M2M3M4对应的量值,分别由R4(A, B)和M1R4(A, B)和M2R4(A, B)和M3R4(A, B)和M4确定,计算方法同文献[18]。

      式(10) 中每两个三元组之间的基于几何度量的拓扑距离记为Dst (st分别表示式(10) 中的第s行和第t行,其中s=1或2或3,t= 2或3或4)。计算这六个值中的最大值Dmax

      $${{D}_{\text{max}}}=\text{max}({{D}_{st}})$$

      依据粗集概念,利用拓扑关系概念邻域的演化,式(10) 中第s个三元组R(A, B)(s)为AB拓扑关系粗集表达的下近似R(A, B),第t个三元组R(A, B)(t)为AB拓扑关系粗集表达的上近似R(A, B),DmaxAB拓扑关系粗集表达的边界bn(A, B)。

      定义3 称

      $$\begin{array}{*{35}{l}} ~R\left( A,B \right)=\underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle-}$}}{R}\left( A,B \right),\text{ }\bar{R}\left( A,B \right),bn\left( A,B \right) \\ \quad \quad \quad \quad =\left( R\left( A,\text{ }B \right)\left( s \right),\text{ }R\left( A,\text{ }B \right)\left( t \right),\text{ }{{D}_{\text{max}}} \right) \\ \end{array}$$ (11)

      AB的基于4-交模型的拓扑和度量相结合的空间关系粗集表达。

    • 在确定了式(10) 中各元素的语义或量值后,可选用式(1)、式(2) 或表 2计算Dst

      事实上,由于R4(A, B)的确定性程度大于其它的拓扑关系,R4(A, B)的确定性程度小于其它的拓扑关系,可以直接确定Dmax=D14,因此,D14即为面状实体AB之间不确定拓扑关系的最大距离。令D=D14,从而进一步将AB的基于4-交模型的拓扑和度量相结合的空间关系粗集表达为:

      $$\begin{align} &R\left( A,\text{ }B \right)=\left( \left( {{R}_{4}}\left( \underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle-}$}}{A},\text{ }\underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle-}$}}{B} \right),\text{ }{{M}_{1}},\text{ }{{m}_{1}} \right) \right., \\ &\quad \quad \quad \quad \left. \left( {{R}_{4}}\left( \bar{A},\text{ }\bar{B} \right),\text{ }{{M}_{4}},\text{ }{{m}_{4}} \right),D \right) \\ \end{align}$$ (12)

      式中,D为上近似R(A, B)与下近似R(A, B)之间基于几何度量的拓扑距离,D越大,表明拓扑关系R(A, B)的不确定性越大,但是D的取值范围在区间[0, 5]范围内(见表 3),而人类在对确定或不确定程度的认知过程中,更习惯于用标准化的百分数进行衡量,这与粗集中粗糙度的定义是一致的,下面对粗集R(A, B)的粗糙度进行定义。

      定义4 称

      $$\rho = \left( {D/5} \right) \times 100\% $$ (13)

      为粗集R(A, B)不确定的粗糙度。

      ρ的取值范围在[0, 1]之间,ρ越大表明拓扑关系R(A, B)的不确定性越大。

    • 对于两个空间面状实体,能够实现的有8种空间拓扑关系,在多尺度表达的过程中,空间实体的拓扑关系可能发生变化。研究面状实体在多尺度表达中拓扑关系的变化情况,将AB进行不同程度的化简,若简化后的尺度为si(i=1, 2, …, n),尺度si上面状实体为AiBi,可求得AiBi顶点和边界的不确定性值,并进一步求得AiBi的粗集表达分别为$\overline {{A_i}} $、$\underline {{A_i}} $,$\overline {{B_i}} $、$\underline {{B_i}} $。根据式(11) 和式(12),尺度si上面状实体AiBi的拓扑关系的粗集表达结果为:

      $$R({{A}_{i}},\text{ }{{B}_{i}})=(\underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle-}$}}{R}({{A}_{i}},\text{ }{{B}_{i}}),\bar{R}({{A}_{i}},\text{ }{{B}_{i}}),\text{ }{{D}_{i}})$$ (14)

      根据式(13),尺度si上面状实体AiBi的拓扑关系的粗糙度为:

      $${\rho _i} = ({D_i}/5) \times 100\% $$ (15)

      每一尺度上拓扑关系的粗糙度ρi可用来度量对应各尺度上面状实体间拓扑关系的不确定程度。随着化简程度的加深,粗糙度ρi的值也会增加。因此可以定义不同尺度间粗糙度的差值来衡量不同尺度间拓扑关系不确定的程度。

      定义5 称简化尺度拓扑关系粗糙度ρi与初始尺度粗糙度ρ的差值Δρi(i=1, 2, …, n)

      $$\Delta {\rho _i} = {\rho _i} - \rho $$ (16)

      为简化尺度上拓扑关系相对于初始尺度拓扑关系的不确定程度。

    • 本实验选用的数据为图 2(a)所示的多边形AB,并将其进行两级尺度的化简,如图 2(b)图 2(c)所示,为了便于比较,将简化尺度图形扩展至原始图形大小。

      图  2  实验数据

      Figure 2.  Data of Case Study

      计算原始数据ε-带及各简化尺度数据的综合不确定度[23],各简化尺度上用2倍的综合不确定度作为不确定带宽度。不确定带的内边界所封闭区域为多边形区域的下近似、外边界所封闭区域为多边形区域的上近似,如图 3所示。

      图  3  原始数据及其简化尺度的粗集表达

      Figure 3.  Rough Set Representation of Multi-scale Spatial Entity

      图 3(a)图 3(b)图 3(c)所示的数据分别用式(10) 进行计算,得到拓扑和度量相结合的空间关系的精化描述分别为:

      $$R\left( {A,{\rm{ }}B} \right) = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\left( {DC,{\rm{ }}DEB,{\rm{ }}0.81} \right)}\\ {\left( {DC,{\rm{ }}DEB,{\rm{ }}0.52} \right)}\\ {\left( {DC,{\rm{ }}DEB,{\rm{ }}0.66} \right)}\\ {\left( {DC,{\rm{ }}DEB,{\rm{ }}0.13} \right)} \end{array}} \right]$$
      $$\begin{array}{l} R({A_1},{\rm{ }}{B_1}) = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\left( {DC,DEB,0.88} \right)}\\ {\left( {DC,DEB,0.45} \right)}\\ {\left( {DC,DEB,0.71} \right)}\\ {\left( {PO,CA,0.03} \right)} \end{array}} \right]\\ R({A_2},{\rm{ }}{B_2}) = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\left( {DC,DEB,0.89} \right)}\\ {\left( {DC,DEB,0.41} \right)}\\ {\left( {DC,DEB,0.60} \right)}\\ {\left( {PO,CA,0.09} \right)} \end{array}} \right] \end{array}$$

      进一步用式(12) 和式(14) 计算它们的粗集表达分别为:

      $$\begin{align} &R\left( A,\text{ }B \right)=\left( \underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle-}$}}{R}\left( A,\text{ }B \right),\bar{R}\left( A,\text{ }B \right),\text{ }D \right) \\ &\quad \quad =\left( \left( DC,\text{ }DEB,\text{ }0.81 \right),\left( DC,\text{ }DEB,\text{ }0.13 \right),\text{ }0.68 \right) \\ &R({{A}_{1}},\text{ }{{B}_{1}})=(\underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle-}$}}{R}({{A}_{1}},\text{ }{{B}_{1}}),\bar{R}({{A}_{1}},\text{ }{{B}_{1}}),\text{ }{{D}_{1}}) \\ &\quad \quad =\left( \left( DC,\text{ }DEB,\text{ }0.88 \right),\text{ }\left( PO,\text{ }CA,\text{ }0.03 \right),\text{ }1.91 \right) \\ &R({{A}_{2}},\text{ }{{B}_{2}})=(\underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle-}$}}{R}({{A}_{2}},\text{ }{{B}_{2}}),\bar{R}({{A}_{2}},\text{ }{{B}_{2}}),\text{ }{{D}_{2}}) \\ &\quad \quad =\left( \left( DC,\text{ }DEB,\text{ }0.89 \right),\text{ }\left( PO,\text{ }CA,\text{ }0.09 \right),\text{ }1.98 \right) \\ \end{align}$$

      图 3(a)中,面状实体AB拓扑关系的下近似为相离关系,分离式接近性度量参数DEB=0.81;上近似为相离关系,分离式接近性度量参数DEB=0.13;上下近似之间基于几何度量的拓扑距离D=0.68。

      图 3(b)中,面状实体A1B1拓扑关系的下近似为相离关系,分离式接近性度量参数DEB=0.88;上近似为重叠关系,公共区域面积比CA=0.03;上下近似之间基于几何度量的拓扑距离D1=1.91。

      图 3(c)中,面状实体A2B2拓扑关系的下近似为相离关系,分离式接近性度量参数DEB=0.89;上近似为重叠关系,公共区域面积比CA=0.09;上下近似之间基于几何度量的拓扑距离D2=1.98。

    • 将§3.1中DD1D2的结果代入式(13)、式(15),得到图 3中3个尺度下的粗糙度ρρ1ρ2分别为13.6%、38.2%和39.6%。将ρρ1ρ2代入式(16),得到Δρ1、Δρ2分别为24.6%和26%。

      分析案例研究的结果可以发现,本文提出的方法可以计算多尺度空间拓扑关系的不确定性,具体表现为:

      (1) 随着尺度变大,空间拓扑关系的不确定性也随着变大,空间数据的位置也发生了变化,因此在大尺度下,面状实体的边界不仅仅包含了原有的不确定性,又增加了位置变化而产生的不确定性,在实例中ρρ1ρ2

      (2) 尺度变化越大,也就是图形综合程度越高,其空间拓扑关系的不确定性变化的也越大。随着多边形的化简程度的提高,多边形之间拓扑关系的不确定变化也越大,在实例中Δρ1<Δρ2

    • 粗集作为描述多尺度空间拓扑关系的不确定性的定量方法,比传统的定性评价更具有可操作性,在GIS空间数据建模、空间数据库查询、空间分析与推理、制图综合、地图理解、自然语言界面标准化等方面具有较好的应用价值。本文定义了基于几何度量的拓扑距离;对空间关系不确定性进行精化描述,在此基础上构建了拓扑关系不确定性的粗集模型;并根据不同尺度上拓扑关系的拓扑距离的差值,提出了多尺度表达中空间实体的拓扑关系不确定性度量指标。实例研究证明了本文提出的空间拓扑关系不确定性量化指标的科学性与合理性。进一步的研究可以从以下两个方面展开:一是对几何度量参数进行深入研究,通过改进拓扑距离的定义来进一步改进拓扑关系不确定性的定量评价;二是能够考虑更为复杂的实体间拓扑关系的不确定性评价研究,也可以将该方法拓展到点、线等实体的拓扑关系的不确定性定量评价研究中。

参考文献 (26)

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