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基于内接正八面体的近似等积格网变形分析

孙文彬 周长江

孙文彬, 周长江. 基于内接正八面体的近似等积格网变形分析[J]. 武汉大学学报 ● 信息科学版, 2016, 41(12): 1577-1583. doi: 10.13203/j.whugis20140844
引用本文: 孙文彬, 周长江. 基于内接正八面体的近似等积格网变形分析[J]. 武汉大学学报 ● 信息科学版, 2016, 41(12): 1577-1583. doi: 10.13203/j.whugis20140844
SUN Wenbin, ZHOU Changjiang. Distortion Analysis of Approximate Equal-area Grids Based on Octahedron[J]. Geomatics and Information Science of Wuhan University, 2016, 41(12): 1577-1583. doi: 10.13203/j.whugis20140844
Citation: SUN Wenbin, ZHOU Changjiang. Distortion Analysis of Approximate Equal-area Grids Based on Octahedron[J]. Geomatics and Information Science of Wuhan University, 2016, 41(12): 1577-1583. doi: 10.13203/j.whugis20140844

基于内接正八面体的近似等积格网变形分析

doi: 10.13203/j.whugis20140844
基金项目: 

国家自然科学基金 Nos. 41201416, 41671383

详细信息
    作者简介:

    孙文彬,博士,副教授,主要从事全球离散格网理论及应用、智能计算、并行计算等方面的研究。swb1996@126.com

  • 中图分类号: P208

Distortion Analysis of Approximate Equal-area Grids Based on Octahedron

Funds: 

The National Natural Science Foundation of China Nos. 41201416, 41671383

More Information
    Author Bio:

    SUN Wenbin, PhD, associate professor, specializes in the theories and methods of global discrete grids, intelligent computing and parallel computing. E-mail: swb1996@126.com

  • 摘要: 介绍了一种基于内接正八面体和Snyder投影的近似等积格网构建方法。先构建与球面面积相等的正八面体,将正八面体的面作为初始剖分面,然后采用四元三角剖分方法将初始剖分面分割成层次嵌套的三角格网,利用Snyder等积投影将正八面体面上的层次格网投影至球面,用大圆弧代替Snyder投影弧,构建近似等积的全球离散格网系统。在分析Snyder投影弧和大圆弧差异的基础上,依次计算各层次格网的面积、长度、角度值;根据计算结果分析了不同层次近似等积格网面积、长度、角度变形规律及空间分布特征。结果表明,随着剖分层次的增加,格网面积误差呈减小的趋势;剖分层次为10时,99.8%的格网面积偏差在-10%~10%之间,面积变形较大的格网均位于由正八面体面的中心到三个顶点的连线附近;格网长度、角度最大值与最小值的比均呈收敛的趋势,分别收敛至1.73和3.03。
  • 图  1  基于投影法的等积格网构建

    Figure  1.  Constructing Equal-area Grid Based on Projection

    图  2  Snyder投影弧与大圆线的差异

    Figure  2.  Difference of Great Circle and Snyder Projection Arc

    图  3  格网面积变形的收敛趋势

    Figure  3.  Convergence Trend of Grid Area Distortions

    图  4  不同面积变形格网的空间分布情况

    Figure  4.  Spatial Distribution of Different Area Distortion Grids

    图  5  格网长度变形的收敛趋势

    Figure  5.  Convergence Trend of Grid Length Distortions

    图  6  不同长度变形格网的空间分布情况

    Figure  6.  Spatial Distribution of Different Length Distortion Grids

    图  7  格网角度变形的收敛趋势

    Figure  7.  Convergence Trend of Grid Angle Distortions

    图  8  不同角度长度变形格网的空间分布情况

    Figure  8.  Spatial Distribution of Different Angle Length Distortion Grids

    表  1  不同面积变形格网的统计情况

    Table  1.   Statistics of Grid Numbers with Different Area Distortion

    层次 面积偏差率的最小值 40%~-30% -30%~-20% -20%~-10% -10%~0 0~10% 10%~20% 20%~30% 30%~40% 面积偏差率的最大值 面积偏差率最大值与最小值的比
    1 -0.135 0 0 3 0 0 0 0 1 0.404 1.623
    2 -0.287 0 4 0 0 9 0 3 0 0.242 1.742
    3 -0.303 3 3 3 21 27 0 7 0 0.287 1.847
    4 -0.327 10 6 0 105 120 3 6 6 0.314 1.952
    5 -0.338 24 6 3 453 507 0 10 21 0.330 2.009
    6 -0.343 55 9 0 1 941 2 028 3 6 54 0.339 2.038
    7 -0.346 120 6 3 7 971 8 157 0 10 117 0.344 2.055
    8 -0.347 247 9 0 32 343 32 682 3 6 246 0.346 2.061
    9 -0.348 504 6 3 130 164 130 956 0 10 501 0.347 2.066
    10 -0.348 1 015 9 0 522 837 523 692 3 6 1 014 0.348 2.067
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    表  2  格网长度变形的统计情况

    Table  2.   Statistics of Grid Length Distortions

    层次 长度偏差率的最小值 -30%~-20% -20%~-10% -10%~0 0~10% 10%~20% 20%~30% 长度偏差率的最大值 长度偏差率最大值与最小值的比
    1 -0.18 0 6 0 6 0 0 0.10 1.33
    2 -0.20 6 12 0 12 18 0 0.12 1.41
    3 -0.23 18 48 0 66 60 0 0.18 1.53
    4 -0.24 60 198 0 210 276 24 0.22 1.59
    5 -0.24 228 774 24 924 930 192 0.24 1.64
    6 -0.25 906 3 108 84 3 642 3 732 816 0.26 1.67
    7 -0.25 3 570 12 402 414 14 712 14 586 3 468 0.27 1.69
    8 -0.25 14 208 49 694 1 636 58 686 58 032 14 352 0.28 1.71
    9 -0.25 56 754 198 816 6 576 234 510 231 552 58 224 0.29 1.72
    10 -0.25 226 920 795 198 26 460 937 980 924 246 234 924 0.29 1.72
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    表  3  格网最大、最小变形角度的统计情况

    Table  3.   Statistics of Max and Min Angle Distortions of Grids

    层次 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
    角度偏差率的最小值 -0.09 -0.25 -0.33 -0.38 -0.40 -0.41 -0.41 -0.42 -0.42 -0.42
    角度偏差率的最大值 0.52 0.52 0.57 0.63 0.67 0.70 0.72 0.74 0.74 0.75
    角度偏差率最大值与最小值的比 1.68 2.03 2.34 2.61 2.78 2.88 2.94 2.98 3.01 3.03
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    表  4  格网角度变形的统计情况

    Table  4.   Statistics of Grid Angle Distortions

    层次 -50%~-40% -40%~-30% -30%~-20% -20%~-10% -10%~0 0~10% 10%~20% 20%~30% 30%~40% 40%~50% 50%~60% 60%~70% 70%~80%
    1 0 0 0 0 6 0 3 0 0 0 3 0 0
    2 0 0 15 0 0 12 18 0 0 0 3 0 0
    3 0 12 42 12 9 54 30 24 3 0 6 0 0
    4 0 84 144 27 30 201 165 84 18 0 9 6 0
    5 0 360 540 129 69 828 615 420 81 0 12 18 0
    6 126 1 392 2 034 549 213 3 324 2 529 1 644 414 0 15 42 6
    7 708 5 394 8 159 2 140 693 13 277 10 018 6 726 1 887 24 27 54 45
    8 3 270 21 217 32 447 8 631 2 573 52 917 40 378 27 007 7 841 72 48 93 114
    9 14 010 84 150 129 738 34 311 9 724 211 451 161 595 108 468 32 313 162 87 171 252
    10 58 050 335 010 518 238 137 400 37 638 845 418 646 929 434 646 131 046 330 171 333 519
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出版历程
  • 收稿日期:  2015-08-17
  • 刊出日期:  2016-12-05

基于内接正八面体的近似等积格网变形分析

doi: 10.13203/j.whugis20140844
    基金项目:

    国家自然科学基金 Nos. 41201416, 41671383

    作者简介:

    孙文彬,博士,副教授,主要从事全球离散格网理论及应用、智能计算、并行计算等方面的研究。swb1996@126.com

  • 中图分类号: P208

摘要: 介绍了一种基于内接正八面体和Snyder投影的近似等积格网构建方法。先构建与球面面积相等的正八面体,将正八面体的面作为初始剖分面,然后采用四元三角剖分方法将初始剖分面分割成层次嵌套的三角格网,利用Snyder等积投影将正八面体面上的层次格网投影至球面,用大圆弧代替Snyder投影弧,构建近似等积的全球离散格网系统。在分析Snyder投影弧和大圆弧差异的基础上,依次计算各层次格网的面积、长度、角度值;根据计算结果分析了不同层次近似等积格网面积、长度、角度变形规律及空间分布特征。结果表明,随着剖分层次的增加,格网面积误差呈减小的趋势;剖分层次为10时,99.8%的格网面积偏差在-10%~10%之间,面积变形较大的格网均位于由正八面体面的中心到三个顶点的连线附近;格网长度、角度最大值与最小值的比均呈收敛的趋势,分别收敛至1.73和3.03。

English Abstract

孙文彬, 周长江. 基于内接正八面体的近似等积格网变形分析[J]. 武汉大学学报 ● 信息科学版, 2016, 41(12): 1577-1583. doi: 10.13203/j.whugis20140844
引用本文: 孙文彬, 周长江. 基于内接正八面体的近似等积格网变形分析[J]. 武汉大学学报 ● 信息科学版, 2016, 41(12): 1577-1583. doi: 10.13203/j.whugis20140844
SUN Wenbin, ZHOU Changjiang. Distortion Analysis of Approximate Equal-area Grids Based on Octahedron[J]. Geomatics and Information Science of Wuhan University, 2016, 41(12): 1577-1583. doi: 10.13203/j.whugis20140844
Citation: SUN Wenbin, ZHOU Changjiang. Distortion Analysis of Approximate Equal-area Grids Based on Octahedron[J]. Geomatics and Information Science of Wuhan University, 2016, 41(12): 1577-1583. doi: 10.13203/j.whugis20140844
  • 全球离散格网是基于(椭)球面的一种可以无限细分,但又不改变形状的地球体拟合格网,当细分到一定层次时,可以达到模拟地球表面的目的。它具有良好的离散性、层次性和全球连续性[1-6],已广泛应用于空间数据索引、DEM数据可视化、海洋分析建模[7]、影像数据管理[8]等方面。但目前全球离散格网的应用多集中在定性分析方面,在诸如地学统计等定量分析方面的应用极少[9]。为此,国内外众多学者对全球离散格网的面积、角度、长度、紧致度等变形规律进行了较为深入的研究。Kimerling等给出了评价格网几何特征优越性的标准[10-12],并指出格网等积性、几何和拓扑一致性是拓展全球离散格网应用的重要基础。White等分析了基于内接正多面体格网的面积和紧致度变形规律,并绘制了格网面积、紧致度的变形统计直方图[11];Kimerling等探讨了全球离散格网的面积和角度变形情况,绘出了面积和角度变形的等值线分布图[10, 13];Gregory等分析了内接正八面体和正二十面体离散格网边的中点比率(cell wall midpoint ratio)变化规律[14];Ming等研究了QTM(quad triangle mesh)、Snyder投影格网的面积变形情况[15, 16];赵学胜等探讨了QTM格网面积、角度、长度的变形规律及收敛趋势[17];贲进等研究了球面等积六边形格网的几何变形规律[18];张胜茂对比分析了正八面体和正二十面体格网的面积变形情况[19];白建军等探讨了椭球面离散格网的几何变形规律及收敛趋势[20]。本文介绍了一种基于内接正八面体和Snyder投影的近似等积格网构建方法,为拓展全球离散格网在地学统计等定量分析方面的应用奠定基础,并分析其规律。

    • 目前,全球离散格网构建多采用投影法。投影法是先在辅助体表面按照一定的规则进行层次细分,再采用Gnomonic、Snyder等投影方式将格网映射到球面,如QTM[20-25]等,辅助体多选用阿基米德立体。投影法大多能保证格网系统的嵌套层次性。为此,本文采用投影法来生成近似规则等积格网系统。与其他阿基米德立体相比,正八面体每个面均为等边三角形(图 1(a)),具有良好的几何特性[21-25],且其边与球面主要经线和纬线重合,到球面的投影转换简单高效,适合作为本文的辅助剖分体。

      图  1  基于投影法的等积格网构建

      Figure 1.  Constructing Equal-area Grid Based on Projection

      构建等积格网时,首先需要构建与球面等积的正八面体,然后在其表面构建等积格网,再将它们投影至球面。要保证正八面体的表面积与球面面积相等,则由正八面体中心到顶点的长度必然会大于(投影)球的半径,会形成正八面体与球面相割的情况(图 1(b));然后采用四元三角剖分方式在正八面体的表面构建等积格网(图 1(c));最后应用Snyder投影实现正八面体表面格网到球面的映射(图 1(d))。

      由于Snyder投影以牺牲格网的形状为代价来保证格网的等积性,且Snyder投影弧非大圆弧,导致严格等积格网的计算度量异常复杂。为此,本文采用Snyder投影的方式将正八面体表面格网的顶点映射到球面,映射后各顶点用大圆弧进行连接。这样就可利用球面面积、长度、角度等公式直接计算格网的几何量。尽管采用该方式会使格网等积性变差,但是极大地提高了格网度量计算的效率。本文通过实验分析了Snyder投影弧与大圆弧线的差异,如图 2所示。图 2中折线为Snyder投影弧,光滑曲线为大圆弧。由图 2可知,随着剖分层次的增加,绝大多数的Snyder投影弧与大圆弧几乎重合。

      图  2  Snyder投影弧与大圆线的差异

      Figure 2.  Difference of Great Circle and Snyder Projection Arc

    • 格网的几何变形及收敛性分析是进行空间统计分析的重要基础。为此,本文对近似等积格网的变形情况进行了深入研究,使用面积偏差率来表示格网面积变形情况:

      (1)

      式中,P为面积的偏差率;S为投影前的平面格网面积;SN为投影后的格网面积。试验中,首先计算出每个格网的面积,再统计出各剖分层次格网面积偏差率的最小值、最大值,并给出不同误差范围格网的分布情况,如表 1所示。

      表 1  不同面积变形格网的统计情况

      Table 1.  Statistics of Grid Numbers with Different Area Distortion

      层次 面积偏差率的最小值 40%~-30% -30%~-20% -20%~-10% -10%~0 0~10% 10%~20% 20%~30% 30%~40% 面积偏差率的最大值 面积偏差率最大值与最小值的比
      1 -0.135 0 0 3 0 0 0 0 1 0.404 1.623
      2 -0.287 0 4 0 0 9 0 3 0 0.242 1.742
      3 -0.303 3 3 3 21 27 0 7 0 0.287 1.847
      4 -0.327 10 6 0 105 120 3 6 6 0.314 1.952
      5 -0.338 24 6 3 453 507 0 10 21 0.330 2.009
      6 -0.343 55 9 0 1 941 2 028 3 6 54 0.339 2.038
      7 -0.346 120 6 3 7 971 8 157 0 10 117 0.344 2.055
      8 -0.347 247 9 0 32 343 32 682 3 6 246 0.346 2.061
      9 -0.348 504 6 3 130 164 130 956 0 10 501 0.347 2.066
      10 -0.348 1 015 9 0 522 837 523 692 3 6 1 014 0.348 2.067

      表 1可知,随着剖分层次的增加,面积偏差率最小值的绝对值逐步增大。剖分层次为1时,最小值为-0.135;剖分层次为10时,面积偏差率最小值增大至-0.348。面积偏差率最大值也呈现出类似的规律,剖分层次为2时,最大值为0.242;剖分层次为10时,面积偏差率最大值增大至0.348;格网面积偏差率的最大值与最小值比值也由1.623增大至2.067。但面积偏差率的最大值、最小值、格网面积最大/最小值的比均呈收敛趋势,如图 3所示。

      图  3  格网面积变形的收敛趋势

      Figure 3.  Convergence Trend of Grid Area Distortions

      面积偏差率的最小值、最大值仅说明了最坏情况格网面积的变形情况,不能表征格网变形的空间分布特征。为此,本文按10%的间隔统计了面积变形在各个区间的分布情况(表 1)。随着剖分层次的增加,格网面积偏差率大多都在-10%~10%之间。以第10层剖分格网为例,99.8%的格网面积偏差率在-10%~10%之间。由表 1可知,格网面积变形具有对称性,各正、负偏差率对应区间内的格网数基本相等。绘制不同面积偏差率的格网空间分布图,如图 4所示。图 4(a)4(b)、4(c)分别是剖分层次为5、6、7时不同面积变形格网的空间分布情况。由图 4可知,不同剖分层次时,由剖分面中心点到三个顶点轴向上的格网面积变形较大,格网位置越靠近正八面体的三个顶点,格网面积变形越大;位于其他区域的格网面积偏差均在[-5%,5%]之间。

      图  4  不同面积变形格网的空间分布情况

      Figure 4.  Spatial Distribution of Different Area Distortion Grids

      格网边长的差异是衡量格网一致性的重要指标之一。为此,本文引入了长度偏差率对格网边的变形情况进行分析。长度偏差率可表示为:

      (2)

      式中,PL为长度偏差率;L为投影前平面格网的边长;LN为投影后格网的边长。

      首先计算出各剖分层次格网平均边长L,然后计算出投影后格网的边长,最后利用式(2) 计算各格网边的长度偏差率。计算结果见表 2。由表 2可知,随着剖分层次的增加,格网长度偏差率的最小值由-0.18增大至-0.25;最大值由0.10增大至0.29;长度偏差率的最大值与最小值比值由1.33 增加至1.72。与格网面积变形规律类似,格网边偏差率的最小值、最大值、最大与最小值的比均呈收敛的趋势,分别收敛至-0.25、0.29、1.73左右,如图 5所示。此外,本文绘制了格网边变形的空间分布图,如图 6所示。图 6(a)6(b)、6(c)分别为5、6、7层格网的长度变形空间分布情况。由图 6可知,格网长度变形与面积变形具有相似的规律;由正八面体面的中心到三个顶点轴向上的格网长度变形较大;格网越靠近正八面体的三个顶点,其长度变形越大。

      表 2  格网长度变形的统计情况

      Table 2.  Statistics of Grid Length Distortions

      层次 长度偏差率的最小值 -30%~-20% -20%~-10% -10%~0 0~10% 10%~20% 20%~30% 长度偏差率的最大值 长度偏差率最大值与最小值的比
      1 -0.18 0 6 0 6 0 0 0.10 1.33
      2 -0.20 6 12 0 12 18 0 0.12 1.41
      3 -0.23 18 48 0 66 60 0 0.18 1.53
      4 -0.24 60 198 0 210 276 24 0.22 1.59
      5 -0.24 228 774 24 924 930 192 0.24 1.64
      6 -0.25 906 3 108 84 3 642 3 732 816 0.26 1.67
      7 -0.25 3 570 12 402 414 14 712 14 586 3 468 0.27 1.69
      8 -0.25 14 208 49 694 1 636 58 686 58 032 14 352 0.28 1.71
      9 -0.25 56 754 198 816 6 576 234 510 231 552 58 224 0.29 1.72
      10 -0.25 226 920 795 198 26 460 937 980 924 246 234 924 0.29 1.72

      图  5  格网长度变形的收敛趋势

      Figure 5.  Convergence Trend of Grid Length Distortions

      图  6  不同长度变形格网的空间分布情况

      Figure 6.  Spatial Distribution of Different Length Distortion Grids

      角度是描述格网均匀一致性的重要指标之一。与面积、长度度量方式相似,采用角度偏差率来度量格网角度的变形情况。角度偏差比率可表示为:

      (3)

      式中,PA表示角度偏差比率;A为投影前平面格网的角度;AN为投影后对应的角度。

      将投影前的格网角度值作为参考值,分别计算出投影后格网各角的角度值;利用式(3)计算出角度偏差率的最大值、最小值、最大/最小值比,列于表 3。由表 3可知,随着剖分层次的增加,格网角度偏差率的最小值由-0.09增大至-0.42;最大值由0.52增大至0.75;最大与最小值的比由1.68增大至3.03;但总体来看,格网角度变形的最大值、最小值、最大与最小值的比均呈收敛的趋势,如图 7所示。投影前平面格网均为等边三角形,各角均为60°;而将它们投影转换到球面时,会出现球面超角的现象;这致使投影后的角度偏差率整体增大,导致角度变形最大值与最小值的比值增大。10层格网时角度偏差最大值与最小值的比收敛至3.03,远大于面积、长度变形最大值与最小值的比值。

      表 3  格网最大、最小变形角度的统计情况

      Table 3.  Statistics of Max and Min Angle Distortions of Grids

      层次 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
      角度偏差率的最小值 -0.09 -0.25 -0.33 -0.38 -0.40 -0.41 -0.41 -0.42 -0.42 -0.42
      角度偏差率的最大值 0.52 0.52 0.57 0.63 0.67 0.70 0.72 0.74 0.74 0.75
      角度偏差率最大值与最小值的比 1.68 2.03 2.34 2.61 2.78 2.88 2.94 2.98 3.01 3.03

      图  7  格网角度变形的收敛趋势

      Figure 7.  Convergence Trend of Grid Angle Distortions

      笔者对格网角度变形的空间分布特征进行了分析(表 4),分别统计了-50%~80%间不同角度变形的格网数目。以10层剖分格网为例,角度变形量在0~10%之间的数目为845 418个,占26.87%;角度变形在10%~20%的数量为646 929个,占20.56%;同样,绘制了不同角度变形的格网空间分布图,如图 8所示。图 8(a)8(b)、8(c)分别为5、6、7层格网的角度变形空间分布情况。由图 8可以看出,角度变形较大的格网集中在正八面体格网的三个顶点附近和正八面体中点到三个顶点的连线附近。

      表 4  格网角度变形的统计情况

      Table 4.  Statistics of Grid Angle Distortions

      层次 -50%~-40% -40%~-30% -30%~-20% -20%~-10% -10%~0 0~10% 10%~20% 20%~30% 30%~40% 40%~50% 50%~60% 60%~70% 70%~80%
      1 0 0 0 0 6 0 3 0 0 0 3 0 0
      2 0 0 15 0 0 12 18 0 0 0 3 0 0
      3 0 12 42 12 9 54 30 24 3 0 6 0 0
      4 0 84 144 27 30 201 165 84 18 0 9 6 0
      5 0 360 540 129 69 828 615 420 81 0 12 18 0
      6 126 1 392 2 034 549 213 3 324 2 529 1 644 414 0 15 42 6
      7 708 5 394 8 159 2 140 693 13 277 10 018 6 726 1 887 24 27 54 45
      8 3 270 21 217 32 447 8 631 2 573 52 917 40 378 27 007 7 841 72 48 93 114
      9 14 010 84 150 129 738 34 311 9 724 211 451 161 595 108 468 32 313 162 87 171 252
      10 58 050 335 010 518 238 137 400 37 638 845 418 646 929 434 646 131 046 330 171 333 519

      图  8  不同角度长度变形格网的空间分布情况

      Figure 8.  Spatial Distribution of Different Angle Length Distortion Grids

    • 基于内接正八面体和Snyder投影的全球离散格网具有良好的层次嵌套性和等积性。为了提高该格网系统的几何计算效率,本文用大圆弧代替严格的Snyder投影弧,构建了近似等积的离散格网系统,并分析了格网变形规律和收敛趋势。通过分析可知,应用大圆弧代替Snyder投影弧会导致产生格网的面积差异,但面积变形量较小;10层剖分时,99.8%的格网面积偏差率在-10%~10%之间;面积变形较大的格网均在由正八面体格网中心到三个顶点的轴线附近。 随着格网剖分层次的增加,格网长度和角度偏差率的最小值、最大值、最大值/最小值的比均呈收敛的趋势;长度和角度偏差率最大值与最小值的比分别收敛至1.73、3.03。

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