根据卫星测高原理，卫星沿星下点轨迹测量雷达脉冲反射足印区内的平均海面高度，回波足印区的直径范围约为3~5 km。不同周期的重复轨道间距通常在1 km之内，相对于足印区范围而言，重复轨道的星下点轨迹可看作完全重复，即包含相同的大地水准面信号。因此，作为大地水准面波长分辨能力分析的前提条件，重复轨道实际是要求不同数据序列包含相同的信号部分^[16]。

假定z₁和z₂分别表示一对重复轨道的沿轨海表面高度数据序列；u表示沿轨的大地水准面信号；n₁和n₂分别表示沿轨测量数据的噪声部分；s表示沿轨距离；存在如下关系式：

为了描述数据序列之间在频域的谱关联性，引入均方一致性，定义为不同序列的互相关谱的平方除以单独数据序列的自相关谱的乘积，取值范围在0~1之间，1表示数据序列完全相关，0表示完全不相关，其数学表达式为：

式中，S_z1、S_z2和S_z1z2分别表示数据序列的自相关谱和互相关谱，可以采用周期图法、自相关法或参数估计法估算，其中周期图法和自相关法属于古典谱估计方法，使用过程中无法克服谱分辨率低的问题^[19]。Brammer等指出针对沿轨测高数据的采样特征，自回归(auto-regressive,AR)建模可以获取令人满意的谱估计结果^{[15, 20]}。数据序列的AR模型表达式为：

式中,n表示AR模型的阶数；a_i和w_k是AR模型的系数和噪声相关参数。Marks等定义了判定大地水准面波长分辨能力的标准，即重复轨道数据的均方一致性下降为0.5时所对应的空间波长^[16]。Brammer 等曾经根据均方一致性下降为0作为分析Seasat数据的判断标准^[15]，但0.5是更加保守和通用的选择^{[13, 15, 16]}。

假定信号和噪声部分不相关，重复轨道时间序列之间作差可以消去信号部分，若由f表示空间采样频率，可以得到差分序列的功率谱和噪声谱之间的关系；顾及信号振幅与功率谱之间存在平方的关系，联合重复轨道数据加和以及差分序列的功率谱可以估算信号的功率谱。具体的关系可以表达为：

式中,S_z1-z2和S_z1+z2分别表示重复轨道数据差分以及加和序列的功率谱；S_n和S_u分别表示重复轨道数据序列的噪声谱和大地水准面信号谱。在谱分析的过程中，信号与噪声的功率谱通过一对数据序列差分加和及AR建模估算得到。本文从信噪比角度考虑，当信号谱与噪声谱的比值下降为1时，大地水准面信号的功率谱与噪声谱相交处的空间频率可判定为对应大地水准面信号的分辨率，简称为信噪比分析方法，是一种更加直观判定信号分辨能力的准则。

Cryosat-2卫星于2010年4月8日发射，在轨运行四年多来，首次提供了重复观测的密集轨道间距测高数据^[21]。欧空局发布的基线B版本的L2级地球物理数据记录中，提供了沿轨20 Hz的时间、经纬度以及顾及各校正项的表面高信息^[22]。为了控制沿轨数据质量，相关数据根据回波标识、平均海平面模型检核以及三倍中误差准则判定对沿轨20 Hz数据进行剔除，针对满足筛选条件的数据，平均得到沿轨1 Hz的表面高数据。

本文按照二级数据头文件中的周期号CYCLE和轨道相对编号REL_ORBIT对数据进行命名，所使用数据的时间和轨道号信息如表 1所示，需要注意的是各个周期的轨道数目并不完全一致。Cryosat-2数据手册指出2011年10月之前的B版本数据产品中包含不准确的周期编号和轨道参数^[22]，重复轨道数据序列不能仅依据轨道编号判定，需要辅助以判定轨道间距小于1 km的条件筛选得到。

沿轨数据的频谱分析要求采样间隔一致，因此数据处理过程中需判定沿轨采样点是否缺失，若存在缺失点则采用相邻两个采样点数据插值补齐采样间隔。为了抑制粗差数据对频谱分析的影响，对差分数据序列进行探测，若超过三倍标准差则移去该差分值并采用线性插值填补数据空白^[23]。

在北大西洋、北太平洋、印度洋、南太平洋、南大西洋海域内选择5个30°×30°的区域作为研究区域，每个区域内分别挑选一组升弧和降弧的重复轨道数据序列对，筛选方法如§2.1所述，轨道编号及地理位置如图 1所示。以北大西洋海域内轨道编号为2754的升弧重复轨道数据序列对(Revs2754A)为例详细给出大地水准面波长分辨能力的分析过程。

图  1  所选Cryosat-2重复轨道数据的分布

Figure 1.  Distribution of Selected Cryosat-2 Data Series with Repeated Ground Track

图 2(a)给出了重复轨道数据序列对Revs2754A对应的两组海面高比较，可以看出符合较好，反映出一致的大地水准面变化特征。图 2(b)是重复轨道海面高差分数据序列，相对大地水准面信号而言统称为噪声部分，主要由海洋现象、径向轨道误差以及高度计测量噪声引起。

图  2  重复轨道数据序列海面高度对比及差值

Figure 2.  Comparison and Difference Between Sea Surface Heights and Repeat Track Data Sequences

基于时间序列数据分析的R语言软件，分别将沿轨海面高及其差分求和数据序列作为目标数据，首先通过增广迪基-福勒检验判定目标为稳态可建模数据序列；然后，通过绘制目标数据序列的自相关函数图、偏自相关函数图以及广义自相关函数图判定目标过程是否应该采用AR模型建模；最后结合赤池信息量准则(Akaike information criterion，AIC)，选择最优模型阶数。不同数据序列的建模阶数不同，例如示例弧段Revs2754A的数据序列进行AR建模的最优阶数为7阶，Revs5281D数据序列AR建模的最优阶数为8阶。

图 3(a)给出了AR建模之后沿轨海面高(ssh1/2)、大地水准面信号(geoid)以及噪声(noise)的功率谱图。依据信噪比方法判定信噪比下降为1的准则，即确定相应的信号谱下降至与噪声谱相交处，确定出对应的大地水准面分辨能力约为23.874 km。根据谱关联性分析方法计算重复轨道数据序列之间的均方一致性，如图 3(b)所示，按下降为0.5的判定标准确定的大地水准面分辨能力为22.241 km。

图  3  重复轨道数据序列大地水准面分辨能力

Figure 3.  Analysis of the Resolution Capability of the Repeat Track Data Sequence

针对5个研究区域内的其他重复轨道数据序列对，采用与Revs2754A相同的处理方法，分析得到相应的信号波长分辨能力，结果见表 2。

从表 2中可以看出相同数据序列的分辨能力也存在一定的差异，因为信噪比方法针对数据序列进行AR建模和参数谱估计，依赖于建模的优劣；而谱关联性方法直接由数据序列的互相关谱和自相关谱计算，谱估计时使用一定宽度的窗函数，本文选择300~400 km的汉宁窗^[13]。不同研究区域内Cryosat-2数据的大地水准面分辨能力变化范围在23~33 km之间，平均值约为27 km，优于单个周期的Geosat/ERM、ERS-1/ERM 和T/P观测数据^[13]。尽管结果略逊于共线处理后的T/P和Geosat数据，但其地面轨迹间距显著优于共线数据。因此，Cryosat-2卫星可以为构建高分辨率海洋重力场模型提供密集轨道间距数据和更优的短波信息。此外，大西洋海域范围内的研究区域分析结果显著优于其他三个区域，这是因为受大西洋中脊的影响，研究区域内的大地水准面短波信号比较显著。

测高数据大地水准面分辨能力为沿轨滤波处理提供滤波半径的选取依据^[15]，Cryosat-2数据在不同海域内的平均值约为27 km，因此本文分别选择17 km、27 km和37 km的滤波直径对重复轨道数据序列分别进行处理，高斯滤波后分析的信号分辨能力见表 3。

从表 3可以看出，滤波半径过小导致数据序列中的高频噪声不能有效抑制，滤波半径过大会造成大地水准面信号因过度滤波而损失，适中的滤波半径可以最大限度地提升数据序列的大地水准面分辨能力。其中南太平洋海域内海底相对平坦，而测高数据中包含相对较高的海洋变化噪声，因此大地水准面分辨能力在该海域显著降低。

大地水准面分辨能力不同于测高数据的采样率，提供了沿轨滤波处理时直径选取的依据。本文联合信噪比法和谱关联性法，选取5个研究区域，分析了Cryosat-2数据的大地水准面波长分辨能力，其变化范围在23~33 km之间。

目前，Cryosat-2数据的重复周期较少，随着在轨运行时间的累积，多个周期重复轨道数据通过共线处理和波形重构，可以有效抑制海面时变效应及地理环境干扰所致的噪声，从而进一步提升信号分辨能力。Cryosat-2数据已在全球大部分海域提供了密集的数据覆盖，因其大地水准面短波信息的更优表达特性，将是改进海洋重力场模型构建的重要数据源。