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高光谱遥感是遥感技术的重要发展方向之一[1]，其光谱分辨率高达nm级，可获得地物的连续光滑的光谱曲线[2-3]。但因高光谱成像光谱仪侧重于高光谱分辨率，其空间分辨率相对较低；由于地面的复杂多样性，使高光谱遥感图像中广泛存在混合像元[4]，制约了高光谱遥感技术的应用。高光谱解混是解决混合像元问题的一个有效方法，其研究内容主要是提取遥感图像基本组成成分 (端元) 的特征光谱和有效估计混合像元中各个端元之间的混合比例 (丰度)[5]。
线性光谱混合模型 (linear spectral mixture model, LSMM) 在混合像元分解中得到了广泛应用，它假定混合像元中各端元之间的相互影响可以忽略不计，每1个观测像元矢量都可以表述为端元和它们相应丰度的线性组合[6]。LSMM的丰度反演主要应用最小二乘方法[7]；为了提高反演的精度，可加入各种约束条件，根据不同约束条件可分为无约束最小二乘法 (unconstrained least-squares, ULS)、非负约束最小二乘法 (nonnegative constrained least-squares, NCLS) 和全约束最小二乘法 (fully constrained least-squares, FCLS)。近年来，由于核函数方法具有强大的数据映射能力，可有效地提高混合像元分解的精度，因而在高光谱遥感图像解混中得到广泛应用[8]。国内外学者利用支持向量机 (support vector machine, SVM) 及其改进算法进行混合像元的分解[9-14]。Kwon等提出核正交子空间投影 (Kernel orthogonal subspace projection, KOSP) 算法[15]；此后，很多学者将该方法应用于图像分类、目标检测、混合像元分解等领域。Liu等[16]在KOSP的基础上发展了基于核方法的线性光谱分析。王挺等考虑到局域信息，对KOSP方法进行改进，并应用到高光谱图像目标探测领域[17]。赵春晖等提出了一种基于自适应核方法的正交子空间投影高光谱图像异常检测算法[18]。国内外学者利用核方法进行高光谱混合像元分解的研究集中在对SVM和KOSP算法的改进及应用上。关于核方法与LSMM模型的丰度反演结合的研究还比较少，尚不成体系。
本文在KOSP算法的基础上，将核方法与LSMM模型的丰度反演方法结合，采用最小二乘正交子空间投影 (least squares orthogonal subspace projection, LSOSP) 算子，构建核最小二乘正交子空间投影 (Kernel LSOSP, KLSOSP) 高光谱混合像元解混方法；然后用KLSOSP导出核非负约束最小二乘 (Kernel nonnegative constrained least-squares, KNCLS)，进一步导出核全约束最小二乘 (Kernel fully constrained least-squares, KFCLS)；并将KLSOSP、KNCLS和KFCLS与LSOSP、NCLS和FCLS的高光谱丰度进行反演对比实验。
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线性光谱混合模型假设光谱向量r由1组图像端元线性混合而成，即有：
(1) 式中，r为混合像元光谱，r∈Rl，R为端元，l为波段数；M为端元矩阵，M∈Rl×p，p为端元数目；α为丰度向量，α∈Rp；n为模型误差。
OSP方法在进行混合像元分解时，把M分为感兴趣的目标端元d与不感兴趣的背景端元U这两部分[19-20]。为不失一般性，设d=mp为第p个端元的光谱信号，U=[m1, m2, …, mp-1]为其他端元的光谱信号，则式 (1) 可改写为：
(2) 式中，αp为第p个端元的丰度；U为背景信号矩阵；γ为U对应的端元丰度。利用最大化信噪比的原则得到未知的丰度αp(即OSP探测算子) 为：
(3) 式中, P⊥U=I-U(UTU)-1UT是背景U的正交补矩阵 (亦称“投影阵”)，其作用是把信号d投影到由信号U的元素所形成的子空间上；I为L×L的单位矩阵。P将U分量消除，从而抑制了图像中不感兴趣目标的特征分量。由此可见，OSP方法在进行丰度反演时，能消除背景信息的影响，同时也可抑制图像噪声的干扰。
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利用式 (3) 中的OSP探测算子求解端元丰度时，需要已知先验的丰度矩阵，这通常很难获得，可利用最小二乘原理估计未知丰度αp：
(4) 通过引入丰度修正项 (dTP⊥Ud)-1，得到LSOSP算子：
(5) -
在实际算法中，式 (1) 中的线性光谱混合模型有以下两个约束条件：①丰度非负约束 (abundance non-negativity constraint, ANC)，即αj≥0, 1≤j≤p；②端元丰度总和为1约束 (abundance sum-to-one constraint, ASC)，即
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核方法的应用通常是将所有的训练样本通过核函数映射到高维特征空间，再在特征空间进行线性分析，如核主成分分析[21]、核最小噪声分离变换[22]、核RX探测[23]等。这类方法因所有的数据样本都需要核化，计算复杂度较高。本文对核方法的应用是通过核化OSP、LSOSP、NCLS和FCLS算子来进行丰度反演，不仅可提高线性解混的精度，而且可大大降低计算复杂度。首先核化OSP探测算子，构建KOSP模型，利用最小二乘法求解导出KLSOSP；然后加入非负约束条件导出KNCLS，加入全约束条件导出KFCLS。
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KOSP最初由Kwon等[15]在2005年提出，采用的是奇异值分解 (singular value decomposition, SVD) 方法。本文不采用SVD，而是直接将核方法运用P⊥U上，将 (UTU)-1直接映射到特征空间中的核形式K(UTU)-1，通过一个核映射φ将式 (3) 映射到特征空间，即有：
(6) 其中，
(7) 将式 (7) 带入式 (6)，则得KOSP关系式：
(8) 由于 < K(d, Iφ), K(Iφ, r)>=K(d, r)，利用核方法将式 (8) 进一步简化为:
(9) 相似地，由式 (5) 可得：
(10) 再将式 (7) 带入式 (10)，得到:
(11) -
因丰度值不能为负值，所有像元必须满足丰度非负约束条件 (ANC)，故可得到:
(12) 对于ANC约束下的最小二乘法也就变成了如下最优化问题：
(13) 构造一个Lagrange乘数，则有:
(14) 若α=c，由
(15) 
(16) 式 (15) 和式 (16) 的核形式为:
(17) 
(18) 其中，λ为拉格朗日乘向量，用来实现丰度非负约束；(K(M, M))-1K(M, r) 为式 (15) 中的 (MTM)-1MTr的核形式。所以，式 (11) 中的
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为了推导出KFCLS，引入一个新的端元矩阵
(19) 
(20) 式中, λ和δ这两个参数可分别实现“丰度非负”和“丰度总和为1”这两个约束条件。
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本文选择机载可见/近红外成像光谱仪 (airborne visible/infrared imaging spectrometer, AVIRIS)1997-06-19获取的美国内华达州CUPRITE矿区的成像光谱数据为实验数据。AVIRIS数据是典型的高光谱数据，它覆盖全反射光谱区域 (0.4~2.5 μm)，共有224个波段，平均光谱分辨率为10 nm，地面分辨率约为20 m。从所获取的高光谱遥感图像数据中截取548像素×511像素的子区作为研究区数据，该地区矿物类型主要有明矾石、高岭石、方解石、云母、玉髓和水铵长石等[25]。图 1为研究区高光谱图像立方体及矿物蚀变分布图。
图 1 研究区高光谱图像立方体及矿物蚀变分布图
Figure 1. Hyperspectral Image Cube and Mineral Maps
由于数据的空间分辨率较低，且地面矿物复杂多样，故图像中混合像元较多，适合高光谱解混实验。实验前先对其进行了大气校正，选用短波红外的50个连续波段 (波段172(1.990 8 μm)~波段221(2.479 0 μm)) 进行实验。
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实验中的端元采用USGS权威网站公布的该地区的参考端元光谱[26]，如2图所示 (为了清晰表示反射率变化，对纵坐标进行了平移)，此端元比较准确，有利于后续丰度反演方法的分析。
图 2 参考端元光谱曲线
Figure 2. Reference Endmember Spectral
用MATLAB编程实现KLSOSP、KNCLS和KFCLS丰度反演算法，其中的核函数都选择使用广泛的径向基函数 (radial basis function, RBF)，其计算公式为：
(21) 式中，xi和xj分别为不同的样本；σ为函数的宽度。核函数中对参数σ的选择需要经过多次实验才能确定较好的值，因KFCLS算法中通过λ和δ两个参数实现ASC和ANC约束条件，δ是固定值 (本文中取1×10-5)，导致KFCLS中的参数σ与KLSOSP和KNCLS中的参数σ相比要小得多。最终，确定KLSOSP、KNCLS和KFCLS中的参数σ分别为2 000、2 000和0.5。
对KLSOSP、KNCLS和KFCLS与LSOSP、NCLS和FCLS进行丰度反演对比实验。对实验结果从解混矿物丰度图和解混均方根误差图像两个方面进行分析。
1) KLSOSP、KNLS、KFCLS与LSOSP、NLS、FCLS解混矿物丰度图分析。限于篇幅，本文仅列出明矾石和高岭石两种矿物的丰度图。图 3~图 5分别是用LSOSP和KLSOSP、NCLS和KNCLS、FCLS和KFCLS解混得到的明矾石和高岭石丰度图。丰度图中色调越亮的部分，表明矿物在该位置的比例越大。
图 3 利用LSOSP、KLSOSP解混得到的明矾石、高岭石丰度图
Figure 3. Alunite, Kaolinite Abundance Maps Produced by LSOSP and KLSOSP
图 4 利用NCLS、KNCLS解混得到的明矾石、高岭石丰度图
Figure 4. Alunite, Kaolinite Abundance Maps Produced by NCLS and KNCLS
图 5 利用FCLS、KFCLS解混得到的明矾石、高岭石丰度图
Figure 5. Alunite, Kaolinite Abundance Maps Produced by FCLS and KFCLS
从图 3~图 5可以清楚地看出，用KLSOSP、KNCLS和KFCLS方法解混得到的明矾石和高岭石丰度图较清晰，与矿物分布图的吻合度也更好。这3种核化方法解混的效果明显优于其对应的LSOSP、NCLS和FCLS方法。
对丰度图进行统计分析的结果表明，LSOSP和KLSOSP解混得到的矿物丰度有小于0或大于1的情况，这与实际情况不符；附加丰度非负约束条件之后，NCLS和KNCLS解混得到的矿物丰度都大于等于0；附加全约束条件之后，FCLS和KFCLS的丰度都在0~1之间。由此可见，附加约束条件有利于提高矿物丰度反演的精度。
2) KLSOSP、KNLS、KFCLS与LSOSP、NLS、FCLS解混均方根误差分析。均方根误差 (root mean square error, RMSE) 计算公式为：
(22) 式中，n为式 (1) 中的模型误差；N为像素总数。
图 6是用KLSOSP、KNCLS和KFCLS解混之后的均方根误差图像。误差图像中的色调越亮，误差就越大；色调暗并且均匀分布时，便达到了RMSE尽可能小的要求。
图 6 KLSOSP、KNCLS、KFCLS解混之后的均方根误差图像
Figure 6. RMSE Images Produced by KLSOSP, KNCLS, KFCLS
从图 6可以很明显地看出，KFCLS的误差图像中亮像素最少，灰度分布最均匀；KLSOSP的误差图像中亮像素最多；KNCLS的误差图像中亮像素的数量介于KLSOSP和KFCLS之间。由此可以看出，KFCLS解混的精度最高，其次是KNCLS，而KLSOSP解混的精度最低。表 1列出KLSOSP、KNCLS和KFCLS与LSOSP、NCLS和FCLS解混的均方根误差对比情况。
表 1 KLSOSP、KNCLS、KFCLS与LSOSP、NCLS、FCLS解混均方根误差对比
Table 1. Comparing RMSE of KLSOSP, KNCLS, KFCLS and LSOSP, NLS, FCLS
RMSE KLSOSP/
LSOSPKNCLS/
NCLSKFCLS/
FCLS最大值 0.014 7/
0.065 30.006 6/
0.021 40.003 4/
0.007 3均值 0.006 1/
0.027 10.003 1/
0.009 20.001 7/
0.003 0由表 1可以看出，KLSOSP、KNCLS和KFCLS解混的RMSE的最大值与均值分别小于对应的LSOSP、NCLS和FCLS。这进一步说明了KLSOSP、KNCLS和KFCLS方法分别优于其对应的LSOSP、NCLS和FCLS方法，且附加约束条件有利于提高丰度反演的精度。
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本文利用核方法，分别核化OSP、LSOSP、NCLS和FCLS算子，构建KOSP、KLSOSP、KNCLS和KFCLS高光谱图像混合像元分解模型。KLSOSP、KNCLS和KFCLS与LSOSP、NCLS和FCLS高光谱遥感图像解混对比实验的结果表明：对于混合像元广泛存在的高光谱遥感图像来说，利用KLSOSP、KNCLS和KFCLS进行丰度反演的效果要优于对应的LSOSP、NCLS和FCLS方法；附加约束条件有利于提高丰度反演的精度。
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摘要: 为了提高高光谱遥感图像混合像元分解的精度，提出基于核方法的高光谱线性解混。采用核化正交子空间投影（orthogonal subspace projection，OSP）算子、最小二乘正交子空间投影（least squares OSP，LSOSP）算子、非负约束最小二乘（nonnegative constrained least-squares，NCLS）算子和全约束最小二乘（fully constrained least-squares，FCLS）算子等方法分别构建核正交子空间投影（Kernel OSP，KOSP）、核最小二乘正交子空间投影（Kernel LSOSP，KLSOSP）、核非负约束最小二乘（Kernel NCLS，KNCLS）和核全约束最小二乘（Kernel FCLS，KFCLS）高光谱图像混合像元解混模型。对CUPRITE矿区AVIRIS数据进行KLSOSP、KNCLS和KFCLS与LSOSP、NCLS和FCLS丰度反演对比实验，结果表明，对于混合像元广泛存在的高光谱遥感图像来说，基于核方法的KLSOSP，KNCLS和KFCLS的解混精度优于LSOSP，NCLS和FCLS；附加约束条件有利于提高丰度反演的精度。Abstract: In order to improve the accuracy of hyperspectral pixel un-mixing, a Kernel based pixel un-mixing method was proposed in this paper. By kernelizing orthogonal subspace projection (OSP) operator, least squares OSP (LSOSP) operator, nonnegative constrained least squares (NCLS) operator and fully constrained least squares (FCLS) operator respectively, the authors established Kernel OSP (KOSP), Kernel LSOSP (KLSOSP), Kernel NCLS (KNCLS) and Kernel FCLS (KFCLS) to hyperspectral imagery pixel un-mixing. The comparison experiments of abundance inversion by using KLSOSP, KNCLS, KFCLS and LSOSP, NCLS, FCLS to CUPRITE AVIRIS data were carried out. The results show that for heavily mixed hyperspectral images, the pixel un-mixing accuracy of Kernels based KLSOSP, KNCLS and KFCLS is higher than that of LSOSP, NCLS and FCLS. Meanwhile, the constraint conditions can improve the accuracy of abundance estimates.
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Key words:
- hyperspectral remote sensing /
- Kernel trick /
- pixel un-mixing /
- OSP
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图 3 利用LSOSP、KLSOSP解混得到的明矾石、高岭石丰度图
Figure 3. Alunite, Kaolinite Abundance Maps Produced by LSOSP and KLSOSP
图 4 利用NCLS、KNCLS解混得到的明矾石、高岭石丰度图
Figure 4. Alunite, Kaolinite Abundance Maps Produced by NCLS and KNCLS
图 5 利用FCLS、KFCLS解混得到的明矾石、高岭石丰度图
Figure 5. Alunite, Kaolinite Abundance Maps Produced by FCLS and KFCLS
图 6 KLSOSP、KNCLS、KFCLS解混之后的均方根误差图像
Figure 6. RMSE Images Produced by KLSOSP, KNCLS, KFCLS
表 1 KLSOSP、KNCLS、KFCLS与LSOSP、NCLS、FCLS解混均方根误差对比
Table 1. Comparing RMSE of KLSOSP, KNCLS, KFCLS and LSOSP, NLS, FCLS
RMSE KLSOSP/
LSOSPKNCLS/
NCLSKFCLS/
FCLS最大值 0.014 7/
0.065 30.006 6/
0.021 40.003 4/
0.007 3均值 0.006 1/
0.027 10.003 1/
0.009 20.001 7/
0.003 0
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图(6) / 表(1)
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