在精密定位中，模糊度的解算是关键问题。GNSS/INS组合下，INS位置提供了额外的几何信息，使得动态情况下估计模糊度成为可能。

设组合系统接收机为j，则对应于卫星q的载波相位观测方程为：

式中，λ为波长；Φ_j^q为以周为单位的载波相位值；ρ_j^q为几何距离；N_j^q为整周模糊度；δt为钟差；e_Φ,j^q为测量噪声，式中略去了大气折射延迟d_I和d_T。

设参考星为p，则可得星间单差观测方程为：

若有基准站i，且在此站同步观测到卫星p、q，则可得站星双差观测方程为：

将此时INS计算的位置参数X_I代入到式(3) 中的∇ρ_j^p,q中，略去上下标符号，得到：

由式(4) 可对双差模糊度按式(6) 进行估计：

估值∇Δ${\hat{N}}$受INS位置误差、残余大气折射延迟误差、多路径效应和观测噪声影响，在随后的论述中使用表示双差模糊度∇Δ${\hat{N}}$。

若要采用直接取整法固定模糊度，则${\hat{N}}$必须有足够的精度，进而要求位置参数具有较高的精度。文献[12]从中误差的角度推导了变形监测点坐标初值的误差限值，且未考虑载波相位观测噪声影响，所以并不严密。这里，直接从真误差的角度进行分析。

${\hat{N}}$要取整确定，其误差d${\hat{N}}$应满足：

基准站位置固定，误差视为零，则要求：

暂不考虑残余大气折射延迟和多路径效应，设载波相位中误差σ_Φ=0.01，则有：

取99.97%置信区间的情况下，∇ΔΦ误差的取值范围为：

在式(8) 中顾及这部分噪声影响，则有：

对于频点L1和L2，分别有：

即INS导出的等效距离误差必须小于0.084 m，才能通过取整正确固定模糊度。易知：

式中，l为方向余弦；dX_I=[dx_Idy_Idz_I]^T为INS位置误差。(l^q-l^p)的模为：

式中，β为l_k^p和l_k^q的夹角，即接收机到卫星p和参考星q的夹角，夹角越小，误差放大因子越小；夹角越大，误差放大因子越大。若β∈[90,270]，误差会放大，否则误差缩小。

若假设|l^q-l^p|=1且INS各方向误差相同，即dx_I=dy_I=dz_I，则有：

即INS三维坐标误差应小于0.145 m。

在GNSS/INS组合精密定位系统中，INS的位置参数在GNSS更新点上被GNSS载波相位观测值更新，对于k时刻的INS位置X_I，设其之前某时刻m有固定解，则其误差可表示为：

式中,σ_XI(m)为固定模糊度后的载波相位观测值与INS的组合解，可称GNSS/INS固定解，精度高；而σ_INS(m,k)为m到k时刻INS单独导航的累积误差。

若卫星几何结构良好，各历元模糊度正确固定，则m=k-1。m与k之间的时间间隔越大，INS误差积累越大。若长时间失锁或观测条件不佳导致模糊度一直未固定，则导致INS误差无法得到修正，此时对模糊度估值直接取整会造成错误。且在前面论述中，没有考虑大气折射延迟的影响，如果双差残余大气误差较大，会进一步降低模糊度估值精度。

图 1显示的是某一组GPS/INS观测数据(PRN6) 的 L1频点模糊度N₁的直接估计误差。大部分时间观测条件较好，可直接取整固定单频模糊度，而在267 579 s~267 659 s之间，几何机构不佳，INS误差积累，模糊度估计误差较大，无法通过取整固定。

图  1  PRN6模糊度估计误差(L1)

Figure 1.  Ambiguity Estimation Error of PRN6 (L1)

某型INS (标称陀螺漂移1 deg/h)在模拟的3次失锁(每次均为20 s)情况下的误差积累结果如表 1所示，其中第2次失锁的X轴误差情况如图 2所示。可以看出，对于一般的战术级INS，当失锁导致INS误差积累到一定程度时，难以取整固定单频模糊度。

图  2  失锁时X轴误差

Figure 2.  X-axis Error During Losslock

单一频点模糊度估值对INS误差的要求较高，限制了单历元直接取整固定方法的应用范围。由式(12) 、式(13) 易知，如果能增加载波信号的波长，便能降低直接解法对INS精度的要求。

能够增加波长的双频宽巷组合主要有(1,-1) 、(-3,4) 、(4,-5) 、(-7,9) 等，对应的模糊度组合分别用N_WL11、N_WL34、N_WL45、N_WL79表示。

L1频点INS辅助模糊度估计误差可表示为：

(1,-1) 组合模糊度估计误差为：

因此，(1,-1) 组合大大削弱了INS误差影响，结合式(17) 、式(19) 、式(20) 可得INS点位误差需满足：

由于(1,-1) 组合的噪声大于L1，实际的点位误差限值应比0.657更小些，对于一般的战术级惯性测量单元 (inertial measurement unit，IMU)，在GNSS完全失锁10~15 s以内均能使误差低于该水平。

上述推导过程未考虑残余电离层延迟误差影响。设L₁频点双差残余电离层延迟误差为∇Δd_I,1=K/f₁²，以周为单位表示为：

则dN_WL11中电离层误差为：

可以看出，使用(1,-1) 组合，虽然观测噪声略微放大，但是电离层误差影响减小，可容许的INS误差限值增大。

对于(-3,4) 模糊度组合，有：

其电离层延迟误差为：

相对单频 L1模糊度，(-3,4) 组合模糊度能将INS误差影响削弱到 L1频点的0.12倍，但是电离层误差影响是 L1的2倍以上。图 3所示为PRN6的(-3,4) 组合模糊度结果，实线为真值，可以看出，受电离层误差的影响，直接对(-3,4) 组合模糊度取整会产生错误的结果。

图  3  PRN6模糊度(-3,4) 组合

Figure 3.  (-3,4) Ambiguity Combination of PRN6

(4,-5) 和(-7,9) 对INS误差的削弱作用更强，而电离层误差和噪声的放大倍数也更高。使用后三种组合，均需对电离层误差进行补偿，下面以(-3,4) 组合为例说明。

这里采用多项式拟合的方式对电离层延迟误差进行拟合并外推到当前历元。设在k-n到k-m历元，有(-3,4) 组合固定解序列[N_WL34,k-n,…,N_WL34,k-m]，结合估值序列[${\hat{N}}$_WL34,k-n,…,${\hat{N}}$_WL34,k-m]，则可得误差序列：

由于组合模糊度受电离层影响远大于噪声，使用误差序列进行多项式拟合后，拟合结果基本上能反映电离层误差的趋势，将拟合结果外推到当前历元k，得到当前误差估值：

即可对模糊度估值${\hat{N}}$_WL34,k进行补偿：

实际计算得到的模糊度组合中的误差项${\hat{e}}$_k,I不完全由电离层误差构成，还可能包括对流层残余误差和多路径效应等，只是电离层误差影响最大，这里的补偿实际上也削弱了对流层延迟和多路径效应影响。若观测质量较好，一般m=k-1，n可取15，即采用15个历元的数据进行拟合。图 4所示为PRN6电离层补偿后的(-3,4) 组合模糊度结果，拟合中采用的是最简单的一阶多项式，最初部分历元数据短，无法进行拟合，为图形显示方便，这部分历元所示的是模糊度真值。电离层拟合并补偿后，组合模糊度估值的系统误差部分得到了明显的控制，模糊度估计误差均在0.5周以内，直接取整便能确定组合模糊度值。若要得到更好的结果，还可以选择阶数更高的多项式。

图  4  电离层修正后PRN6 (-3,4) 组合

Figure 4.  (-3,4) Combination of PRN6 After Ionospheric Correction

使用模糊度组合可以削弱INS误差的影响，利用多项式拟合能抑制模糊度组合中电离层误差的影响。多项式拟合需要数据具有较好的连续性，对于低高度角的卫星，难以保证持续锁定，不利于电离层误差的拟合和补偿。4颗观测卫星能唯一确定接收机位置，因此，在所有卫星中，若能固定其中4颗卫星的模糊度，便能得到比INS更为精确的位置坐标，以该坐标可直接估计各个频点的模糊度并取整固定。INS辅助模糊度单历元直接解法可归纳为以下5个步骤。

(1) 使用INS位置坐标估计高度角最高的4颗基本卫星各频点模糊度参数值；

(2) 用单频模糊度来构建组合模糊度，综合噪声和波长特性并顾及式(21) 的需求，这里选(1,-1) 和(-3,4) 组合；

(3) 对(-3,4) 组合使用多项式拟合进行电离层补偿，获得去除系统误差项的组合模糊度估值；

(4) 组合模糊度取整，反算各频点模糊度：

N₁=4N_WL11+N_WL34

N₂=3N_WL11+N_WL34

(5) 利用已固定模糊度的4颗卫星估计接收机坐标，使用此坐标取代INS位置，估计其它卫星的模糊度参数并直接取整固定。

固定所有模糊度后，即可回代所有载波相位观测方程，对滤波器进行观测更新，获得高精度的导航参数。

使用采集于武汉的动态车载GPS/INS组合系统数据验证INS辅助单历元直接解法的有效性，车载天线和基站之间全程平均相距15 km。INS采样率200 Hz，标称陀螺漂移1 deg/h，标称加速度计偏置1e-4 g，GPS为双频接收机，采样率1 Hz。267 579 s~267 659 s历元内，可视卫星数较少，其他历元观测质量较好，最大可视卫星数达9颗。分别采用LAMBDA方法和本文直接解法解算模糊度，具体分为3个方案进行比较。

方案1 LAMBDA方法搜索模糊度，采用的是先固定宽巷再固定 L1的策略。

方案2 对全部卫星采用INS辅助直接解法确定模糊度。

方案3 本文INS辅助直接解算方案，先解算4颗基本卫星的模糊度，确定接收机坐标后回代求解其它卫星各频点模糊度。

三个方案均采用单历元瞬时固定模式，其中方案2和方案3的区别仅仅在于是否将卫星分为两部分分别求解。固定后的模糊度均回代更新INS位置参数，模糊度真值由顾及前后历元关系的后处理方法得到。观测高度角最高的4颗卫星星号为PRN3、6、19、27；作为基本卫星，其中PRN3作为组差参考星；PRN6为高度角较低的卫星(特别是在初期)，这里进行重点评价。图 5和图 6所示为方案1采用LAMBDA方法搜索的 L1频点双差模糊度最优结果的误差，方案2和方案3的错误固定结果较少，不再以图形显示。表 2显示的是3种方案 L1频点模糊度解的错误率，历元总数为770。上述卫星中，PRN3观测历元769，PRN6观测历元729，其余均为770。PRN6的 (-3,4) 组合及电离层补偿结果如图 3、4所示，其它基本卫星的电离层误差更小，这里不再显示。

图  5  PRN6 LAMBDA解算模糊度

Figure 5.  Ambiguity of PRN6 Calculated by LAMBDA

图  6  PRN16 LAMBDA解算模糊度

Figure 6.  Ambiguity of PRN16 Calculated by LAMBDA

从以上结果可以得出以下结论。

1) 本文INS辅助模糊度单历元直接解法正确固定了所有的模糊度，即使在卫星观测条件不佳的情况下，仍能通过合理的解算方案固定模糊度；

2) 若对全部卫星采用INS辅助直接解法确定模糊度，则低高度角的卫星会因观测数据的不连续行而难以准确拟合出(-3,4) 模糊度组合的电离层误差，造成取整错误；

3) 在观测质量较优的情况下，LAMBDA方法能够准确固定模糊度；当观测质量较差时，LAMBDA方法无法搜索到最优结果。在没有其它约束条件的情况下，使用LAMBDA方法难以实现单历元模糊度固定。

LAMBDA等搜索算法难以实现单历元模糊度固定；使用INS发挥几何信息的作用，可直接辅助模糊度固定；单频模糊度估计结果受INS误差影响较大，使用波长较长的模糊度组合能削弱INS误差影响，提高对INS精度水平的容忍度。长波长的(-3,4) 、(4,-5) 、(-7,9) 组合在很大程度上放大了电离层延迟误差等系统误差项的值，直接取整存在较大风险，而采用多项式拟合方法可以对电离层误差进行补偿，去除模糊度组合中的系统误差部分，便于直接取整固定。先固定基本卫星的模糊度后，其它卫星每个频点的模糊度均可直接取整固定，效率较高。