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社会经济重心是地理重心模型的一种典型应用。在地理重心模型中，考虑不同的空间属性可以得到不同的重心位置，从而应用于不同的领域[1-3]。区域经济重心的决定因素有两个，即区域内各单元的地理位置及其经济发展总量。由于地理位置保持不变，因此经济的发展决定了重心的迁移[4]。社会经济重心的移动可以反映出社会经济发展的相关问题。近年来，对社会经济重心的研究十分常见，例如对我国近年来的人口、经济重心的分析等[5-9]。当前研究侧重单个经济指标重心轨迹的理论分析，较少针对多指标的轨迹进行研究。
随着GNSS技术的发展，移动物体的轨迹数据的获取记录已十分普遍。如何从大量的轨迹数据中提取出有用的信息成为目前研究的热点。不同学科领域使用的轨迹数据也有所不同，包括个人轨迹数据[10]、车辆轨迹数据[11, 12]等；此外，轨迹数据挖掘还可以运用于数据挖掘和趋势分析中，例如根据经济重心的迁移轨迹发现其中潜在的模式及相互关系。近年来，轨迹数据模式挖掘的发展相当迅速，典型的有REMO方法[13]、结合语义的方法[14]等。
文献[15]提出了一套完整的利用玫瑰图对轨迹进行移动模式分析的方法。玫瑰图是一种环形直方图，可以表达与角度相关的描述性统计量。文献[15]主要针对两个点的单线段轨迹，未考虑同一对象在多个时间段内的移动变化，也未考虑轨迹的特征和轨迹对的比较分析。本文将玫瑰图的概念应用于社会经济重心轨迹的模式研究中，通过轨迹方向玫瑰图和轨迹对方向半玫瑰图实现对单轨迹、全局轨迹以及轨迹对移动模式的分析。
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地理重心模型本质是将一组空间对象S的几何重心坐标和其对应的某项社会经济指标数据进行加权平均而得到的一个重心坐标。空间对象S代表了基础的空间单元。而社会经济指标数据则表示为S对应的一个指标数据形成的向量M。因此，地理重心模型的输入为一组空间对象S的几何重心(X, Y)以及某社会经济指标向量M，输出为一个重心坐标(x, y)。其数学表达式为：
(1) 式中，n为区域内空间对象的数目；(xi, yi)和Mi分别为空间对象i的几何重心位置和属性值, 其中属性值Mi代表国内生产总值、企业数等社会经济属性值，从而得到与不同经济属性对应的社会经济重心；Mi也可以是发病率、犯罪率等其他属性值。
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本文的基础研究单元为同一组空间对象S的某项社会经济指标M在顺序多个时间点T={t1, t2, …, tn}上的重心坐标所形成的重心轨迹P。因此，对应一个社会经济指标，P由n个重心坐标组成。P可以直观并定量地反映出指标M对应的地理重心随时间迁移的方向和程度，可表达为：
(2) 式中，(x, y)表示ti时刻空间对象的地理重心；n表示轨迹上所有点数[13]。此外，还可以以空间对象每次移动的角度和距离来表达其轨迹P，可表示为：
(3) 式中，(ai, di)分别为ti~ti+1时刻物体移动的角度和距离，可由式(4)计算得到：
(4) -
将两条重心移动轨迹P1和P2表示为：
(5) 则这两条移动轨迹之间的相对关系，可用两者之间每一段的角度差和距离差来表达：
(6) 在计算时，需将距离差di12取绝对值。由于当两条轨迹的夹角ai12在[180°, 360°]区间时，ai12与ai12-180°表达的两条轨迹之间的相对关系是等价的，所以我们将角度差ai12的值在计算时都换算到[0°, 180°]之间。此时，轨迹P1与P2之间的相对关系可以表达为：
(7) 式(7)即是重心轨迹对的表达式。将重心轨迹对的概念应用于社会经济重心轨迹的分析中，可描述两条不同的经济重心轨迹之间的关系，从而反映出其各自所对应的社会经济重心模式。
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轨迹方向玫瑰图是将玫瑰图与轨迹数据相结合，对社会经济重心轨迹数据移动方向分布进行统计，实现对单条经济重心轨迹或全局经济重心轨迹在某一个连续的时间段内的移动模式探索。
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对于一条重心轨迹P，先将其以移动角度和距离的形式表达(式(3))。然后将一个极坐标空间按角度值划分为偶数m个等间隔的区域，即每个区间的角度跨度为(360/m)°。对m个区间，依次统计轨迹P中角度ai落在该区间内的距离di之和：
(8) 最后，将各个区间sum_dj以玫瑰图的形式可视化表达出来，即可得到重心轨迹P的轨迹方向玫瑰图。当我们用轨迹方向玫瑰图来分析单条社会经济轨迹的移动模式时，可根据图上的角度分布特征发现轨迹所对应的某一个社会经济指标的移动方向模式。此外，轨迹方向玫瑰图可以实现某一区域内的全局轨迹的整体移动方向分析。此时，只需将区域内在相同时间段的n条轨迹依次按角度区间进行统计，最后将结果叠加即可：
(9) -
本文使用了蜿蜒度来定量评价一条轨迹的波动程度。蜿蜒度T是用轨迹的实际长度D与其起始点的直线距离D′的比值作为一个衡量指标[16], 即一条以式(2)形式表示的轨迹P，其蜿蜒度可表达为：
(10) 由式(10)可知，移动轨迹的蜿蜒度越大，说明轨迹在移动过程中波动得越厉害，反映在轨迹方向玫瑰图上，角度分布越分散；反之，则说明轨迹移动得越稳定，移动模式越显著，轨迹方向玫瑰图上的角度分布也越集中。
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轨迹对方向半玫瑰图是专门针对重心轨迹对的分析方法。其通过重心轨迹对之间的相对关系发现两条重心轨迹之间存在的联动关系和移动模式。由于重心轨迹对之间的角度值是在[0°, 180°]之间的，因此本文将其称为轨迹对方向半玫瑰图。
轨迹对方向半玫瑰图的生成方法与轨迹方向玫瑰图类似。先将两条重心轨迹表达成中心轨迹对的形式，如式(6)所示。对极坐标空间[0°, 180°]区域，将其等间隔划分为角度跨度为(360/m′)°的偶数m′个区间。统计轨迹对角度差ai12在各个区间的距离差倒数1/di12之和，并将其表达到半玫瑰图中：
(11) 值得注意的是，这里统计的是距离差的倒数而不是距离差，因此，半玫瑰图上表达的sum_di12越大，距离差越小，两条轨迹相似性越高。上述方法是将角度和距离同时考虑的情况。此外，也可以只考虑角度上的差距，不考虑距离上的差值。此时，在各个区间内统计的就不是距离差之和，而单纯的是角度差值出现的次数nj，并将其表达到半玫瑰图中。无论是否考虑距离差的影响，当半玫瑰图上角度集中分布的值越小时，轨迹之间的相似性均越高。
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本文以统计经济年鉴1985~2004年间我国大陆地区的国内生产总值(GDP)、就业人口等40项经济指标的重心轨迹数据为例，实现基于方向玫瑰图的社会经济重心轨迹的分析方法。以我国大陆地区各省份为空间对象，社会经济数据中各经济指标每年的统计值为属性值，根据地理重心模型计算得到对应指标在相应年份的地理重心坐标。其中基础空间数据选取为各省份行政边界的几何重心位置。因此，将某一项经济指标从1985~2004年间每年的经济重心位置根据时间顺序以式(6)的形式表达，便可得到该经济指标这20 a间的重心轨迹数据。
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本文中实现的所有探索性分析工具都是通过Python编程语言完成的，整个分析过程都与可视化分析紧密结合。在该实例中，本文将轨迹方向玫瑰图划分成了32个区间，轨迹方向半玫瑰图则划分了16个区间来进行分析。
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图 1将所有40项经济指标重心轨迹按蜿蜒度排序，得到模式最显著的三条轨迹的轨迹方向玫瑰图。从图 1中可以直观看出，年底户籍总人口数所对应的重心轨迹移动最为显著，呈现明显的往西南地区移动的趋势。与此同时，常驻人口(男)和从业人员也表现出相似的移动模式。因此，可以得出结论，在1985~2004年间，我国人口重心是偏西、偏南移动的。
图 1 根据蜿蜒度排序结果
Figure 1. Sorted by Tortuosity
此外，将轨迹方向玫瑰图应用于对全局轨迹的分析，结果如图 2所示。其分为三个时间段，从图 2中可以看出，1985~2004年期间的前10 a，重心轨迹整体偏南、偏西移动，而后10 a则相反，即偏北、偏东移动。
图 2 全局轨迹方向玫瑰图
Figure 2. Global Trajectories Directional Rose-diagram
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提取出40项经济指标重心轨迹, 实例数据中视觉上相似度较高的4组轨迹对如图 3所示。在轨迹对方向半玫瑰图中，角度值从小到大分别代表了轨迹对之间的相似性从高到低。可以看出，经济重心轨迹是第一产业总产值与农林牧渔业总产值相似性最高。
图 3 轨迹对方向半玫瑰图提取结果
Figure 3. Extraction Results of Directional Semi-rose-diagram
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社会经济重心的迁移变化反映了区域内部经济结构的变化。因此，研究社会经济重心移动轨迹移动模式，可以帮助我们理解社会经济发展的趋势，发现影响经济发展的因素以及各项经济指标之间的影响关系等。本文将玫瑰图的方法用于重心轨迹分析中，实现社会经济重心轨迹中隐含的移动模式的探索。其中，轨迹方向玫瑰图既可以分析单条轨迹的移动模式，也可以从全局特性考虑，分析全局轨迹的整体移动方向。轨迹对方向半玫瑰图，可以表达两条重心轨迹之间的相对关系。上述方法可以帮助我们探索隐藏在社会经济时空数据中的模式与关联，无需过多的先验知识和假设。本文中，蜿蜒度指标是与所选取指标数据在时间上的尺度相关的，未来将探讨其在多个时间尺度下的敏感性，并针对轨迹中蕴含的语义信息和轨迹形成的聚类群组进行进一步深入研究。
A Rose-diagram Based Approach for Analyzing Movement Patterns of Socioeconomic Gravity Center Trajectories
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摘要: 社会经济重心的移动轨迹可以直观反映出研究区域整体的的宏观地理结构和演变特征，而重心轨迹的相互关系可以体现出不同社会经济属性的地理关联关系。将轨迹分析与地理重心模型相结合，通过方向玫瑰图对由社会经济数据形成的轨迹移动模式进行可视化分析。其中，利用轨迹方向玫瑰图分析单条及全局重心移动轨迹的移动模式，并通过轨迹蜿蜒度提取显著的移动模式；利用轨迹对方向半玫瑰图定量描述两条重心轨迹之间的相对关系。对1985～2004年间我国大陆地区40项经济指标的重心轨迹进行移动模式分析，实验证明了方法的可靠性和有效性。Abstract: The movement trajectories of socioeconomic gravity centers can reflect the characteristics of micro and macro geographical structure evolution, while the correlation of gravity center trajectories indicates geographic relationships between different socioeconomic attributes. In this paper, we combine the analysis methods for entity object trajectories with geographic Center-of-Gravity models. We analyze movement patterns of trajectories generated from socioeconomic data as represented through directional rose-diagrams. A directional rose-diagram for trajectories allows analyzing movement patterns of socioeconomic gravity center trajectories from both individual and global scales. We also can extract the gravity center trajectories displaying significant patterns by tortuosity analysis. Besides, the half directional rose-diagram, an analysis tool especially for trajectory pairs, can intuitively express the relative relationship between two center trajectories. We take the trajectories of the center of gravity for 40 economic indicatorsin mainland China from 1985 to 2004 and mine their movement patterns as an example. This experiment provides a set of effective exploratory spatial-temporal data analysis tools for the study of socioeconomic data.
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