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时序干涉合成孔径雷达（interferometric synthetic aperture radar，InSAR）三维相位解缠方法可分为两类：（1）准三维算法[1]，即在三维空间内部选择合适的积分路径直接进行积分。这类方法对数据的要求比较高，当数据存在多环不连续面时，容易形成孔洞，导致解缠结果错误[2]。（2）伪三维相位解缠方法，如开源软件StaMPS提供的方法，将时空三维解缠问题转化为时间维和空间维相位解缠，空间维采用加权最小二乘法进行解算[3-5]。这种方法对于数据要求比较低，在地面沉降监测中能取得较好的应用效果。但该方法空间维采取的是以相位梯度作为权重的加权最小二乘解缠算法，不能顾及相位坡度变化对解缠的影响，在沉降严重、失相干现象明显的区域，解缠效果较差，影响地面沉降监测精度。
在地面沉降监测中，沉降漏斗区会因地形坡度变化导致相位不连续，引起误差传递，影响解缠结果，所以在时空三维相位解缠中，考虑地形坡度对相位的影响显得十分重要。对于二维空间相位解缠，Davidson等[6]从频谱偏移的大小与像元点所在的地形坡度角之间的关系出发，通过求解频谱偏移量来顾及地形变化的影响；吴迪等[7]通过从干涉相位图中得到的线性相位模型来估计地形坡度对解缠结果的影响。此类研究通过建立相位频率信息与地形坡度之间的关系来解决解缠过程中的误差传递问题。基于此，本文在时空三维相位解缠的空间维提出了一种基于频域置信度的加权最小二乘相位解缠算法(weighted least-square algorithm for phase unwrapping based on confidence level in frequency domain，CLF-WLS)，以解决坡度欠估计导致的解缠误差，改善解缠精度，从而改进时空三维相位解缠算法，提高时序InSAR地面沉降监测精度。
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时序InSAR技术[8]经过差分处理获得的相位信息，实质上是基于相干点的三维相位信息，包括时间序列相位变化以及二维空间内的相位变化信息[9-10]。Hooper等[9]提出的时空三维伪三维相位解缠算法，无需构建形变解算模型，直接对缠绕的差分相位采取先时间维后空间维的解算方式实现逐步三维解缠[9-12]，该算法对于多回路不连续数据同样适用。具体实现方法为：时间维解缠类似于一维相位解缠，为了减少大气延迟影响，采用Delaunay三角网连接离散分布的相干点，对每个弧段的相位差进行解缠，从而消除大气影响[13]。在空间维中将永久散射体（permanent scatterer，PS）点规则格网化，并采用加权最小二乘相位解缠算法(weighted least-square algorithm for phase unwrapping，WLS)进行空间二维相位解缠[14]。
时空三维相位解缠精度的提高很大程度上依赖于二维相位解缠的精度。对于沉降较为严重的区域，去除地形相位的干涉图仍然存在相位梯度变化较大导致去相干现象的问题[15]。空间维所采用的WLS算法比较稳定，得到的解缠相位较为连续和平滑，地势平坦区域的相位差小于π，满足Nyquist采样定理，解缠效果较好。但基于相位梯度的权重设置不能顾及坡度的变化，对于沉降严重的区域，干涉条纹较为密集，相位梯度ϕ超过π的区域会产生2nπ的残差。真实相位梯度的梯度差∆ϕ的估计会存在坡度偏差，导致全局误差传递[16]。因此本文对时空三维相位解缠的空间维进行改进，在使用最小二乘线性模型的基础上，考虑引入与坡度相关的输入控制变量作为权重值，引导相位解缠，抑制误差的传递。
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Davidson等[6]提出的基于局部频域估计的干涉图滤波方法为本文算法提供了思路及理论基础。文献[6]利用局部频率代替相位差分进行滤波实验，结果表明，局部频率的滤波结果能更好地反映相位信息及地形变化，证明了局部频率代替相位差分的优势。相位解缠是对缠绕的相位图的相邻像素相位差进行积分来得到真实相位，相位差对随机误差的估计较为准确，而对于坡度变化导致的整周期误差不敏感，因此本文在相位解缠中采用局部频率估计的方法代替传统的相位差分进行解缠。
局部频率估计技术多用于相位图滤波，其核心思想[17]是在一个统计窗口范围内，用二维线性相位模型模拟窗口相位值，即在一个窗口范围内，将相位信息看作具有单一的频率值。其数学模型为：
$$ {\rm{exp}}\left( {{\rm{j}}\varphi \left( {m,n} \right)} \right) = {\rm{exp}}\left( {{\rm{j}}{\varphi _0}} \right){\rm{exp}}\left( {{\rm{j}}2{\rm{ \mathsf{ π} }}\left( {m{f_x} + n{f_y}} \right)} \right) $$ (1) 式中，φ(m，n)为窗口单元内某一像元的相位拟合值；m、n为该像元距离窗口中心的位移；φ0为窗口内的平均相位；fx和fy分别为距离向和方位向的局部频率。局部频率能克服相位噪声的影响，反映相位的变化趋势，这是局部频率进行自适应滤波的原理。
在相位解缠中，局部频率估计相位信息的线性模型式（1）的误差Ud可以表示为一定窗口大小下的真实相位ϕi, j和拟合相位φi，j之间的差值，即：
$$ {U_d} = \frac{{\mathop {\mathop \sum \limits_{i,j = 1} }\limits^W \left| {{\varphi _{i,j}} - {\phi _{i,j}}} \right|}}{{2{\rm{ \mathsf{ π} }}{W^2}}} $$ (2) 式中，W代表计算的窗口大小，若窗口设置过小，则解缠结果受到局部噪声的影响过大，导致解缠结果不准确；若设置过大，则解缠结果会过度平滑，因此本文算法根据相位方差大小确定距离向、方位向的窗口大小尺寸。
对于局部频率的求取，根据雷达干涉测量的原理，局部频率f与局部的地形坡度α存在如下关系：
$$ f = \frac{{c{B_ \bot }}}{{\lambda R{\rm{tan}}\left( {\theta - \alpha } \right)}} $$ (3) 式中，c为波的传播速度；B⊥为垂直基线长度；λ为波长；R为斜距；θ为入射角。在入射角保持不变的情况下，坡度值越大，得到的频率值就越大。因此可以利用局部频率顾及地形的变化，地形变化越大，局部频率估计值的误差也较大。令Ufx、Ufy分别表示距离向和方位向频率估计的误差值，则：
$$ {U_f} = \frac{{\left| {{f_x}} \right|{U_f}_{_x} + \left| {{f_y}} \right|{U_f}_{_y}}}{{\sqrt 2 \sqrt {{f_x}^2 + {f_y}^2} }} $$ (4) 式中，
$$ \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{U_{{f_x}}} = 1 - {{\left| {{\rm{exp}}\left( {{\rm{i}}2{\rm{ \mathsf{ π} }}{f_x}} \right)} \right|}^2}}\\ {{U_{{f_y}}} = 1 - {{\left| {{\rm{exp}}\left( {{\rm{i}}2{\rm{ \mathsf{ π} }}{f_y}} \right)} \right|}^2}} \end{array}} \right. $$ (5) 根据上述分析，相位坡度对于相位解缠的影响可以表示为两部分，即线性模型估计误差Ud和频率估计误差Uf。其中，Ud代表相位估计的有效性，Uf代表频率估计的准确度，将这两部分进行调和整理构造频域置信度Ci, j：
$$ {C_{i,j}} = \frac{{2\left( {1 - {U_d}} \right)\left( {1 - {U_f}} \right)}}{{\left( {1 - {U_d}} \right) + \left( {1 + {U_f}} \right)}} $$ (6) 频域置信度可以通过改变门限值，灵活控制坡度对解缠的影响，坡度变化较大的区域，相应的置信度也较低，将其作为加权最小二乘相位解缠算法的权重值，能够有效避免局部解缠误差在全局的传递。本文提出的CLF-WLS算法对坡度变化比较敏感，能定量表达坡度变化对相位的影响，因此将其引入到时空三维相位解缠框架中，替代传统的WLS空间维解缠，从而改进时空三维解缠算法。CLF-WLS算法实现流程见图 1。
图 1 CLF-WLS算法流程
Figure 1. Flowchart of CLF-WLS Algorithm
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为验证CLF-WLS算法的可行性及有效性，实验采用peaks函数模拟400×400像素大小的干涉相位(图 2(a))，并采用wrap函数[18]缠绕该相位得到缠绕干涉相位(图 2(b))，在此基础上加入高斯随机噪声，该缠绕相位图中随机噪声对相位的连续性有一定影响，而相位梯度变化较大导致的干涉条纹密集现象也有所表现[19]，能够反映影响相位解缠的两类误差，具有一定的代表性。分别采用枝切法、传统的WLS算法及本文提出的CLF-WLS算法进行相位解缠模拟实验。
图 2 模拟相位图
Figure 2. Graphs of Simulated Phases
图 3和图 4分别为3种解缠算法得到的解缠图和解缠误差图。从两组图可以看出，枝切法在相位稳定区域能够得到较好的解缠结果，但在相位坡度变化较大的区域存在明显的相位跳变，进而形成孤岛(红框处)，导致解缠结果错误。WLS算法结果平滑连续，模拟地形趋势较好，但解缠过程中存在明显的误差传递，即相位坡度变化加大的区域的解缠误差传递到了相邻区域。本文提出的CLF-WLS算法得到的结果连续性较好，边缘细节信息表达完整，大部分区域的解缠误差接近于0，能够顾及相位坡度变化，避免误差传递，结果稳定而可靠。
图 3 不同算法得到的相位解缠图
Figure 3. Graphs of Phases Unwrapping of Different Algorithms
图 4 不同算法得到的相位解缠误差图
Figure 4. Graphs of Phases Unwrapping Error of Different Algorithms
除了定性比较解缠效果外，还采用相位解缠研究中常用的指标，即解缠结果不连续点数量、相位梯度与缠绕相位梯度误差平方和ε值、解缠相位与原始相位差值中误差以及运行时间来定量评价解缠效果(表 1)。
表 1 相位解缠效果比较
Table 1. Comparison of Phases Unwrapping Effect
解缠方法 不连续点数量 ε值 中误差/
(mm·a－1)运行时间/s 枝切法 3 123 4.26 9.78 6.79 WLS 1 487 3.62 5.43 20.56 CLF-WLS 1 085 1.10 1.91 21.45 从表 1可以看出，枝切法存在大量不连续点，解缠误差值较大，但运行速度最快；CLF-WLS和WLS相比，在解缠精度上有显著的提高，因权重值设置的复杂性，解缠速度相应有所降低，但差值并不大，能够满足解缠的要求。
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为验证改进的时空三维相位解缠算法的有效性与精确性，选取北京地区2010—2015年48景RADARSAT-2数据，分别利用改进的时空InSAR三维相位解缠算法和StaMPS时空三维相位解缠算法进行地面沉降监测实验，并利用同期水准测量数据进行精度对比。选取时间为2013-05-22的影像为主影像，得到的时序差分干涉相位图如图 5所示。从图 5可以看出，越靠近主影像，干涉条纹越明显，即具有较高的相关性，而干涉影像的中心区域存在明显的相位失相关。分别采用经典的StaMPS时空三维解缠算法和本文改进的时空三维解缠算法得到的解缠结果如图 6所示。两种解缠结果趋势大体一致，中心区域出现明显的沉降漏斗区域，主影像之前的相位值为负，相对于主影像表示地面抬升，主影像之后的相位值为正，相对于主影像表示地面沉降[20-21]。两幅图在时间维度上表现出良好的线性变化，但在空间维度中，图 6(a)在沉降区周围存在一定的误差传递现象，沉降趋势不明显。
图 5 时序缠绕干涉相位
Figure 5. Time Series of Wrapped Interference Phases
图 6 时空三维相位解缠结果对比
Figure 6. Comparison of Phases Unwrapping Results in Spatio-Temporal Three-Dimensional Space
图 7为两种算法得到的地面沉降监测结果，可以看出，两种算法得到的地面沉降监测结果空间分布趋势基本一致，主城区相对稳定，朝阳、顺义等地区存在明显的沉降漏斗。但在沉降漏斗区域，两者尚存在差异，StaMPS时空三维解缠算法得到的沉降结果存在明显的奇异点，在漏斗区周围存在误差传递现象，而本文算法得到的沉降结果较为连续，沉降漏斗边缘轮廓清晰，误差传递现象有明显改善，沉降监测结果更加可靠。
图 7 沉降监测结果对比
Figure 7. Comparison of Subsidence Monitoring Results
为了定量比较监测精度，使用水准点（B1~B8）附近10个像素范围内PS点的沉降速率均值表示该水准点的沉降值，并与水准点监测结果对比（表 2）。从表 2可以看到，StaMPS解缠算法的监测误差均值为5.25 mm/a，标准差为3.14 mm/a。本文算法的误差均值为2.83 mm/a，标准差为1.26 mm/a。改进算法的误差均值及标准差均小于StaMPS解缠算法，表明本文改进算法明显提高了监测精度。
表 2 平均沉降速率监测误差/(mm·a－1)
Table 2. Monitoring Errors of Average Settlement Rates/(mm·a－1)
水准点 水准监测值 StaMPS解缠值 StaMPS解缠误差值 改进解缠值 改进解缠误差值 B1 －3.11 －7.02 3.91 －0.47 2.64 B2 －18.20 －13.31 4.99 －20.99 2.79 B3 0.33 －2.23 1.56 1.21 0.88 B4 －122.98 －113.62 9.36 －127.53 4.55 B5 －5.20 －2.15 3.05 －3.51 1.69 B6 6.21 10.66 4.45 8.39 2.18 B7 4.87 0.92 3.95 1.02 3.85 B8 －119.46 －108.77 10.69 －115.38 4.08 误差均值 5.25 2.83 误差标准差 3.14 1.26 为了比较沉降漏斗区域的沉降监测精度，选择经过B5、B2、B4以及B8的剖面进行分析[22](剖面线位置见图 7)，对比结果如图 8所示。可以看出，两种算法获取的沉降速率趋势相同，在漏斗边缘地区(沉降速率变化明显的区域)，StaMPS解缠算法得到的沉降速率存在一定的波动，而改进算法的沉降监测结果比较平滑。结果证明，本文算法更好地处理了由于相位梯度突变引入的误差。
图 8 沉降剖面结果对比
Figure 8. Results Comparison of Subsidence Section
结合表 2各水准点的监测结果可以看出，对于地面沉降现象不明显区域的水准点（如B1、B3、B7），两种解缠方法得到的沉降监测结果的误差值相差不大，均小于平均值。对于落在沉降漏斗区的水准点（如B4、B8），StaMPS三维相位解缠算法的监测误差值较大，远大于误差均值，而改进解缠算法得到的沉降监测结果误差值明显小于StaMPS三维相位解缠算法。以上结果说明，对于地表情况稳定的区域，两种解缠方法都能得到较为精确的沉降结果。而对于沉降漏斗区，经典的时空三维相位解缠方法StaMPS的解缠精度不够，进而影响了地面沉降监测结果；但本文改进的解缠算法对于沉降漏斗区也能得到较为精确的解缠结果，进一步证明了利用改进算法进行沉降漏斗区沉降监测的有效性。
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针对经典的时空三维相位解缠方法空间维采取的WLS算法权重设置不能顾及地形坡度变化而导致误差传递的问题，本文采用频域置信度替代相位梯度作为权重，提出了CLF-WLS解缠算法。模拟数据实验表明，本文算法在解缠精度及连续性上都有明显优势，能够较好地解决由于坡度变化引起的失相干问题，避免解缠孤岛及误差的传递。北京地区地面沉降监测实验表明，本文改进的时空三维相位解缠算法的监测精度高于经典的StaMPS时空三维相位解缠算法，并且对于沉降漏斗区的沉降监测精度有明显的提高。
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摘要: 三维相位解缠是时序干涉合成孔径雷达（interferometric synthetic aperture radar，InSAR）技术的关键环节之一，解缠结果直接影响时序InSAR地面沉降监测的精度。针对地面沉降严重、地形坡度变化较大的区域，因相位欠采样引起的整周期解缠误差问题，提出了一种基于频域置信度的加权最小二乘相位解缠算法，并以此替代时空三维相位解缠中空间维以相位梯度为权重的加权最小二乘相位解缠算法。通过提高相位坡度变化估计的准确性，进而提高时空三维相位解缠的精度和稳定性。以北京地区地面沉降监测为例进行了验证，结果表明，与经典的时空三维相位解缠算法相比，改进算法得到的沉降监测结果精度更高，特别是对于坡度变化较大、失相干现象明显的沉降漏斗区，其沉降监测精度有明显改善。Abstract: Three-dimensional phase unwrapping is one of the key steps of time-series interferometric synthetic aperture radar (InSAR) technology. The unwrapping results directly affect the accuracy of time-series InSAR land subsidence monitoring. Aiming at the problem of the whole period unwrapping error caused by phase undersampling in areas with serious land subsidence and large change of terrain slope, a weighted least squares phase unwrapping algorithm based on frequency confidence is proposed, which replaces the weighted least squares phase unwrapping algorithm based on phase gradient in the time-dependent three-dimensional phase. By improving the accuracy of phase slope change estimation, the accuracy and stability of spatio-temporal three-dimensional phase unwrapping can be improved. The land subsidence results of the typical area in Beijing are obtained by using the improved spatio-temporal three-dimensional phase unwrapping method. Compared with the classical spatio-temporal three-dimensional phase unwrapping method, the improved method can obtain higher accuracy of land subsidence monitoring results. Especially for the subsidence funnel region where the slope changes greatly and the decorrelation exists obviously, the subsidence monitoring accuracy has improved significantly.
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图 4 不同算法得到的相位解缠误差图
Figure 4. Graphs of Phases Unwrapping Error of Different Algorithms
图 6 时空三维相位解缠结果对比
Figure 6. Comparison of Phases Unwrapping Results in Spatio-Temporal Three-Dimensional Space
表 1 相位解缠效果比较
Table 1. Comparison of Phases Unwrapping Effect
解缠方法 不连续点数量 ε值 中误差/
(mm·a－1)运行时间/s 枝切法 3 123 4.26 9.78 6.79 WLS 1 487 3.62 5.43 20.56 CLF-WLS 1 085 1.10 1.91 21.45 
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表 2 平均沉降速率监测误差/(mm·a－1)
Table 2. Monitoring Errors of Average Settlement Rates/(mm·a－1)
水准点 水准监测值 StaMPS解缠值 StaMPS解缠误差值 改进解缠值 改进解缠误差值 B1 －3.11 －7.02 3.91 －0.47 2.64 B2 －18.20 －13.31 4.99 －20.99 2.79 B3 0.33 －2.23 1.56 1.21 0.88 B4 －122.98 －113.62 9.36 －127.53 4.55 B5 －5.20 －2.15 3.05 －3.51 1.69 B6 6.21 10.66 4.45 8.39 2.18 B7 4.87 0.92 3.95 1.02 3.85 B8 －119.46 －108.77 10.69 －115.38 4.08 误差均值 5.25 2.83 误差标准差 3.14 1.26
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