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在多波束海底地形测量过程中，由于声速剖面站点布设无法实现全覆盖，某些区域会缺少足够的声速剖面数据。通常采用时间就近原则选择替代声速剖面，但由于声速剖面的时空变化特性[1]，替代声速剖面只能近似描述测站附近一定时空范围内声速结构分布情况，若超出此范围，则存在声速剖面代表性误差。而采用替代声速剖面进行声速改正时容易造成波束脚印位置归算误差，会导致海底地形发生畸变。由于声速剖面具有时效性，不可能重新采集声速剖面代替误差声速剖面，此时通过接收的声信号结合已有的水文资料反演声速剖面不失为一个可行方法[2]。
目前，国内外学者已提出许多声速剖面反演方法，如Tolstoy等[3]提出利用匹配场反演声速剖面；Skarsoulis等[4]利用峰值到达的概念，采用峰值到达匹配的方法反演出深海声速剖面；张忠兵等[5]提出了采用声线到达单个水听器的时间差反演浅海声速剖面的方法[5]；何利等[6]利用垂直接收阵记录的宽带爆炸声源信号反演海水声速剖面并取得了较好的效果；唐俊峰等[7]结合射线学理论，利用海上实验的实际数据由声信号的传播时间反演海水中的声速剖面；阒光明等[8]利用多波束记录的传播时间和波束角信息，通过广义线性反演声速剖面。声速剖面反演是一个多维优化问题，待反演参数应尽可能少，以便减少运算量。Davis[9]、LeBlanc等[10]认为使用前几阶正交函数(empirical orthogonal function，EOF)就可以较为精确地表示声速剖面；沈远海等[11]、何利等[2]也分析了浅海声速剖面用EOF表示的可行性；Peng等[12]尝试了在深海中用EOF表示声速剖面并反演海水声速；孙文川等[13]研究了在声速剖面EOF分析的基础上快速实现声速剖面反演方法。因此，利用EOF表示声速剖面能够大大减少反演参数，只需反演前几阶EOF系数即可。此外，在反演过程中，需在一定区间内对EOF系数进行搜索，所以有必要选择一种快速有效的搜索算法。模拟退火(simulated annealing，SA)算法作为一种通用的随机搜索算法[14-15]，在参数寻优过程中能够较快搜索目标函数的全局最优解或近似全局最优解，为声速剖面反演提供一种有效途径。
基于上述分析，本文拟结合声速剖面的EOF表示，提出一种利用SA算法反演多波束测量声速剖面的方法。
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声速剖面EOF表示法是将一定数量的声速剖面样本序列分解成正交的时间向量和空间向量[16]，通常只需要用前几阶EOF就可以较为准确地重构序列中的任一剖面。假设采样序列由N个声速剖面组成，将其内插(线性内插或样条内插)为M个垂直标准层，得到声速矩阵CM×N。对声速矩阵中每行取平均，得到平均声速矩阵$ {\mathit{\boldsymbol{\bar C}}_{M \times N}}$，将声速矩阵每列与平均声速矩阵$ {\mathit{\boldsymbol{\bar C}}_{M \times N}}$相减，得到各声速剖面相对于平均声速剖面的扰动矩阵ΔCM×N，其协方差阵为：
$$ \mathit{\boldsymbol{R}}{_{M \times M}} = \Delta \mathit{\boldsymbol{C}}{\mathit{\boldsymbol{}}_{M \times N}}\Delta \mathit{\boldsymbol{C}}_{N \times M}^{\rm{T}}/N $$ (1) 对其进行特征值分解得：
$$ \mathit{\boldsymbol{R}}{_{M \times M}}\mathit{\boldsymbol{F}}{_{M \times M}} = {\rm{ }}\mathit{\boldsymbol{D}}{_{M \times M}}\mathit{\boldsymbol{F}}{_{M \times M}} $$ (2) 式中，DM×M为特征值矩阵; FM×M为特征值对应的特征向量矩阵，即为EOF空间函数。
将EOF投影到ΔCM×N上，可得到所有空间特征向量对应的时间系数AM×N:
$$ \mathit{\boldsymbol{A}}{_{M \times N}} = {\rm{ }}\mathit{\boldsymbol{F}}_{N \times M}^{\rm{T}}\Delta \mathit{\boldsymbol{C}}{_{M \times N}} $$ (3) 式中，AM×N中每行数据就是对应每个特征向量的时间系数。
最终，声速剖面的EOF表示形式为：
$$ \mathit{\boldsymbol{C}}{_{M \times N}} = \mathit{\boldsymbol{\bar C}}{_{M \times N}} + {\rm{ }}\mathit{\boldsymbol{F}}{_{M \times M}}\mathit{\boldsymbol{A}}{_{M \times N}} $$ (4) 将特征值由大到小排列，取前几阶EOF即可较为精确地表示样本声速剖面，对于某一声速剖面可用前k阶EOF表示为：
$$ c\left( z \right){\rm{ }} = {c_0}\left( z \right){\rm{ }} + \sum\limits_{i = 1}^k {{\alpha _i}{f_i}\left( z \right)} $$ (5) 式中，z为深度值；c0(z)为平均声速剖面；c (z)为EOF表示的声速剖面；k为EOF阶次；αi为EOF系数；fi(z)为经验正交函数。
由式(5)可知，c(z)与αi是一一对应的，在进行声速剖面修正时，只需要对前几阶EOF系数进行微调即可，大大减少了需要搜索的参数，因此求解最优声速剖面的过程就转化为搜索一组最优EOF系数的过程。
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多波束测深满足如下基本数学关系式:
$$ H = f\left( {C, \theta , T} \right) $$ (6) 式中，C表示声速剖面；θ为各波束指向角；T为回波时间；H为按照常梯度声线跟踪模型计算的各波束点水深值[17]。
若给定某一初始声速剖面C0，同时给出多波束测深数据中某Ping的回波时间和波束角，则可以确定该Ping中各波束水深值Hi。若初始声速剖面与实测声速剖面间存在偏差，则此时地形容易发生畸变。若畸变量大小满足一定的要求，则C0即为所求声速剖面，若不满足，则按照一定原则修正C0的值，直到畸变量大小满足要求为止。由式(5)可知，对声速剖面的修正即可通过对前几阶EOF系数的微调实现，求解最优声速剖面的过程就转化为搜索一组最优EOF系数的过程，即在一定解空间中搜索全局最优解问题。
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SA算法基本思想是把某类组合优化问题的求解过程与物理退火过程中的热平衡问题进行对比，通过模拟高温物体退火过程并利用Metropolis接受准则搜索到优化问题的全局最优解或近似全局最优解[14]。表 1给出了基于Metropolis接受准则的参数寻优过程与物理退火过程之间的相似性。
表 1 参数寻优过程与物理退火过程的相似性
Table 1. Similarity of Parameter Optimization and Simulated Annealing
参数寻优 物理退火 解 粒子状态 最优解 能量最低 设定初温 熔解过程 Metropolis抽样 等温过程 控制参数下降 冷却 目标函数 能量 可见，若把目标函数看成能量函数，把控制参数视为温度，解空间作为状态空间，那么利用SA算法进行参数寻优的过程就是在解空间寻找目标函数极小值的过程。
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应用SA算法搜索最优EOF系数主要包含以下几步。
1) 目标函数构建。目标函数可用地形畸变量大小来表示，由于波束指向角在±45°附近时，水深值对声速剖面误差不敏感，存在深度零差值点现象[18-20]，为此，可将目标函数定义为：
$$ E = \sum\limits_{i = 1}^n {\left( {{H_i} - {H_\theta }} \right){^2}} {\rm{ }} $$ (7) 式中，n为每Ping波束数；Hθ为波束指向角θ=±45°时对应的水深值。当搜索到EOF系数最优解时，目标函数值最小。
2) 系数扰动及初始解设定。在修正EOF系数过程中可采用：
$$ \alpha = {\alpha _0} + \Delta \alpha $$ (8) 式中，Δα为[-1, 1]内均匀分布的随机数；α的取值介于EOF系数取值范围之间；α0为初始解，可在系数取值范围内随机给定。
3) 新解接受机制。SA算法通常采用Metropolis准则作为状态接受函数，计算与新解伴随的目标函数差ΔE=E(α) －E(α0)，若ΔE < 0，则接受α作为新的当前解，否则以概率P=exp(－ΔE/T)>δ接受α作为新的当前解，δ为[0, 1]区间内均匀分布的随机数，当新解被确定接受时，用新解代替当前解，同时修正目标函数值。
4) 初始温度及温度更新函数。为了保证算法在开始运行时解的接受概率为l，要求初始温度足够高，初始温度估计式为：
$$ {T_0} = K\varphi $$ (9) 式中，K为充分大的数；φ=max(|ΔEi|)，φ值可通过若干次迭代简单估计。
温度更新函数即温度的下降方式，用于在外循环中修改温度值，本文的温度更新函数设为：
$$ {t_{k + 1}} = \lambda {t_k} $$ (10) 式中，λ为接近1的常数，通常λ∈[0.85, 0.98]。
5) 每一温度迭代长度控制(内循环)。高温时，各状态被接受的概率基本相同，且几乎都被接受，可使同一温度的迭代步数尽量少；温度逐渐变低后，越来越多的状态被拒绝，则可相应增加迭代的步数。可给定一个迭代步数上限和接受次数上限，当某一温度的实际接受次数达到上限时，不再迭代，否则迭代到上限步数。
6) 算法终止准则(外循环)。给出一个较小的正数Tmin，当温度小于这个数时，算法停止，表示已经达到最低温度。
上述搜索过程结束后，得到的EOF系数可认为最优。将得到的EOF系数代入式(5)得到声速剖面，接近实测声速剖面，利用反演声速剖面改正的海底地形更接近原始地形。将上述过程绘制成如图 1所示的动态流程图。
图 1 SA算法反演声速剖面流程
Figure 1. Flowchart of Inversion of Sound Velocity Profile by SA
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选取中国北部某海域2001年10月10日-13日连续3 d测得的11条实测声速剖面数据进行分析，并对每个声速剖面进行了编号。各声速剖面站位分布及测量时间如图 2所示，图 2中三角符号与五星符号标注的声速剖面站点为待反演的声速剖面(该声速剖面已测，仅用于验证反演算法)；101001表示10月10日测得的第1个声速剖面，101302表示10月13日测得的第2个声速剖面，依此类推。
图 2 实测声速剖面站位分布
Figure 2. Distribution of Sound Velocity Profile Stations
声速剖面的EOF表示是一种最小均方差拟合算法[11]。由于只利用前几阶EOF进行拟合，拟合声速剖面和实际声速剖面之间必然存在偏差，可通过计算每个拟合声速剖面沿水深方向的最大误差、均方误差来分析不同阶次EOF拟合声速剖面的精度，拟合结果如图 3所示。
图 3 不同阶次拟合最大偏差、均方误差沿水深方向分布
Figure 3. Maximum Deviations and Mean Squared Error with Different Orders as a Function of Depth
假设水深为声速剖面最大探测深度，预设波束角及水深，利用原始声速剖面，按常梯度分层声线跟踪法求得回波时间，再利用回波时间结合EOF重构声速剖面，按常梯度分层声线跟踪法反算水深值，将反算水深值与原始水深值相比较，得到一组水深偏差值。图 4为利用EOF表示的各声速剖面进行声速改正后各波束点水深最大偏差随EOF阶次的变化情况(其中虚线表示0.25%水深限差)。由图 3、图 4可知，随着EOF阶次的增加，拟合声速剖面沿水深方向的最大误差、均方误差均减小，各波束点水深最大偏差呈下降趋势，在本例中，取6阶以上EOF表示声速剖面时，利用重构声速剖面进行声速改正后的各波束点水深均能够满足0.25%水深限差要求[21]。
图 4 水深最大偏差随EOF阶次变化
Figure 4. Maximum Deviations of Depth as a Function of EOF Orders
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以图 2中五星符号标注的声速剖面(编号为101001)作为待反演声速剖面。该声速剖面采集时间为2001年10月10日11:31，将此声速剖面作为参考，用来检验反演结果的精度。假设海底平坦，结合等梯度声线跟踪法进行数学仿真得到与其对应的多波束回波时间，取剩余10个声速剖面数据进行EOF分析，表 2给出了前6阶EOF系数及搜索范围。
表 2 实验1中前6阶EOF系数及搜索范围
Table 2. Six Lowest Orders EOF Coefficients and Search Ranges in Experiment One
系数 SVP2 SVP3 SVP4 SVP5 SVP6 SVP7 SVP8 SVP9 SVP10 SVP11 极大值 极小值 α1 19.091 0.191 -21.538 28.281 18.194 -21.083 -3.589 -24.769 -22.802 28.024 28.281 -22.802 α2 -9.737 -8.260 8.289 8.680 -5.387 -1.194 -3.524 3.513 -1.065 8.687 8.687 -9.737 α3 -2.032 5.484 4.728 -0.666 2.130 -5.143 -2.885 -1.526 0.677 -0.767 5.484 -5.143 α4 -4.736 -0.058 0.012 -0.362 4.241 2.912 2.312 -2.563 -1.560 -0.199 4.241 -4.736 α5 -1.887 3.736 -2.502 0.656 -1.289 0.868 -0.704 3.032 -2.571 0.662 3.736 -2.571 α6 -1.032 1.137 -0.846 0.686 -2.111 -0.791 2.345 -1.610 1.773 0.448 2.345 -1.610 根据图 1给出的SA算法反演声速剖面流程搜索最优EOF系数。由于算法对初值依赖不大，不妨设定SVP1拟合系数作为算法的初始解，即α0=(19.091 -9.737 -2.032 -4.736 -1.887 -1.032)T，退火最大温度(即初始温度)可通过式(9)求得，Tmax=463.7 ℃，最小温度设为Tmin=0.01 ℃。
图 5为算法的收敛情况，采用双纵坐标形式来描述目标函数及目标函数差在迭代过程中随温度的变化。由图 5可知，当外循环迭代次数达到80，即温度降到T=1.42 ℃时，目标函数及目标函数差基本达到稳定状态，此时搜索得到的EOF系数α即为最优，α=(2.400 8.322 5.376 3.979 3.457 -1.595)T。
图 5 实验1中算法迭代收敛情况
Figure 5. Iterative Algorithm Convergences in Experiment One
当搜索到最优EOF系数α时，将其代入式(5)中，可得到反演声速剖面。假设五星符号标注的声速剖面未知，通常根据时间最近原则选择替代声速剖面进行声速改正。图 6给出了原始声速剖面、替代声速剖面及反演声速剖面的分布情况。表 3给出了替代声速剖面与反演声速剖面的精度以及利用两种声速剖面进行声速改正造成的水深误差，采用两种声速剖面造成的水深误差均呈U型分布，在边缘波束处误差值最大。
图 6 实验1中声速剖面分布
Figure 6. Distribution of Sound Velocity Profiles in Experiment One
表 3 实验1中声速剖面及水深误差统计
Table 3. Statistics of Sound Velocity Profiles and Depth Errors in Experiment One
误差 声速剖面 最大误差 平均误差 均方误差 声速剖面误差/(m·s-1) 替代反演 5.60
3.831.79
0.722.08
1.05水深误差/m 替代反演 1.04
0.070.25
0.050.23
0.01由图 6及表 3可知，反演的声速剖面误差整体要优于替代声速剖面误差，且利用反演声速剖面进行声速改正造成的水深误差也要优于替代声速剖面，声速改正后的各波束点水深偏差均满足0.25%水深限差要求。所以利用本文方法反演的声速剖面更接近真实声速剖面，且利用反演声速剖面进行声速改正后的海底地形更接近真实地形。
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为进一步验证本文方法的有效性和可行性，另外选取图 2中三角符号标注的声速剖面(编号为101101)进行反演。同理，取剩余10个声速剖面数据进行EOF分析，表 4给出了前6阶EOF系数及最优系数搜索范围。
表 4 实验2中前6阶EOF系数及搜索范围
Table 4. Six Lowest Orders EOF Coefficients and Search Range in Experiment Two
系数 SVP1 SVP2 SVP4 SVP5 SVP6 SVP7 SVP8 SVP9 SVP10 SVP11 极大值 极小值 α1 29.857 15.870 -24.775 24.913 14.958 -24.402 -6.933 -28.057 -26.081 24.650 29.857 -28.057 α2 0.600 10.699 -7.818 -7.949 5.786 2.677 4.628 -2.617 1.928 -7.937 10.699 -7.949 α3 2.578 0.354 5.156 -2.107 2.499 -4.299 -2.355 -1.737 2.119 -2.209 5.156 -4.299 α4 -0.670 -4.490 0.557 -0.296 4.746 2.246 2.246 -2.977 -1.219 -0.142 4.746 -4.490 α5 3.255 -0.975 -0.294 -1.216 0.423 1.808 -1.897 2.453 -2.414 -1.144 3.255 -0.294 α6 1.948 -0.451 0.169 -0.141 -2.117 1.239 0.697 -2.009 0.972 -0.307 1.948 -2.117 结合系数搜索范围，可设定EOF系数初始值为α0=(-24.775 -7.818 5.156 0.557 -0.294 0.169)T，最大温度Tmax=2 252.2 ℃，最小温度Tmin=0.01℃。通过计算可知，当外循环迭代75次，即温度达到T=0.93℃时，目标函数E基本达到稳定状态，如图 7所示，此时得到的EOF系数α即为最优，α=(26.671 10.663 -0.417 1.236 0.163 0.993)T，将其代入式(5)中，可得到反演声速剖面。图 8给出了原始声速剖面、替代声速剖面及反演声速剖面的分布情况。表 5给出了替代声速剖面与反演声速剖面的精度以及利用两种声速剖面进行声速改正造成的水深误差。
图 7 实验2中算法迭代收敛情况
Figure 7. Iterative Algorithm Convergences in Experiment Two
图 8 实验2中声速剖面分布
Figure 8. Distribution of Sound Velocity Profiles in Experiment Two
表 5 实验2中声速剖面及水深误差统计
Table 5. Statistics of Sound Velocity Profiles and Depth Errors in Experiment Two
误差 声速剖面 最大误差 平均误差 均方误差 声速剖面误差/(m·s-1) 替代反演 10.40
3.672.10
0.892.62
1.37水深误差/m 替代反演 1.54
0.060.25
0.030.39
0.02由图 8及表 5可知，在实验2中，反演的声速剖面各项误差值均小于替代声速剖面误差，且利用反演声速剖面进行声速改正造成的水深误差也小于替代声速剖面，同时各波束点测深精度均满足0.25%水深限差要求。上述结论进一步验证了本文方法的有效性和可行性。
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利用多波束测深系统进行海底地形测量时，需要利用声速剖面数据对测量结果进行声线改正，而声速剖面布设往往无法覆盖全海域，对于缺少声速剖面的海域，通常采用时间就近原则选择替代声速剖面，这种方式容易造成声速剖面代表性误差。为此，本文利用SA算法结合声速剖面的EOF表示法提出了以海底地形畸变量大小作为目标函数的声速剖面反演方法。实例分析表明，利用反演声速剖面进行声速改正后的海底地形更接近真实地形，显著提高了多波束测量声速剖面改正的精度。
利用已测得的声速剖面资料结合参数寻优算法反演未知点声速剖面是获取声速剖面数据的一种有效途径，本文在算例中仅采用了11个声速剖面数据进行了分析，而对于较大范围海域声速剖面的反演有待于进一步研究。
Inversion of Sound Velocity Profile in Multibeam Survey Based on Simulated Annealing Algorithm
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摘要: 针对多波束测量声速剖面站点布设密度不够而引起的声速剖面代表性误差问题，提出一种利用模拟退火算法反演声速剖面的方法。首先，对测区已有声速剖面序列进行经验正交函数（empirical orthogonal function，EOF）分析，利用声速扰动矩阵和前几阶EOF求得EOF重构系数及其变化范围。其次，采用模拟退火算法对EOF重构系数进行迭代优化，以多波束测得的海底地形畸变量大小为依据构建目标函数，并设定合理的退火控制参数。最后，得到待反演区域的声速剖面数据。实例分析表明，该方法反演的声速剖面较时间就近原则选取的替代声速剖面更接近真实声速剖面，且利用反演声速剖面改正后的海底地形更接近真实地形，有效削弱了声速剖面代表性误差的影响，显著提高了多波束测量精度及数据处理效率。Abstract: In this paper, a method for inversion of sound velocity profile in multibeam survey is pre-sented. Firstly, the sound velocity profile samples are analyzed with empirical orthogonal function (EOF) and the reconstruction coefficients are calculated by sound velocity perturbation matrix and previous order of EOF. Secondly, the reconstruction coefficients of EOF are estimated by simulated annealing algorithm, the target function is constructed with the seafloor distortion which is obtained by multibeam sounding. Finally, the inversion of sound velocity profile is reconstructed. The analysis of examples show that the inversion of sound velocity profile is closer to the real sound velocity profile and the seafloor corrected with inversion of sound velocity profile is closer to the real seafloor.
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Key words:
- multibeam survey /
- sound velocity profile /
- inversion /
- EOF /
- simulated annealing algorithm /
- target function
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图 3 不同阶次拟合最大偏差、均方误差沿水深方向分布
Figure 3. Maximum Deviations and Mean Squared Error with Different Orders as a Function of Depth
表 1 参数寻优过程与物理退火过程的相似性
Table 1. Similarity of Parameter Optimization and Simulated Annealing
参数寻优 物理退火 解 粒子状态 最优解 能量最低 设定初温 熔解过程 Metropolis抽样 等温过程 控制参数下降 冷却 目标函数 能量 
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表 2 实验1中前6阶EOF系数及搜索范围
Table 2. Six Lowest Orders EOF Coefficients and Search Ranges in Experiment One
系数 SVP2 SVP3 SVP4 SVP5 SVP6 SVP7 SVP8 SVP9 SVP10 SVP11 极大值 极小值 α1 19.091 0.191 -21.538 28.281 18.194 -21.083 -3.589 -24.769 -22.802 28.024 28.281 -22.802 α2 -9.737 -8.260 8.289 8.680 -5.387 -1.194 -3.524 3.513 -1.065 8.687 8.687 -9.737 α3 -2.032 5.484 4.728 -0.666 2.130 -5.143 -2.885 -1.526 0.677 -0.767 5.484 -5.143 α4 -4.736 -0.058 0.012 -0.362 4.241 2.912 2.312 -2.563 -1.560 -0.199 4.241 -4.736 α5 -1.887 3.736 -2.502 0.656 -1.289 0.868 -0.704 3.032 -2.571 0.662 3.736 -2.571 α6 -1.032 1.137 -0.846 0.686 -2.111 -0.791 2.345 -1.610 1.773 0.448 2.345 -1.610
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表 3 实验1中声速剖面及水深误差统计
Table 3. Statistics of Sound Velocity Profiles and Depth Errors in Experiment One
误差 声速剖面 最大误差 平均误差 均方误差 声速剖面误差/(m·s-1) 替代反演 5.60
3.831.79
0.722.08
1.05水深误差/m 替代反演 1.04
0.070.25
0.050.23
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表 4 实验2中前6阶EOF系数及搜索范围
Table 4. Six Lowest Orders EOF Coefficients and Search Range in Experiment Two
系数 SVP1 SVP2 SVP4 SVP5 SVP6 SVP7 SVP8 SVP9 SVP10 SVP11 极大值 极小值 α1 29.857 15.870 -24.775 24.913 14.958 -24.402 -6.933 -28.057 -26.081 24.650 29.857 -28.057 α2 0.600 10.699 -7.818 -7.949 5.786 2.677 4.628 -2.617 1.928 -7.937 10.699 -7.949 α3 2.578 0.354 5.156 -2.107 2.499 -4.299 -2.355 -1.737 2.119 -2.209 5.156 -4.299 α4 -0.670 -4.490 0.557 -0.296 4.746 2.246 2.246 -2.977 -1.219 -0.142 4.746 -4.490 α5 3.255 -0.975 -0.294 -1.216 0.423 1.808 -1.897 2.453 -2.414 -1.144 3.255 -0.294 α6 1.948 -0.451 0.169 -0.141 -2.117 1.239 0.697 -2.009 0.972 -0.307 1.948 -2.117
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表 5 实验2中声速剖面及水深误差统计
Table 5. Statistics of Sound Velocity Profiles and Depth Errors in Experiment Two
误差 声速剖面 最大误差 平均误差 均方误差 声速剖面误差/(m·s-1) 替代反演 10.40
3.672.10
0.892.62
1.37水深误差/m 替代反演 1.54
0.060.25
0.030.39
0.02
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