Construction of a System for Full Tensor Gravity Gradient Forward Modeling and Visualization
-
摘要:
全张量重力梯度测量技术是一种高精度地球物理探测方法,在密度异常精准识别与深入解析方面具有独特优势,在重力梯度探测资料解释工作体系中,梯度正演计算至关重要。然而,此前相关研究虽涉及重力梯度正演计算可视化展示,但存在计算灵活性不足、可视化手段单一等问题。为解决此问题,借助Mathematica代数系统,完成了对矩形棱体正演公式的推导与梯度张量的正演计算,以及多个棱柱体单元组成的复杂质体梯度张量正演计算。同时,利用Mathematica构建了多种典型地质模型的重力梯度计算可视化系统。该系统参数设置灵活,能模拟不同物性参数下密度体重力梯度响应结果,并提供实时动态可视化展示,可视化结果可进行三维、二维等多方式显示,三维曲面可任意调整观测视角,二维曲线可任意选择测线位置进行显示,该可变参数的正演可视化系统将使正演计算更高效、易灵活应用。
Abstract:ObjectivesTo address the inflexibility and inadequacies of existing visualization tools for full-tensor gravity gradient (FTG) forward modeling, and to achieve accurate identification, classification, and interpretation of gravity gradients,a method for forward modeling FTG and constructing a visualization system based on Mathematica is proposed.
MethodsFirst, the Mathematica algebraic system is utilized to derive the forward formula of the gradient for rectangular prisms and complete the forward calculation of the gradient tensor. Second, the forward calculation of the gradient tensor is carried out for a complex density body composed of multiple prism units. Finally, with the rich visual output and display capabilities of Mathematica, a visualization system is established for the gravity gradient calculation of typical geological models such as prisms, spheres, and inclined steps.
ResultsThe constructed visualization system can simulate the gravity gradient response results of density bodies under different physical property parameters and provide real-time dynamic visualization display, effectively presenting the characteristics and distribution laws of the gravity gradient of the field source.
ConclusionsThe full tensor gravity gradient visualization system constructed based on Mathematica will provide a new means of interpretation for gravity gradient exploration data interpretation, and provide a basic platform for research workers to engage in research, scientific and technological thesis writing, and subject reporting.
-
Keywords:
- full tensor gravity gradient /
- forward modeling /
- visualization /
- computer algebra
-
全张量重力梯度(full tensor gravity gradient, FTG)测量技术是地球物理探测领域的一项前沿技术,它通过测量地球重力场的二阶导数(即重力梯度),能够识别探测到微小的密度变化,提供比传统重力测量更为精确和详细的地下信息。近年来,由于航空梯度测量技术的发展,重力梯度探测在勘探中的使用变得越来越普遍,为圈定具有经济意义的地质构造提供了重要信息[1-4]。模型体重力梯度正演计算是反演中重要的引用部分,然而,现有的开源代码虽然可以进行重力梯度正问题的解算,但存在功能不足和可视化手段较为薄弱的问题,且大多数代码使用固定参数设置,难以灵活适应不同的正演模型,往往需要对底层代码进行反复修改和大量迭代,增加了计算和操作的复杂性,商业软件虽然能够满足正演需求,但其高昂费用和有限的定制化能力限制了其在科研中的广泛应用。因此,本文利用Mathematica代数系统集成了一个可计算多个典型模型体的FTG计算的可视化系统,为未来的研究和应用提供了有价值的参考。
1 重力梯度仪国内外研究动态
地球的重力场反映了地球表层与内部的密度分布及物质运动状态,通过测量近地空间的重力分布,能够揭示地下结构与地质变化的规律,有效反映了地球的内部空间构造,也是了解地球动力学的重要方式之一[5-6]。重力仪是探测重力场的重要设备,能通过测量不同点的重力值来推断地下结构,但由于其难以消除运动加速度对重力测量的影响以及较低的空间分辨率,具有一定的使用局限性,难以满足地球物理勘探的实际应用需求。重力梯度反映了重力场的空间变化特征,全张量重力梯度仪可同时获取重力梯度的全部独立分量,实现对探测目标的高分辨率成像,同时受运动加速度影响较小,成为解析复杂地下结构的有力工具,因此在资源勘探中展现出显著的应用优势与潜力。近年来,国内外在重力梯度仪器的研发和应用上取得了显著进展。国际上,以美国和欧洲为代表的国家,在重力梯度仪的精度、稳定性和应用领域的拓展方面处于领先地位;中国在该技术领域的研究经过多年的技术沉淀,也在重力梯度仪的研发上取得突破,实现了从无到有的进步。
重力梯度测量的先驱是匈牙利物理学家Eötvös,他通过改进扭秤的设计,奠定了重力梯度测量的基础。从世界第一台扭秤型重力梯度仪诞生至今,重力梯度仪经历一个多世纪的技术演进,已发展出旋转加速度计、静电悬浮、量子、冷原子干涉以及超导重力梯度仪[7]。在重力梯度的地面探测方式中,冷原子干涉式重力梯度仪凭借其高精度和小体积逐渐成为主流,冷原子干涉技术在1998年由美国耶鲁大学Kasevich小组首次应用于重力梯度测量领域;2020年,法国iXBlue公司推出了工程化的冷原子重力梯度仪样机,简化了系统设计并提升了测量的稳定性和环境适应能力,其测量分辨率已经达到了0.1 E(1 E=1×10-9/s2);2022年,英国伯明翰大学研发了可搬运的冷原子重力梯度仪,在室外条件下测量分辨率为20 E。国内,中国科学院精密测量科学与技术创新研究院研发的水平和竖直冷原子梯度仪,分别实现了650 E/Hz1/2和200 E/Hz1/2的测量精度,分辨率分别达到8 E和优于1 E,此外,华中光电技术研究所研发的车载冷原子重力梯度仪,静态测量分辨率优于5 E,动态测量精度为200 E[8]。在航空探测领域,旋转加速度计重力梯度仪随着航空航天产业的发展日趋成熟,目前已发展出多种三维全张量重力梯度仪型号,国外的有FALCON、Air⁃FTG、eFTG(enhanced FTG)和FTGeX等[9-10],测量精度在1~10 E之间,是当今应用最广泛、技术最成熟的重力梯度测量仪器。国内,天津航海仪器研究所自主研发的旋转加速度计重力梯度仪原理样机,实验室静态分辨率达到40 E,正逐步迈向工程化应用;华中科技大学研究的旋转加速度计重力梯度仪样机分辨率也已达到10 E的输出精度;中国船舶集团有限公司第七〇七研究所联合中国自然资源航空物探遥感中心和东南大学也已研制出分辨率达30 E的工程样机[11]。
2 重力梯度探测的潜在应用前景
2.1 探测地下物质的“显微镜”
FTG测量技术被誉为地下物质分布探测的“显微镜”,能够精准探测地表下几米至数百米范围内的异常密度分布与密度界面的起伏[12]。与传统重力探测方法相比,重力梯度的高频甚高频信息可以突出浅而小的地质体的异常特征,压制区域性深部地质因素的影响,在一定程度上可以划分不同深度和大小的异常源产生的叠加异常,解析不同规模和深度的地下结构[13]。FTG测量能够准确记录由不同地质结构(如隐伏岩体、断层、矿产油气资源等)引发的独特的重力梯度信号,还可以通过反演技术推测其形状、大小、走向及埋藏深度,提供对地下物质的全面了解。例如,在石油和天然气勘探中,它能帮助识别富含油气的地下储层;在矿产资源勘探中,它能发现矿脉的位置、储量和延展方向等。此外,重力梯度探测技术在城市地下空间探测中也发挥了极其重要的作用[14],它能有效探测到隧道、地下水通道甚至地下管道等结构的存在,还能帮助识别可能的地质风险,如地下空洞和不稳定地层,为评估工程建设的安全性提供科学依据。FTG测量技术通过其卓越的探测能力,为复杂地质环境下的地质勘探和地下资源勘察提供了详细和准确的数据,推动了地球物理勘探的重大进步。
2.2 探测地下军事工程
FTG探测技术在军事领域的应用也十分广泛,尤其在探测地下隐蔽军事设施方面具有独特优势。随着现代军事技术的发展,许多关键军事目标如指挥中心、武器生产工厂、战略武器发射装置和潜艇基地,通常隐藏于地下或山体中,地表没有明显的特征,具有很强的隐蔽效果,难以通过常规的雷达、声纳或卫星等侦察系统探测识别[15]。重力梯度探测对地质结构的形状、尺寸和埋藏深度的输出具有很高的解析度,尤其在探测隐伏于复杂地质环境中的小尺度异常体时具有显著优势,能够有效识别隐藏于地下的隐蔽结构,而且重力梯度探测在抗环境干扰和探测隐蔽性方面具有天然优势,是一种理想的军事侦察技术手段[16]。全重力梯度张量探测通过分析地下结构的重力梯度变化,不仅能探测出地下军事工程的存在,还可以提供深度、尺寸和构造的详细信息,提高战场环境的透明度,为制定军事行动和防御策略提供重要参考。重力梯度探测技术还能构建战场环境的三维地质模型,指导己方高价值地下目标的设计与建设,改进隐蔽和防护的效果,增强地下军事设施的防御能力。重力梯度探测作为一种理想的探测手段,其在军事情报收集和战场态势感知中的广泛应用,为应对现代战争中的隐蔽威胁提供了强有力的保障。
2.3 探测海洋地形
重力异常数据和重力梯度异常数据都能够用于海洋地形的反演计算,相比于重力,重力梯度张量能高灵敏度地反映海底洋壳和海水的密度差,在一定波长段内与海底地形强相关,可以揭示海底的地形地貌,提供精细的海底地形地质结构数据[17]。全重力梯度探测技术能构建海底地壳的三维结构和物质迁移情况,揭示地壳的厚度、组成及其变化情况,为研究海底火山岩浆和洋底板块运动等提供重要信息[18]。重力梯度对场源体的棱边异常敏感,这项技术不仅能够识别海底浅层沉积物变化和地壳断裂情况,还能够详细描绘复杂的断层系统,揭示断层的深度、倾角及其相互关系,为了解板块运动和地震活动提供新的视角[19]。此外,FTG测量技术还具有支持潜艇无源导航和避碰的潜力,通过梯度仪观测值的组合可以有效地探测海底障碍地形,甚至可以通过多组观测值计算出障碍地形相对于载体的方位和距离,从而帮助潜艇在隐蔽航行过程中进行精确的路径规划和避障,减少碰撞风险,增强潜艇在复杂海底环境中的航行安全性[20]。
3 FTG正演计算
重力梯度是重力位函数
的二阶偏导数,表示重力加速度向量 的空间变化特性。重力梯度张量 在空间直角坐标系中可表示为: (1) 式中,
为梯度张量元素的分量。由于重力场是保守场,梯度张量具有对称性,又因为重力位U是调和函数,主对角线元素满足Laplace方程,因此梯度张量矩阵实际只有5个独立分量(如 ),求得这5个分量即得到全重力梯度张量矩阵。对于一个简单的立方体模型,重力梯度分量提供了一种有力的工具来刻画源体几何形状[21]。垂直张量 分量可以估算最大深度,并直接预测与地质体相关的边界信息; 分量有效地指示特征的东西边界; 分量则指示特征的南北边界; 分量将物体大致对称地划分为东西两半,并沿南北方向给出中心异常轴; 分量将物体对称地划分为南北两半,并沿东西方向给出中心异常轴,它还帮助显示南北和东西走向的边界; 分量提供了接近矩形物体的4个角的信息,并在地质体沿x和y方向对齐时确定对称物体的中心点。图1所示即为坐标系中FTG测量的示意图。 3.1 单一矩形棱柱体的正演
矩形棱柱体模型是重力正演建模解释中最常用的地质模型,其长、宽、高3个维度的参数可以模拟各种形状的地质体,或是通过将多个矩形
棱柱体组合来模拟更复杂的任意地质模型[22]。
建立如图2所示的矩形棱柱体,矩形棱柱外的点P(x,y,z)观测到的重力势由下式给出[23]:
(2) 利用Mathematica代数系统计算的不含积分限的梯度正演解析表达式为:
(3) 式中,G为万有引力常数,数值为
;ρ为棱柱体的密度;(x,y,z)为棱柱体外计算点的坐标;(ξ,η,ζ)为棱柱体内任意体元的坐标。图2所示即为矩形棱柱体在坐标系中的示意图,其边缘在测量方向上与坐标轴对齐。设一棱柱每条边的长度沿x、y和z方向分别为40 m、30 m和10 m,中心点坐标为(0,0,15) m,密度为 。图3、图4展示了该棱柱体在地面上100 m×100 m、中心在坐标原点的测网上重力梯度分量正演的结果。由图3可知,由于该棱柱体模型具有对称性,且其质心在水平面上的投影为坐标原点,因此其重力梯度张量,各个方向上的分量在形状、相对信号幅度上具有明显的对称性,特别地,其垂直重力梯度分量显然是由具有方形横截面的源造成的,而且棱柱体的边缘可以通过重力梯度张量的组合识别出来。 3.2 多个矩形棱柱体的正演
在三维空间中进行重力及重力梯度的正演研究时,复杂地质体由于形状不规则难以确定积分限,正演积分计算公式很难以解析解的形式计算出准确的重力梯度结果。为解决这一问题,许多研究者选择采用具有解析公式的简单规则几何体对复杂模型进行参数化和形状拟合,然后通过叠加多个简单规则体的重力效应,以实现对整个复杂地质模型的重力计算。目前,常用的两种基本模型包括Talwani提出的直立六面体单元(矩形棱柱体)和Zhdanov提出的球体单元[24]。由于直立六面体模型在网格剖分的正演计算方面具有独特的优势,许多研究者倾向于将其作为主要模型进行正演计算。直立六面体单元的离散正演计算公式为:
(4) 式中,
,为直立六面体单元各个角点到观测点的距离。 根据位场的叠加效应,质体在观测平面内任意点处的重力梯度等于所有离散单元在该点处引起的梯度值之和,公式表示如下:
(5) 式中,
表示第(ix,jy,kz)个离散单元在观测点处所产生的重力梯度值;nx×ny×nz表示离散单元的总数。 根据式(4)、式(5),可以按照图4所示的网格节点生成直立六面体计算单元的角点。通过直立六面体的组合或基本单元的组合,近似模拟复杂的质量体。假设图4中网格节点为基本计算单元角点的投影点阵,通过选定的网格节点构成的
矩形截面及其上下面的高度数据,可以形成任意的矩形棱柱体。例如,利用前4个网格点A1、A2、B1、B2可以生成横截面为正方形的矩形棱柱体。基于此网格模型构建了阿拉伯数字0~9的理论模型,如图5所示。
设相邻网格节点之间的距离为50 m,其中第一个网格节点A1的坐标为(-125,-125)。模型的上下基底位置固定不变,底面深度为-100 m,顶面深度为-50 m,单元的密度恒定为2.67 g/cm³。所构建的数字0~9的理论模型在地面上的重力梯度张量分布结果如图6~图11所示。
该网格模型同样适用于计算网格化地形的重力梯度。在假设地形有固定底层与起伏上层的基础上,创建计算单元的6个面时,可将前4个点A1、A2、B2、B1作为棱柱的顶面,其高度可以取地形海拔数据中4个角点的平均值,随后,通过4个点A2、A3、B3、B2生成第2个棱柱单元,依此类推,最多可生成的棱柱总数为(i-1)×(j-1)。该方法能够有效地将复杂地形数据转化为网格化数据结构,通过对每个棱柱单元计算重力梯度,可以得到整个地形在指定位置的重力梯度。该模型方法可以在处理复杂的实际地形时,进一步细化网格节点,提高精度。随着网格的密化,每个计算单元的尺寸变小,重力梯度张量的计算结果趋于稳定,这在模拟山区、丘陵等地形起伏较大的区域时尤为重要。同时,该模型还可以灵活应用于多层地质结构的模拟,通过改变底层和上层的深度和密度参数来反映不同地质层的特性。应用于工程勘探、地质研究和资源探测中时,该方法能够高效且精确地估计地下密度异常,实现对目标区域的全面分析。
4 FTG正演可视化系统
4.1 开发环境
随着计算机技术的不断发展,地球物理勘探领域的分析与解释逐渐向着可视化方向发展[25]。在重力勘探中,传统的数值计算往往难以全面且直观地揭示地下结构的细节与特征,而在计算机可视化技术的支持下,利用已知的地质特征进行
正演模拟能够直观展现地下结构的形态,大大提高解释的效率与准确性。计算机代数系统Mathematica是使用最广泛的专业数学软件之一,很多功能在相应领域内处于世界领先地位,具备强大的数值计算与代数分析推导能力,可以对梯度张量表达式的一些量纲进行符号化的推导,也可对符号表达式进行高精度的数值计算,而且Mathematica的可视化手段也丰富多样,能轻松将复杂数学公式和函数模型转化为各种图形与动画输出,界面友好直观、交互方便,而且可即时显示,非常便于模拟结果的检验和修改,为实现高效、精细的正演计算提供了一个高质量的基础工作平台[26]。
4.2 FTG正演编程
在正演解释阶段,了解场源体不同参数(如位置、深度、厚度、延伸范围、密度变化等)对梯度场变化的影响至关重要。为实现可变参数的正演计算,交互式分析不同参数对重力梯度的影响,通过Mathematica实现正演计算的动态可视化,本系统采用模块化的设计,整合了图形用户界面、符号计算和数值计算引擎以及绘图输出展示等模块,通过Mathematica内置函数和自定义代码,实现了FTG的正演计算与可视化系统的构建。可通过交互式图形用户界面设置计算参数(如密度、尺寸、观测区域等),讨论参数变化对梯度场的影响,动态可视化展示不同参数下的重力梯度张量的计算结果,生成相应的三维场分布图与等值线图,展示不同空间位置处的梯度场强度。同时,还可以通过启用剖面图功能,选择查看某一特定方向上的梯度场分布曲线,进一步分析局部区域的梯度特性,程序操作界面如图12所示。
4.3 程序运行结果
本文研究了几种典型地质体模型的重力梯度的正演响应特征,并在Mathematica代数系统实现了全张量重力梯度场形态的可视化构建。以矩形棱柱体正演系统为例,用户可在左侧的属性对话框中设置不同的计算参数,可实时观察模型体在不同参数下的重力梯度张量场的三维分布形态,还可通过勾选复选框,实现平面等值图的计算与展示。如图13所示的是可视化系统计算的某一矩形棱柱体的场分布形态与平面等值线图,矩形棱柱体的参数选取与§3.1正演计算的一致。
在模型正演过程中,通过计算剖面的梯度特征曲线,可以根据其形态和数值特征辅助识别地质构造并确定边界,从而提高解释的精度。图14展示了该模型在xoz平面上(y=-18 m)的一条剖面梯度特征曲线。此外,用户还可以通过移动滑块,对观测区域内多条剖面曲线进行多次计算。通过对比这些特征曲线,可以发现其共性与差异,从而更加精准地界定地质体的范围特征,为后续研究提供坚实的数据支持和分析依据。
除了矩形棱柱体外,还开发了实心球体、无限长水平圆柱体、垂直圆柱体和倾斜台阶的可视化系统,如图15所示。未来,计划将该系统扩展到更复杂的地质模型中,例如不规则几何形体或非均匀密度分布体的正演计算等。同时,还可将一些物探正反演中的一些公式在Mathematica中进行可视化的编程计算和集成,形成一个活的、电子性的、可视性强的物探计算解释系统。
5 结语
本文对FTG测量技术的研究背景、发展动态、潜在应用前景以及正演计算进行了系统阐述,使用Mathematica代数计算系统计算了几种典型地质体模型的重力梯度的计算结果并成图展示,并将可视化技术与模型正演计算相结合,通过Mathematica实现正演计算的动态可视化,用具有真实感的图形图像具象化地展示场源体的重力梯度分布情况,实时观察场图形变化和剖面特征,分析地质体的几何形体在梯度场的映射关系。FTG正演计算及其可视化系统构建是理解重力梯度复杂性的重要一步,基于FTG的正演分析与综合应用,能为反演计算提供更为精确的解,提高地质特征的定量模拟质量,减少勘探中的不确定性。特别是考虑到小型便携化的全张量梯度仪的出现,重力梯度探测将会在更多领域中发挥作用,应用领域将会得到进一步的拓展。FTG可视化系统将为重力梯度勘探资料解释提供新的解释手段,为研究工作者从事课题研究、科技论文写作、课题汇报等提供一个基础平台。
http://ch.whu.edu.cn/cn/article/doi/10.13203/j.whugis20240307 -
-
[1] 曾华霖. 重力梯度测量的现状及复兴[J]. 物探与化探, 1999, 23(1): 1-6. Zeng Hualin. Present State and Revival of Gravity Gradiometry[J]. Geophysical and Geochemical Exploration, 1999, 23(1): 1-6.
[2] 曾华霖. 重力场与重力勘探[M]. 北京: 地质出版社, 2005. Zeng Hualin. Gravity Field and Gravity Exploration[M]. Beijing: Geological Publishing House, 2005.
[3] 孙文珂. 重力勘查资料解释手册[M]. 北京: 地质出版社, 2017. Sun Wenke. Manual for Interpretation of Gravity Exploration Data[M]. Beijing: Geological Publishing House, 2017.
[4] DiFrancesco D, Meyer T, Christensen A, et al. Gravity Gradiometry—Today and Tomorrow[C]//The 11th SAGA Biennial Technical Meeting and Exhibition, Swaziland, South Africa, 2009.
[5] 孙和平, 孙文科, 申文斌, 等. 地球重力场及其地学应用研究进展: 2020中国地球科学联合学术年会专题综述[J]. 地球科学进展, 2021, 36(5): 445-460. Sun Heping, Sun Wenke, Shen Wenbin, et al. Research Progress of Earth’s Gravity Field and Its Application in Geosciences—A Summary of Annual Meeting of Chinese Geoscience Union in 2020[J]. Advances in Earth Science, 2021, 36(5): 445-460.
[6] 孙和平. 对我国重力学未来发展的几点思考[J]. 中国科学院院刊, 2024, 39(5): 881-890. Sun Heping. Some Reflections on Developing Trend of Gravimetry in China[J]. Bulletin of Chinese Academy of Sciences, 2024, 39(5): 881-890.
[7] DiFrancesco D. Gravity Gradiometry: Systems, Applications, and Future Prospects[C]//International Workshop on Gravity, Electrical & Magnetic Methods and Their Applications, Beijing, China, 2011.
[8] 宋宏伟. 冷原子重力梯度仪发展现状及趋势[J]. 光学与光电技术, 2023, 21(3): 1-14. Song Hongwei. Development Status and Tendency of Cold-Atom Gravity Gradiometer[J]. Optics & Optoelectronic Technology, 2023, 21(3): 1-14.
[9] 孟兆海,李中,徐光晶,等.航空重力仪和重力梯度仪发展情况[C]//中国地球物理学会, 安徽 合肥,2021. Meng Zhaohai, Li Zhong, Xu Guangjing, et al. Pre-sent Research Situtation and Development Trend of Airborne Gravimeter and Gravity Gradio-meter[C]//China Geophysical Society, Hefei, China, Anhui, 2021.
[10] 边少锋, 纪兵. 重力梯度仪的发展及其应用[J]. 地球物理学进展, 2006, 21(2): 660-664. Bian Shaofeng, Ji Bing. The Development and Application of the Gravity Gradiometer[J]. Progress in Geophysics, 2006, 21(2): 660-664.
[11] 王博, 李天姣, 李晓平. 水下惯性/重力梯度匹配导航综述[J]. 战术导弹技术, 2023(4): 1-12. Wang Bo, Li Tianjiao, Li Xiaoping. Review of Underwater Inertial/Gravity Gradient Matching Navigation[J]. Tactical Missile Technology, 2023(4): 1-12.
[12] Saad A H. Understanding Gravity Gradients—A Tutorial[J]. The Leading Edge, 2006, 25(8): 942-949.
[13] Tian Y, Xu H, Yu J. Comparative Study on Topography Prediction Using Gravity Anomalies and Gra⁃vity Gradient Anomalies[R]. Copernicus Meetings, Milan, Italy, 2024.
[14] 李广才, 李培, 姜春香, 等. 我国城市地球物理勘探方法应用进展[J]. 地球物理学进展, 2023, 38(4): 1799-1814. Li Guangcai, Li Pei, Jiang Chunxiang, et al. Advances of the Application of Urban Geophysical Exploration Methods in China[J]. Progress in Geophy⁃sics, 2023, 38(4): 1799-1814.
[15] 江东. 重力梯度测量探测地下人造空洞的研究[D]. 郑州: 信息工程大学, 2012. Jiang Dong. Underground Man-Made Vacancy Detection from Gravity Gradiometry[D]. Zhengzhou: Information Engineering University, 2012.
[16] 贤鹏飞, 纪兵, 刘备. 潜艇内人员质量对重力梯度探测影响分析[J]. 海洋测绘, 2021, 41(3): 32-36. Xian Pengfei, Ji Bing, Liu Bei. The Influence of the Mass of Crew on Gravity Gradient Detection in Submarine[J]. Hydrographic Surveying and Charting, 2021, 41(3): 32-36.
[17] 李倩倩. 海洋重力场变化与海底构造运动研究[D]. 武汉: 中国科学院精密测量科学与技术创新研究院, 2021. Li Qianqian. Marine Gravity Field Variation and Submarine Tectonic Activity Research[D]. Wuhan: Innovation Academy for Precision Measurement Science and Technology, Chinese Academy of Sciences, 2021.
[18] 吴云孙, 晁定波, 李建成, 等. 利用测高重力梯度异常反演中国南海海底地形[J]. 武汉大学学报(信息科学版), 2009, 34(12): 1423-1425. Wu Yunsun, Chao Dingbo, Li Jiancheng, et al. Recovery of Ocean Depth Model of South China Sea from Altimetric Gravity Gradient Anomalies[J]. Geomatics and Information Science of Wuhan University, 2009, 34(12): 1423-1425.
[19] 郭东美, 何慧优. 应用全张量重力梯度组合识别并提取中国南海断裂[J]. 武汉大学学报(信息科学版), 2022, 47(5): 738-746. Guo Dongmei, He Huiyou. Boundary Identification and Extraction of Fault Structure in the South China Sea Using Full Tensor Gravity Gradient Combination[J]. Geomatics and Information Science of Wuhan University, 2022, 47(5): 738-746.
[20] 纪兵, 陈良友, 边少锋. 利用重力梯度测量探测海底障碍地形的模拟研究[J]. 武汉大学学报(信息科学版), 2011, 36(4): 495-497. Ji Bing, Chen Liangyou, Bian Shaofeng. Simulation of Exploring Submarine Topography Based on Gravity Gradiometry[J]. Geomatics and Information Scien⁃ce of Wuhan University, 2011, 36(4): 495-497.
[21] Dubey C P, Tiwari V M. Computation of the Gravity Field and Its Gradient: Some Applications[J]. Computers & Geosciences, 2016, 88: 83-96.
[22] Kamto P G, Oksum E, Yap L, et al. High Precision Structural Mapping Using Advanced Gravity Processing Methods: A Case Study from the North Region of Cameroon[J]. Acta Geophysica, 2024, 72(4): 2263-2280.
[23] Nagy D. The Gravitational Attraction of a Right Re⁃ctangular Prism[J]. Geophysics, 1966, 31(2): 362.
[24] 黄佳喜,边少锋,纪兵.航空重力梯度地形改正[J].测绘学报,2024,53(8):1540-1551. Huang Jiaxi, Bian Shaofeng, Ji Bing. Terrain Corrections for Airborne Gravity Gradiometry[J]. Acta Geodaetica et Cartographica Sinica, 2024,53(8):1540-1551.
[25] Chen W J, Tan X L, Tenzer R. Gravity Forward Modelling Software with User-Friendly Interface[J]. Geophysical Prospecting, 2024, 72(8): 2994-3007.
[26] 边少锋. 符号演算系统及相关软件[J]. 物探化探计算技术, 1999, 21(3): 257-260. Bian Shaofeng. Symbolic Computation System and Its Related Softwares[J]. Computing Techniques for Giophysical and Geochenical Exploration, 1999, 21(3): 257-260.