空间目标之间的方向关系是人们描述、表达现实世界必须要面对和研究的基本空间关系之一,被广泛地应用于空间分析、空间查询、空间推理,以及多尺度空间数据智能处理等空间信息科学领域^[1-3]。地图上的空间目标通常表现为两种形式：（1）单目标：包括点目标、线目标和面目标；（2）目标组：由多个单目标构成的集合,如居民地、道路网、河系等。按照构成要素的几何属性,目标组可分为点目标组、线目标组、面目标组,以及由点、线、面构成的复杂目标组^[4]。相应地,在地图空间中,方向关系主要存在于以下3类目标对中：（1）单目标与单目标；（2）单目标与目标组；（3）目标组与目标组。本文将（2）、（3）两类目标对之间的方向关系定义为目标组方向关系。

方向关系的判定需要借助一定的计算模型^[5-6]。现有的经典模型主要包括矩形模型、2D-String模型、锥形模型、方向关系矩阵模型、方向Voronoi图模型和方向关系统计模型^[7-10]。目前,用于目标组方向关系判定的模型主要是方向关系矩阵模型和方向Voronoi图模型^[11-15]。（1）方向关系矩阵模型以参考目标组的最小投影矩形（minimum bounding rectangle,MBR）为中心,将空间划分为9个方向区域（N,NE,E,SE,S,SW,W,NW,Same）,并通过计算源目标组的各子目标与方向区域之间的“交”判定方向关系。该模型的优点是计算简单、实现容易,但由于使用MBR代替参考目标组计算方向关系,忽略了参考目标组的分布形态和构成要素的分布密集度对方向关系的影响。（2）方向Voronoi图模型通过构建目标组“边界多边形”之间的Voronoi图判定方向关系。与方向关系矩阵模型相比,该模型较好地顾及了目标组的分布形态对方向关系的影响,但“边界多边形”同样忽略了目标组构成要素的分布密集度对方向关系的影响。（3）方向关系矩阵模型和方向Voronoi图模型分别将目标组之间的方向关系归类为整体（MBR）与部分（子目标）、整体（边界多边形）与整体（边界多边形）之间的方向关系,导致这两类模型的适用性较差,难以有效区分和描述穿越、交叠等复杂情况下的目标组方向关系。

综上所述,方向关系矩阵模型和方向Voronoi图模型之所以不能有效判定目标组方向关系,其主要原因是：（1）将目标组转换为单目标（矩形或多边形）计算方向关系,忽略了目标组的分布形态和构成要素的分布密集度对方向关系的影响；（2）未能对目标组方向关系进行合理地分类,在一定程度上影响了模型的适用性。为此,本文首先研究目标组方向关系的分类问题,并分析目标组的分布形态和构成要素的分布密集度对方向关系的影响；然后,在此基础上提出目标组方向关系定量计算与定性描述模型。

1 目标组方向关系建模的理论基础

1.1   目标组方向关系的分类

视觉心理学的闭合性定律表明,人们在进行视觉认知时,容易从心理上将互相接近的目标闭合成整体,而将互相远离的目标分隔成部分来感知^[16]。按照该定律,本文根据两目标组的不同视觉认知结果,将方向关系分为以下3类：

1）整体与整体之间的方向关系。如图1（a）所示,目标组A与目标组B在视觉上各自被闭合成整体,则A与B之间的方向关系为整体与整体之间的方向关系。

2）整体与部分之间的方向关系。如图1（b）所示,目标组A在视觉上被闭合成整体,而目标组B在视觉上被分隔成部分B₁和B₂,则A与B之间的方向关系为整体与部分之间的方向关系。

3）部分与部分之间的方向关系。根据目标组A的子目标与目标组B的子目标是否拓扑相离,分为以下两种情况：①子目标拓扑相离：如图1（c）所示,目标组A与目标组B在视觉上分别被分隔成部分A₁、A₂和 B₁、B₂（B₁、B₂分别是在视觉上被闭合成局部整体的部分）,则A与B之间的方向关系为部分与部分之间的方向关系。②子目标非拓扑相离：如图1（d）所示,目标组A与目标组B在视觉上分别被分隔成部分A₁、A₂和B₁、B₂（A₁、B₁分别是在视觉上被闭合成局部整体的部分）,以及交叠部分C₁,则A与B之间的方向关系为部分与部分之间的方向关系。

图  1  目标组方向关系的分类

Figure  1.  Classification of the Direction Relationships Between Object Groups

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1.2   目标组的分布形态和构成要素的分布密集度对方向关系的影响分析

目标组的分布形态和构成要素分布密集度的改变,在某些情况下会造成方向关系的变化。

1）目标组位于邻近区域一侧的分布形态改变时,有可能引起方向关系的变化。如图2（a）所示,目标组A的分布形态变化时,由于没有改变位于邻近区域一侧的分布形态,未能引起方向关系的变化；但变化为图2（b）时,改变了位于邻近区域一侧的分布形态,导致方向关系发生变化。

图  2  目标组的分布形态对方向关系的影响

Figure  2.  Impact of Distribution Shape of Object Group on Direction Relationships

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2）目标组位于邻近区域一侧的构成要素的分布密集度改变时,有可能引起方向关系的变化。如图3（a）所示,目标组B构成要素的分布密集度变化时,由于没有改变位于邻近区域一侧的分布密集度,未能引起方向关系的变化；但变化为图3（b）时,改变了位于邻近区域一侧的分布密集度,导致方向关系发生变化。

图  3  目标组构成要素的分布密集度对方向关系的影响

Figure  3.  Impact of Distribution Density of the Sub-objects of Object Group on Direction Relationships

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由上述分析可知,邻近区域能够有效反映目标组的分布形态和构成要素的分布密集度对方向关系的影响；同时,视觉心理学的邻近性定律也表明,在判定方向关系时,两目标位于邻近区域一侧的部分起主要作用^[17]。为此,本文将利用邻近区域对目标组方向关系进行判定。

2 目标组方向关系的定量计算与定性描述

目标组方向关系定量计算与定性描述的基本思路是：首先,借助Delaunay三角剖分构建两目标组之间的邻近区域；然后,利用邻近区域三角形将目标组定量方向关系分解为更易求解的局部定量方向关系进行计算；最后,将局部定量方向关系转换融合为目标组定性方向关系。

2.1   目标组邻近区域的构建

鉴于Delaunay三角网在空间邻近性分析中的优势^[18],本文将借助其构建两目标组的邻近区域。如图4中目标组A和B所示,参考目标组A和源目标组B从视觉上分别被感知成整体与整体、整体与部分、部分与部分（子目标拓扑相离）、部分与部分（子目标非拓扑相离）,其邻近区域的构建过程如下：（1）将A和B的特征点及其交点（即A和B的公共点）作为点集,构建约束Delaunay三角网；（2）删除3个顶点属于同一目标组的特征点或均为交点的三角形,剩余三角形构成A和B的邻近区域。

图  4  邻近区域的构建过程

Figure  4.  Process for Constructing the Adjacent Region

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2.2   目标组方向关系的定量计算

本文模型采用八方向系统（方向分辨率为45^o）作为方向关系的参考框架,如图5所示。因

此,为了提高定量方向关系的精度,模型以45^o作为角度限界对其进行计算。基本思路是：首先,通过预处理邻近区域三角形,区分不同类型的目标组方向关系；然后,将目标组定量方向关系分解为邻近区域三角形的顶点和边之间的定量方向关系（即局部定量方向关系）进行计算。

图  5  八方向系统

Figure  5.  Eight-Direction System

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2.2.1   邻近区域三角形的预处理

如图6（a）所示分别为整体与整体、整体与部分、部分与部分（子目标拓扑相离）之间的邻近区域三角形。其中,△b₁a₁b₂连接的2个子目标B₁和B₂由于在视觉上不能闭合,导致难以有效区分和计算不同视觉认知结果下的目标组方向关系。为此,本文采取如下方法对该类三角形进行识别和处理：

1）计算邻近区域三角形在目标组B上的平均边长L_ave,然后查找连接目标组B的不同子目标且长度大于2L_ave的边E（表明该边所连接的两个子目标在视觉上有可能不闭合,如图6（a）所示的边b₁b₂）,其中,阈值2L_ave由实验得到。

图  6  邻近区域三角形的预处理

Figure  6.  Preprocess of Triangles in Adjacent Region

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2）对边E所在三角形T（图6（a）中△b₁a₁b₂）进行如下处理：①将边E的对角t进行n等分（$n=⌈t/{\mathrm{45}}^{\circ }⌉$）,三角形T被划分成相应的n个三角形（图6（b）中△b₁a₁c₁、△c₁a₁c₂、△c₂a₁b₂）；②分别计算n个三角形所在的锥形区域和目标组B的交集,若交集非空,则保留该三角形（图6（b）上图的△b₁a₁c₁、△c₁a₁c₂、△c₂a₁b₂和中图的△b₁a₁c₁、△c₂a₁b₂）；否则,舍弃该三角形（图6（b）中图的△c₁a₁c₂和下图所示的△b₁a₁c₁、△c₁a₁c₂、△c₂a₁b₂）。

如图6（c）所示,预处理后的邻近区域三角形能够有效区分和计算不同类型的目标组方向关系。需要说明的是,子目标非拓扑相离的部分与部分之间的方向关系可通过判断两目标组是否有交集（即邻近区域三角形的顶点是否包含交点）来进行区分和计算。

2.2.2   局部定量方向关系的计算

如图7所示,根据三角形顶点所属目标组以及包含交点个数的不同,参考目标组A和源目标组B之间的邻近区域三角形可分为以下7类：

1）Type-1三角形。如图7（a）所示,三角形的一个顶点a₁是A的特征点,另外两个顶点b₁、b₂是B的特征点,A指向B的局部定量方向关系可通过计算顶点a₁指向边b₁b₂的定量方向关系得到。

2）Type-2三角形。如图7（b）所示,三角形的一个顶点a₁是A的特征点,另外两个顶点b₁、i₁分别是B的特征点、A和B的交点,A指向B的局部定量方向关系可通过计算顶点a₁指向边b₁i₁、边a₁i₁指向顶点b₁的定量方向关系得到。

3）Type-3三角形。如图7（c）所示,三角形的一个顶点a₁是A的特征点,另外两个顶点i₁、i₂是A和B的交点,A指向B的局部定量方向关系可通过计算顶点a₁指向边i₁i₂、边a₁i₁指向顶点i₂、边a₁i₂指向顶点i₁的定量方向关系得到。

4）Type-4三角形。如图7（d）所示,三角形的一个顶点b₁是B的特征点,另外两个顶点a₁、a₂是A的特征点,A指向B的局部定量方向关系可通过计算边a₁a₂指向顶点b₁的定量方向关系得到。

5）Type-5三角形。如图7（e）所示,三角形的一个顶点b₁是B的特征点,另外两个顶点i₁、i₂是A和B的交点,A指向B的局部定量方向关系可通过计算顶点i₁指向边b₁i₂、边i₁i₂指向顶点b₁、顶点i₂指向边b₁i₁的定量方向关系得到。

6）Type-6三角形。如图7（f）所示,三角形的一个顶点i₁是A和B的交点,另外两个顶点a₁、a₂是A的特征点,A指向B的局部定量方向关系可通过计算边a₁a₂指向顶点i₁的定量方向关系得到。

7）Type-7三角形。如图7（g）所示,三角形的一个顶点i₁是A和B的交点,另外两个顶点b₁、b₂是B的特征点,A指向B的局部定量方向关系可通过计算顶点i₁指向边b₁b₂的定量方向关系得到。

图  7  目标组邻近区域三角形的分类

Figure  7.  Classification of Triangles in Adjacent Region Between Object Groups

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如图8所示,△ABC的顶点A与边BC之间的定量方向关系计算方法如下：

1）∠CAB≤45^o。计算∠CAB的带指向的平分线AM与x轴正向的夹角α,并将α作为方向中值表达顶点A与边BC之间的定量方向关系（边BC的长度值l作为α的权重）,见图8（a）和图8（c）。

2）∠CAB>45^o。将∠CAB进行n等分（$n=⌈\mathrm{\angle }CAB/{\mathrm{45}}^{\circ }⌉$）,通过计算n个角的带指向的平分线与x轴正向的夹角α₁、α₂、…、α_n表达顶点A与边BC之间的定量方向关系。如图8（b）和图8（d）所示,顶点A与边BC之间的定量方向关系可用∠DAB、∠CAD的带指向的平分线AM₁、AM₂与x轴正向的夹角α₁、α₂表达（边BD、DC的长度值l₁、l₂分别作为α₁、α₂的权重）。

图  8  三角形的顶点与边之间的定量方向关系计算

Figure  8.  Calculation of Quantitative Direction Relationship Between the Vertex and Edge of Triangle

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根据上述方法,计算图9所示各邻近区域三角形的顶点和边之间的定量方向关系及其权重,结果如表1所示。需要说明的是,由于图9中3号三角形属于Type-2三角形,故需分别计算两对顶点和边之间的定量方向关系（表1中相应的编号分别为3-1和3-2）；而在计算3-1对应的定量方向关系时,因45^o<α<90^o,需将3号三角形划分为两个三角形进行计算（表1中相应的编号分别为3-1-1和3-1-2）。图9中4、6、8号三角形的处理与3号三角形类似。

图  9  目标组邻近区域三角形

Figure  9.  Adjacent Region Triangles Between Object Groups

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表  1  图9所示邻近区域三角形的顶点和边之间的定量方向关系及其权重

Table  1.  Quantitative Direction Relationship and Its Weight Between the Vertex and Edge of Adjacent Region Triangle Shown in Fig. 9

三角形编号	定量方向关系/(°)	局部定性方向关系	权重	三角形编号	定量方向关系/(°)	局部定性方向关系	权重
1	24	NE	0.78	6-1	204	SW	0.90
2	43	NE	0.51	6-2-1	252	S	0.57
3-1-1	34	NE	0.81	6-2-2	298	SE	0.62
3-1-2	352	E	0.55	7	294	SE	1.01
3-2	69	N	0.80	8-1	335	SE	1.39
4-1	156	NW	1.35	8-2	295	SE	1.49
4-2	111	N	1.19	9	347	E	0.87
5	249	S	0.52

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2.3   目标组方向关系的定性描述

目标组定性方向关系由局部定量方向关系转换融合得到,其基本思路是：首先,将局部定量方向关系转换为对应的局部定性方向关系；然后,通过权重求和将属于同一主方向的局部定性方向关系融合为一类。

下面结合实例对该过程进行描述：（1）根据表2所示的定量方向和主方向之间的映射关系,将表1中的局部定量方向关系转换为对应的局部定性方向关系,结果见表1。（2）通过权重求和将表1中属于同一主方向的局部定性方向关系融合为一类,结果如表3所示。

表  2  八方向系统中定量方向和主方向之间的映射关系

Table  2.  Mapping Relationships Between Quantitative Directions and Cardinal Directions in the Eight-Direction System

定量方向区间/(°)	主方向	定量方向区间/(°)	主方向
（67.5, 112.5]	N	（247.5, 292.5]	S
（112.5, 157.5]	NW	（292.5, 337.5]	SE
（157.5, 202.5]	W	（337.5, 360]∪[0, 22.5]	E
（202.5, 247.5]	SW	（22.5, 67.5]	NE

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表  3  表1所示局部定性方向关系的融合结果

Table  3.  Fusion Results of the Local Qualitative DirectionRelationships Shown in Tab.1

主方向	权重	主方向	权重
N	1.99	S	1.09
NE	2.10	SW	0.90
E	1.42	NW	1.35
SE	4.51

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本文模型中参考目标组A指向源目标组B的定性方向关系Dir（A,B）矩阵描述如下：

式中,若主方向d（d∈｛N,NE,E,SE,S,SW,W,NW｝）存在,则相应元素的值为1,否则为0；若A和B的交集非空,则元素Same的值为1,否则为0。

表3中参考目标组A指向源目标组B的定性方向关系可描述为：$\mathrm{D}\mathrm{i}\mathrm{r}(A,B)=\left[\begin{array}{ccc}\mathrm{1}& \mathrm{1}& \mathrm{1}\\ \mathrm{0}& \mathrm{1}& \mathrm{1}\\ \mathrm{1}& \mathrm{1}& \mathrm{1}\end{array}\right],$也可表达为：Dir（A,B）=｛N,NE,E,SE,S,SW,NW,Same｝。

进一步地,参考目标组A指向源目标组B的加权定性方向关系Dir_w（A,B）矩阵描述如下：

式中,R_d=W_d/W_s,W_d为主方向d的权重,$W_s=\sum _d{W}_d$。若A和B的交集非空,则元素Same的值为1,否则为0。

表3中参考目标组A指向源目标组B的加权定性方向关系可描述为：$\mathrm{D}\mathrm{i}{\mathrm{r}}_w(A,B)=\left[\begin{array}{ccc}\mathrm{0.10}& \mathrm{0.15}& \mathrm{0.16}\\ \mathrm{0.00}& \mathrm{1}& \mathrm{0.11}\\ \mathrm{0.07}& \mathrm{0.08}& \mathrm{0.33}\end{array}\right]$,也可表达为：Dir_w（A,B）=｛（N,0.15）,（NE,0.16）,（E,0.11）,（SE,0.33）,（S,0.08）,（SW,0.07）,（NW,0.10）,Same｝。

3 实验与结果分析

3.1   空间认知实验

空间认知实验是检验方向关系准确性的一种有效手段^[9-10]。为了验证所提模型能够克服方向Voronoi图模型和方向关系矩阵模型的不足,提高目标组方向关系判定的准确性,本文选取了整体与整体、整体与部分、部分与部分3类不同视觉认知结果下的目标组方向关系典型案例,对本文模型、方向Voronoi图模型和方向关系矩阵模型进行了空间认知实验。

实验设计如下：（1）被试选择：GIS专业学生60名,非GIS专业学生40名。（2）实验方法：100名被试根据图10~12所示实验案例的方向关系判定结果,在表4所示的调查表中选择认可、不确定、不认可3个选项之一。（3）实验数据收集：从收集的100份调查表中分别计算每个实验案例所对应的各选项人数之和,结果见表4。（4）实验数据统计：对表4的调查数据进行统计处理,结果如表5所示,其中,认可人数均值（$\overline{X}$）的置信度为95%的置信区间为$\left[\overline{X}-\mathrm{1.96}\frac{\sigma }{\sqrt[]{n}},\overline{X}+\mathrm{1.96}\frac{\sigma }{\sqrt[]{n}}\right]$,其中,$\sigma$表示总体标准差；n表示样本（实验案例）数。

图  10  整体与整体之间方向关系的判定

Figure  10.  Determination of Direction Relationships Between Whole and Whole

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图  11  整体与部分之间方向关系的判定

Figure  11.  Determination of Direction Relationships Between Whole and Parts

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图  12  部分与部分之间方向关系的判定

Figure  12.  Determination of Direction Relationships Between Parts and Parts

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3.2   目标组的分布形态和构成要素的分布密集度对方向关系的影响实验

为了验证所提模型能够顾及目标组的分布形态和构成要素的分布密集度对方向关系的影响,本文使用面目标组对该模型和方向Voronoi图模型、方向关系矩阵模型进行了对比实验。如图13所示,本文模型与方向Voronoi图模型均能有效反映目标组分布形态的改变对方向关系产生的影响；而在目标组构成要素的分布密集度改变时,只有本文模型可以合理描述其变化前后的方向关系,如图14所示。

表  4  空间认知实验调查表

Table  4.  Questionnaire for the Spatial Cognitive Test

本文模型				方向Voronoi图模型				方向关系矩阵模型
实验案例	认可	不确定	不认可	实验案例	认可	不确定	不认可	实验案例	认可	不确定	不认可
图10（a）	83	2	15	图10（b）	83	2	15	图10（c）	14	3	83
图10（d）	86	3	11	图10（e）	86	3	11	图10（f）	8	6	86
图10（g）	79	1	20	图10（h）	79	1	20	图10（i）	19	2	79
图11（a）	90	1	9	图11（b）	8	2	90	图11（c）	90	1	9
图11（d）	63	2	35	图11（e）	9	2	89	图11（f）	26	2	72
图11（g）	72	3	25	图11（h）	11	3	86	图11（i）	9	8	83
图12（a）	70	3	27	图12（b）	5	3	92	图12（c）	22	3	75
图12（d）	59	9	32	图12（e）	6	16	78	图12（f）	19	16	65
图12（g）	53	8	39	图12（h）	22	8	70	图12（i）	17	8	75

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表  5  空间认知实验统计结果

Table  5.  Statistical Results of Spatial Cognitive Test

模型	n	$\overline{X}$	$\sigma$	$\overline{X}$的95%置信区间
本文模型	9	72.78	12.02	[64.93,80.63]
方向Voronoi图模型	9	34.33	34.53	[11.77,56.89]
方向关系矩阵模型	9	24.89	23.66	[9.43,40.35]

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3.3   地图数据实验

为了验证所提模型的可行性,本文使用shape格式的地图数据对其进行实验,并采用加权定性方向关系描述模型的计算结果。如图15所示,本文模型可用于判定地图空间中点目标组、线目标组、面目标组以及复杂目标组之间的方向关系。

3.4   结果分析

对上述实验结果进行分析可知,本文提出的模型具有以下特点：

1）空间认知实验的统计结果表明,认可本文模型方向关系判定结果的人数均值为72.78,标准差为12.02,置信区间为[64.93,80.63],要优于方向Voronoi图模型和方向关系矩阵模型。这说明本文模型较好地克服了方向Voronoi图模型和方向关系矩阵模型存在的缺陷,能够有效提高目标组方向关系判定的准确性,且模型的总体表现稳定。

2）本文模型的建立是基于对目标组方向关系的合理分类,因此具有较好的适用性,能够有效区分和描述穿越（图11（d）、图11（g））、交叠（图12（d）、图12（g））等复杂情况下的目标组方向关系。

3）与方向Voronoi图模型和方向关系矩阵模型相比,由于本文模型利用邻近区域三角形对目标组方向关系进行区分和计算,因此能够更好地顾及目标组的分布形态和构成要素的分布密集度对方向关系的影响,如图13和图14所示。

4）本文模型能够有效判定地图空间中不同几何类型目标组之间的方向关系,具有较好的可行性,如图15所示。

5）不同于方向Voronoi图模型和方向关系矩阵模型,本文模型还能够有效判定4方向（方向分辨率为90^o）、16方向（方向分辨率为22.5^o）等方向系统下的目标组方向关系（只需将定量方向关系计算中的角度限界分别设置为90^o、22.5^o即可）。

6）较之于方向关系矩阵模型,由于本文模型利用带指向的角平分线计算方向关系,因此可以通过求解Dir（A,B）的逆直接得到Dir（B,A）,这很好地满足了方向关系的反射性,为实现面向目标组的方向关系查询和推理提供了便捷。

7）本文模型对方向关系的加权定性描述可以为目标组方向关系的相似性计算提供良好的支持。

8）相比于方向Voronoi图模型和方向关系矩阵模型,本文模型的计算过程较为繁杂,其算法时间复杂度与方向Voronoi图模型相同（O（n²））,高于方向关系矩阵模型（O（nlogn））。

图  15  本文模型的地图数据实验

Figure  15.  Map Data Experiments for the Proposed Model

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4 结语

现有模型因自身的不足,难以对目标组方向关系做出准确的判定。为此,本文借鉴方向Voronoi图模型的基本思想,提出了一种定量计算和定性描述目标组方向关系的模型。由实验分析可知,该模型可以有效提高目标组方向关系判定的准确性,具有较好的适用性和可行性,其主要优势是：（1）能够充分顾及目标组的分布形态和构成要素的分布密集度对方向关系的影响,较好地克服了现有模型存在的缺陷；（2）能够对目标组方向关系进行合理的分类,有效区分和描述穿越、交叠等复杂情况下的目标组方向关系。鉴于上述优点,可将该模型应用于空间查询、空间推理、地图综合以及空间相似性计算等领域,以进一步提升处理结果的准确性和可信度,这也是今后研究的主要工作。