Medium-Long Term Forecasting Method for Earth Rotation Parameters Considering Effective Angular Momentum Information
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摘要:
地球自转参数(Earth rotation parameters, ERP)的预报精度一直是卫星自主导航和深空探测等用户关注的焦点。为了进一步提升用户的满意度,首先将激发域的有效角动量(effective angular momentum, EAM)的拟合残差序列卷积到大地测量观测域,并添加经验调节因子,构造出新的EAM拟合残差序列;然后将ERP和新的EAM拟合残差序列做减法,获得差异序列;最后联合差异序列和新的EAM残差序列的预报值,推出目标ERP序列的预报值。使用由ERP数据驱动的最小二乘外推和自回归(the least square extrapolation and autoregressive,LS+AR)模型,从2012年初到2021年初的预报实验结果显示,在1~ 365 d的预报窗口上,X方向和Y方向的调节因子均为0.7时,分别较传统方法平均提高31.86%和21.00%;日长变化的调节因子为1时,较传统方法平均提升15%。这用数值预报的方式验证了极移短时间尺度的约70%高频变化由EAM激发这一已有结论,并为ERP预报研究提供了参考。
Abstract:ObjectivesThe prediction accuracy of Earth rotation parameters (ERP), as one of the hot spots in geodetic research, has been attracting attention from users such as autonomous satellite navigation and deep space exploration. In order to further satisfy the users' requirements, we combine the new effective angular momentum (EAM) data for the ERP prediction study.
MethodsThe EAM fitted residual series in the excitation domain is first transferred to the geodetic observation domain, and an empirical adjustment factor is added to construct a new EAM fitted residual series. Then the fitted residual series of ERP and the fitted residual series of the new EAM are subtracted to obtain the difference series. Using the least square extrapolation and autoregressive (LS+AR) models driven by ERP data, prediction experiments are performed for the difference series and the new EAM residual series, respectively, and finally predictions for the target ERP series are jointly introduced.
ResultsBased on experiments from the beginning of 2012 to the beginning of 2021, it is shown that an overall better result can be obtained for the adjustment factor of 0.7 in both the X-direction and Y-direction at a prediction horizons of 1-365 days, with an average improvement of 31.86% and 21.00% over the traditional method, respectively. The average improvement over the traditional method is 15% when the adjustment factor of length of day is 1.
ConclusionsThis verifies the existing conclusion that about 70% of the high-frequency changes in the short time scale of polar motion are stimulated by EAM by means of numerical prediction, and provides a reference for ERP prediction research.
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地球自转参数(Earth rotation parameters, ERP)包括极移(polar motion, PM)的两个方向和日长变化(length of day, LOD)。其中,极移描述了地球自转轴的运动轨迹,LOD描述了地球自转速度的变化情况。目前,ERP的观测手段有甚长基线干涉测量、全球导航卫星系统、卫星激光测距、激光测月和多普勒无线电定轨定位系统等空间测地技术。这些技术的测量精确非常高,但是在解算汇总成最终稳定产品的过程中,会存在一个月到几天不等的时间延迟[1-2],这对于卫星自主定轨、航天器跟踪和深空探测等应用非常重要[3-5]。由此可见,开发预报精度高且稳定性强的ERP预报方法,用于解决天地参考框架相互转换的问题,具有重要意义。
根据极移的周期特性,文献[6-9]逐步完善并建立了经典的最小二乘外推和自回归(the least square extrapolation and autoregressive,LS +AR)模型。LS+AR模型在第一次国际地球定向参数预报竞赛结束后,被认为是极移预报精度较高的模型之一[3]。许多研究对该模型进行了改进,获得了不同程度的改善。在解算LS模型参数时,文献[10]根据距离预测值的远近设计权阵,文献[11]分别采用国际地球自转服务组织(International Earth Rotation Service, IERS)的解算精度与国际全球导航卫星系统(global navigation satellite system,GNSS)服务的解算精度设计权阵,这都有效提高了中长期预报精度。不同的输入数据长度会产生不同的预报精度,文献[12]得出了10 a的输入数据长度可以获得较优的极移预报精度的结论;文献[13]对AR模型的输入数据长度添加调节因子,改善了中长期的预报精度。在周期问题上,文献[14]对钱德勒周期项进行了时变修正,文献[15]考虑了时变的周期项,有效改进了中长期的预报精度。通过频谱分析,文献[15-16]发现极移序列中还存在微弱的逆向周年项。针对LS模型,文献[17]比较了加入线性趋势项对预报精度的影响,结果表明线性趋势项对改善中长期预报精度尤为重要。文献[18]观察到相邻实验之间具有一定相关性,于是使用上一期的预报误差对下一期的预报结果附加参数修正。文献[4]将卡尔曼滤波与LS+AR模型结合,有效提高了短期的预报精度。文献[19]运用卡尔曼滤波对AR模型进行修正,使用最小均方误差自适应滤波对LS模型进行修正,这两种修正均提高了极移预报精度。
上述研究都是在大地测量观测域进行预报,只有文献[20]首次构造了3个序列的作差等式关系,通过结合两个序列获得第3个序列的预报值,这种策略为ERP预报提供了新思路。文献[20]通过反卷积将ERP序列转移到激发域,变成大地测量角动量(geodetic angular momentum, GAM),然后与地球物理激发的有效角动量(effective angular momentum,EAM)结合,在激发域的LS外推模型之前,获得同方向的GAM与EAM的差异。基于LS+AR模型,分别对同方向的EAM序列和差异序列进行预报,联合上述两个序列的预报获得GAM的预报。EAM概括了由大气、海洋和陆地水圈对ERP的激发[20],赤道向分量
、 与极移有关,轴向分量 与日长变化有关。许多研究非常详细地分析、比较甚至组合了这样的EAM数据[21-27]。由此可见,EAM数据对于ERP预报研究非常重要。 由于LS模型解决的是已知项的拟合和外推问题,预报精度的不确定性落在AR模型上。考虑到大多数ERP预报研究在大地测量域进行[4,10-19],借鉴文献[20]的思路,将这种差异运算转移到大地测量域。文献[13]通过对AR模型的输入数据长度添加经验调节因子,讨论了不同长度的输入数据对最终预报精度的改善情况。本文注意到这一思路的优越性,与此不同的是,聚焦的重点是在AR模型之前,通过经验调节因子控制EAM的拟合残差序列数值大小。EAM对极移X方向的贡献大于Y方向[28],Y方向的地理位置导致其受到的强迫力比较大。拟合残差序列中包含了大量短时间尺度的高频变化,EAM序列可以解释大部分短时间尺度的高频激发[28-29],那么ERP序列再与加入调节因子后的EAM拟合残差序列结合,有助于减弱新的EAM拟合残差序列以及差异序列中高频变化的强度,减弱高频变化的强度势必会改善极移中长期的预报精度。本文也将这一思路运用到日长变化的预报,由于EAM序列对日长变化的贡献比较大,所以调节因子不会对EAM序列起到作用。
本文在大地测量域围绕不同大小的调节因子,探究调整后的EAM序列对极移短时间尺度的高频变化的改善情况,为ERP预报研究提供应用上的参考。
1 预报模型
1.1 LS外推模型
LS模型由线性项和周期项组成,能够很好地拟合历史序列的变化,并外推出未来的趋势。计算公式为:
(1) 式中,
是 时刻ERP的观测值;a为常数项; 为线性项系数; 和 是振幅; 是拟合残差; 是参与建模的周期项个数[15,30]; 是周期值。 1.2 AR模型
AR模型是一种经典的时间序列预测模型,描述了随机序列、历史序列的规律变化与白噪声间的关系。计算公式为:
(2) 式中,
是 时刻的序列; 是模型阶数; 是模型参数; 是零均值的白噪声。 模型阶数
的大小是获得预测精度高低的关键,本文选用赤池信息量准则(Akaike information criterion, AIC),其计算公式为[31]: (3) 式中,
是残差序列的方差; 是输入数据的长度; 是最优模型阶数。 1.3 模型参数求解
在解算LS外推模型和AR模型的模型参数时,采用估计无偏且精度较高的最小二乘方法,其计算公式为:
(4) 式中,
是系数矩阵; 是待求的模型参数; 是权矩阵。当求解LS模型参数时, 表示基础序列组成的向量;当求解AR模型参数时, 表示拟合残差序列组成的向量。 2 本文方法
德国地学研究中心(German Research Centre for Geosciences,GFZ)的EAM数据有效改善了ERP中短期的预报精度,文献[20]是其代表性的成果之一。其中,在LS建模之前,先求取了同方向的GAM与EAM之间的差异,然后通过结合差异序列和EAM序列的预报获得GAM的预报。与此不同的是,本文将所有的预报过程转移到大地测量观测域,这和绝大多数研究保持一致[4,10-19]。然后,EAM和ERP序列在拟合时,均使用固定周期项,所有的不确定性落在AR模型上。于是,将文献[20]的策略转移到AR建模之前,这种结合策略相当于增加了一个约束条件,不仅使实验与EAM有关,而且也有助于改进拟合残差的1~365 d的预报精度。
在传统方法的基础上,文献[13]对输入数据的长度添加调节因子,讨论并找到了相对较优的AR模型输入数据长度。与此不同的是,本文聚焦的是通过调节因子控制EAM拟合残差序列的大小,从而控制地球物理激发对ERP高频项的贡献大小。很多已有的经典地球物理研究[28-29]分析并讨论了大气和海洋对极移激发的贡献百分比,约占70%,没有具体定论。极移短时间尺度的高频变化大约70%由地球物理激发贡献,X方向与EAM的相关性要强于Y方向,而且更为稳定[28-29]。综合上述分析,将调节因子引入到EAM拟合残差序列中,通过控制高频项的强弱,从而达到改进预报精度的目的,这是有效可行的。
经过LS模型处理后,剩余的拟合残差序列包含了丰富信息,其中高频项的强弱是影响中长期预报精度的关键。运用文献[20]的预报策略,并对EAM残差序列施加调节因子,有助于减弱高频项对中长期预报精度的影响。于是本文方法的构建方式可以写作:
(5) 式中,
、 和 代表ERP序列的拟合残差序列, 代表扣除潮汐项之后的日长变化衍生序列[32]; 、 和 代表EAM的拟合残差序列; 、 和 表示两个序列间的差异; 代表调节因子。其中, 、 和 表示大地测量观测域的新序列[32-33]。 LS+AR组合模型被认为是ERP预报精度较高的模型之一,因此,基于该组合模型分别对后两者预报是有效可行的。新的极移X、Y和LODR序列的预报计算公式为:
(6) 式中,
表示X序列的新预报值; 表示Y序列的新预报值; 表示LODR序列的新预报值。 为了更加清楚地描述本文方法,将上述过程组织成一张流程图再次叙述,如图1所示。
3 真实算例
3.1 实验数据
在这个研究中,ERP基础数据从IERS官网上获取,EAM数据从GFZ官网上获取[20],其中,ERP基础数据的分辨率是24 h,EAM中大气角动量(atmospheric angular momentum, AAM)和海洋角动量(oceanic angular momentum, OAM)的分辨率是3 h,陆地水角动量(hydrological angular momentum, HAM)和海平面角动量(sea level angular momentum, SLAM)的分辨率是12 h。在统一分辨率时,采用的经验计算公式为:
(7) 式中,AOM表示AAM和OAM处理到24 h分辨率的结果;w表示第w天;
表示当天第0时刻的观测值,其余标识类似。 在HAM和SLAM的预处理中,直接将12 h分辨率转为24 h分辨率,计算公式为:
(8) 式中,HSM表示HAM和SLAM预处理到24 h分辨率的结果;
表示前一天的原始数据; 代表当天的原始数据。 在实验中,极移的输入数据长度分别尝试了3~10 a,LOD的输入数据长度尝试了18 a。第一次预报实验开始于2012年1月6日,最后一次预报实验结束于2021年1月1日,每次实验预报1 a,起止时间与IERS公报A保持一致。
3.2 方案设计
在极移预报研究中,存在10 a尺度波动的结论[34]。文献[12]讨论了不同输入数据长度对极移预报精度的影响,当输入数据长度为10 a时,可以获得较优的结果。很多研究将输入数据长度为10 a的LS+AR方法作为传统方法,并与传统方法对比[12-13,19]。在日长变化预报中,18 a的输入数据长度一直被当作传统方法的基础数据量[15]。
由于要预报的位置没有参考值,所以无法通过启发式搜索算法建立目标函数找出最佳
,于是根据经验对 分别取值为1、0.2、0.4、0.6、0.7、0.8、0.9,依次设置成方案1到方案7,IERS 公报A作为地球自转服务组织IERS发布的预报产品,也加入了对比。综上所述,本文设计了9种方案,如表1所示。 预报方案 调节因子 输入数据的长度 方案1 1 极移是3~10 aLOD是18 a 方案2 0.2 方案3 0.4 方案4 0.6 方案5 0.7 方案6 0.8 方案7 0.9 传统方法 0 IERS公报A 3.3 预报精度的评定
和已有研究一样,本文选用绝对误差(absolute error,AE)、平均绝对误差(mean absolute error, MAE)作为预报精度的评定指标[3,15]。计算公式为:
(9) (10) ×100% (11) 式中,
是预报实验次数; 是预报窗口; 为预报值; 为参考真值; 与 分别对应方法E与方法F在第 天的MAE,单位是m(″); 是方法E相对于方法F的提升百分比。 3.4 结果与分析
由于极移预报的每种方案需要在3~10 a的输入数据上测试,所以涉及到大量实验结果。对比后,选择输入数据长度为5 a的结果作为本文方法的基础数据量。相应的结果如表2和图2所示。
ERP 方案 不同时间窗口的MAE 1 d 30 d 60 d 90 d 120 d 150 d 180 d 240 d 300 d 365 d X/m(″) 方案1 (5 a) 0.183 7.118 12.317 15.692 17.583 18.237 18.016 19.516 22.094 22.531 方案5 (5 a) 0.181 7.033 12.060 15.295 16.680 17.019 16.848 18.876 20.834 20.947 方案6 (5 a) 0.181 7.005 12.055 15.359 16.906 17.339 17.159 18.954 21.217 21.306 方案7 (5 a) 0.182 7.042 12.117 15.452 17.139 17.737 17.699 19.391 21.733 21.891 传统方法 0.178 8.224 16.606 23.498 28.133 30.050 29.719 27.919 28.965 31.222 IERS公报A 0.270 6.811 11.472 14.405 16.388 17.833 18.726 21.060 22.449 23.050 /% -1.69 14.48 27.38 34.91 40.71 43.36 43.31 32.39 28.07 32.91 Y/m(″) 方案1 (4 a) 0.165 7.320 16.447 24.218 28.963 30.733 30.630 29.936 30.128 31.023 方案2 (4 a) 0.150 5.811 11.393 15.326 17.470 18.345 18.835 19.043 19.299 21.387 方案1 (5 a) 0.165 7.230 16.404 24.999 30.772 33.449 33.807 33.275 34.495 35.031 方案5 (5 a) 0.144 5.301 10.296 14.216 16.713 18.778 20.067 21.263 21.362 24.049 方案6 (5 a) 0.144 5.360 10.500 14.546 16.883 18.979 20.298 21.462 21.813 24.769 方案7 (5 a) 0.146 5.407 10.713 14.906 17.051 18.853 20.229 21.580 22.464 25.337 传统方法 0.148 5.926 12.560 19.313 24.405 27.214 27.725 24.789 25.874 28.685 IERS公报A 0.198 4.306 7.719 11.871 16.645 20.769 23.676 25.825 25.613 25.041 /% 2.70 10.55 18.03 26.39 31.52 31.00 27.62 14.22 17.44 16.16 LOD/ms 方案1 (18 a) 0.019 0.154 0.168 0.178 0.183 0.196 0.212 0.231 0.260 0.277 传统方法 0.029 0.166 0.192 0.213 0.224 0.242 0.256 0.268 0.285 0.293 /% 32.14 7.23 12.50 16.43 18.30 19.01 17.19 13.43 8.42 5.46 在X方向上,当调节因子分别为1、0.7、0.8和0.9时,预报精度之间的整体差距不大。其中,调节因子为0.7的方案5 (5 a)表现稍好,这可能与EAM数据对X方向的贡献大于Y方向有关[28],使得EAM的激发对X方向的高频变化影响较小。还可以看出,在2~365 d较传统方法有明显提升,最大提升达到43.36%,平均提升为31.86%。此外,在120 d之后,方案5 (5 a)优于IERS 公报A,这表明新的EAM数据的加入有效减弱了短时间尺度的高频变化。
在Y方向上,在1~120 d,调节因子为0.7的方案5 (5 a)的表现最好;在120 d之后,以调节因子为0.2的方案2 (4 a)表现稍好,但是方案5 (5 a)在120 d之后仍较传统方法和IERS 公报A有一定优势,所以方案5 (5 a)的整体预报效果更好。由表2可知,调节因子的使用极大提升了预报精度。其中,方案5 (5 a)较传统方法在1~365 d均有改善,其最大改善百分比达到31.52%,平均提升百分比为21.00%。当输入数据长度为4 a时,在120 d之后的预报精度差距较大。这可能与Y轴方向的地理位置有关,Y轴受到地球物理激发的强迫力比X轴的更大[28],这导致Y方向
受EAM数据对短时间尺度的高频变化激发影响更大。
综合可知,调节因子为0.7的方案5 (5 a)更适合极移X和Y方向的预报。这可能验证了EAM数据对极移短时间尺度的高频激发贡献在70%左右的已有结论[28-29],并不是全部的EAM数值对极移的预报精度有用。另外,当调节因子为0.2时,方案2 (4 a)在120 d之后的Y方向表现更好,这可能是因为EAM数据对极移Y方向的贡献较小有关。此外,式(6)的叠加结合策略可能也减弱了高频项,从而有助于中长期预报精度。另外,将本文方法运用到日长变化预报中,由于EAM数据对LOD的贡献较大,所以调节因子为1。结果显示,较传统方法在1~365 d的预报窗口上平均提升15.01%。
AR模型预报精度高低的关键在于是否使用了最优阶数,过大的搜索区间会严重影响实验效率,过小的搜索区间会出现找不到最优情况。本文按照经验设置了[1,300]的搜索区间。由于涉及多种方案,这里以极移和日长变化相对较优的方案为例,给出确定的每次实验的最佳阶数,如图3所示。
由图3中可知,设置的[1,300]的搜索区间能够满足最优阶数的确定;在日长变化实验的阶数确定时,出现了少部分阶数达到300的情况。针对该情况,又尝试了搜索区间上限为200和400,获得的预报精度差别微小,在小数点第4位,可以忽略不计。因此,所有阶数搜索区间统一为[1,300]。
图2和表2展示的都是MAE,只能反映总体的稳定性和预报水平,不能够反映每次实验预报的具体细节特征。于是根据式(9)分别计算了传统方法、方案5 (5 a)和方案1 (18 a)的AE矩阵,如图4所示。
由图4中可知,本文提出的方法较传统方法在总体上有较大优势。在X方向,相比传统方法的改进效果明显。在Y方向上,提出的方法在2017年前后的结果不理想。这可能与本文使用的钱德勒周期值是固定的有关,而事实上,钱德勒的周期值是时变的[15]。此外,在这期间钱德勒摆动处于由衰减到重新变大的阶段[15],背后真实的地球物理原因有待进一步研究。然而,在2018年之后,提出的方法获得了较小的预报误差,这再次表明提出的方法对于未来的极移预报仍有一定的参考价值。
4 结 语
为了进一步提高用户对ERP预报精度的满意度,本文联合ERP和添加调节因子的EAM残差序列在大地测量观测域进行了长达8 a的预报实验,结果显示,本文方法在极移的两个方向和LOD的1~365 d较传统方法有明显提升,在120 d之后,极移的预报精度较IERS 公报A有一定优势。通过分析结果,得出以下结论:
1) 对EAM添加调节因子,有助于提升ERP的预报精度。当对X、Y和LOD的EAM分别施加调节因子为0.7、0.7和1时,可以获得全局较优的ERP预报精度。这可能验证了极移短时间尺度的约70%的高频变化由地球物理激发这一已有结论。
2) 调节因子对Y方向的影响较大,这可能与Y轴的地理位置以及EAM对Y方向的激发贡献较小有关。当调节因子为0.2时,有助于极移的长期预报精度。
3) 在Y方向的2017年和2018年,本文方法预报结果不理想。这期间钱德勒摆动处于恢复期,而本文使用的是固定周期值,考虑时变周期项将有助于本文方法精度的提高。这将是未来的改进方向。
4) 本文给出的调节因子是所有实验的公用最优值,确定单独实验的最佳调节因子将有助于提升预报精度。这也将是未来的研究方向之一。
感谢IERS提供ERP数据,感谢GFZ地球系统建模小组提供EAM数据。http://ch.whu.edu.cn/cn/article/doi/10.13203/j.whugis20220246
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表 1 本文的预报方案
Table 1 Prediction Schemes of This Paper
预报方案 调节因子 输入数据的长度 方案1 1 极移是3~10 aLOD是18 a 方案2 0.2 方案3 0.4 方案4 0.6 方案5 0.7 方案6 0.8 方案7 0.9 传统方法 0 IERS公报A 表 2 本文方法、传统方法和IERS 公报A的MAE
Table 2 MAE Values of the Proposed Method, Traditional Method and Bulletin A
ERP 方案 不同时间窗口的MAE 1 d 30 d 60 d 90 d 120 d 150 d 180 d 240 d 300 d 365 d X/m(″) 方案1 (5 a) 0.183 7.118 12.317 15.692 17.583 18.237 18.016 19.516 22.094 22.531 方案5 (5 a) 0.181 7.033 12.060 15.295 16.680 17.019 16.848 18.876 20.834 20.947 方案6 (5 a) 0.181 7.005 12.055 15.359 16.906 17.339 17.159 18.954 21.217 21.306 方案7 (5 a) 0.182 7.042 12.117 15.452 17.139 17.737 17.699 19.391 21.733 21.891 传统方法 0.178 8.224 16.606 23.498 28.133 30.050 29.719 27.919 28.965 31.222 IERS公报A 0.270 6.811 11.472 14.405 16.388 17.833 18.726 21.060 22.449 23.050 /% -1.69 14.48 27.38 34.91 40.71 43.36 43.31 32.39 28.07 32.91 Y/m(″) 方案1 (4 a) 0.165 7.320 16.447 24.218 28.963 30.733 30.630 29.936 30.128 31.023 方案2 (4 a) 0.150 5.811 11.393 15.326 17.470 18.345 18.835 19.043 19.299 21.387 方案1 (5 a) 0.165 7.230 16.404 24.999 30.772 33.449 33.807 33.275 34.495 35.031 方案5 (5 a) 0.144 5.301 10.296 14.216 16.713 18.778 20.067 21.263 21.362 24.049 方案6 (5 a) 0.144 5.360 10.500 14.546 16.883 18.979 20.298 21.462 21.813 24.769 方案7 (5 a) 0.146 5.407 10.713 14.906 17.051 18.853 20.229 21.580 22.464 25.337 传统方法 0.148 5.926 12.560 19.313 24.405 27.214 27.725 24.789 25.874 28.685 IERS公报A 0.198 4.306 7.719 11.871 16.645 20.769 23.676 25.825 25.613 25.041 /% 2.70 10.55 18.03 26.39 31.52 31.00 27.62 14.22 17.44 16.16 LOD/ms 方案1 (18 a) 0.019 0.154 0.168 0.178 0.183 0.196 0.212 0.231 0.260 0.277 传统方法 0.029 0.166 0.192 0.213 0.224 0.242 0.256 0.268 0.285 0.293 /% 32.14 7.23 12.50 16.43 18.30 19.01 17.19 13.43 8.42 5.46 -
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