不等式约束下加乘性混合误差模型的简单迭代解法

王乐洋; 韩澍豪

doi:10.13203/j.whugis20210659

不等式约束下加乘性混合误差模型的简单迭代解法

王乐洋^{1, 2,},
韩澍豪^{1, 2}

1.
东华理工大学测绘工程学院,江西南昌,330013
2.
自然资源部环鄱阳湖区域矿山环境监测与治理重点实验室,江西南昌,330013

基金项目:

国家自然科学基金 42174011

国家自然科学基金 41874001

详细信息

作者简介:
王乐洋,博士,教授,研究方向为大地测量反演及大地测量数据处理。wleyang@163.com

中图分类号: P207
计量
- 文章访问数: 889
- HTML全文浏览量: 106
- PDF下载量: 53
出版历程
- 收稿日期: 2022-04-02
- 网络出版日期: 2022-05-19
- 刊出日期: 2024-06-04

A Simple Iterative Solution for Mixed Additive and Multiplicative Random Error Model with Inequality Constraints

WANG Leyang^{1, 2,},
HAN Shuhao^{1, 2}

1.
Faculty of Geomatics, East China University of Technology, Nanchang330013, China
2.
Key Laboratory of Mine Environmental Monitoring and Improving Around Poyang Lake, Ministry of Natural Resources,Nanchang330013, China

摘要

摘要:
在大地测量领域中,现有的处理不等式约束的方法大多都是基于加性误差的模型,包括高斯马尔可夫模型和变量误差模型,鲜有对于加乘性混合误差模型处理方法的研究。为了拓展附有不等式约束的加乘性混合误差的方法,基于最小二乘原理并应用零权和无限权的思想,通过约束条件构建了惩罚函数,推导了在不等式约束下加乘性混合误差的一种简单迭代解法,分析了简单迭代解法在加乘性混合误差模型中的缺陷,在原有方法的基础上在惩罚项前加入了一个随迭代次数增加而增加的惩罚因子。通过算例评估分析可知,改进后的简单迭代法能够有效解决原有方法用于处理附有不等式约束的加乘性混合误差模型时不收敛的问题。通过对比其他方案可知,所提方法能够得到更好的参数估值,证明了该方法的有效性。同时,所提方法结构简单,易于实现,能够适用于大批量的数据处理。
- 加乘性混合误差模型 /
- 不等式约束 /
- 迭代解法 /
- 惩罚函数 /
- 惩罚因子
Abstract:
Objectives
With the development of modern observation techniques, the processing methods which only consider additive errors cannot meet the requirements. Most of the existing methods for dealing with inequality constraints are based on additive error models, including Gaussian-Markov model and errors-in-variables model, while the processing methods for mixed additive and multiplicative (MAM) random error models are rare.
Methods
Based on the least squares principle and the ideas of zero and infinite weights, we construct a penalty function with the given inequality constraints, and derive the simple iterative method (SIM) for the estimation of MAM parameters under the inequality constraints. Then, we add a penalty factor increasing with the number of iterations before the penalty term to address the defects of the original SIM.
Results
Two sets of cases show that the improved SIM can effectively solve the problem that the original method does not converge when used to deal with MAM error models with inequality constraints. The structure of improved SIM is simple and easy to implement. And it can obtain better parameter estimation compared with other schemes.
Conclusions
The feasibility and effectiveness of the improved SIM for parameter estimation of MAM error models with inequality constraints are verified, and it can be applied to the processing of large batches of data.
- mixed additive and multiplicative random error model /
- inequality constraints /
- iterative solution /
- penalty function /
- penalty factor
http://ch.whu.edu.cn/cn/article/doi/10.13203/j.whugis20210659

HTML全文

精密单点定位(precise point positioning, PPP)技术具有定位精度高，数据采集方便，数据处理简单等优点，成为近年来实时精密定位服务的重要手段。实时精密单点定位服务将卫星精密轨道和钟差实时播发给用户^[1]。IGS已经开展了实时实验计划(real-time pilot project, RTPP)，各个分析中心播发的GPS实时精密轨道精度为4~8 cm，精密钟差精度为0.2~0.8 ns。实时精密轨道通常采用的是超快速预报轨道，由于超快速轨道精度不如最终精密轨道，为了实现高精度实时定位，通过实时估计卫星钟差吸收部分轨道误差。国内外学者对实时精密卫星钟差估计算法进行了大量研究，主要包括非差模式和历元间差分模式。非差模式精密卫星钟差估计方法待估参数过多，计算效率较低^[2]。采用历元间差分方法时，模糊度参数被消除，计算速率加快，但初始时刻卫星钟差会引入与卫星相关的偏差^[3]。为了消除该项偏差的影响，Zhang等^[4]提出了利用非差相位和伪距观测值和历元间差分相位和伪距观测值并行计算的方法。Ge等^[5]提出了利用历元间差分相位观测值和非差伪距观测值并行计算的方法。

全球卫星导航系统发展迅猛，继美国的GPS、俄罗斯的GLONASS后，欧洲正在开发Galileo卫星导航系统，我国已经建立了功能完善的第二代北斗区域卫星导航系统(Beidou Navigation Satellite System, BDS)^[6]。相关研究表明多系统融合增加了可观测卫星数目，改善了卫星空间几何结构，提高了定位的准确性，可靠性和连续性^[7]。因此，多系统融合逐渐成为了高精度卫星导航定位广大用户的必然选择，而多系统实时卫星钟差的精确估计是实现多系统高精度实时定位服务的前提。本文对基于历元间差分相位观测值和非差伪距观测值的卫星钟差估计方法进行了改进，实现了GPS、GLONASS、Galileo和BDS多系统卫星钟差联合快速估计。

1 多模精密卫星钟差估计数学模型

基于无电离层组合伪距和相位的观测方程为：

$$ \left\{ \begin{array}{l} P_r^s = \rho _0^s + c\left( {d{t_r}-d{t^s}} \right) + {T_r} + c\left( {{B_r}-{B^s}} \right) + {e_s}\\ L_r^s = \rho _0^s + c\left( {d{t_r}-d{t^s}} \right) - \lambda {N^s} + \\ \;\;\;\;\;\;\;{T_r} + c\left( {{b_r} - {b^s}} \right) + \varepsilon_s \end{array} \right. $$

(1)

式中，r为测站号；s为卫星号；P_r^s和L_r^s为无电离层组合伪距和相位观测值；ρ₀^s为站-星间几何距离；c为光速；dt_r为接收机钟差；dt^s为卫星钟差；T_r为传播路径上对流层延迟误差；N^s为无电离层组合整周模糊度；λ为无电离层组合波长；B_r、b_r分别为接收机端无电离层组合伪距和相位的硬件延迟；B^s、b^s分别为卫星端无电离层组合伪距和相位的硬件延迟；e_s、ε_s分别为伪距和相位的测量噪声，多路径误差通常归入到测量噪声内。

参数估计时，接收机伪距硬件延迟B_r被接收机钟差dt_r吸收，卫星伪距硬件延迟B^s被卫星钟差dt^s吸收，固定测站坐标，式(1)线性化为：

$$ \left\{ \begin{array}{l} {v_{P_r^s}} = c\left( {\delta {t_r}-\delta {t^s}} \right) + m_r^sd{T_r}-{\rm{OM}}{{\rm{C}}_{P_r^s}}\\ {v_{L_r^s}} = c\left( {\delta {t_r}-\delta {t^s}} \right) - \lambda {{\tilde N}^s} + m_r^sd{T_r} - {\rm{OM}}{{\rm{C}}_{L_r^s}} \end{array} \right. $$

(2)

式中，δt_r=dt_r+B_r；δt^s=dt^s+B^s；$ {{\tilde N}^s}$=N^s+c(b_r-b^s-B_r+B^s)/λ；OMC_{P_r^s}=P_r^s-ρ₀^s；OMC_{L_r^s}=L_r^s-ρ₀^s；m_r^s和dT_r分别为对流层湿延迟投影函数和残余误差；v_{P_r^s}和v_{L_r^s}分别为伪距和相位观测值残差。

由式(2)可得历元间差分的相位观测值为：

$$ \Delta {v_{L_r^s}} = c\left( {\Delta \delta {t_{r, {\rm{sys}}}}-\Delta \delta {t^s}} \right) + \Delta m_r^sd{T_r}-\Delta \;\;{\rm{OM}}{{\rm{C}}_{L_r^s}} $$

(3)

式中，sys=G、R、E、B，文中G代表GPS，R代表GLONASS，E代表Galileo，B代表BDS；Δδt_{r, sys}为系统sys相邻历元间接收机钟差改正数之差；Δδt^s为相邻历元间卫星钟差改正数之差；在规定的弧段内，对流层湿延迟的投影函数m_r^s发生变化，对投影函数进行历元间做差分得Δm_r^s；天顶对流层湿延迟残余误差参数dT_r作为分段线性常数估计；ΔOMC_{L_r^s}为相位观测值与计算值之差OMC_{L_r^s}的历元间差，Δv_{L_r^s}为相邻历元间相位观测值残差之差。

多系统卫星钟差估计时，同一测站不同系统接收机端伪距硬件延迟不同，不同系统接收机钟差存在差异^[8]。此时可以估计一个接收机钟差和多个系统时间差，或者同时估计若干个接收机钟差^[9]。本文同时估计了4个系统的接收机钟差参数。则多模融合卫星钟差估计误差为：

$$ \left\{ \begin{array}{l} \Delta {v_{L_r^i}} = c\left( {\Delta \delta {t_{r, G}}-\Delta \delta {t^i}} \right) + \Delta m_r^id{T_r}-\Delta \;{\rm{OM}}{{\rm{C}}_{L_r^i}}\\ \Delta {v_{L_r^j}} = c\left( {\Delta \delta {t_{r, R}}-\Delta \delta {t^j}} \right) + \Delta m_r^jd{T_r} - \Delta \;{\rm{OM}}{{\rm{C}}_{L_r^j}}\\ \Delta {v_{L_r^k}} = c\left( {\Delta \delta {t_{r, E}} - \Delta \delta {t^k}} \right) + \Delta m_r^kd{T_r} - \Delta \;{\rm{OM}}{{\rm{C}}_{L_r^k}}\\ \Delta {v_{L_r^l}} = c\left( {\Delta \delta {t_{r, B}} - \Delta \delta {t^l}} \right) + \Delta m_r^ld{T_r} - \Delta \;{\rm{OM}}{{\rm{C}}_{L_r^l}} \end{array} \right. $$

(4)

式中，i=1, …, n_G；j=1, …, n_R；k=1, …, n_E；l=1, …, n_B；n_sys为测站r接收到系统sys卫星个数；δt_{r, G}、δt_{r, R}、Δδt_{r, E}、Δδt_{r, B}分别为测站相邻历元间的GPS、GLONASS、Galileo和BDS接收机钟差改正数之差；Δδtⁱ、Δδt^j、Δδt^k、Δδt^l分别为第i颗GPS卫星，第j颗GLONASS卫星，第k颗Galileo卫星，第l颗BDS卫星的相邻历元间卫星钟差改正数之差；Δm_rⁱ、Δm_r^j、Δm_r^k、Δm_r^l分别为第i颗GPS卫星，第j颗GLONASS卫星，第k颗Galileo卫星，第l颗BDS卫星对应的对流层湿延迟投影函数之差；ΔOMC_{L_rⁱ}、ΔOMC_{L_r^j}、ΔOMC_{L_r^k}、ΔOMC_{L_r^l}分别为第i颗GPS卫星，第j颗GLONASS卫星，第k颗Galileo卫星，第l颗BDS卫星的相位观测值与计算值之差的历元间差；Δv_{L_rⁱ}、Δv_{L_r^j}、Δv_{L_r^k}、Δv_{L_r^l}分别第i颗GPS卫星，第j颗GLONASS卫星，第k颗Galileo卫星，第l颗BDS卫星的相邻历元间相位观测值残差之差。

对式(4)采用均方根信息滤波方法进行参数估计。需要指出的是接收机钟差是相对量，对同一系统的所有跟踪站的接收机钟差采用重心基准$ \sum\limits_{r = 1}^{{m_{sys}}} {\Delta \delta {t_{r, {\rm{sys}}}}} = 0$进行约束，m_sys为跟踪站到系统sys卫星的测站个数。

由式(4)可以得到历元k时刻卫星s的历元间差分钟差改正数Δδt^s(k)，则历元k时刻卫星s的钟差改正数为：

$$ \delta {t^s}\left( k \right) = \delta {t^s}\left( {{i_0}} \right) + \sum\limits_{i = {i_0} + 1}^k {\Delta \delta {t^s}\left( i \right)} $$

(5)

式中，i₀为卫星s初始历元；δt^s(i₀)为初始历元i₀对应的卫星钟差改正数；Δδt^s(i)为历元i对应的卫星钟差改正数历元间差。

由式(2)可得历元k时刻的非差伪距观测值误差方程为：

$$ \begin{array}{l} {v_{P_r^s(k)}} = c\left( {\delta {t_r}\left( k \right)-\delta {t^s}\left( k \right)} \right) + \\ \;\;\;\;\;\;\;m_r^s\left( k \right)d{T_r}-{\rm{OM}}{{\rm{C}}_{P_r^s\left( k \right)}} \end{array} $$

(6)

由历元间差分相位观测值可以得到的非常精确的对流层延迟误差和历元间差分卫星钟差^[4-5]。将式(3)求得的dT_r和式(5)带入式(6)，可得：

$$ {v_{P_r^s\left( k \right)}} = c\left( {\delta {t_r}\left( k \right)-\delta {t^s}\left( {{i_0}} \right)} \right)-{\rm{om}}{{\rm{c}}_{P_r^s\left( k \right)}} $$

(7)

式中

$$ {\rm{om}}{{\rm{c}}_{P_r^s\left( k \right)}} = c\sum\limits_{i = {i_0} + 1}^k {\Delta \delta {t^s}\left( i \right)}-m_r^s\left( k \right)d{T_r} + {\rm{OM}}{{\rm{C}}_{P_r^s\left( k \right)}} $$

历元间差分方法同时对相位与伪距观测值进行了差分，由式(5)可以看出，求得的卫星钟差受到δt^s(i₀)的影响，当采用导航星历进行计算时，会导致数十纳秒的偏差^{[2, 4-5]}。

式(7)可看做利用精确求得的卫星钟变化来平滑伪距残差，因此δt^s(i₀)经过一段时间才会收敛，才能被用于卫星钟差的计算，经测试，收敛时间大概需要20分钟。

本文在文献[5]的基础上，利用式(7)，对同一系统同一测站观测到的卫星s、t进行星间做差，消除接收机钟差可得：

$$ {v_{P_r^{st}\left( k \right)}} = c\left( {\delta {t^t}\left( {{i_0}} \right)-\delta {t^s}\left( {{i_0}} \right)} \right)-{\rm{om}}{{\rm{c}}_{P_r^{st}\left( k \right)}} $$

(8)

式中，δt^t(i₀)和δt^s(i₀)分别为卫星t和s在历元i₀对应的卫星钟差改正数；omc_{P_r^st(k)}=omc_{P_r^t(k)}-omc_{P_r^s(k)}；v_{P_r^st(k)}为卫星t和s在历元k对应的伪距观测值残差星间差。

式(8)与测站无关，采用最小二乘估计即可得到相应卫星的初始时刻钟差改正数δt^s(i₀)。需要指出的是卫星钟差是相对量，采用重心基准$\sum\limits_{s = 1}^n {\delta {t^s}} \left( {{i_0}} \right) = 0 $进行约束，n为历元i₀时刻观测到的同一系统卫星个数。

求出卫星s初始时刻i₀的卫星钟差改正数δt^s(i₀)后，历元k时刻卫星s的钟差可以表示为：

$$ {t^s}\left( k \right) = {t^s}{\left( k \right)_0} + \delta {t^s}\left( {{i_0}} \right) + \sum\limits_{i = {i_0} + 1}^k {\mathit{\Delta }\delta {\mathit{t}^s}\left( i \right)} $$

(9)

式中，t^s(k)₀为历元k时刻由导航星历得到的卫星钟差初值；t^s(k)为历元k时刻卫星s的钟差。

2 钟差分析与定位验证

2.1 卫星钟差精度分析

为了对本文算法的精度进行分析，采用2014年9月17日(年积日为260天)的全球分布的50个实测跟踪站数据，基于均方根信息滤波单历元解算多系统卫星钟差，测站分布如图 1所示。由于GNSS (Global Navigation Satellite System)观测值是测站与卫星间的相对时间延迟，所以本文所求的卫星钟差是相对于某基准钟的相对钟差。研究表明，基准钟的精度优于10^-6 s，相对钟差和绝对钟差对定位的影响是等价的^[2]。本文为了保证基准钟的钟差精度及实时估计卫星钟差的需要，以所有跟踪站同一系统的接收机钟差的重心基准作为基准钟，本文所求的同一系统的卫星钟差是相对于该基准钟的相对钟差。

图 1 GNSS测站分布(地图上中国国界依据中国地图(中国地图出版社出版1:60万，ISBN9787503154032，审图号GS(2009)299)

Figure 1. Distribution of GNSS Tracking Stations

下载: 全尺寸图片幻灯片

本文对估计的多系统卫星钟差的精度评价采用与武汉大学多系统最终精密卫星钟差做二次差的方法。首先，选取同一系统内某一卫星作为参考星，参考星要尽量选择历元数最多的卫星，做差时GPS、GLONASS、Galileo和BDS选择的参考星依次为G09、R05、E11和C01。为了消除卫星钟差估计时基准钟选择的不同产生的影响，将本文估计的卫星钟差与武汉大学卫星钟差中的相应卫星与参考星的钟差做一次差。然后将计算结果与武汉大学的结果做二次差，这样做可以有效地反映出本文估计的卫星钟差与武汉大学最终精密卫星钟差之间的符合程度^{[2, 4-5]}。图 2~图 4分别为GPS、GLONASS、BDS和Galileo系统卫星钟差与武汉大学最终精密卫星钟差二次差的均方根(root mean square，RMS)。从中可以看出，采用本文算法求得的GPS，GLONASS，Galileo和BDS卫星钟差与武汉大学最终精密卫星钟差二次差的均方根都优于0.2 ns，其中GPS所有卫星钟差二次差均方根的平均值为0.145 ns，GLONASS所有卫星钟差二次差均方根的平均值为0.188 ns，BDS和Galileo卫星钟差二次差均方根的平均值为0.139 ns。

图 2 GPS卫星钟差精度

Figure 2. Accuracy of GPS Satellites Clock Offsets

下载: 全尺寸图片幻灯片

图 3 GLONASS卫星钟差精度

Figure 3. Accuracy of GLONASS Satelllites Clock Offsets

下载: 全尺寸图片幻灯片

图 4 BDS和Galileo卫星钟差精度

Figure 4. Accuracy of BDS and Galileo Satelllites Clock Offsets

下载: 全尺寸图片幻灯片

2.2 精密单点定位结果分析

为了验证算法的正确性，将估计的多模卫星钟差应用于PPP动态定位，并与武汉大学最终精密卫星钟差的定位结果比较。为了排除轨道因素的影响，不同卫星钟差定位解算时，卫星轨道都固定为武汉大学最终精密卫星轨道。选取了多模跟踪站九峰站进行定位试验，本文估计卫星钟差时未使用该站数据，采用GPS、GPS/GLONASS、GPS/BDS、GPS/GLONASS/BDS和GPS/GLONASS/BDS/Galileo 5种不同的动态定位模式，统计了东、北和高三个分量偏差的均方根，从第3小时开始进行精度统计以保证三个方向上偏差小于10 cm。

图 5和图 6分别为采用武汉大学最终精密钟差和本文估计的精密钟差的定位结果。从中可以看出，对于九峰站，本文估计的GPS卫星钟差的定位结果优于武汉大学卫星钟差的定位结果，这主要是因为实验所用的跟踪站在中国境内比较集中，估计的卫星钟差更适用于该区域内测站。无论是对于本文估计的卫星钟差还是武汉大学的卫星钟差，多系统融合定位精度都得到了极大提高，GPS/BDS、GPS/GLONASS/BDS融合定位平面精度优于1 cm，高程方向优于3 cm，由于Galileo卫星数较少，GPS/GLONASS/BDS/Galileo四系统融合定位相对于GPS/GLONASS/BDS融合定位没有明显提高。另外，除了GPS，基于本文估计的卫星钟差的其余四种定位模式的定位结果与基于武汉大学的卫星钟差的定位结果差距在1 cm左右，这一方面可能是由于历元间差分观测值测量噪声变大，估计的卫星钟差精度比基于非差模式的钟差略差，另一方面可能是由于武汉大学估计多系统卫星轨道和钟差时用到九峰站的数据，该站定位结果与武汉大学最终精密卫星钟差内符合性较好。

图 5 基于武汉大学最终精密钟差的九峰站动态精密单点定位结果

Figure 5. Multi-GNSS PPP Results with Satellites Clock Offsets Generated by Wuhan University

下载: 全尺寸图片幻灯片

图 6 基于本文估计的精密钟差的九峰站动态精密单点定位结果

Figure 6. Multi-GNSS PPP Results with Satellites Clock Offsets Estimated in this Article

下载: 全尺寸图片幻灯片

3 结语

本文多模卫星钟差估计分为两步。首先，采用历元间差分相位观测值求解精确的卫星钟差变化和对流层湿延迟改正；然后，采用非差伪距观测值求解初始时刻卫星钟差改正数。本文不需要采用并行计算的方法，待初始时刻卫星钟差改正数收敛以后即可获得高精度的多模卫星钟差。由于相位观测值历元间差分消除了模糊度参数，而伪距观测值星间差分消除了接收机钟差参数，在保证了卫星钟差精度的基础上，提高了计算效率，该算法非常适合应用于多系统实时卫星钟差估计。

基于本文算法得到的多模精密卫星钟差与武汉大学最终精密卫星钟差互差优于0.2 ns。精密单点定位结果显示与利用武汉大学最终精密产品的定位结果精度相当，说明基于该算法得到的多模精密卫星钟差完全可以满足高精度导航定位用户的需要。

http://ch.whu.edu.cn/cn/article/doi/10.13203/j.whugis20210659

图 1 算法流程图

Figure 1. Algorithm Flowchart

下载: 全尺寸图片幻灯片

图 2 未受影响的直线与受加乘性混合误差影响的坐标点

Figure 2. Unaffected Lines and Coordinate Points Affected by Mixed Additive and Multiplicative Random Errors

下载: 全尺寸图片幻灯片

图 3 惩罚因子对算法结果的影响

Figure 3. Influence of Penalty Factor on Algorithm Results

下载: 全尺寸图片幻灯片

图 4 4种方法在各批次中的二范数

Figure 4. 2-Norm of Four Methods in Each Batch

下载: 全尺寸图片幻灯片

图 5 未受影响和受加乘性混合误差影响的DEM

Figure 5. Unaffected and Affected by Mixed Additive and Multiplicative Error of DEM

下载: 全尺寸图片幻灯片

图 6 惩罚因子对算法结果的影响（算例2⁃2）

Figure 6. Influence of Penalty Factor on Algorithm Results (Case 2⁃2)

下载: 全尺寸图片幻灯片

表 1 4种方法直线拟合的参数估值结果（算例1）

Table 1 Parameter Estimation Results of Four Methods(Case 1)

方案	${\hat{β}}_{1}$ /m	${\hat{β}}_{2}$ /m	$‖Δ β‖$
LS	6.99	15.172	1.172
WLS	7.032	14.348	0.349
BCWLS	7.013	14.334	0.334
SIM	7.041	14.168	0.173
真值	7	14	—

下载: 导出CSV

表 2 4种方法的参数估计结果（算例2⁃1）

Table 2 Parameter Estimation Results of Four Methods (Case 2-1)

方法	${\hat{β}}_{1}$ /m	${\hat{β}}_{2}$ /m	${\hat{β}}_{3}$ /m	${\hat{β}}_{4}$ /m	${\hat{β}}_{5}$ /m	${\hat{β}}_{6}$ /m	${\hat{β}}_{7}$ /m	${\hat{β}}_{8}$ /m	$‖Δ β‖$
LS	104.327	76.903	83.840	68.889	186.532	65.938	210.453	152.266	10.677
WLS	105.042	76.965	85.477	70.860	187.218	66.574	211.900	152.875	9.301
BCWLS	104.101	76.406	84.684	70.002	185.479	65.996	210.037	151.624	9.240
SIM	104.291	75.124	84.744	73.751	187.708	64.654	209.406	153.955	6.889
真值	104.000	75.000	85.000	79.000	184.000	66.000	210.000	152.000	—

下载: 导出CSV

表 3 4种方法的参数估计结果（算例2⁃2）

Table 3 Parameter Estimation Results of Four Methods (Case 2-2)

方法	${\hat{β}}_{1}$ /m	${\hat{β}}_{2}$ /m	${\hat{β}}_{3}$ /m	${\hat{β}}_{4}$ /m	${\hat{β}}_{5}$ /m	${\hat{β}}_{6}$ /m	${\hat{β}}_{7}$ /m	${\hat{β}}_{8}$ /m	$‖Δ β‖$
LS	104.111	71.214	85.912	71.166	184.878	66.128	209.400	153.363	8.919
WLS	105.549	73.608	85.934	71.987	185.743	66.627	212.135	153.546	8.048
BCWLS	104.495	72.892	85.104	71.264	184.039	65.883	209.852	152.134	8.037
SIM	105.266	73.072	85.457	72.166	183.790	66.719	211.469	152.712	7.447
真值	104.000	75.000	85.000	79.000	184.000	66.000	210.000	152.000	—

下载: 导出CSV

参考文献(23)

[1]	Rodriguez E, Martin J M. Theory and Design of Interferometric Synthetic Aperture Radars[J]. IEEE Proceedings of Radar and Signal Processing, 1992, 139（2）： 147.
[2]	吴星辉, 马海涛, 张杰. 地基合成孔径雷达的发展现状及应用[J]. 武汉大学学报（信息科学版）, 2019, 44（7）： 1073-1081. Wu Xinghui, Ma Haitao, Zhang Jie. Development Status and Application of Ground-Based Synthetic Aperture Radar[J]. Geomatics and Information Science of Wuhan University, 2019, 44（7）： 1073-1081.
[3]	贾燕, 金双根, 肖智宇, 等. 全球导航卫星系统反射测量土壤水分遥感：现状与机遇[J]. 武汉大学学报（信息科学版）, 2023, 48（11）： 1784-1799. Jia Yan, Jin Shuanggen, Xiao Zhiyu, et al. Soil Moisture Remote Sensing Using Global Navigation Satellite System-Reflectometry： Current Status and Opportunity[J]. Geomatics and Information Science of Wuhan University, 2023, 48（11）： 1784-1799.
[4]	Schilizzi R T. Very Long Baseline Interferometry[J]. Radio Science, 1986, 21（4）： 665-679.
[5]	Xu P L. Despeckling SAR-Type Multiplicative Noise[J]. International Journal of Remote Sensing, 1999, 20（13）： 2577-2596.
[6]	Painam R K, Manikandan S. A Comprehensive Review of SAR Image Filtering Techniques： Systematic Survey and Future Directions[J]. Arabian Journal of Geosciences, 2021, 14（1）： 37.
[7]	Lin Q, Allebach J P. Combating Speckle in SAR Images： Vector Filtering and Sequential Classification Based on a Multiplicative Noise Model[J]. IEEE Transactions on Geoscience and Remote Sensing, 1990, 28（4）： 647-653.
[8]	Xu P L, Shimada S. Least Squares Parameter Estimation in Multiplicative Noise Models[J]. Communications in Statistics⁃Simulation and Computation, 2000, 29（1）： 83-96.
[9]	师芸. 乘性随机误差模型的最小二乘平差与精度评定[J]. 西南交通大学学报, 2014, 49（5）： 799-803. Shi Yun. Least Squares Adjustment and Accuracy Estimation in Multiplicative Error Models[J]. Journal of Southwest Jiaotong University, 2014, 49（5）： 799-803.
[10]	王乐洋, 陈涛, 邹传义. 病态乘性误差模型的加权最小二乘正则化迭代解法及精度评定[J]. 测绘学报, 2021, 50（5）： 589-599. Wang Leyang, Chen Tao, Zou Chuanyi. Weighted Least Squares Regularization Iteration Solution and Precision Estimation for Ill-Posed Multiplicative Error Model[J]. Acta Geodaetica et Cartographica Sinica, 2021, 50（5）： 589-599.
[11]	Xu P L, Shi Y, Peng J H, et al. Adjustment of Geodetic Measurements with Mixed Multiplicative and Additive Random Errors[J]. Journal of Geodesy, 2013, 87（7）： 629-643.
[12]	师芸. 加乘性混合误差模型参数估计方法及其应用[J]. 武汉大学学报（信息科学版）, 2014, 39（9）： 1033-1037. Shi Yun. Least Squares Parameter Estimation in Additive/Multiplicative Error Models for Use in Geodesy[J]. Geomatics and Information Science of Wuhan University, 2014, 39（9）： 1033-1037.
[13]	Wang L Y, Chen T. Virtual Observation Iteration Solution and A-Optimal Design Method for Ill-Posed Mixed Additive and Multiplicative Random Error Model in Geodetic Measurement[J]. Journal of Surveying Engineering, 2021, 147（4）： 04021016.
[14]	Shi Y, Xu P L. Adjustment of Measurements with Multiplicative Random Errors and Trends[J]. IEEE Geoscience and Remote Sensing Letters, 2021, 18（11）： 1916-1920.
[15]	朱建军, 谢建, 陈宇波, 等. 附不等式约束平差的理论与方法研究[J]. 测绘工程, 2008, 17（6）： 1-5. Zhu Jianjun, Xie Jian, Chen Yubo, et al. Research on Theory and Methods of Inequality Constrained Least Squares[J]. Engineering of Surveying and Mapping, 2008, 17（6）： 1-5.
[16]	Judge G G, Takayama T. Inequality Restrictions in Regression Analysis[J]. Journal of the American Statistical Association, 1966, 61（313）： 166-181.
[17]	谢雪梅, 宋迎春, 肖兆兵. 附不等式约束平差模型的一种快速搜索算法[J]. 武汉大学学报（信息科学版）, 2018, 43（9）： 1349-1354. Xie Xuemei, Song Yingchun, Xiao Zhaobing. A Fast Search Algorithm in Adjustment Model with Inequality Constraint[J]. Geomatics and Information Science of Wuhan University, 2018, 43（9）： 1349-1354.
[18]	Remondi B W. Real-Time Centimeter-Accuracy GPS： Initializing While in Motion （Warm Start Versus Cold START）[J]. Navigation, 1993, 40（2）： 199-208.
[19]	Liu X L, Zhou M. A One-Layer Recurrent Neural Network for Non-smooth Convex Optimization Subject to Linear Inequality Constraints[J]. Chaos, Solitons & Fractals, 2016, 87： 39-46.
[20]	王乐洋, 李海燕, 陈晓勇. 拟牛顿修正法解算不等式约束加权总体最小二乘问题[J]. 武汉大学学报（信息科学版）, 2018, 43（1）： 127-132. Wang Leyang, Li Haiyan, Chen Xiaoyong. A Quasi Newtonian Correction Algorithm for Weighted Total Least Squares Problem with Inequality Constraints[J]. Geomatics and Information Science of Wuhan University, 2018, 43（1）： 127-132.
[21]	谢建, 龙四春, 李黎, 等. 不等式约束加权整体最小二乘的凝聚函数法[J]. 武汉大学学报（信息科学版）, 2018, 43（10）： 1526-1530. Xie Jian, Long Sichun, Li Li, et al. An Aggregate Function Method for Weighted Total Least Squares with Inequality Constraints[J]. Geomatics and Information Science of Wuhan University, 2018, 43（10）： 1526-1530.
[22]	朱建军, 谢建. 附不等式约束平差的一种简单迭代算法[J]. 测绘学报, 2011, 40（2）： 209-212. Zhu Jianjun, Xie Jian. A Simple Iterative Algorithm for Inequality Constrained Adjustment[J]. Acta Geodaetica et Cartographica Sinica, 2011, 40（2）： 209-212.
[23]	王乐洋, 邹传义. 乘性误差模型参数估计及精度评定的Sterling插值方法[J]. 武汉大学学报（信息科学版）, 2022, 47（2）： 219-225. Wang Leyang, Zou Chuanyi. Sterling Interpolation Method for Parameter Estimation and Precision Estimation in Multiplicative Error Model[J]. Geomatics and Information Science of Wuhan University, 2022, 47（2）： 219-225.

施引文献(13)

期刊类型引用(7)

1.	蒋海涛，辛吉，管春洋，申争光. 卫星拒止情况下低精度惯导系统航姿算法研究. 导航定位与授时. 2021(01): 109-114 . 百度学术
2.	王慧，管守奎，程涵. 基于惯性系原理的动基座粗对准及其性能影响因素分析. 测绘地理信息. 2021(05): 31-36 . 百度学术
3.	赵仁杰，李开龙，胡柏青，田佳玉. 基于改进四元数阻尼误差模型的SINS初始对准算法. 系统工程与电子技术. 2021(11): 3330-3337 . 百度学术
4.	查峰，何泓洋，李志炜，李京书. 一种改进的捷联惯导参数辨识初始对准方法. 武汉大学学报(信息科学版). 2020(07): 974-979 . 百度学术
5.	石明琛，柴洪洲，尹潇，向民志，杜祯强. 载波相位差分辅助的船载SINS动态对准. 测绘科学技术学报. 2020(04): 344-349 . 百度学术
6.	魏二虎，孙聃石，万伟，王凌轩，李延林. 一种针对大失准角捷联惯导系统初始对准的处理方法. 测绘地理信息. 2020(06): 7-11 . 百度学术
7.	徐博，赵晓伟，金坤明. 基于粒子群优化的舰船捷联惯导初始对准方法. 中国惯性技术学报. 2020(06): 735-741 . 百度学术

其他类型引用(6)

资源附件(0)

图(6) / 表(3)

计量

文章访问数: 889
HTML全文浏览量: 106
PDF下载量: 53
被引次数: 13

1 多模精密卫星钟差估计数学模型
2 钟差分析与定位验证
2.1 卫星钟差精度分析
2.2 精密单点定位结果分析
3 结语

不等式约束下加乘性混合误差模型的简单迭代解法

作者简介: 王乐洋,博士,教授,研究方向为大地测量反演及大地测量数据处理。wleyang@163.com

计量

出版历程