Reliability Analysis and Gross Error Detection of BDS/GPS Combined Positioning
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摘要: 全球导航卫星系统多系统融合定位是未来无人驾驶等智能应用的关键基础设施，无人驾驶等智能应用经常需要面对城市等复杂环境，由于受到建筑物的遮挡与多路径的影响，观测值出现误差的概率也在不断增加，因此分析多系统融合定位可靠性并进行粗差的探测识别，确保定位结果准确可靠具有重要意义。基于可靠性理论与假设检验粗差探测方法，采用MGEX(multi-GNSS experiment)测站数据进行可靠性评估与粗差探测实验。实验结果表明, BDS(BeiDou navigation satellite system)/GPS(global positioning system)组合下, 双频IF(ionospheric-free)组合定位解算的最小可探测粗差与最大不可探测粗差对定位的影响值较单BDS解算分别下降了7.105 m、22.368 m，双系统较单系统可靠性提升明显。BDS/GPS组合下，双频IF组合定位解算的最小可探测粗差与最大不可探测粗差对定位的影响向量较单频解算结果下降了4.105 m、1.621 m，双频数据较单频数据的可靠性更优。基于可靠性评估结果开展了模拟粗差探测实验，结果表明，双频观测值包含单粗差时，BDS粗差探测成功率与识别率分别为99.96%、90.56%；BDS/GPS组合粗差探测成功率与识别率分别为99.96%、99.05%。包含双粗差时，BDS粗差探测成功率与识别率分别为100%、65.67%；BDS/GPS组合粗差探测成功率与识别率分别为100%、71.91%。结果表明多系统组合定位能够更好地探测和识别粗差观测值。
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关键词:
- 北斗三号全球导航卫星系统 /
- 多频多系统 /
- 可靠性评估 /
- 粗差探测 /
- 融合定位
Abstract:Objectives The continuous improvement and progress of the global navigation satellite system (GNSS) provides a strong foundation for multi-system fusion localization, and with the increase in the number of satellites deployed for multi-system positioning, the probability of gross observational errors is also constantly increasing. Therefore, it is of great significance in satellite positioning to correctly evaluate the quality of the observations and eliminate the errors.Method Based on reliability theory and the gross error detection method, the minimum detective bias (MDB) and minimum detective error (MDE) are calculated to analyze reliability of multi-GNSS experiment (MGEX)data. Based on these calculation results, we designed and implemented gross error detection experiments.Results The MDB and MDE values for the dual-frequency solution in fused BDS(BeiDou navigation satellite system)/GPS(global positioning system)positioning were smaller than the valve in the solution from BDS alone, 7.105 m and 22.368 m respectively. Unlike the single-frequency solution, the dual-frequency BDS/GPS combination reduced the MDB by 4.105 m and the MDE by 1.621 m. When adding single gross error to the double-frequency BDS observations, the gross error detection success rate was 99.96% and gross error recognition rate was 90.56%. For the combined system, these values were 99.96% and 99.05% respectively. When adding double gross errors to BDS observations, the gross error detection success rate were 100% and gross error recognition rate was 65.67%, while the gross error detection success for the combined system was 100%, and 71.91% respectively.Conclusions The MDB and MDE values for multi-system and multi-frequency positioning solutions decline. Furthermore, the gross error recognition rate for the multi-system positioning is higher than a single system alone. -
全球导航卫星系统(global navigation satellite system，GNSS)是未来无人驾驶等智能应用的时空关键基础设施。GNSS卫星定位具有全天候、全天时、高精度等优势，然而在城市等复杂环境中卫星信号易受建筑物遮挡或反射，定位可靠性便成为了智能系统的一个关键问题。北斗卫星导航系统(BeiDou navigation satellite system，BDS)是中国自主研发，独立运行的卫星导航系统，目前已完成全球卫星导航系统的建设。北斗全球卫星导航系统，即BDS-3系统由5 颗地球静止轨道卫星(geostationary earth orbit，GEO)、5颗倾斜同步轨道卫星(inclined geosynchronous orbit，IGSO)和24颗中圆轨道卫星(medium earth orbit，MEO)组成[1]。BDS-3系统于2017-05开始发射组网卫星[2]，并于2020-06正式组网完成，随后开始面向全球提供完整的开放服务[3-4]。BDS-3的组网完成极大程度地提升了BDS的覆盖范围与服务能力[5]。目前BDS-2与BDS-3同时在轨提供服务，截至2021-04，BDS在轨61颗卫星，其中56颗卫星正常工作，另有4颗卫星在轨实验，1颗卫星在轨测试。美国GPS(global positioning system)的空间结构由24颗工作卫星及相应的备份卫星组成，2011-07，GPS实现了对卫星星座的扩展，对3颗卫星进行重新定位和调整，由此实现了24+3的理想卫星星座构型，其覆盖范围和服务能力得到了进一步的扩大与增强，目前在轨运行卫星超过30颗。GNSS系统组合定位可以提供更多的卫星定位数目及更好的卫星几何强度[6]，但在实现更高精度定位的同时，其受到诸如电离层、对流层、多路径等未精确修正误差[7-8]的影响也随之增大，因此对GNSS数据的质量控制提出了新的要求。
荷兰Baarda[9]于1967—1968年提出了测量系统的可靠性理论。他从单一备选假设出发，研究了平差系统发现单个模型误差能力及不可发现的模型误差对于平差结果的影响大小，前者被称为内部可靠性，后者则被称为外部可靠性。Teuniseen[10-11]和李德仁等[12]都对该理论进行了深入研究和发展完善。可靠性研究对于测量系统的优化设计以及数据质量控制都具备极为重要的意义，在GNSS定位中，通过相应的可靠性理论分析，可以充分反映不同系统抗御模型误差的能力，更好地实现对于GNSS数据的评估。
可靠性理论分析为粗差探测提供了相应的理论基础，通过分析系统的内部可靠性与外部可靠性，可以得到理论上GNSS观测值中可探测误差的最小阈值，以及该误差对于定位结果的影响。可靠性体现了接收机自主完备性检测(receiver autonomous integrity monitoring，RAIM)和识别粗差的能力，而其中外部可靠性则体现了RAIM对于定位结果的保护程度，从而为实际的观测值误差剔除提供相应的判断标准。
粗差的检测和剔除是在GNSS的观测值域进行的统计假设检验，与卫星数量与卫星几何结构相关。而卫星数量增多则同样增加了卫星发生故障的概率，杨元喜等[13]利用稳健估计理论提出了接收机故障探测和识别算法；Sun[14]将深度神经网络用于接收机自主完备性检测；韩清清[15]使用了改进的Hatch滤波算法用于RAIM算法中。此外，诸如距离比较法、最小二乘法和奇偶矢量法等都有较为深入和广泛的研究[16-21]。
上述研究内容中，或是因为研究时间较早，未能较好地评估和测试到BDS-3卫星，或是并未从可靠性理论出发，从理论上分析粗差探测的限值并依此进行实验。考虑到MGEX(multi-GNSS experiment)测站数据具备长时间、连续的特点，更加有利于对GNSS数据进行较长时间的可靠性评估并分析其结果在长时间状态下的稳定性，本文利用可靠性理论与基于χ2检验的粗差探测方法[12, 22-24]，使用MGEX测站观测数据进行了BDS以及BDS/GPS组合定位的可靠性评估，并基于评估结果模拟单粗差及双粗差，进行了粗差探测与识别实验，比较不同场景下的粗差识别率。
1 可靠性计算与粗差探测方法
1.1 GNSS加权最小二乘估计数学模型
GNSS观测值的Gauss-Markov模型可以表示如下：
$$\boldsymbol{L}=\boldsymbol{A X}+\varepsilon, \varepsilon \sim N\left(0, \sigma_0^2 \boldsymbol{P}^{-1}\right)$$ (1) 式中，$ \boldsymbol{A} $为n×u(n-u > 1)列满秩设计阵；X为u×1维待估计参数向量，可以表示为：$ \boldsymbol{X}={\left(\begin{array}{cccc}{x}_{r}& {y}_{r}& {z}_{r}& {t}_{r}\end{array}\right)}^{\mathrm{T}} $，在多系统组合定位中，需要添加时间系统差异参数一同求解，如采用BDS与GPS组合定位时，需要增添一个BDS与GPS时间差异参数$ {\boldsymbol{t}}_{r}={\left[\begin{array}{cc}{t}_{r, \mathrm{G}\mathrm{P}\mathrm{S}}& {t}_{r, \mathrm{B}\mathrm{D}\mathrm{S}\mathrm{‑}\mathrm{G}\mathrm{P}\mathrm{S}}\end{array}\right]}^{\mathrm{T}} $；$ \boldsymbol{L} $为$ n\times 1 $维观测向量，$ n $即为参与定位的卫星数目总和；$ \mathit{\varepsilon } $为误差噪声向量；$ \boldsymbol{P} $为观测权矩阵，表达式为：
$$ \boldsymbol{P}=\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}\left(\frac{{\sigma }_{0}^{2}}{{\sigma }_{1}^{2}}, \frac{{\sigma }_{0}^{2}}{{\sigma }_{2}^{2}}, \cdots , \frac{{\sigma }_{0}^{2}}{{\sigma }_{n}^{2}}\right) $$ (2) 式中，$ {\sigma }_{0}^{} $为单位权标准差，取其值为1 m；$ {\sigma }_{i}^{2} $为观测值误差方差，一般由卫星星历和钟差误差方差、电离层延迟误差方差、对流层延迟误差方差等组合相加得到，给出相应计算公式如下[24-25]：
$$ {\sigma }_{i}^{2}={\sigma }_{\mathrm{U}\mathrm{R}\mathrm{A}, i}^{2}+{\sigma }_{\mathrm{i}\mathrm{o}\mathrm{n}, i}^{2}+{\sigma }_{\mathrm{t}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{p}, i}^{2}+{\sigma }_{\mathrm{u}\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{r}, i}^{2} $$ (3) 式中，$ {\sigma }_{\mathrm{u}\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{r}, i}^{2} $为包括多路径效应、测距码噪声等接收机端的综合误差；$ {\sigma }_{\mathrm{U}\mathrm{R}\mathrm{A}, i} $为用户距离误差(user range accuracy，URA)，可以通过解码导航电文获得，在GPS、BDS-3和Galileo(Galileo satellite navigation system)中，该值一般为2.4 m，而在GLONASS(global navigation satellite system)中，该值则为5 m[25]；$ {\sigma }_{\mathrm{i}\mathrm{o}\mathrm{n}, i} $为电离层延迟误差的标准差：
$$ {\sigma }_{\mathrm{i}\mathrm{o}\mathrm{n}, i}=F\left({\theta }_{i}\right){\sigma }_{\mathrm{U}\mathrm{I}\mathrm{V}\mathrm{E}, i} $$ (4) 式中，$ {\sigma }_{\mathrm{U}\mathrm{I}\mathrm{V}\mathrm{E}, i} $为天顶方向的电离层改正标准差；$ {\theta }_{i} $为对应卫星的高度角；$ F\left({\theta }_{i}\right) $则为对应的投影函数。当采用无电离层组合观测值进行定位解算时，可将$ {\sigma }_{\mathrm{i}\mathrm{o}\mathrm{n}, i} $设为0；$ {\sigma }_{\mathrm{t}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{p}} $为对流层延迟改正标准差，其建模公式如下[26]：
$$ {\sigma }_{\mathrm{t}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{p}, i}={\sigma }_{t}\cdot m\left({\theta }_{i}\right) $$ (5) 在实验计算中取$ {\sigma }_{t}=0.12 $ m，相应$ m\left({\theta }_{i}\right) $表示为[26-27]：
$$ m\left({\theta }_{i}\right)=\frac{1.001}{\sqrt{0.002\, 001+\mathrm{s}\mathrm{i}{\mathrm{n}}^{2}\left({\theta }_{i}\right)}} $$ (6) $ {\sigma }_{\mathrm{u}\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{r}, i}^{2} $相应可采用高度角模型进行建模：
$$ {\sigma }_{\mathrm{u}\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{r}, i}\approx \sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}/\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\left({\theta }_{i}\right)} $$ (7) 根据文献[28-29]，取经验值$ a=0.004 $ m，$ b=0.003 $ m。
由最小二乘定理可知，其对应最小二乘解为[30]：
$$ \hat{\boldsymbol{X}}=\left(\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{P A}\right)^{-1} \boldsymbol{A}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{P L}$$ (8) 对应残差计算公式可以表示为：
$$ \boldsymbol{V}=\boldsymbol{A \hat{X}}-\boldsymbol{L}=\left(\boldsymbol{I}-\boldsymbol{A}\left(\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{P A}\right)^{-1} \boldsymbol{A}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{P}\right) \boldsymbol{L} $$ (9) 令$ \left(\boldsymbol{I}-\boldsymbol{A}{\left({\boldsymbol{A}}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{P}\boldsymbol{A}\right)}^{-1}{\boldsymbol{A}}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{P}\right)=\boldsymbol{S} $，则$ \boldsymbol{S} $被称为敏感性矩阵，该矩阵反映了观测值与残差之间的影响关系[24]。在观测值相互独立时，观测值的协方差矩阵为对角矩阵，则有：
$$ {\sigma }_{{v}_{i}}^{2}{\left({\sigma }_{i}^{2}\right)}^{-1}={s}_{ii} $$ (10) 式中，sii是敏感矩阵对角线上的元素；$ {\sigma }_{i}^{} $是观测值Li的中误差；$ {\sigma }_{{v}_{i}}^{} $是其对应残差的中误差。
敏感矩阵$ \boldsymbol{S} $是由卫星的几何强度以及观测值的方差阵所共同决定的，其相应特性如下：$ \boldsymbol{S} $是幂等对称矩阵，其每一行元素的和都为0；其特征值为0或1，而矩阵的迹为观测系统的多余观测方程数，即$ \mathrm{t}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{c}\mathrm{e}\left(\boldsymbol{S}\right)=n-u $，其中，u为未知参数的个数；而对角线上的元素sii是该观测值在总的多余观测数中所占的分量。当多余的观测值的个数大于等于2时，便可以进行粗差的识别。
1.2 可靠性计算方法
系统可靠性主要通过内部可靠性与外部可靠性进行衡量。在一定的假设检验条件下，将系统发现、区分不同误差的能力称为内部可靠性，将不可发现、不可区分的误差对于定位结果的影响称为外部可靠性。内部可靠性衡量方式为能以一定的检验功效$ \beta $通过显著性水平$ \alpha $的统计检验可发现粗差的下界值；外部可靠性则通过不可发现、不可区分的误差对定位结果的影响向量长度来衡量[12]。而$ \alpha $与$ 1-\beta $又可称为误警概率与漏检概率，其对应取值可参考GNSS定位可靠性研究中的取值[9, 12, 31-33]，通常在实验研究中可取误警概率$ \alpha =0.1\mathrm{\%} $与漏检概率$ 1-\beta =20\mathrm{\%} $。
1.2.1 内部可靠性
在GNSS定位解算中，在给出显著性水平$ \alpha $及检验功效$ \beta $的前提下，可以计算出每颗卫星观测值可探测出的最小粗差MDB(minimum detective biases)，具体公式如下[24]：
$$ {\nabla }_{0}{b}_{i}=\frac{\delta }{\sqrt{{\boldsymbol{e}}_{i}^{\mathrm{T}}{\boldsymbol{D}}^{-1}{\boldsymbol{D}}_{v}{\boldsymbol{D}}^{-1}{\boldsymbol{e}}_{i}}} $$ (11) 式中，$ {\nabla }_{0}{b}_{i} $即为最小可探测粗差；$ \delta $为非中心化参数；$ \boldsymbol{D} $为观测值协方差矩阵；$ {\boldsymbol{D}}_{v} $为残差向量精度，可由下式表示：
$$ {\boldsymbol{D}}_{v}=\boldsymbol{D}-\boldsymbol{A}{\left({\boldsymbol{A}}^{\mathrm{T}}{\boldsymbol{D}}^{-1}\boldsymbol{A}\right)}^{-1}{\boldsymbol{A}}^{\mathrm{T}} $$ (12) 式中，$ {\boldsymbol{e}}_{i} $为相应的模型向量。当某一观测值$ {L}_{i} $中存在粗差时，相应的模型向量表示如下：
$$ {\boldsymbol{e}}_{i}={\left(\begin{array}{ccccccc}0\mathrm{ }0& \cdots & 0& 1& 0& \cdots & 0\end{array}0\right)}_{1\times n} $$ (13) 式中，$ n $为参与定位的卫星总数量，在多系统融合定位中，即为所有可观测卫星总数。
参数$ \delta $与误警概率$ \alpha $以及漏检概率$ 1-\beta $互为函数关系。本文取$ \alpha =0.1\mathrm{\%} $，$ 1-\beta =20\mathrm{\%} $，此时非中心化参数$ \delta \approx 4.13 $。在部分关于生命安全的GNSS应用中会设定更小的误警概率与漏检概率以确保绝对的安全，此时非中心化参数也会随之变大。
在GNSS定位数学模型中，通常假设不同卫星的观测值之间相互独立，于是式(11)简化为：
$$ {\nabla }_{0}{b}_{i}={\sigma }_{i}\frac{\delta }{\sqrt{{s}_{ii}}} $$ (14) 在GNSS定位解算中，在给出显著性水平$ \alpha $以及检验功效$ \beta $的前提下，可以通过上述公式计算出每颗卫星观测值可探测出的最小粗差。该粗差下界值是由误警概率$ \alpha $、漏检概率$ 1-\beta $、卫星的几何强度以及观测误差所共同决定的。而可以探测的粗差下界值$ {\nabla }_{0}{b}_{i} $即可作为衡量系统的内部可靠性的指标。
1.2.2 外部可靠性
如果观测值$ {L}_{i} $的粗差小于$ {\nabla }_{0}{b}_{i} $，在已定的误警概率$ \alpha $和漏检概率$ 1-\beta $下，该粗差无法被检测到；而未被探测到的粗差将会相应地影响到参数解结果。其对应影响可以表示为：
$$ \mathrm{\Delta }{\widehat{\boldsymbol{x}}}_{i}=\left[\begin{array}{c}\mathrm{\Delta }\widehat{x}\\ \mathrm{\Delta }\widehat{y}\\ \mathrm{\Delta }\widehat{z}\\ \mathrm{\Delta }c{\widehat{t}}_{r}\end{array}\right]={\left({\boldsymbol{A}}^{\mathrm{T}}{\boldsymbol{D}}^{-1}\boldsymbol{A}\right)}^{-1}{\boldsymbol{A}}^{\mathrm{T}}{\boldsymbol{D}}^{-1}{\boldsymbol{e}}_{i}{\nabla }_{0}{b}_{i} $$ (15) 式中，$ \mathrm{\Delta }{\widehat{\boldsymbol{x}}}_{i} $也被称为影响向量。$ \mathrm{\Delta }{\widehat{\boldsymbol{x}}}_{i} $的模便可作为外部可靠性的衡量尺度(minimum detective error，MDE)[31]，令$ {\left({\boldsymbol{A}}^{\mathrm{T}}{\boldsymbol{D}}^{-1}\boldsymbol{A}\right)}^{-1}{\boldsymbol{A}}^{\mathrm{T}}=\boldsymbol{B} $，则影响向量的模可以表示为：
$$ ‖\mathrm{\Delta }{\widehat{\boldsymbol{x}}}_{i}‖=‖\left[\begin{array}{c}\mathrm{\Delta }\widehat{x}\\ \mathrm{\Delta }\widehat{y}\\ \mathrm{\Delta }\widehat{z}\\ \mathrm{\Delta }c{\widehat{t}}_{r}\end{array}\right]‖=\sqrt{{\nabla }_{0}{b}_{i}{\boldsymbol{e}}_{i}^{\mathrm{T}}{\boldsymbol{D}}^{-1}{\boldsymbol{B}}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{B}{\boldsymbol{D}}^{-1}{\boldsymbol{e}}_{i}{\nabla }_{0}{b}_{i}} $$ (16) 1.3 粗差探测与识别方法
当观测值的随机模型均正确时，可得到原假设：
$$ {H}_{0}:E\left(\Delta \right)=0, \mathrm{即}\mathrm{E}\left(\boldsymbol{Z}\right)=\boldsymbol{H}\boldsymbol{X} $$ (17) 而当观测值不仅受到随机误差的影响，同时还受到粗差的干扰时，即可得到对应的备选假设：
$$ {H}_{a}:E\left(\Delta \right)=b, b\ne 0, \mathrm{即}\mathrm{E}\left(\boldsymbol{Z}\right)=\boldsymbol{H}\boldsymbol{X}+b $$ (18) 观测值误差可以通过敏感矩阵投影到残差上，当观测误差服从期望值为0的高斯分布，则$ {\boldsymbol{V}}^{\mathrm{T}}{\boldsymbol{D}}^{-1}\boldsymbol{V} $服从$ \delta $为0、自由度为$ l-n $的$ {\chi }^{2} $分布，而当观测值受到粗差干扰时，相应的非中心化参数也不再为0。故可将$ {\boldsymbol{V}}^{\mathrm{T}}{\boldsymbol{D}}^{-1}\boldsymbol{V} $作为统计量进行相应假设检验。在误警概率$ \alpha $已知时，可以计算得到检验限值$ {T}_{1-{\alpha }^{\mathrm{\text{'}}}}^{2} $。值得注意的是，在计算检验限值时，需要考虑到每个历元有$ n $颗卫星，存在$ n $组观测值，故相应公式为：
$$ {\alpha }^{\mathrm{\text{'}}}=\alpha /n $$ (19) 当得到了对应的检验限值，即可进行检验，若：
$$ {\boldsymbol{V}}^{\mathrm{T}}{\boldsymbol{D}}^{-1}\boldsymbol{V} < {T}_{1-{\alpha }^{\mathrm{\text{'}}}}^{2} $$ (20) 则可以认为观测值中不存在粗差，相反则认为观测值中存在粗差，需要进行相应的剔除，依次遍历排除单颗/双颗卫星，直到遍历完成后剩余观测值所构成的$ {\boldsymbol{V}}^{\mathrm{T}}{\boldsymbol{D}}^{-1}\boldsymbol{V} $统计量小于限值，且为遍历计算结果的最小值[34-36]。
2 可靠性分析
2.1 可靠性分析数据
考虑到MGEX测站的观测数据具备时间长、连续性好，一般情况下无遮挡干扰且支持最新BDS-3观测值的特点，较为适宜分析现阶段BDS以及BDS/GPS融合数据在较长时间下的可靠性以及相应波动变化情况，故本文实验选取MGEX测站WUH2与JFNG于2021年年积日110天(2021-04-20)的全天观测数据进行实验，对于组合观测值的频点，GPS选择L1/L2进行组合，BDS选择BDS-2与BDS-3共有的B1I/B3I进行组合，相应的定位配置如表 1所示。
表 1 实验定位配置Table 1. Experimental Position Configuration参数 策略 定位模式 单点定位 卫星系统 BDS-2/BDS-3、BDS-2/BDS-3/GPS 星历 多系统广播星历p文件 频率 L1/L2、B1I/B3I 截止高度角/(°) 10 对流层 Saastamoinen模型 电离层 Klobuchar模型/IF组合 接收机钟差 白噪声，估计系统间偏差 2.2 单历元可靠性分析
参考Baarda[9]、Teunissen[10]在GNSS可靠性相关研究中的误警与漏检概率取值方法[26-28]，本文中的实验选择在误警概率$ \alpha =0.1\mathrm{\%} $与漏检概率$ 1-\beta =20\mathrm{\%} $下进行，以WUH2测站在2021-04-20T00：00：00时的数据进行逐颗卫星的可靠性解算，结果见表 2和表 3。
表 2 BDS单历元内外可靠性解算结果/mTable 2. BDS Single Epoch Internal and External Reliability Results/m卫星号 MDB MDE 卫星号 MDB MDE 卫星号 MDB MDE C06 12.677 7.173 C16 12.561 6.832 C34 14.962 5.953 C07 12.315 5.612 C23 19.053 20.025 C39 12.433 6.124 C09 12.545 4.127 C24 16.499 11.309 C40 12.501 3.389 C10 12.738 2.945 C25 13.325 4.808 C41 12.897 4.437 C12 15.184 7.623 C33 16.920 10.237 表 3 BDS/GPS单历元内外可靠性解算结果/mTable 3. BDS/GPS Single Epoch Internal and External Reliability Results/m卫星号 MDB MDE 卫星号 MDB MDE 卫星号 MDB MDE C06 14.882 7.111 C24 12.224 3.859 G03 14.908 6.461 C07 13.063 4.031 C25 12.102 3.572 G16 12.684 2.985 C09 14.564 6.072 C33 12.242 2.850 G22 14.619 5.171 C10 13.328 5.690 C34 12.359 1.861 G26 13.952 3.859 C12 15.282 6.069 C39 14.235 4.865 G29 12.135 3.659 C16 13.514 4.059 C40 12.176 3.815 G31 12.233 2.441 C23 15.910 6.099 C41 14.722 7.588 G32 12.407 2.007 从表 2中可以分析发现，在该时刻BDS卫星数量为14颗，而GPS卫星数量为7颗。BDS可探测的粗差下界值在12.315~19.053 m。此时，不可探测粗差对于定位结果的最大影响在2.945~20.025 m。在加入了GPS系统后，总卫星数量达到了21颗，保持相同的误警概率和漏检概率，则最小可检测误差保持在12.102~15.910 m，而相应的不可探测粗差对于定位结果的最大影响向量在1.861~7.588 m。多系统组合的情况下，由于卫星数量增多，卫星的几何结构增强，多数卫星数据的可探测粗差下界值与不可探测误差对于定位结果的最大影响都在不断减小。而在不同卫星之间，由于卫星的高度角等因素的影响，导致同一个历元中的不同卫星数据的可靠性计算结果存在差异，但可以分析到双系统相较单系统卫星间的可靠性计算结果差异更小。
2.3 多历元可靠性分析
采用本文的理论数学模型，采用WUH2测站于2021-04-20的数据进行可靠性解算，将每个历元中MDB以及MDE最大值进行输出，作为衡量该历元内外可靠性的标准。分析比较解算结果分别在不同星座频率组合下的差异。图 1和图 2分别展示了使用单频观测值与双频无电离层组合观测值进行解算的结果在PDOP值、卫星个数及内外可靠性上的差异。
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图 1 单频数据BDS/GPS可靠性结果(WUH2测站)Figure 1. Single-Frequency Data BDS/GPS Reliability Results(WUH2 Station)![]()
图 2 双频数据BDS/GPS可靠性结果(WUH2测站)Figure 2. Dual-Frequency Data BDS/GPS Reliability Results(WUH2 Station)由图 1和图 2分析可知，BDS/GPS组合全天可测卫星数量维持在14~23颗，PDOP值均维持在10以内，两种电离层处理模式解算出的MDB值均基本在40 m以内，MDE值则基本保持在50 m以内。表 4给出了不同处理方式下的MDB及MDE统计值。
表 4 多系统单频与双频的可靠性统计/mTable 4. Multi-system Single-Frequency and Dual- Frequency Reliability Statistics/m统计值 单频(电离层模型改正) 双频(无电离层组合) BDS BDS/GPS BDS BDS/GPS MDB均值 28.342 22.156 24.661 18.673 MDB标准差 8.858 4.904 6.735 2.191 MDE均值 38.647 17.978 35.465 16.612 MDE标准差 20.798 5.987 19.030 5.710 通过表 4可以得到，采用BDS单频以及双频数据解算的MDB均值分别为28.342 m与24.661 m，标准差分别为8.858 m与6.735 m；单频及双频BDS/GPS组合数据解算出的MDB均值较BDS系统分别下降了6.186 m和5.988 m，标准差则分别下降了3.954 m和4.544 m。同时，采用BDS单频以及双频数据解算的MDE均值分别为38.647 m与35.465 m，标准差分别为20.798 m与19.030 m；单频及双频BDS/GPS组合数据解算出的MDE均值较BDS系统分别减小了20.669 m和18.853 m，标准差则分别下降了14.811 m与13.320 m。可得内部可靠性与外部可靠性受到卫星几何的影响较大，结合式(14)与式(16)，卫星观测值的内外可靠性主要与误警概率、漏检概率、卫星几何强度与观测误差有关，BDS/GPS组合较BDS卫星几何强度明显提升，相应观测值的内外可靠性均获得提高且更加稳定。此外，采用双频无电离层组合数据进行定位，解算得到的MDB均值与MDE均值均较单频数据都减少了1~4 m，同时标准差也略有下降，因此双频数据较单频数据具备更好的内外可靠性。
3 粗差探测分析
3.1 粗差探测分析数据
采用2021年年积日110日的全天MGEX JFNG测站的BDS/GPS双频观测数据模拟粗差并进行粗差探测实验。实验数据设计如表 5所示。采用JFNG测站原始数据计算对应观测值内外可靠性如图 3所示。
表 5 粗差探测实验数据设计Table 5. Gross Error Detection Experiment Design场景 数据类型 粗差类型 1 BDS，双频IF组合 单粗差 2 BDS/GPS，双频IF组合 单粗差 3 BDS，双频IF组合 双粗差 4 BDS/GPS，双频IF组合 双粗差 ![]()
图 3 JFNG双频数据可靠性结果Figure 3. Reliability Results of Dual-Frequency Data at JFNG Station给定误警概率和漏检概率($ \alpha =0.1\mathrm{\%}, \beta =80\mathrm{\%} $) 情况下分别进行BDS与BDS/GPS组合的可靠性解算，得到对应结果如图 3所示。通过图 3解算结果可以看出，单BDS系统的MDB大约维持在15~25 m，MDE基本保持在10~30 m；而BDS/GPS组合，MDB基本保持在15~20 m，MDE在10 m左右。
由于理论计算的每个历元可探测最小粗差MDB基本保持在15~20 m内，少数MDB值接近25 m，因此，在JFNG测站的原始观测数据基础上，每个历元随机对一颗卫星的双频IF组合观测值添加20~30 m的观测误差，同时相应设计如下指标评估粗差探测结果：
1) 粗差探测率：在所有历元中，通过假设检验判断该历元存在粗差的历元比率。
2) 粗差正确识别率：在探测到粗差的基础上，能够正确识别出粗差所位于的卫星观测值，并且能够进行相应剔除的历元比率。
3) 剔除粗差后定位精度：在实现观测值数据粗差探测和剔除后，解算得到的定位结果在东、北、天方向的RMSE(root mean square error)。
3.2 粗差探测结果与分析
表 6给出了原始数据加入单一粗差后，分别在BDS以及BDS/GPS组合下进行粗差探测的结果。单BDS成功解算了2 829个历元，其中有2 828个历元的粗差被成功探测，粗差探测的成功率为99.96%；在探测到粗差的历元中，有2 562个历元的粗差被正确识别并成功剔除，其正确识别率为90.56%，剔除粗差后定位精度在东、北、天方向的RMSE分别为0.540 m、0.689 m、1.901 m。在BDS/GPS解算成功的2 828个历元中，有2 827个历元的粗差被成功探测，粗差探测的成功率为99.96%；而在探测到粗差的历元中，有2 801个历元的粗差被正确识别并成功剔除，其正确识别率为99.05%，剔除粗差后定位精度在东、北、天方向的RMSE分别为0.444 m、0.557 m、1.569 m。
表 6 单粗差探测识别结果Table 6. Single Gross Error Detection and Recognition Results历元类型 BDS BDS/GPS 历元数/个 历元比例/% 历元数/个 历元比例/% 数据总历元 2 880 100.00 2 880 100.00 原始数据成功解算历元 2 829 98.23 2 828 98.19 包含粗差成功解算历元 2 829 98.23 2 828 98.19 粗差探测正确历元 2 828 99.96 2 827 99.96 粗差正确识别历元 2 562 90.56 2 801 99.05 对比单BDS系统与BDS/GPS组合系统的粗差探测结果，单系统与双系统均只有一组历元未能成功探测到误差。而在粗差成功探测后，单BDS只有2 562组历元实现粗差的成功识别与剔除，在另外的266组历元中，有265组历元未能实现粗差的定位，另一组历元则粗差定位错误；相比较之下，BDS/GPS组合解算则有2 801组历元实现了粗差的正确识别与剔除，另外还有21组历元未能实现粗差的定位，5组历元误差定位错误。通过分析发现，虽然单BDS与BDS/GPS组合解算的粗差探测成功率几乎一样，但对于粗差正确识别率，双系统组合情况要明显优于单系统。
表 7给出了原始数据加入双粗差后分别在BDS以及BDS/GPS组合下进行粗差探测的结果。单BDS成功解算了2 826个历元，所有历元的粗差被成功探测，粗差探测的成功率为100%；而在探测到粗差的历元中，有1 856个历元的粗差被正确识别并成功剔除，其正确识别率为65.67%，剔除粗差后定位精度在东、北、天方向的RMSE分别为0.624 m、0.799 m、2.045 m。BDS/GPS成功解算了2 832个历元，所有历元的粗差被成功探测，粗差探测的成功率为100%；而在探测到粗差的历元中，有2 071个历元的粗差被正确识别并成功剔除，其正确识别率为73.13%，剔除粗差后定位精度在东、北、天方向的RMSE分别为0.637 m、0.743 m、1.864 m，相比较单BDS，其正确识别率略有提高。无论是单BDS还是BDS/GPS组合，其双粗差探测成功率均为100%，但双粗差的粗差成功识别剔除率较单粗差有了明显的下降，单BDS以及BDS/GPS组合的双粗差成功识别率分别只有65.67%与71.91%。
表 7 双粗差探测识别结果Table 7. Double Gross Error Detection and Recognition Results历元类型 BDS BDS/GPS 历元数/个 历元比例/% 历元数/个 历元比例/% 数据总历元 2 880 100.00 2 880 100.00 原始数据成功解算历元 2 826 98.13 2 832 98.33 包含粗差成功解算历元 2 826 98.13 2 832 98.33 粗差探测正确历元 2 826 100.00 2 832 100.00 粗差正确识别历元 1 856 65.67 2 071 73.13 表 8给出了粗差识别前后的定位精度统计表，可以看出，无论加入单粗差还是双粗差，无论在BDS下解算还是在BDS/GPS下解算，粗差剔除后均能实现较好的定位结果。粗差剔除后定位结果在东、北、天方向上的RMSE值与原始数差别不大，均保持在东、北方向0.5 m左右，天方向2 m左右。
表 8 粗差识别成功前后定位外符合精度(双频)/mTable 8. External Accord Accuracy Before and After Gross Error Recognition (Dual-Frequency)/m模式 定位精度 东方向RMSE 北方向RMSE 天方向RMSE 单粗差
BDS原始定位精度 0.534 0.696 1.865 加入粗差定位精度 2.906 3.232 7.448 粗差剔除定位精度 0.540 0.689 1.901 单粗差
BDS/GPS原始定位精度 0.426 0.545 1.546 加入粗差定位精度 2.080 2.155 5.006 粗差剔除定位精度 0.444 0.557 1.569 双粗差
BDS原始定位精度 0.534 0.696 1.865 加入粗差定位精度 3.256 4.528 9.928 粗差剔除定位精度 0.624 0.799 2.045 双粗差
BDS/GPS原始定位精度 0.426 0.545 1.546 加入粗差定位精度 2.737 3.009 6.671 粗差剔除定位精度 0.637 0.743 1.864 4 结语
本文分析研究了可靠性理论与假设检验粗差探测方法在GNSS定位领域的应用并进行相应实验。以WUH2测站为例，给定误警概率$ \alpha =0.1\mathrm{\%} $与漏检概率$ 1-\beta =20\mathrm{\%} $，计算出BDS/GPS使用无电离层组合得到的MDB与MDE均值分别为18.673 m与16.612 m，较单BDS无电离层组合解算的MDB和MDE均值分别下降了5.988 m、18.853 m，这说明多系统可以改善卫星几何强度，提升可靠性。同时，BDS/GPS双频IF无电离层组合计算得到的MDB和MDE均值较单频数据分别下降了3.483 m、1.366 m，这表明双频数据较单频数据可靠性更好。
依照可靠性分析结果，本文基于假设检验理论与可靠性理论结果进行了粗差探测实验。采用JFNG测站数据的实验结果表明BDS在单粗差与双粗差条件下的粗差识别率分别为90.56%与65.67%；而BDS/GPS组合在单粗差与双粗差条件下的粗差识别成功率较单系统分别提高了8.49%、6.24%，双系统组合识别粗差的能力较单系统提升较为明显。
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图 1 单频数据BDS/GPS可靠性结果(WUH2测站)
Figure 1. Single-Frequency Data BDS/GPS Reliability Results(WUH2 Station)
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图 2 双频数据BDS/GPS可靠性结果(WUH2测站)
Figure 2. Dual-Frequency Data BDS/GPS Reliability Results(WUH2 Station)
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图 3 JFNG双频数据可靠性结果
Figure 3. Reliability Results of Dual-Frequency Data at JFNG Station
表 1 实验定位配置
Table 1 Experimental Position Configuration
参数 策略 定位模式 单点定位 卫星系统 BDS-2/BDS-3、BDS-2/BDS-3/GPS 星历 多系统广播星历p文件 频率 L1/L2、B1I/B3I 截止高度角/(°) 10 对流层 Saastamoinen模型 电离层 Klobuchar模型/IF组合 接收机钟差 白噪声，估计系统间偏差 
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表 2 BDS单历元内外可靠性解算结果/m
Table 2 BDS Single Epoch Internal and External Reliability Results/m
卫星号 MDB MDE 卫星号 MDB MDE 卫星号 MDB MDE C06 12.677 7.173 C16 12.561 6.832 C34 14.962 5.953 C07 12.315 5.612 C23 19.053 20.025 C39 12.433 6.124 C09 12.545 4.127 C24 16.499 11.309 C40 12.501 3.389 C10 12.738 2.945 C25 13.325 4.808 C41 12.897 4.437 C12 15.184 7.623 C33 16.920 10.237
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表 3 BDS/GPS单历元内外可靠性解算结果/m
Table 3 BDS/GPS Single Epoch Internal and External Reliability Results/m
卫星号 MDB MDE 卫星号 MDB MDE 卫星号 MDB MDE C06 14.882 7.111 C24 12.224 3.859 G03 14.908 6.461 C07 13.063 4.031 C25 12.102 3.572 G16 12.684 2.985 C09 14.564 6.072 C33 12.242 2.850 G22 14.619 5.171 C10 13.328 5.690 C34 12.359 1.861 G26 13.952 3.859 C12 15.282 6.069 C39 14.235 4.865 G29 12.135 3.659 C16 13.514 4.059 C40 12.176 3.815 G31 12.233 2.441 C23 15.910 6.099 C41 14.722 7.588 G32 12.407 2.007
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表 4 多系统单频与双频的可靠性统计/m
Table 4 Multi-system Single-Frequency and Dual- Frequency Reliability Statistics/m
统计值 单频(电离层模型改正) 双频(无电离层组合) BDS BDS/GPS BDS BDS/GPS MDB均值 28.342 22.156 24.661 18.673 MDB标准差 8.858 4.904 6.735 2.191 MDE均值 38.647 17.978 35.465 16.612 MDE标准差 20.798 5.987 19.030 5.710
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表 5 粗差探测实验数据设计
Table 5 Gross Error Detection Experiment Design
场景 数据类型 粗差类型 1 BDS，双频IF组合 单粗差 2 BDS/GPS，双频IF组合 单粗差 3 BDS，双频IF组合 双粗差 4 BDS/GPS，双频IF组合 双粗差
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表 6 单粗差探测识别结果
Table 6 Single Gross Error Detection and Recognition Results
历元类型 BDS BDS/GPS 历元数/个 历元比例/% 历元数/个 历元比例/% 数据总历元 2 880 100.00 2 880 100.00 原始数据成功解算历元 2 829 98.23 2 828 98.19 包含粗差成功解算历元 2 829 98.23 2 828 98.19 粗差探测正确历元 2 828 99.96 2 827 99.96 粗差正确识别历元 2 562 90.56 2 801 99.05
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表 7 双粗差探测识别结果
Table 7 Double Gross Error Detection and Recognition Results
历元类型 BDS BDS/GPS 历元数/个 历元比例/% 历元数/个 历元比例/% 数据总历元 2 880 100.00 2 880 100.00 原始数据成功解算历元 2 826 98.13 2 832 98.33 包含粗差成功解算历元 2 826 98.13 2 832 98.33 粗差探测正确历元 2 826 100.00 2 832 100.00 粗差正确识别历元 1 856 65.67 2 071 73.13
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表 8 粗差识别成功前后定位外符合精度(双频)/m
Table 8 External Accord Accuracy Before and After Gross Error Recognition (Dual-Frequency)/m
模式 定位精度 东方向RMSE 北方向RMSE 天方向RMSE 单粗差
BDS原始定位精度 0.534 0.696 1.865 加入粗差定位精度 2.906 3.232 7.448 粗差剔除定位精度 0.540 0.689 1.901 单粗差
BDS/GPS原始定位精度 0.426 0.545 1.546 加入粗差定位精度 2.080 2.155 5.006 粗差剔除定位精度 0.444 0.557 1.569 双粗差
BDS原始定位精度 0.534 0.696 1.865 加入粗差定位精度 3.256 4.528 9.928 粗差剔除定位精度 0.624 0.799 2.045 双粗差
BDS/GPS原始定位精度 0.426 0.545 1.546 加入粗差定位精度 2.737 3.009 6.671 粗差剔除定位精度 0.637 0.743 1.864
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