随着全球导航卫星系统（global navigation satellite system，GNSS）在国民经济和国防军事中的广泛应用，实时高精度定位服务已成为当前GNSS发展的必然趋势。实时高精度定位服务必要的空间基准由卫星实时轨道确定。GNSS卫星实时精密轨道确定通常采用基于事后批处理的轨道预报方法获得，即超快速轨道。目前国际GNSS服务（international GNSS service，IGS）分析中心提供的GLONASS超快速轨道产品很难达到全球定位系统（global positioning system，GPS）的精度水平^[1-2]，其中一个重要原因就是GLONASS模糊度固定困难。研究基于模糊度固定的GLONASS超快速轨道解算对于提升GNSS实时高精度定位服务具有重要意义。

GLONASS采用有别于GPS的频分多址（frequency division multiple access，FDMA）信号体制，使得卫星端和接收机端均存在频间偏差^[3-4]（inter-frequency bias，IFB），包括频间伪距偏差（inter-frequency code bias，IFCB）和频间相位偏差（inter-frequency phase bias，IFPB）^[5]。IFCB与接收机类型、天线类型以及固件版本号有关，难以模型化并校正，一般通过附加基准约束条件的参数估计方法来确定^[6]。IFPB与频率呈线性关系，可以通过建立与频率的线性关系进行改正^[5，7]。

短基线GLONASS模糊度固定通常基于原始观测值，只形成双差相位观测，站间差分消除大气延迟误差、轨道误差和卫星钟差，从而避开了IFCB的影响^[8]。目前已有学者提出了针对短基线的模糊度固定方法^[9-11]，CODE分析中心也实现了200 km以下基线的GLONASS全星座模糊度固定^[11]。而对于长基线模糊度固定，伪距观测对提供电离层信息至关重要，因而需要考虑IFCB的影响。由于IFCB参数直接估计精度较低，无法应用于GLONASS模糊度固定^[4]，有学者提出使用外部较精确的电离层产品避免IFCB影响的方法^[12-13]，但该方法受电离层产品精度的影响。本文基于Liu等^[14]提出的一种波长约5.3 cm的GLONASS无电离层组合模糊度固定方法^[14-15]，避开了伪距观测值，无需考虑IFCB的影响，且适用于长基线。在GLONASS定轨解算时，对于每条独立基线，基于IFPB与频率的线性模型，采用区间搜索法，将使该基线上无电离层双差模糊度固定率最大的IFPB斜率值作为IFPB斜率标定值，修正IFPB对双差无电离层模糊度的影响，实现GLONASS无电离层组合模糊度固定。同时还分析了该方法的模糊度固定效果及对超快速轨道解算精度的影响。

1 GLONASS模糊度固定方法

为消除电离层延迟的影响，本文采用非差无电离层组合观测值进行GLONASS轨道解算^[14]。无电离层组合伪距和相位观测方程如下：

式中，$P_{a,c}^i$是无电离层组合伪距观测值；$L_{a,c}^i$是无电离层组合相位观测值；$i$是卫星标识；$a$是接收机标识；${\rho }_a^i$是卫星到接收机天线相位中心的几何距离；$c$是光速；$\mathrm{d}{t}^i$和$\mathrm{d}{t}_a$分别是卫星钟差和接收机钟差；$T_a^i$是对流层延迟；${\delta }_{\mathrm{0}}^i$和${\delta }_{a,c}^i$分别是卫星端和接收机端的频间伪距偏差，即IFCB；${\lambda }_c^i$是无电离层组合相位观测值波长；$B_{a,c}^i$是无电离层组合模糊度；${\gamma }_{\mathrm{0}}^i$和${\gamma }_{a,c}^i$分别是卫星端和接收机端的相位频间偏差，即IFPB；${\xi }_{a,c}^i$和${\epsilon }_{a,c}^i$分别是伪距和相位的观测噪声。${\delta }_{\mathrm{0}}^i$、${\gamma }_{\mathrm{0}}^i$可被卫星钟差吸收，接收机端IFCB ${\delta }_{a,c}^i$变化规律复杂，无法模型化，只能进行参数估计；接收机端IFPB ${\gamma }_{a,c}^i$无法与模糊度参数分离，会被吸收到浮点模糊度中。 式（1）的伪距观测方程中，同时估计卫星钟差、接收机钟差和频间偏差会造成秩亏^[16]，需要引入基准约束条件。本文采用重心基准约束，即所有接收机对同一GLONASS卫星的偏差值之和为零^[6]。

式（2）的相位观测方程中，无电离层组合模糊度${\lambda }_c^i{B}_{a,c}^i$可表示为：

式中，$f_{\mathrm{1}}$和$f_{\mathrm{2}}$是同一GLONASS卫星的L1和L2的信号频率，且$f_{\mathrm{1}}/f_{\mathrm{2}}=\mathrm{9}/\mathrm{7}$；${\lambda }_{\mathrm{1}}^i$和${\lambda }_{\mathrm{2}}^i$是对应的信号波长；$B_{a,\mathrm{1}}^i$和$B_{a,\mathrm{2}}^i$是对应信号的模糊度，故有：

无电离层组合观测值波长${\lambda }_c^i$为窄巷波长的一半，大约是5.3 cm，且GLONASS无电离层组合模糊度$B_{a,c}^i$恰好具有整数特性^[2，17]。因此可以在解出无电离层浮点模糊度之后直接对其进行模糊度固定，而无需进行宽窄巷分解。

1.1   双差无电离层组合模糊度固定

由于全球网定轨中观测值较多，通常选取独立基线集以减小数据运算量。对于任意两个测站，观测到相同系统的卫星且两者距离小于预设阈值就可以组成基线。对于长度超过3 000 km的基线，几乎没有双差模糊度组成，因此本文将基线长度阈值设为3 000 km。按照基线长度从短到长排序，将第一条基线直接加入独立基线集中，对后面的每条基线，采用Gram-Schmidt正交化方法^[18]判断其是否独立于已选择的独立基线集，从而构造最大独立基线集群^[19]。对每条独立基线，构建双差无电离层组合模糊度。

从式（2）可以看出，接收机端IFPB ${\gamma }_{a,c}^i$既与接收机有关，又与卫星有关，实际解算中会被吸收到模糊度参数中，此时解得的浮点模糊度包括整数模糊度和IFPB。双差无电离层组合模糊度可以表示为：

式中，$B_{ab,c}^{ij}$是双差无电离层组合模糊度，使用已解得的浮点模糊度求双差可得；$N_{ab,c}^{ij}$是整数双差模糊度。可以看出，在固定模糊度之前，需对IFPB进行正确估计和改正。已有研究表明，IFPB与频率数成正比^[5，20-21]，观测值站间差的IFPB可以表达为：

式中，$K(i)$是卫星频率数；$∆{\gamma }_{ab}$是站间差的IFPB的斜率，可以表达为：

式（5）可以转换为：

将$∆{\gamma }_{ab}$作为待估参数，其数值越准确，相应的模糊度固定的成功率就越高。根据$∆{\gamma }_{ab}$与固定率的关系，对每一条独立基线，首先根据其两端的接收机类型按照Wanninger^[21]给出的IFPB斜率进行IFPB初始改正，然后用区间搜索法确定残余IFPB斜率。6个月内，IFPB斜率变化范围通常小于2 mm^[21]，为确保搜索到正确的IFPB斜率，可将搜索区间适当放大，本文将搜索区间定为[-5, 5] cm。对于1 km以下基线，IFPB估计误差需小于4 mm才能正确固定模糊度^[8]。由于本文将处理数千公里长基线，模糊度参数吸收的未模型化误差更多，模糊度固定对IFPB斜率估计的精度要求更高，因此将搜索步长定为0.5 mm，以提高IFPB的估计精度。对搜索区间内每个IFPB斜率取值，代入式（8）改正IFPB，并尝试固定该基线的所有模糊度，计算模糊度固定率。当最高固定率超过一定阈值时，使用最高固定率对应的IFPB斜率作为$∆{\gamma }_{ab}$标定值。一旦IFPB正确改正，便可实现无电离层组合双差模糊度固定。

1.2   GLONASS固定解轨道

双差无电离层组合模糊度固定成功后，通过添加虚拟观测方程的方式，作为强约束引入法方程，得到模糊度固定的解算结果。基于GLONASS无电离层组合模糊度固定的超快速轨道解算流程如图 1所示。

图  1  超快速轨道解算流程图

Figure  1.  Process of Ultra-Rapid Orbit Determination

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2 实验分析

为验证本文所提模糊度固定方法的有效性及对超快速轨道精度的影响，设计了GLONASS定轨实验并对实验结果进行分析。

2.1   定轨策略

基于武汉大学自主研发的PANDA（positioning and navigation data application）软件^[22-23]，增加了估计GLONASS IFPB和GLONASS模糊度固定的功能^[14]。利用2020-10-01—10-30全球均匀分布的120个测站的观测数据进行GLONASS卫星超快速轨道解算，轨道更新间隔为3 h，采用的观测模型和动力学模型如表 1所示。

表  1  观测模型和动力学模型

Table  1.  Observation Model and Force Model

参数	模型
处理时长/h	24
观测值定权	高度角E > 30°定权1, 否则为2sinE
测站坐标	强约束至SINEX（solution independent exchange format）坐标
接收机钟差	白噪声估计
卫星钟差	白噪声估计
对流层延迟	初始模型改正+随机游走估计
相对论效应	IERS（international Earth rotation service）2010协议
伪距频间偏差	重心基准约束的常参数估计
相位频间偏差	建立与频率的线性模型区间搜索法确定模型系数
卫星天线相位中心	根据igs14.atx改正天线相位中心偏差(phase center offset, PCO)和相位中心变化(phase center variation, PCV)
接收机天线相位中心	根据igs14.atx改正PCO、PCV
太阳光压	ECOM 5参数模型
EOP参数	估计极移X、Y分量及其变化率，先验约束分别为1 mas和0.1 mas/d；估计UT1及其变化率，先验约束分别为1 $\mathrm{\mu }\mathrm{s}$和1 ms/d
地球重力场	EGM08模型（12×12）
N体引力	太阳、月亮和其他行星
潮汐	固体潮、海潮、极潮
卫星姿态模型	动偏及Kouba地影模型

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2.2   模糊度固定效果

实验中，对于每一条独立基线，先进行IFPB先验改正，估计残余IFPB斜率，然后对IFPB斜率估计值进行统计分析。实验结果中，全部独立基线的IFPB斜率估值在（-0.013，0.013）m之间，96%的基线在（-0.01，0.01）m之间，这说明IFPB斜率的估计需要十分精确，由于GLONASS卫星的频率数之差最大可达13，IFPB造成的最大误差可达分米级，所以IFPB正确改正是模糊度固定的必要前提。

图 2给出了实验中具有代表性的4条基线的IFPB斜率估值时序图及STD统计值。图 2（b）中，从左到右基线长度分别为0.017 km、658 km、1 428 km和2 291 km。可以看到，随着基线长度增加，STD值有所增大，STD最小值为0.12 mm，最大值为0.59 mm。实验中所有独立基线IFPB斜率平均STD为0.38 mm，86%的基线一个月内IFPB斜率变化范围不超过2 mm，可以认为其十分稳定。因此在GLONASS轨道解算时，可以使用已估计出的多天IFPB斜率均值进行IFPB改正，实现GLONASS基线的模糊度固定。

图  2  不同基线IFPB斜率序列及其STD

Figure  2.  Sequence and STD of IFPB Rate of Different Baselines

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理论上来说，IFPB斜率越接近真值，IFPB改正越准确，模糊度固定率就越高。以2020年第275天为例，图 3给出了不同基线上IFPB斜率取值与模糊度固定率的关系。从图 3中可以看到，随着IFPB斜率取值变化，在某一区域会有明显的模糊度固定率峰值，说明该处IFPB斜率最接近真值，可以先将固定率峰值处对应的IFPB斜率设为标定值，然后进行IFPB改正。

图  3  模糊度固定率随IFPB斜率变化分布

Figure  3.  Ambiguity Fixing-Rate Distribution Along with IFPB Rate Samples

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对于IFPB改正的基线，统计其计算时段内所有工程的模糊度固定情况，结果见表 2。可以看到，总的平均模糊度固定率为94.2%。对于1 000 km以下的基线的平均模糊度固定率为95%；1 000~2 000 km的基线，其平均模糊度固定率为93%；2 000 km以上的基线的平均模糊度固定率为88%。随着基线长度的增加，模糊度固定率有所下降，这与GLONASS卫星姿态模型、卫星天线相位中心、太阳光压模型等不够精确有关^[24]。此外，长基线相比短基线可能会有更多未精确建模的误差被吸收到模糊度参数里，破坏了模糊度的整数特性。

表  2  模糊度固定率统计

Table  2.  Statistics of Ambiguity Fixing-Rate

基线长度/km	模糊度个数	固定率/%
< 1 000	37 375	95
[1 000，2000]	19 282	93
> 2 000	2 375	88
全部	59 032	94.2

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2.3   轨道精度分析

超快速轨道包含24 h计算轨道和24 h预报轨道，本文中超快速轨道3 h更新一次。计算部分轨道精度评估基于0点工程；对于预报部分轨道，由于实时用到的是3~6 h的预报部分，因此预报轨道精度是评估所有解算工程3~6 h的预报轨道精度。除CODE外，其他IGS分析中心提供的GLONASS轨道产品均未固定模糊度，IGS提供的综合轨道产品更接近于浮点解轨道，因而本文选用CODE的轨道产品作为参考。不同软件的轨道动力学模型和处理过程不同，导致产品定义的参考系统不同^[25]，因此在轨道精度评估时，本文采用七参数Helmert转换消除系统误差。对超快速轨道的精度评估方法包括与CODE产品比较、内符合精度评估以及卫星激光测距（satellite laser ranging，SLR）检核。

2.3.1   与CODE产品比较

将解算时段内所有0点工程24 h计算部分轨道以及解算时段内所有工程3~6 h预报轨道分别与CODE事后精密轨道产品比较，评估模糊度固定对GLONASS超快速轨道计算部分及预报部分轨道精度的影响。

表 3给出了所有卫星在R、C、A以及一维（1-dimensional，1D）方向的平均RMS统计值。图 4、图 5分别给出了30天内每颗GLONASS卫星计算部分和预报部分固定解轨道和浮点解轨道误差在R、C、A三个方向上的均方根（root mean square，RMS）的平均值。

表  3  GLONASS卫星固定模糊度前后超快速轨道与CODE最终产品在R、C、A和一维方向的平均RMS比较/cm

Table  3.  Average RMS of GLONASS Satellite Ultra-Rapid Orbit Compared with CODE Final Orbit Product in R, C, A and 1D Directions Before and After Ambiguity is Fixed/cm

轨道	浮点解/固定解	R	C	A	1D
计算部分轨道	浮点解	3.0	5.7	6.7	5.6
	固定解	2.7	3.8	5.0	4.1
3~6 h预报轨道	浮点解	3.5	7.4	11.2	8.8
	固定解	3.2	5.6	9.4	7.2

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图  4  GLONASS固定模糊度前后计算部分轨道与CODE最终产品在R、C、A方向的平均RMS比较

Figure  4.  The Average RMS of Calculation Part of GLONASS Orbit Compared with CODE Final Orbit Product in R, C and A Directions Before and After Ambiguity is Fixed

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图  5  GLONASS固定模糊度前后3~6 h预报轨道与CODE最终产品在R、C、A方向的平均RMS比较

Figure  5.  The Average RMS of GLONASS 3-6 h Predicted Orbit Compared with CODE Final Orbit Product in R, C and A Directions Before and After Ambiguity is Fixed

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从表 3可以看到，模糊度固定后，所有GLONASS卫星轨道精度均有明显提升。计算部分轨道R、C、A方向的平均RMS分别从3.0 cm、5.7 cm和6.7 cm提升为2.7 cm、3.8 cm和5.0 cm，分别提升了10%、33%和25%，C方向的提升效果最为明显。模糊度固定前，1D平均RMS是5.6 cm，模糊度固定后是4.1 cm，提升26.8%。预报部分轨道R、C、A方向平均RMS分别从3.5 cm、7.4 cm和11.2 cm提升为3.2 cm、5.6 cm和9.4 cm，分别提升了8%、24%、16%，同样是C方向的提升效果最为明显。模糊度固定前的1D平均RMS是8.8 cm，模糊度固定后是7.2 cm，提升18%。说明本文采用的模糊度固定方法具有实际改善GLONASS定轨精度的效果，有利于超快速轨道的实际应用。

2.3.2   内符合精度

将当天0点工程的轨道通过轨道积分外推一个输出步长至下一天的0点，并与下一天0点工程解得的轨道作差，得到天边界差值（day boundary discontinuities，DBD），可反映计算部分轨道的内符合精度。将当天工程的3~6 h预报轨道与下一工程计算轨道进行比较，得到预报部分轨道的内符合精度。表 4给出了所有卫星在R、C、A以及1D方向的平均RMS。图 6和图 7分别给出了每颗GLONASS卫星计算部分和预报部分在轨道模糊度固定前后R、C、A方向内符合精度的平均RMS。

表  4  GLONASS模糊度固定前后超快速轨道内符合平均RMS/cm

Table  4.  The Average RMS of the GLONASS Satellite Ultra-Rapid Orbit Before and After Ambiguity is Fixed in A, C, R and One-Dimensional Directions/cm

轨道	浮点解/固定解	R	C	A	1D
计算部分轨道	浮点解	2.7	4.7	9.6	7.0
	固定解	2.6	4.0	7.2	5.6
3~6 h预报轨道	浮点解	3.0	5.2	13.2	8.9
	固定解	2.7	4.5	11.3	7.7

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图  6  GLONASS卫星模糊度固定前后计算部分轨道DBD在R、C、A方向的平均RMS

Figure  6.  Average RMS of Calculation Part of GLONASS Satellite Orbit DBD in R, C and A Directions Before and After Ambiguity is Fixed

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图  7  GLONASS卫星模糊度固定前后3~6 h预报轨道与计算轨道差值在R、C、A方向的平均RMS

Figure  7.  Average RMS of the Difference Between the 3-6 h Predicted Orbit and the Calculated Orbit of GLONASS Satellite in R, C and A Directions Before and After Ambiguity is Fixed

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从表 4可以看到，模糊度固定后，所有卫星计算部分和预报部分轨道内符合精度均有明显提升。对于计算部分轨道，R、C、A方向上轨道DBD分别从2.7 cm、4.7 cm和9.6 cm提升为2.6 cm、4.0 cm和7.2 cm，R方向提升不明显，仅提升了1 mm，C、A方向分别提升了15%、25%，其中对A方向的提升效果较为明显。模糊度固定前的1D平均RMS是7.0 cm，模糊度固定后是5.6 cm，提升了20%。对于预报部分轨道，R、C、A三个方向的RMS分别从3.0 cm、5.2 cm和13.2 cm提升为2.7 cm、4.5 cm和11.3 cm，分别提升了10%、13%、14%。模糊度固定前1D平均RMS是8.9 cm，模糊度固定后是7.7 cm，提升了13%。由以上结果可知，模糊度固定可以有效提升超快速轨道内符合精度。

2.3.3   SLR残差检验

SLR是一种能直接给出无模糊度亚厘米级站星距离观测值的空间大地测量技术，它是外部检核GNSS卫星精密轨道并做出精度评定的可靠手段之一。由于GLONASS卫星激光观测的最大入射角约为14°，故轨道SLR检核主要反映R方向的精度。基于IGS官网2020-10的SLR观测数据，对GLONASS模糊度固定前后解算轨道进行检核。剔除偏差超过20 cm的粗差后，本实验时段内共有2 645个有效观测。GLONASS模糊度固定前后的SLR检核残差的平均值、STD和RMS统计值分别为25.5、25.0，55.5、54.1，72.3、70.5 mm。可以看出，模糊度固定后，SLR残差的平均值、STD和RMS均有所减小，说明模糊度固定在一定程度上可以提升轨道精度，但是提升效果不显著，这可能是因为SLR检核主要反映轨道径向的精度，而模糊度固定对轨道法向、切向的精度提升效果较为明显，对径向的影响较小，这一结果也与§2.3.1和§2.3.2的评估结果一致。

3 结语

本文基于GLONASS长基线模糊度固定方法，进行了GLONASS超快速轨道解算。基于IFPB与频率的线性关系，采用区间搜索法确定IFPB斜率，从而对IFPB进行改正，实现了GLONASS无电离层组合模糊度固定；对定轨法方程进行约束，获得轨道固定解，并在此基础上外推得到超快速轨道。利用120个IGS测站一个月的实测数据对该方法进行了验证分析，结果表明，该方法可以实现GLONASS轨道网解中长基线模糊度的有效固定。实验中1 000 km以下基线，平均模糊度固定率是95%；[1 000，2 000] km基线，平均模糊度固定率是93%；2 000 km以上的基线，平均模糊度固定率是88%；所有长度的独立基线平均模糊度固定率是94.2%。超快速轨道与CODE精密产品比较，模糊度固定后，计算部分轨道精度提升了26.8%，预报部分轨道精度提升18%；评估轨道的内符合精度，模糊度固定后计算部分轨道内符合精度提升20%，预报部分内符合精度提升13%；SLR残差检核结果也显示模糊度固定后SLR残差有所减小。可见，本文采用的方法可有效提升GLONASS卫星超快速轨道精度。但是需要说明的是，模糊度固定率和轨道精度相比GPS还有一定差距，尤其是对于超过2 000 km的长基线，究其原因，除了GLONASS无电离层组合波长较短（约5.3 cm），容易受观测值噪声影响以外，可能与GLONASS卫星姿态、卫星天线相位中心、光压模型等不够精确有关，也可能还有其他未精确模型化的误差影响了模糊度的固定效果，需要进一步分析验证。