三维（three-dimensional，3D）城市模型主要用于可视化^[1]。随着技术发展，3D城市模型已经超出可视化应用范畴，在城市规划、建筑设计、房地产管理等领域得到广泛应用。3D城市模型需要大容量数据存储以及强大计算能力来满足模型可视化渲染与分析的要求。由于大多数计算机的性能有限，因此有必要以不同的多细节层次（level of detail，LOD）来表达3D城市模型，以降低模型的复杂性和存储要求^[2]，作为3D城市模型最重要的组成部分，建筑物同样需要LOD表达，但现有建筑物LOD表达主要针对外部特征，很少涉及室内。随着3D地理信息系统（geographic information system，GIS）、物联网、Wi-Fi等技术快速发展，人们对室内空间应用需求增加，越来越多应用需要含室内空间结构的建筑物3D模型，构建包含室内空间结构的建筑物LOD模型已经成为数字城市、智慧城市建设中不可回避的问题。

目前，建筑物LOD的研究主要集中在LOD定义和生成。在现有3D GIS数据标准中，CityGML是建筑物LOD定义最完备的标准。该标准将建筑物划分为LOD0~LOD4 5个层级，但仅有LOD4表达室内对象^[3]。一些研究针对CityGML在建筑物LOD某些方面表达不够精细的问题，对其进行扩展，其中，文献[4]提出用于路线规划和可视化的室内LOD；文献[5]在CityGML的LOD中添加相应层级室内LOD模型；文献[6]提出LOD2+模型，该模型仅为LOD2添加对应的室内LOD。此外，一些研究提出新的建筑物LOD划分方式，文献[7]将建筑物LOD细分为室外几何细节层次、室内几何细节层次和语义细节层次；文献[8]又进一步将语义细节层次细分为外部与内部。这些研究将建筑物的外壳、内部、几何、语义分开表达，再将其组合产生更多LOD层级，以满足不同领域多尺度表达的需求。文献[9]认为当前LOD的定义并不清晰，LOD的组成成分、动机、驱动因素等尚处于模糊状态，无法轻易地比较、分类和评价LOD。因此文献[9-11]从组成、驱动因素等方面，提出包含6个度量标准的LOD框架，并通过组合得出10个离散LOD示例。文献[10]提出一种新颖、与传统思维相反的LOD构建方法，该方法首先制作建筑部件离散LOD，然后在特定应用中，根据需求选择不同部件、不同细节的建筑部件LOD组合，生成定制的建筑物LOD，以增强LOD的自适应性，减少数据冗余。

建筑物LOD生成主要有简化和综合两类方法。简化是计算机图形学构建LOD的方法，具体有顶点聚类法^[12]、顶点删除法^[13]、多边形折叠法^[14]等，这些方法能够产生不同复杂度的建筑物3D模型，但没有顾及其特征和规则。综合是GIS生成建筑物LOD的方法，可在简化过程中保留建筑物特征。根据处理手段不同，综合可细分为基于结构特征、基于尺度空间、基于实例化和基于语义信息的方法^[2]。然而，这些方法主要针对建筑物外部特征，很少涉及室内。

随着LOD研究的深入，研究人员已经发现，由于涉及几何、语义、外观、属性等多个方面，要建立一个像二维地形图那样具有系列比例尺的通用3D建筑物LOD模型来满足城市不同应用需求是一件困难的事情^[9]。目前可行的方式是面向具体应用需求，建立特定的LOD。

室内空间无论是在几何、语义、获取技术还是形体上都与室外有很大差异。例如，在几何结构上，室内空间是一种特殊的空间对象，由水平和垂直平面相交构成，仅有少数房顶为倾斜平面或曲面。面与面之间具有明确的平行、垂直等几何约束关系，这些面将室内空间分割成房间，房间之间相互邻接且成群聚集在一起，称为3D群集对象^[15-16]。而建筑物外部几何构型则相对复杂，需要采用自由曲面建模。这些差异导致已有的室外或含室内LOD但划分较粗的规范（如CityGML）并不适合表达室内空间LOD，需要探索针对室内空间的LOD概念模型。在LOD生成方面，建筑物外部LOD的生成是对其外壳的3D自由曲面进行简化或综合，而群集对象LOD的构建则需要对相互叠置“粘连”的一组对象进行处理。这些差异使得已有的简化或综合方法不能直接应用到含内部空间结构建筑物LOD的生成，需要探索专门针对此类对象的LOD生成方法。本文仅对室内空间LOD开展研究，提出了一种含室内空间结构的建筑物3D LOD概念模型与生成方法。

1 含室内空间结构建筑物LOD概念模型

1.1   室内空间特征分析

建筑物内部空间可划分为房间、户、楼层和幢，在空间粒度上逐次变粗。房间空间是由墙、板等建筑部件构成的功能空间（卧室、厨房等），抽象后形成一个3D群集对象；户空间是依附于墙、板等建筑部件的权属分界面分割成的所有权空间，抽象后也可形成3D群集对象；层空间同样也是一个3D群集对象。在这些空间对象中，粗粒度空间对象可分解为多个细粒度空间对象，如所有权空间可分解为一个到多个房间空间，楼层空间可分解为多个房间空间或所有权空间。反之，粗粒度空间对象可由多个细粒度空间对象合并而成，如户空间由隶属于同一个所有权的房间空间合并而成。基于该理论，可以仅构建粒度最细的房间级LOD，再以此为基础生成其他粒度的LOD模型。

根据开放地理空间信息联盟的室内空间信息标准IndoorGML，室内模型可分为以下两种：（1）厚墙模型，该模型中的建筑部件都具有一定的厚度，以建筑物信息模型为代表；（2）薄墙模型，该模型中所有建筑部件都用没有厚度的面片表示，只是在语义上将其区分为墙、板、门等，是一种轻量级模型。本文的研究对象是室内空间，而非建筑部件的结构、材料等信息，因此选用数据量较小的薄墙模型来表达室内空间。另外，墙、地板、天花板、门等建筑部件围成的空间虽然不一定封闭，但从空间利用和计算角度，需将其抽象为封闭对象。本文将不同粒度的空间对象都抽象为封闭多面体。

1.2   室内空间表达

抽象后的多面体相互邻接且群集在一起，形成对整个建筑物空间的完全剖分。这种空间适于采用代数拓扑的胞腔（cell）、胞腔复形（cell complex）等来表达，提供了将空间分解成简单区域的数学机制。本文通称使用汉字表示胞腔，带维数的胞腔，如n维胞腔表示为n-cell，胞腔复形、复形链的表示与之相同。胞腔的定义采用了递归的方式，一个p-cell（p∈N₊）由多个（p-1）-cell构成，同时也是（p+1）-cell的组成部分（p≥1），而0-cell是构建其他维度胞腔的基元^[17-19]。复形是胞腔的集合，可使用不同维度的胞腔表达对象及其拓扑。复形也有维数，其维数由最大维数的胞腔决定，如果复形中维数最大的胞腔是p-cell，则该复形定义为p-complex。若使用S_p（0≤p≤n）表示p-cell的集合，n-complexK可定义为由n+1个有限集S₀，S₁，S₂…S_n和对应的n+1个代数边界操作${\partial }_p$（0≤p≤n）的集合。K中胞腔需要满足两个特性：（1）每个p-cell $c_p$的边界是K中有限个（p-1）-cell的并集；（2）K中任意两个胞腔$c^i\mathrm{、}{c}^j$的交集要么为K中一个唯一的胞腔，要么为空^[17]。

在给定S₀，S₁，S₂…S_n集合基础上，复形使用面-共面关系捕获复形中所有关联关系。对于一个p-cell $c_p$（$c_p\in K$），组成其边界的 （p-1）-cell称为$c_p$的面，同时p-cell又是（p+1）-cell的边界，称（p+1）-cell是$c_p$的共面。因此，$c_p$的共面是以$c_p$为面的 （p+1）-cell。图 1是一个3-complex的示例，由2个3-cell、11个2-cell、20个1-cell和12个0-cell组成。从图 1可以看出，n-complex是n维及其以下所有维胞腔的集合。

图  1  三维复形示例

Figure  1.  Example of 3-complex

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由于室内空间需要定向，因此需要有向胞腔。有向胞腔是一个二元组$\mathit{c}=(u,o)$，其中，$u$表示一个非定向的p-cell，$o\in \{\mathrm{1},-\mathrm{1}\}$。若用$\sigma (c^i,c^j)$表示有向cell$c^i=(u^i,o^i)$和其一个面$c^j=(u^j,o^j)$的定向关系，则$\sigma (c^i,c^j)=o^i{o}^j$，取值为1或-1。若$\sigma (c^i,c^j)=\mathrm{1}$，则胞腔$c^i\mathrm{、}{c}^j$定向一致，否则不一致。定向关系定义了复形中p-cell和（p-1）-cell之间的映射，具有严格的代数意义^[17]，本文的胞腔都是有向胞腔。

1.3   室内空间LOD的概念模型

在引入胞腔、复形概念后，建筑物内一块空间可抽象为一个3-cell，墙、楼板、门、窗可抽象为2-cell，其交线可抽象为1-cell，交点可抽象为0-cell。本文定义含室内空间LOD的概念模型分为LOD0~LOD6 7个层级，如图 2所示。

图  2  建筑物LOD概念模型

Figure  2.  Conceptual Model of LOD for Buildings

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LOD0沿用CityGML的LOD0，是二维到三维的过渡，用建筑物基底（footprint）表示。LOD1沿用CityGML的LOD1，其空间粒度是幢，主要用于以幢为单位的日照分析、爆炸分析、太阳辐射评估、城市规划等。LOD2的设立主要考虑不需要楼层侧面但需要楼层平面结构的应用，由一组表示楼层结构的3D楼层平面图构成，用以描述建筑物各楼层的平面形状。LOD2的每层仅有一个表示楼层的面，用一个2-cell表示。在不需要楼层间拓扑、体积等情况下，LOD2可以代替LOD3。为了扩展其应用范围，增加了LOD2⁺和LOD2⁺⁺两个变体。LOD2⁺的每层楼层平面图包含户结构，用于在非3D环境下代替LOD4；LOD2⁺⁺的每层楼层平面图包含房间结构，用于代替LOD5。LOD3的设立主要考虑一些需要楼层高度和侧面，但不需要楼层内部空间结构的应用，其空间粒度是楼层，每个楼层空间使用一个3-cell表示。LOD3可用于建筑物评估、征税和大气污染影响分析等，例如层高低于1.5 m的楼层在荷兰不计算其面积。LOD4的设立主要考虑3D地籍、3D产权管理等三维不动产管理相关应用，也可用于以户为单位的人口估算、房地产经营、水电暖能耗估算等。LOD4的空间粒度是户，每户空间使用一个3-cell表示。LOD5的设立主要考虑一些不需要开口（门、窗）的应用，用于建筑物热辐射评估、噪声传播估计、墙立面太阳能估算。LOD5的空间粒度是房间，每个房间空间使用一个3-cell表示，不区分建筑部件的语义。LOD6是LOD5的精化版，在LOD5基础上增加了门、窗开口信息，并区分了墙、楼板、门、窗4种建筑部件的语义。LOD6具有广泛的用途，可用于室内导航、应急管理、光线照射模拟、可视性分析、噪声传播估计等，绝大多数以房间为单位的应用都能满足。图 3展示了LOD5与LOD6的对比，图 3（a）为LOD5的一面墙，需要一个2-cell、4个1-cell和4个0-cell表示，不涉及语义；图 3（b）为LOD6的一面墙，需要5个2-cell、14个1-cell和12个0-cell表示，并且2-cell要区分墙、窗语义。可见，LOD6比LOD5更精细。

图  3  LOD5与LOD6对比

Figure  3.  Comparison Between LOD5 and LOD6

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2 LOD生成方法

大比例尺地形图通过制图综合方式可以生成小比例尺地形图，同理，细粒度3D模型也可以生成粗粒度模型。本文最细粒度模型是LOD6，可以先生成LOD6，再由LOD6生成其他LOD。

本文采用胞腔理论表达LOD，每个LOD对应一个复形。用3-complex K表示LOD6对应复形，其衍生的LOD对应的复形都是K的简化版本。在衍生过程中，不可避免涉及同维胞腔合并问题，如LOD6生成LOD4，需要将前者表达房间的3-cell合并为后者表达户的3-cell。为此，提出两个LOD生成算子——边界算子和上边界算子，这两个算子只能作用到同维度胞腔上。3-complex是包含所有维数不大于3的胞腔集合，涉及4个维度胞腔。若直接在复形上使用这两个算子，难以描述算子具体作用的对象，例如$\partial (K)$可表示求解K中某个维度胞腔或某个胞腔的边界，而$\partial (c_{\mathrm{3}}^{\mathrm{1}})$明显表示求解$c_{\mathrm{3}}^{\mathrm{1}}$的边界。因此，为了同时操作多个同维度胞腔，引入代数拓扑复形链（complex chain）概念。

2.1   复形链

复形链定义在胞腔剖分基础上，是拓扑空间构造同调群的中间环节^[20]。从形式上，p维复形链（p-chain）是p-cell的累加求和，可以将同维胞腔组织在一起，以及将胞腔对应的属性（物理量）与胞腔关联起来。p-chain的表达如下：

式中，$c_p^i$是K中的p-cell；集合G是满足阿贝尔（abelian）群的代数结构^[18]；系数$g_i\in G$。G中元素代表p-cell对应物理量，其类型可以是数值、向量、颜色等 ^[20]，G中的元素分配给K中p-cell。当G是实数域时，p-chain构成一个向量空间，在该空间中p-chain之间可以进行加法运算。图 4展示了2-complex及其边界、上边界算子，图中包含弧线箭头的面表示2-cell，面中数字表示该2-cell的系数（属性），由2-cell形成的2-chain为：

图  4  2-complex及其边界、上边界算子

Figure  4.  2-complex and Its Boundary and Co-boundary Operator

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复形链可长可短，短链仅由一个胞腔构成，长链由复形中所有同维胞腔构成。最长链称为全链，p维全链（p full chain， p-FChain）用$h_p^f(K,G)$表示。

2.2   LOD的算子

2.2.1   边界算子

边界算子最初定义在单纯形上。设${\tau }_p$是由p+1个有序点（$v_{\mathrm{0}},v_{\mathrm{1}},v_{\mathrm{2}}\cdots v_p$）组成的定向p维单纯形（n > 0），$\partial ()$表示边界算子符号，则定义^[21]：

式中，${\tau }_{p-\mathrm{1},k}$是${\tau }_p$的第k个面，即由（$v_{\mathrm{0}},v_{\mathrm{2}}\cdots v_{k-\mathrm{1}},v_{k+\mathrm{1}}\cdots v_p$）构成的（p-1）维单纯形。

在此基础上，通过将胞腔剖分为单纯形并利用$\partial ()$运算符的可加性，将边界算子推广到胞腔。进一步利用${\partial }_p\left(g\sigma \right)=g{\partial }_p(\sigma )$推广到初等链，再利用链的可加性推广到所有链 ^[20]。将边界算子作用p-chain，则${\partial }_p(h_p)={\partial }_p(\sum _i{g}_i{c}_p^i)=\sum _i{g}_i{\partial }_p(c_p^i)$，${\partial }_p(h_p)\in h_{p-\mathrm{1}}(K)$，其结果是（p-1）-chain。如图 4（a）所示，1-cell上的箭头指示了1-cell的定向，如果1-cell $c_{\mathrm{1}}^j$和其共面$c_{\mathrm{2}}^i$定向一致，则$\sigma (c_{\mathrm{2}}^i,c_{\mathrm{1}}^j)=\mathrm{1}$，否则为-1；虚线箭头表示2-cell的系数通过边界算子传递到面（1-cell），例如$c_{\mathrm{1}}^{\mathrm{1}}$从$c_{\mathrm{2}}^{\mathrm{1}}$获得值1，$c_{\mathrm{1}}^{\mathrm{18}}$从$c_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}$和$c_{\mathrm{2}}^{\mathrm{3}}$分别获得值1和-2，两者之和为-1。对图 4（a）的2-chain使用边界算子后，得到1-chain$h_{\mathrm{1}}$，计算过程如下：

生成的$h_{\mathrm{1}}$是对该2-chain使用边界算子后的结果，1-chain中的1-cell如图 4（b）所示。在边界算子作用到p-chain后，p-chain中p-cell的系数将传递给（p-1）-cell，抵消了被p-cell共用且系数相同的（p-1）-cell，仅留下边界上或两侧系数不同的（p-1）-cell。

2.2.2   上边界算子

使用边界算子后，原来p-chain中属性相同的p-cell之间的（p-1）-cell被“拆除”，仅留了边界上的（p-1）-cell。这些（p-1）-cell虽然围成新p-cell，但并没有构成新p-cell。图 4（b）中1-cell虽然围成3个新2-cell，但并不在复形中，此时需要将（p-1）-cell“缝合”成p-cell。本文使用上边界算子进行“缝合”，上边界算子是构建高维胞腔的算子，可将多个低维胞腔“缝合”成高维胞腔，使用复形链表达多个低维胞腔。

p-chain的上边界算子${\delta }_p$表示$h_p(K)\to h_{p+\mathrm{1}}(K)$，是（p+1）-chain的边界算子${\partial }_{p+\mathrm{1}}()$的对偶。如果${\gamma }_p\in h_p$，${\kappa }_{p+\mathrm{1}}\in h_{p+\mathrm{1}}$，存在$<{\delta }_p{\gamma }_p,h_{p+\mathrm{1}}{>}_{p+\mathrm{1}}=<{\gamma }_p,{\partial }_{p+\mathrm{1}}{\kappa }_{p+\mathrm{1}}{>}_p$ ^[20]。其中，$<$$>$外面的下标表示链维数。

在一个p-上链上使用上边界算子，${\delta }_p(h_p)={\delta }_p(\sum _i{g}_i{c}_p^i)=\sum _i{g}_i{\delta }_p(c_p^i)$，${\delta }_p(h_p)$$\in$$h_{p+\mathrm{1}}(K)$其结果是一个（p+1）-chain。图 4（b）是在1-cell上使用上边界算子的例子，1-cell的系数通过上边界算子传递给其共面（2-cell）。这些由1-cell构成的1-chain同式（4）。

运用上边界算子后得到2-chain $h_{\mathrm{2}}$，计算过程如下：

$h_{\mathrm{2}}$的3个2-cell如图 4（b）所示，可见，利用上边界算子可以将低维胞腔“缝合”成高维胞腔。

2.3   LOD生成

2.3.1   LOD6生成

LOD生成的实质是构建各层级LOD对应的复形，由于室内空间绝大多数建筑部件（墙、板、门、窗）都是水平或垂直的，仅有少数屋顶是倾斜平面或曲面。大多数楼层模型可采用“推拉”低维胞腔的方式生成高维胞腔，如沿着Z轴方向“推拉”水平1-cell（线段）生成垂直2-cell（立面），再采用手工方式建模房顶。文献[22-23]提出一种兼顾墙、门、窗等语义信息的室内3D模型重建方法，该方法可以直接构建带有水平房顶建筑物的LOD6复形。

假设已经创建了LOD6对应的3-complex K，K中2-cell可区分墙、板、门、窗4种建筑语义，分别用数字2、3、4、5代表，其构成的集合$G_{\mathrm{2}}=\{\mathrm{2,\; 3},\mathrm{4,\; 5}\}$将作为K中2-cell的系数构建2-chain。例如$h^{\mathrm{2}}=\mathrm{2}{c}_{\mathrm{2}}^{\mathrm{1}}+\mathrm{2}{c}_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}+\mathrm{2}{c}_{\mathrm{2}}^{\mathrm{3}}+\mathrm{2}{c}_{\mathrm{2}}^{\mathrm{4}}+\mathrm{3}{c}_{\mathrm{2}}^{\mathrm{5}}+\mathrm{3}{c}_{\mathrm{2}}^{\mathrm{6}}+\mathrm{4}{c}_{\mathrm{2}}^{\mathrm{7}}+\mathrm{5}{c}_{\mathrm{2}}^{\mathrm{8}}$，表示4面墙、2个楼板、1个门和1个窗。在K中，2-cell只能表示一种建筑部件，即2-chain中的系数只能是2、3、4、5中的一个，K中全体2-cell构成的2-FChain为：

式中，$G_{\mathrm{2}}=\{\mathrm{2,\; 3},\mathrm{4,\; 5}\}$；$g_{\mathrm{2}}^i\in G_{\mathrm{2}}$，j、k、m均小于K中的2-cell的总量。

除了建筑部件语义外，K中的3-cell有带户、层和幢3种语义，用非零正整数表示3-cell所属的户、层和幢。此时一个3-cell可同时携带多种语义，例如表示房间的3-cell在产权上属于张三，位于第四幢建筑物的第三层楼，以这3种语义为系数，构建3个全链，表示为：

其中，

式中，s是一个属性调节变量，对应一个行向量$[s_p,s_s,s_b]$，3个分量取0或1，且一个取1的情况下，其他都取0。通过调节s可以控制输出携带不同属性系数的3-FChain。$s_p$取1时，$G_{\mathrm{3}}$=$\{$1，2$\cdots$m$\}$，$g_p^i\in G_{\mathrm{3}},$3-FChain中的系数取表示户的整数；$s_s$取1时，$G_{\mathrm{3}}=\{\mathrm{1,\; 2}\cdots j\},g_s^i\in G_{\mathrm{3}}$，3-FChain中的系数取表示楼层的整数；$s_b$取1时，$G_{\mathrm{3}}=\{m\}$，$g_b^i\in G_{\mathrm{3}},$3-FChain中的系数取表示幢的整数。

2.3.2   LOD5的生成

LOD5与LOD6的区别在于前者不需要区分建筑物的墙、板、门和窗，即LOD5不需要区分2-cell的语义。在构建LOD5时，复制LOD6的复形K，并将K中2-cell的属性都改为1。这样除2-FChain外，其他3个维度的全链不变，则2-FChain变为：

2.3.3   LOD4的生成

LOD4表示户，一户可对应一个或多个房间，可将LOD6中属于同一户的房间合并生成LOD4。复制LOD6的复形K，首先将K中2-cell的系数都改为1，清除2-cell的属性，然后合并隶属于同一户的3-cell。对于属于同一户的任意两个3-cell $c_{\mathrm{3}}^{\mathrm{1}}$与$c_{\mathrm{3}}^{\mathrm{2}}$，若相邻，则共用一个2-cell $c_{\mathrm{2}}^{\mathrm{1}}$。$c_{\mathrm{2}}^{\mathrm{1}}$与这两个3-cell相对定向相反，即$\sigma (c_{\mathrm{3}}^{\mathrm{1}},c_{\mathrm{2}}^{\mathrm{1}})=-\sigma (c_{\mathrm{3}}^{\mathrm{2}},c_{\mathrm{2}}^{\mathrm{1}})$。因此，若对两个相邻且属于同一个户的3-cell使用边界算子，则3-cell的系数将传递给2-cell，那些被3-cell共用且系数相同的2-cell将被抵消，仅留下边界或两侧系数不同的2-cell。根据该性质，在LOD6基础上，令式（7）中的s=[1，0，0]，则LOD6中的3-FChain $h_{\mathrm{3}}^f\left(K,G_{\mathrm{3}}\right)=\sum _i{g}_p^i{c}_{\mathrm{3}}^i,$对该3-FChain使用边界算子得到：

由此生成的2-chain为：

式中，$c_{\mathrm{2}}^j$、$c_{\mathrm{2}}^k$是$c_{\mathrm{3}}^{\mathrm{1}}$与$c_{\mathrm{3}}^{\mathrm{2}}$的公共面。若$g_{\mathrm{3}}^{\mathrm{1}}=g_{\mathrm{3}}^{\mathrm{2}}$，即$c_{\mathrm{3}}^{\mathrm{1}}$与$c_{\mathrm{3}}^{\mathrm{2}}$属于同一户，则$c_{\mathrm{2}}^j$、$c_{\mathrm{2}}^k$被抵消，剩余所有以$g_{\mathrm{3}}^{\mathrm{1}}$、$g_{\mathrm{3}}^{\mathrm{2}}$为系数的2-cell将围成一个表示户的3-cell。

图 5展示了由LOD6创建LOD4的示例，图 5（a）是两个表示房间的3-cell；图 5（b）是图 5（a）展开后的2-cell，所有2-cell的定向都是从3-cell的外部向内部。$G_{\mathrm{3}}=\{\mathrm{10}\}$，即两个3-cell隶属于一户。图 5（a）中的3-cell形成一个3-chain，即$h_{\mathrm{3}}\left(K,G_{\mathrm{3}}\right)=\mathrm{10}{c}_{\mathrm{3}}^{\mathrm{1}}+\mathrm{10}{c}_{\mathrm{3}}^{\mathrm{2}}$，其中，$c_{\mathrm{3}}^{\mathrm{1}}=\{c_{\mathrm{2}}^{\mathrm{1}},c_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}},c_{\mathrm{2}}^{\mathrm{3}},c_{\mathrm{2}}^{\mathrm{7}},c_{\mathrm{2}}^{\mathrm{9}},c_{\mathrm{2}}^{\mathrm{11}}\}$，$c_{\mathrm{3}}^{\mathrm{2}}=\{c_{\mathrm{2}}^{\mathrm{4}},c_{\mathrm{2}}^{\mathrm{5}},c_{\mathrm{2}}^{\mathrm{6}},c_{\mathrm{2}}^{\mathrm{8}},c_{\mathrm{2}}^{\mathrm{10}},-c_{\mathrm{2}}^{\mathrm{11}}\}$。对该3-chain使用边界算子后，${\partial }_{\mathrm{3}}(h_{\mathrm{3}}(K,G_{\mathrm{3}}))={\partial }_{\mathrm{3}}(c_{\mathrm{3}}^{\mathrm{1}})+{\partial }_{\mathrm{3}}(c_{\mathrm{3}}^{\mathrm{2}})$，生成的2-chain（见图 5（c））为：

图  5  LOD4的生成

Figure  5.  Generation of LOD4

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在使用边界算子后，3-chain转换为2-chain，在该2-chain中，具有相同系数的2-cell虽然围成表示户的3-cell，但还没有形成3-cell，需要将2-chain中表示一户的2-cell使用上边界算子“缝合”在一起，形成3-cell。首先取2-chain中系数相同的一组2-cell，构建第一个3-cell $c_{\mathrm{3}}^{\mathrm{1}}$。假定$c_{\mathrm{3}}^{\mathrm{1}}$与依次添加的2-cell $c_{\mathrm{2}}^i$之间有唯一共用的1-cell，$c_{\mathrm{2}}^{\mathrm{1}}$是在$c_{\mathrm{3}}^{\mathrm{1}}$上添加的第一个面，不妨设$c_{\mathrm{3}}^{\mathrm{1}}$与$c_{\mathrm{2}}^{\mathrm{1}}$相对定向一致，即$\sigma (c_{\mathrm{3}}^{\mathrm{1}},c_{\mathrm{2}}^{\mathrm{1}})=\mathrm{1}$。依次添加面，随着i增大，假设$c_{\mathrm{2}}^{i+\mathrm{1}}$与$c_{\mathrm{2}}^i$之间共享1-cell$c_{\mathrm{1}}^k$（k≥0），若$\sigma (c_{\mathrm{2}}^i,c_{\mathrm{1}}^k)=\mathrm{1}$且$\sigma (c_{\mathrm{2}}^{i+\mathrm{1}},c_{\mathrm{1}}^k)=-\mathrm{1}$，即相邻两个$c_{\mathrm{2}}$相对于其共用的1-cell定向相反，那么$c_{\mathrm{3}}^{\mathrm{1}}$与依次添加$c_{\mathrm{2}}^i$和$c_{\mathrm{2}}^{i+\mathrm{1}}$都有相同的相对定向，即$\sigma (c_{\mathrm{2}}^i,c_{\mathrm{3}}^{\mathrm{1}})=\sigma (c_{\mathrm{2}}^{i+\mathrm{1}},c_{\mathrm{3}}^{\mathrm{1}})$，这两个2-cell也具有相同的绝对定向；若$\sigma (c_{\mathrm{2}}^i,c_{\mathrm{1}}^k)=\mathrm{1}$且$\sigma (c_{\mathrm{2}}^{i+\mathrm{1}},c_{\mathrm{1}}^k)=\mathrm{1}$，即相邻的两个2-cell相对于其共用的1-cell定向相同，那么$c_{\mathrm{3}}^{\mathrm{1}}$与$c_{\mathrm{2}}^i$、$c_{\mathrm{2}}^{i+\mathrm{1}}$的相对定向则不同，即$\sigma (c_{\mathrm{2}}^i,c_{\mathrm{3}}^{\mathrm{1}})\ne \sigma (c_{\mathrm{2}}^{i+\mathrm{1}},c_{\mathrm{3}}^{\mathrm{1}})$，这两个$c_{\mathrm{2}}^i$的绝对定向也不同。在确定了相对定向后，将这些2-cell连同定向存储一起构成了一个3-cell$c_{\mathrm{3}}^{\mathrm{1}}=\{c_{\mathrm{2}}^{\mathrm{1}},-c_{\mathrm{2}}^i,c_{\mathrm{2}}^{i+\mathrm{1}}\cdots c_{\mathrm{2}}^n\}$。其中，2-cell前面的“-”表示该2-cell与3-cell的定向相反。构建3-cell后，取这一组2-cell的系数作为该3-cell的系数，再取下一组相同系数的2-cell重复上述操作。当各组2-cell都“缝合”后，生成的3-cell连同其系数构成LOD4的3-FChain。对图 5（c）所示的2-chain应用上边界算子“缝合”后得到3-chain $h_{\mathrm{3}}$（见图 5（d）），计算如下：

2.3.4   LOD3的构建

LOD3表示楼层，为了生成LOD3，需将LOD6中属于同一楼层的房间合并，即合并标记相同楼层属性的3-cell。复制LOD6的复形K，先将K中2-cell的系数都改为1，然后合并隶属于同一楼层的3-cell。令式（7）中的s=[0，1，0]，则LOD6中的3-FChain $h_{\mathrm{3}}(K,G_{\mathrm{3}})=\sum _i{g}_s^i{c}_{\mathrm{3}}^i$。对该3-FChain使用边界算子，生成由楼层边界上的2-cell构成的2-chain。再对生成的2-chain使用上边界算子，将围成各楼层的2-cell“缝合”成表示楼层空间的3-cell。

2.3.5   LOD2的构建

LOD2是一组表示楼层结构的3D楼层平面图，每层仅用一个面表达；LOD2⁺为包含户结构的3D楼层平面图；LOD2⁺⁺为包含房间结构的3D楼层平面图。LOD2系列是LOD3、LOD4和LOD5（或LOD6）在非3D环境下的替代物，可通过简化来获取LOD2系列。分别取这3个LOD的2-FChain，删除侧面的2-cell，剩余2-cell即是LOD2系列。

2.3.6   LOD1的构建

LOD1表示幢，为生成LOD1，需要将LOD6中属于同一幢的房间合并，即合并标记相同幢属性的3-cell。同样复制LOD6的复形K，先将K中2-cell的系数都改为1，再合并隶属于同一幢的3-cell。令式（7）中的s=[0，0，1]，则LOD6中的3-FChain $h_{\mathrm{3}}^f(K,G_{\mathrm{3}})=\sum _i{g}_b^i{c}_{\mathrm{3}}^i$。对该3-FChain使用边界算子，生成由幢边界上的2-cell构成的2-chain。然后，再对生成的2-chain使用上边界算子，将围成幢的2-cell“缝合”成表示幢空间的3-cell。

2.3.7   LOD0的构建

LOD0表示建筑物基底，每幢建筑物仅有一个基底多边形。复制LOD2对应的2-complex，删除其他楼层的2-complex，仅保留第一层，第一层的2-complex即为LOD0对应的2-complex。

2.4   LOD的映射

本文使用复形表达LOD，复形是代数拓扑的抽象概念。在应用时，需要将其转换为具体的几何或拓扑数据模型。若将复形映射到欧氏空间R³，并为每个0-cell关联一个三维坐标，则整个复形被“嵌入”到欧氏空间，此时0-cell对应的顶点将整个复形“钉在”欧式空间。由于室内空间是由水平和垂直平面相交构成，仅有少数房顶为倾斜平面或曲面。在不考虑曲面情况下，可以将其视作特殊的复形——线性胞腔复形。线性胞腔复形“嵌入”到欧氏空间后，1-cell是开直线段（不含两侧端点），2-cell是开平面（不含边界），3-cell是开多面体（不含边界），即广义棱柱体，其侧面垂直，顶面和底面是水平或倾斜平面。这种线形胞腔复形在“嵌入”前后形状完全一致。

将线性复形映射到欧氏空间后，复形转换为一种普通的顾及内、外拓扑的多面体模型。该模型中的单个多面体按照顶点-边-面-体拓扑递进方式构造拓扑，相邻多面体之间共享拓扑。

图 6（a）是一个简单的建筑物，由4个房间构成，左侧是平顶，右侧是斜顶；图 6（b）是图 6（a）对应的3-complex，每个3-cell表达一个房间空间。图 6中的房顶s₁用2-cell $c_{\mathrm{2}}^{\mathrm{1}}$表达，倾斜房顶s₂需要用$c_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}、c_{\mathrm{2}}^{\mathrm{3}}、c_{\mathrm{2}}^{\mathrm{4}}、c_{\mathrm{2}}^{\mathrm{5}}$ 4个2-cell表达，这种表达方式同样适用于Gable roof、Hip roof等类型的房顶。

图  6  建筑物与三维复形

Figure  6.  Building and Its 3-complex

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将复形映射到欧氏空间，映射后的复形转换为3D拓扑数据模型，可以采用点位字典存储0-cell对应顶点的坐标。边由顶点构成，并区分起点和终点，每条边存储其ID号以及起点、终点ID的引用。面由边围成，其边界是由边按照一定次序和方向组成的闭环。面具有方向，若边的方向与面的方向相反，则在该边的ID前添加负号，以示该边方向与面方向相反。每个面存储其ID号、边以及两侧的多面体。如图 6（a）所示，2-cell $c_{\mathrm{2}}^{\mathrm{6}}=\{-c_{\mathrm{1}}^{\mathrm{1}},c_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}},c_{\mathrm{1}}^{\mathrm{3}},-c_{\mathrm{1}}^{\mathrm{4}}\}$。多面体是由多个面围成的封闭壳。多面体也有方向，若面方向与多面体方向相反，则在该面的ID前添加负号，以示该面方向与体方向相反。每个多面体存储其ID号以及构成它的面。

3 结语

本文在理论层面上探讨建筑物LOD概念模型与生成方法，提出一种建筑物LOD的概念模型，并给出基于复形、复形链等代数拓扑理论的LOD生成方法。该LOD模型分为7个层级，从包含墙、门、窗等建筑部件语义的细粒度房间级3D模型到仅用一个多边形表达建筑物的粗粒度模型，覆盖了房间、户、楼层、无侧面楼层、幢等不同粒度的空间。这些LOD可以满足室内导航、3D不动产管理、建筑物征税和评估、日照分析等不同细节层次的应用。在LOD概念模型基础上，提出基于链的LOD生成方法。该方法在细粒度LOD上，利用链的边界和上边界算子分解和合并胞腔来生成粗粒度的LOD。

本文仅从理论上提出LOD的生成方法，但没有给出具体实现技术。在下一步工作中，将探索复形到具体数据结构的转换方式，研究边界算子和上边界算子的实现算法，开发原型系统来创建不同细节层次的3D模型，实现建筑物的多尺度表达。