Tropospheric Delay Prediction Based on Phase Space Reconstruction and Gaussian Process Regression
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摘要: 天顶对流层延迟(zenith tropospheric delay，ZTD)是影响GPS定位精度的关键因素，为了提高ZTD的预测精度，提出一种基于相空间重构的高斯过程回归预测模型。针对ZTD时间序列的混沌特性，利用国际GNSS服务(International GNSS Service，IGS)站提供的ZTD数据，采用Cao方法确定嵌入维数，对ZTD数据进行相空间重构，探究高斯过程(Gaussian process，GP)模型对12个位于南、北半球不同纬度等级IGS站的ZTD预测精度和准确性。为了验证GP模型的有效性，将预测结果分别与原始数据和反向传播(back propagation，BP)神经网络模型预测结果作对比分析，进一步探究不同时间对ZTD预测精度的影响，并分析了经度和海拔对ZTD预测精度的影响。结果表明，GP模型预测结果的均方根误差(root mean square error，RMSE)达到mm级，GP模型与理论值的相关性达到0.997，预测精度指标明显优于BP神经网络模型；GP模型在南半球的预测精度高于北半球，且在高纬地区的RMSE小于3.6 mm，更适用于高纬地区的对流层延迟预测；在研究时域内，GP模型在大部分站点对晚上的预测精度高于白天，经度对ZTD预测精度的影响不明显，海拔与ZTD预测精度呈正比。Abstract: Zenith tropospheric delay (ZTD) is a key factor affecting global positioning system (GPS) positioning accuracy. In order to improve the prediction accuracy of ZTD, a Gaussian process(GP) regression prediction model based on phase space reconstruction is proposed.In view of the chaotic characteristics of ZTD time series, using the ZTD data provided by the International Global Navigation Satellite System Service (IGS) stations.Firstly, the embedded dimension is determined using Cao method, phase space reconstruction of ZTD data is carried out, and the precision and accuracy of ZTD using GP model for 12 IGS ststions at different latitude levels in the southern and northern hemisphere are explored.Then, in order to verify the effectiveness of GP model, the prediction results are compared with the original data and prediction results of the back propagation (BP) neural network model, and the influence of different time on the prediction accuracy of ZTD is further explored. Finally, the influence of longitude and altitude on the prediction accuracy of ZTD is analyzed.The results show that the root mean square error (RMSE) of GP model prediction results reaches mm level, the correlation between GP model and theoretical value reaches 0.997, and the prediction accuracy index is obviously better than that of BP neural network model. The prediction accuracy of GP model in the southern hemisphere is higher than that in the northern hemisphere, and RMSE in the high latitude area is less than 3.6 mm, which is more suitable for the tropospheric delay prediction in the high latitude area. In the time domain of the study, the prediction accuracy of GP model at night is higher than that in the day at most sites, the longitude has no obvious influence on the prediction accuracy of ZTD, and the altitude is proportional to the prediction accuracy of ZTD. Therefore, GP model has better practicability and feasibility for the prediction of tropospheric delay.
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全球定位系统（global positioning system，GPS）是目前最成熟、应用最广泛的全球卫星导航系统，北斗卫星导航系统（BeiDou satellite navigation system，BDS）也建成了覆盖亚太地区的区域导航定位系统，并于2018-12-27初步建成三代基本系统，开始提供全球服务。GPS/BDS融合定位与单系统相比，参与定位解算的卫星更多，卫星几何构型更强。多频观测数据可以提升载波相位整周模糊度的解算性能[1]，从而提高定位的稳定性。GPS/BDS双系统、单系统网络实时动态定位（real-time kinematic，RTK）技术已经成为实时动态定位领域的热点问题。
国内外学者对GPS网络RTK定位和全球卫星导航系统（global navigation satellite systems，GNSS）模糊度解算进行了大量研究[2-13]。文献[2]针对单系统GPS网络RTK载波相位整周模糊度解算、参考站网误差内插、流动站载波相位整周模糊度解算模型进行了详细阐述；文献[14]采用站间距离为数十公里的GPS/BDS等多系统参考站网对比分析了多系统RTK的定位精度；文献[15]考虑了中长距离基线误差的影响，提出了自适应抗差滤波算法；文献[16]提出了BDS三频网络RTK参考站载波相位整周模糊度的解算方法；文献[17]实现了BDS/GPS双系统参考站载波相位整周模糊度的快速解算。相对于参考站间距为几十公里的网络RTK方法，参考站间距离大于100 km的长距离网络RTK可以扩大作业面积，节省成本。电离层延迟、对流层延迟等误差的空间相关性受长距离网络RTK参考站间距离的影响较大，使得整周模糊度与双差残余误差的分离难度增加，参考站网误差改正模型的建立相对困难。目前，有关GPS/BDS双系统长距离网络RTK定位算法的研究较少。
本文利用长距离参考站网GPS/BDS多频伪距和载波相位观测值，研究了一种长距离GPS/BDS网络RTK方法。首先对参考站网的宽巷模糊度和多频载波相位整周模糊度进行解算；然后利用固定的参考站网载波相位整周模糊度计算参考站网观测值的双差观测误差，根据长距离参考站网观测误差特性的不同，利用分类误差内插法分别计算流动站色散性误差（电离层延迟误差）和非色散性误差（对流层延迟误差为主），以改正流动站的观测误差；最后解算流动站GPS/BDS单系统、双系统的整周模糊度和位置参数，并采用实测CORS（continuous operating reference station）网数据进行算法验证和实验分析。
1 长距离参考站网载波相位整周模糊度解算
长距离GPS/BDS网络RTK方法首先要准确解算参考站网GPS/BDS载波相位的整周模糊度。参考站的坐标精确已知，则参考站网双差载波相位和伪距观测方程分别为[17]：
$$ \begin{array}{*{20}{l}} {{\lambda _i}^S \cdot {\rm{\Delta }}\nabla {\varPhi _i}^S = {\rm{\Delta }}\nabla {\rho ^S} - {\lambda _i}^S \cdot {\rm{\Delta }}\nabla {N_i}^S - }\\ \ \ \ \ {{\rm{\Delta }}\nabla {I_i}^S + {\rm{\Delta }}\nabla {T^S} + {\rm{\Delta }}\nabla {\varepsilon _i}^S} \end{array} $$ (1) $$ {\rm{\Delta }}\nabla {P_i}^S = {\rm{\Delta }}\nabla {\rho ^S} + {\rm{\Delta }}\nabla {I_i}^S + {\rm{\Delta }}\nabla {T^S} + {\rm{\Delta }}\nabla {\varepsilon _i}_P^S $$ (2) 式中，${\rm{\Delta }}\nabla $表示双差；$\varPhi $表示载波相位观测值；P表示伪距观测值；上标S表示卫星，GPS、BDS分别简写为G、B；下标i代表频率；ρ表示测站到卫星的几何距离；λ表示波长；N表示载波相位模糊度；I表示电离层延迟误差；T表示以对流层延迟为主的非色散性误差；ε代表载波相位观测噪声；εP代表伪距观测噪声。
首先解算GPS/BDS第一、二频率的宽巷整周模糊度，然后建立引入大气误差参数的载波相位整周模糊度解算模型。采用单系统分别估计的方式进行宽巷整周模糊度的确定。利用Melbourne-Wubbena（M-W）组合观测值不受大气误差、卫星轨道误差影响的特性，解算长距离参考站间的宽巷整周模糊度。各系统M-W组合观测值和宽巷模糊度可由式（1）、（2）推导得到，其分别表示为：
$$ \begin{array}{l} {\rm{\Delta }}\nabla {\rm{MW}}_{12}^G = \frac{{c \cdot {\rm{\Delta }}\nabla \varPhi _1^G - c \cdot {\rm{\Delta }}\nabla \varPhi _2^G}}{{f_1^G - f_2^G}} - \\ {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} \frac{{f_1^G \cdot {\rm{\Delta }}\nabla P_1^G + f_2^G \cdot {\rm{\Delta }}\nabla P_2^G}}{{f_1^G + f_2^G}} \end{array} $$ (3) $$ {\rm{\Delta }}\nabla N_{12}^G = \frac{{\left( {f_1^G - f_2^G} \right) \cdot {\rm{\Delta }}\nabla {\rm{MW}}_{12}^G}}{c} $$ (4) $$ \begin{array}{l} {\rm{\Delta }}\nabla {\rm{MW}}_{i, i + 1}^B = \frac{{c \cdot {\rm{\Delta }}\nabla \varPhi _i^B - c \cdot {\rm{\Delta }}\nabla \varPhi _{i + 1}^B}}{{f_i^B - f_{i + 1}^B}} - \\ {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} \frac{{f_i^B \cdot {\rm{\Delta }}\nabla P_i^B + f_{i + 1}^B \cdot {\rm{\Delta }}\nabla P_{i + 1}^B}}{{f_i^B + f_{i + 1}^B}} \end{array} $$ (5) $$ {\rm{\Delta }}\nabla N_{i, i + 1}^B = \frac{{\left( {f_i^B - f_{i + 1}^B} \right) \cdot {\rm{\Delta }}\nabla {\rm{MW}}_{i, i + 1}^B}}{c} $$ (6) 式中，${\rm{\Delta }}\nabla {\rm{MW}}_{12}^G$表示M-W组合观测值；${\rm{\Delta }}\nabla N_{12}^G$表示GPS宽巷模糊度；${f_1^G}$、${f_2^G}$表示GPS频率；${\rm{\Delta }}\nabla {\rm{MW}}_{i, i + 1}^B$代表BDS的第i、i+1频率形成的M-W组合观测值；${\rm{\Delta }}\nabla N_{i, i + 1}^B$表示BDS宽巷模糊度；${f_i^B}$、${f_{i + 1}^B}$表示BDS第i、i+1两个频率，其中i=1, 2；c为光速。其他符号含义与式（1）、（2）相同。
采用式（4）、式（6）计算宽巷整周模糊度。由于伪距观测噪声会影响宽巷整周模糊度的计算精度，因而采用对各历元模糊度的计算值取平均的方式提高宽巷模糊度的精度，并利用M-W组合观测值对GPS、BDS多频观测数据进行预处理，确保式（3）、式（5）观测值的连续性。各系统双差宽巷模糊度计算值和中误差分别为[18]：
$$ {\rm{\Delta }}\nabla \hat N_{12}^G = \left\langle {{\rm{\Delta }}\nabla N_{12}^G} \right\rangle $$ (7) $$ {\sigma _{{\rm{\Delta }}\nabla \hat N_{12}^G}} = \sqrt {\frac{{\mathop \sum \nolimits^ {{({\rm{\Delta }}\nabla N_{12}^G - {\rm{\Delta }}\nabla \hat N_{12}^G)}^2}}}{n}} $$ (8) $$ {\rm{\Delta }}\nabla \hat N_{i, i + 1}^B = \left\langle {{\rm{\Delta }}\nabla N_{i, i + 1}^B} \right\rangle $$ (9) $$ {\sigma _{{\rm{\Delta }}\nabla \hat N_{i, i + 1}^B}} = \sqrt {\frac{{\mathop \sum \nolimits^ {{({\rm{\Delta }}\nabla N_{i, i + 1}^B - {\rm{\Delta }}\nabla \hat N_{i, i + 1}^B)}^2}}}{n}} $$ (10) 式中， < > 表示求平均值；${\rm{\Delta }}\nabla \hat N_{12}^G$表示${{\rm{\Delta }}\nabla N_{12}^G}$的多历元平均值；${\rm{\Delta }}\nabla \hat N_{i, i + 1}^B$表示${{\rm{\Delta }}\nabla N_{i, i + 1}^B}$的多历元平均值；n是观测数据的历元数。双差宽巷整周模糊度根据双差宽巷模糊度计算值及其中误差确定，采用的宽巷整周模糊度确定准则为：双差宽巷模糊度计算值与最接近的整数差小于整周模糊度波长的0.25周；双差宽巷模糊度取整成功率超过99.9%；双差宽巷整周模糊度的中误差小于0.01周。
${{\rm{\Delta }}\nabla N_{12}^G}$、${{\rm{\Delta }}\nabla N_{i, i + 1}^B}$准确确定后，不采用宽巷组合或无电离层组合计算窄巷整周模糊度或载波相位模糊度，而是根据宽巷整周模糊度数值构建载波相位整周模糊度约束方程，添加到法方程中解算载波相位整周模糊度。GPS/BDS双差宽巷整周模糊度与载波相位整周模糊度的关系如下：
$$ \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{\rm{\Delta }}\nabla N_{12}^G = {\rm{\Delta }}\nabla N_1^G - {\rm{\Delta }}\nabla N_2^G}\\ {{\rm{\Delta }}\nabla N_{i, i + 1}^B = {\rm{\Delta }}\nabla N_i^B - {\rm{\Delta }}\nabla N_{i + 1}^B} \end{array}} \right. $$ (11) 参考站观测值的对流层延迟误差使用对流层投影函数和天顶延迟误差表示[19]。两个距离较近的参考站间同颗卫星的投影函数较接近，可将其天顶对流层延迟误差归化为相对天顶对流层延迟误差参数。因此，使用相对天顶对流层延迟误差作为待估参数，采用分段常数进行估计，双差对流层延迟误差参数表示为：
$$ \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{\rm{\Delta }}\nabla {T^G} = {\rm{\Delta Ma}}{{\rm{p}}^G} \cdot {\rm{RZTD}}}\\ {{\rm{\Delta }}\nabla {T^B} = {\rm{\Delta Ma}}{{\rm{p}}^B} \cdot {\rm{RZTD}}} \end{array}} \right. $$ (12) 式中，${{\rm{\Delta Map}}}$是星间投影函数之差，投影函数采用全球投影函数（global mapping function，GMF）；RZTD（relative zenith tropospheric delay）是参考站间相对天顶对流层延迟误差参数。
由GPS、BDS参考站双差载波相位观测方程可得：
$$ \left\{ \begin{array}{l} \lambda _1^G \cdot {\rm{\Delta }}\nabla \varPhi _1^G = {\rm{\Delta }}\nabla {\rm{Ma}}{{\rm{p}}^G} \cdot {\rm{RZTD}} - {\rm{\Delta }}\nabla I_1^G - \lambda _1^G \cdot {\rm{\Delta }}\nabla N_1^G + {\rm{\Delta }}\nabla {\rho ^G} + {\rm{\Delta }}\nabla \varepsilon _1^G\\ \lambda _2^G \cdot {\rm{\Delta }}\nabla \varPhi _2^G = {\rm{\Delta }}\nabla {\rm{Ma}}{{\rm{p}}^G} \cdot {\rm{RZTD}} - {\rm{\Delta }}\nabla I_2^G - \lambda _2^G \cdot {\rm{\Delta }}\nabla N_2^G + {\rm{\Delta }}\nabla {\rho ^G} + {\rm{\Delta }}\nabla \varepsilon _2^G\\ \lambda _i^B \cdot {\rm{\Delta }}\nabla \varPhi _i^B = {\rm{\Delta }}\nabla {\rm{Ma}}{{\rm{p}}^B} \cdot {\rm{RZTD}} - {\rm{\Delta }}\nabla I_i^B - \lambda _i^B \cdot {\rm{\Delta }}\nabla N_i^B + {\rm{\Delta }}\nabla {\rho ^B} + {\rm{\Delta }}\nabla \varepsilon _i^B\\ \lambda _{i + 1}^B \cdot {\rm{\Delta }}\nabla \varPhi _{i + 1}^B = {\rm{\Delta }}\nabla {\rm{Ma}}{{\rm{p}}^B} \cdot {\rm{RZTD}} - {\rm{\Delta }}\nabla I_{i + 1}^B - \lambda _{i + 1}^B \cdot {\rm{\Delta }}\nabla N_{i + 1}^B + {\rm{\Delta }}\nabla {\rho ^B} + {\rm{\Delta }}\nabla \varepsilon _{i + 1}^B \end{array} \right. $$ (13) 第k历元参考站GPS、BDS求解载波相位模糊度和其他未知参数的方程组为：
$$ L = \mathit{\boldsymbol{{A}}} \cdot Y $$ (14) 式中，A表示待估参数系数矩阵；L表示常数项；Y表示待估参数。
利用多历元观测数据对式（14）中的未知参数进行估计。电离层延迟误差随着卫星穿刺点的变化和时间的推移而变化，因此采用参数消去法消去电离层延迟误差参数，主要对整周模糊度参数和对流层延迟误差参数进行估计。首先使用最小二乘法估计双差载波相位整周模糊度浮点解，然后利用模糊度浮点解和方差-协方差矩阵解算双差载波相位整周模糊度。当参考站数量大于两个时，参考站间双差整周模糊度的数值和为零，可利用该闭合条件检验搜索出的双差载波相位整周模糊度结果，以提高载波相位整周模糊度确定的准确性。
2 长距离参考站双差误差分类内插计算
GPS/BDS长距离网络RTK方法实现厘米级定位的关键是通过参考站网计算出的误差改正数削弱流动站观测误差残差的影响，使残差不影响流动站载波相位整周模糊度的准确确定和高精度定位的实现。通常网络RTK采用各类观测误差综合处理的方式进行参考站网误差的改正。在长距离的情况下，使用综合误差处理的方式很难精确求出流动站的误差改正数，需要根据误差特性的不同，对双差观测误差进行分类计算。区域观测误差分类内插方法的实现过程如图 1所示。
图 1中，A、B、C为3个参考站，u为流动站用户，平面1、2分别是参考站和流动站所在的平面和中心电离层平面，在各自平面上内插计算流动站双差非色散性误差和双差色散性误差。误差内插面2上，点Ip、Iq为卫星电离层穿刺点，下标p、q为卫星号。图 2为双差非色散性误差在误差内插面1上的测站分布，其中X、Y表示参考站和流动站的平面坐标，A、B、C、u表示测站。
在确定参考站网双差载波相位整周模糊度之后，可以计算出参考站AB、AC的双差非色散性误差${{\rm{\Delta }}\nabla m_{AB}^S}$、${{\rm{\Delta }}\nabla m_{AC}^S}$，则流动站的双差非色散性误差${\rm{\Delta }}\nabla m_{Au}^S$计算值为：
$$ \begin{array}{l} {\rm{}}{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\rm{\Delta }}\nabla m_{Au}^S = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{X_u} - {X_A}}&{{Y_u} - {Y_A}} \end{array}} \right) \cdot \\ {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{X_B} - {X_A}}&{{Y_B} - {Y_A}}\\ {{X_C} - {X_A}}&{{Y_C} - {Y_A}} \end{array}} \right)^{ - 1}} \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{\rm{\Delta }}\nabla m_{AB}^S}\\ {{\rm{\Delta }}\nabla m_{AC}^S} \end{array}} \right) \end{array} $$ (15) 双差色散性误差的内插计算模型与式（15）一致，不同的是色散性误差内插公式的系数是由参考站、流动站的共视卫星电离层穿刺点处的平面坐标计算得到的。当参考站间载波相位整周模糊度确定之后，计算参考站网的双差电离层延迟误差，并在中心电离层上进行流动站双差电离层延迟误差的内插计算。
3 流动站整周模糊度解算及位置确定
流动站GPS/BDS载波相位和伪距双差观测方程分别为：
$$ \begin{array}{*{20}{l}} {{\lambda _i}^S \cdot {\rm{\Delta }}\nabla {\varPhi _i}^S = {\rm{\Delta }}{\mathit{\boldsymbol{H}}^S} \cdot {\rm{ \mathsf{ δ} }}\mathit{\boldsymbol{X}} + {\rm{\Delta }}\nabla {\rho ^S} - {\lambda _i}^S \cdot {\rm{\Delta }}\nabla {N_i}^S - }\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ {{\rm{}}{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\rm{\Delta }}\nabla {I_i}^S + {\rm{\Delta }}\nabla {T^S} + {\rm{\Delta }}\nabla {\varepsilon _i}^S} \end{array} $$ (16) $$ \begin{array}{*{20}{l}} {{\rm{\Delta }}\nabla {P_i}^S = {\rm{\Delta }}{\mathit{\boldsymbol{H}}^S} \cdot {\rm{ \mathsf{ δ} }}\mathit{\boldsymbol{X}} + {\rm{\Delta }}\nabla {\rho ^S} + {\rm{\Delta }}\nabla {I_i}^S + }\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ {{\rm{}}{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\rm{\Delta }}\nabla {T^S} + {\rm{\Delta }}\nabla {\varepsilon _i}_P^S} \end{array} $$ (17) 式中，${{\rm{\Delta }}{\mathit{\boldsymbol{H}}^S}}$表示流动站坐标参数${{\rm{ \mathsf{ δ} }}\mathit{\boldsymbol{X}}}$的系数矩阵。利用长距离参考站网计算流动站GPS/BDS观测值的误差改正数，可以恢复模糊度参数的整数特性，有利于实现流动站的厘米级定位，但需准确确定GPS/BDS多频载波相位的整周模糊度。各系统宽巷和L1、B1载波相位整周模糊度的解算同时进行，流动站坐标参数和整周模糊度参数解算的观测方程矩阵形式为：
$$ \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\begin{array}{*{20}{l}} {{\rm{\Delta }}\nabla \mathit{\boldsymbol{L}}_1^G = {\rm{\Delta }}{\mathit{\boldsymbol{H}}^G} \cdot {\rm{ \mathsf{ δ} }}\mathit{\boldsymbol{X}} + \mathit{\boldsymbol{H}}_N^G \cdot {\rm{\Delta }}\nabla \mathit{\boldsymbol{N}}_1^G}\\ {{\rm{\Delta }}\nabla \mathit{\boldsymbol{L}}_1^B = {\rm{\Delta }}{\mathit{\boldsymbol{H}}^B} \cdot {\rm{ \mathsf{ δ} }}\mathit{\boldsymbol{X}} + \mathit{\boldsymbol{H}}_N^B \cdot {\rm{\Delta }}\nabla \mathit{\boldsymbol{N}}_1^B} \end{array}}\\ {\begin{array}{*{20}{l}} {{\rm{\Delta }}\nabla \mathit{\boldsymbol{L}}_W^G = {\rm{\Delta }}{\mathit{\boldsymbol{H}}^G} \cdot {\rm{ \mathsf{ δ} }}\mathit{\boldsymbol{X}} + \mathit{\boldsymbol{H}}_W^G \cdot {\rm{\Delta }}\nabla \mathit{\boldsymbol{N}}_W^G}\\ {{\rm{\Delta }}\nabla \mathit{\boldsymbol{L}}_W^B = {\rm{\Delta }}{\mathit{\boldsymbol{H}}^B} \cdot {\rm{ \mathsf{ δ} }}\mathit{\boldsymbol{X}} + \mathit{\boldsymbol{H}}_W^B \cdot {\rm{\Delta }}\nabla \mathit{\boldsymbol{N}}_W^B} \end{array}} \end{array}} \right. $$ (18) 式中，${{\rm{\Delta }}\nabla \mathit{\boldsymbol{L}}}$表示经过参考站网观测误差改正数改正后的包括几何距离计算值的已知向量；${{\rm{\Delta }}\mathit{\boldsymbol{H}}}$表示坐标参数系数矩阵；${{\rm{\Delta }}\nabla \mathit{\boldsymbol{N}}}$表示整周模糊度估计参数向量；${{\mathit{\boldsymbol{H}}_N}}$、${{\mathit{\boldsymbol{H}}_W}}$表示相应${{\rm{\Delta }}\nabla \mathit{\boldsymbol{N}}}$的系数矩阵。下标W表示与宽巷模糊度有关，1表示与各系统第一频率有关。如果进行流动站单系统定位，只需将另一个系统的位置参数和模糊度参数的系数矩阵设为0。采用最小二乘法解算式（18），宽巷整周模糊度按照系统不同，用最小二乘模糊度降相关平差法（least-square ambiguity decorrelation adjustment，LAMBDA）分别搜索确定[20]。利用固定的宽巷整周模糊度约束载波相位整周模糊度参数的解算，添加到载波相位整周模糊度解算的法方程中，加速载波相位整周模糊度的搜索，进而计算流动站的位置坐标参数。
长距离GPS/BDS网络RTK的实现流程如图 3所示。首先利用参考站网的GPS/BDS多频观测数据进行宽巷整周模糊度的计算，然后通过顾及大气误差的载波相位整周模糊度解算模型解算双差载波相位整周模糊度。宽巷整周模糊度确定之后，将载波相位整周模糊度间的整数关系添加到参数估计的法方程中。将观测误差进行分类处理，分别计算流动站的电离层延迟误差和非色散性误差，并改正流动站的GPS/BDS观测误差，使用流动站多频载波相位整周模糊度解算方法确定GPS/BDS单系统、双系统的载波相位整周模糊度和位置参数。
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图 3 长距离GPS/BDS网络RTK流程图Figure 3. Flowchart of Network RTK Between Long Range with GPS/BDSGPS/BDS双系统融合定位需要统一的时空基准[17]，BDS和GPS的时间系统都是原子时，无闰秒，且秒长定义相同，不同的是系统时间起算点，除相差1 356周外，还保持14 s的系统差，可根据这两项差异进行时间变换。国家大地坐标系（China geodetic coordinate system 2000，CGCS2000）和WGS-84的坐标系统构成相同，只是4个参考椭球参数的扁率有微小差异。为了实现两个系统之间的坐标基准统一，利用参考站网中各参考站CGCS和WGS-84坐标系统下的已知坐标解算BDS和GPS的坐标转换参数。如果采用统一定轨后的双系统预报星历，那么参考站和流动站都不需要进行坐标基准的统一。
4 实验与分析
采用华中地区3个参考站A、B、C和1个流动站U的GPS/BDS实测数据，采集时间为2018-03-31 24 h的观测数据，采样率为1 Hz。参考站间基线AB、BC、CA的长度分别是132 km、154 km、127 km，测站的地理分布如图 4所示。
首先计算参考站网GPS和BDS的宽巷整周模糊度，以BDS的C14卫星和GPS的PRN10卫星（以G10表示）第一、二频率宽巷模糊度为例，其计算结果分别如图 5、图 6所示。从图 5、图 6的计算结果可知，利用宽巷整周模糊度计算方法获得的模糊度计算值能够快速收敛，并能准确确定宽巷整周模糊度。以参考站间基线的双差模糊度数值代数和为0作为闭合条件，对宽巷整周模糊度固定结果进行检验，进一步提高模糊度固定的可靠性。M-W组合观测值能够有效消除长距离参考站间观测误差（观测噪声除外）的影响，对于长距离参考站间GPS/BDS宽巷整周模糊度的解算具有很强的适用性。
在宽巷整周模糊度准确确定的情况下，使用引入大气误差参数的载波相位模糊度解算模型可以确定载波相位的整周模糊度，并进行参考站网观测误差的计算，图 7~10分别为参考站卫星C14、G10的双差电离层延迟误差和非色散性误差的计算结果。由于C14、G10为中圆轨道卫星，在24 h的观测时长中仅有部分时段可见，只有可见时段可以观测到数据，其余不可见时段未观测到数据，因此图 7~10中的数据空白部分表示此阶段卫星不可见。由图 7~10可见，各误差相邻历元间的变化较小（除基准卫星变换引起的数值抖动外），历元之间以对流层延迟为主的非色散性误差变化量符合正常情况下的对流层变化规律，说明载波相位整周模糊度的解算正确；双差误差的数值随着双差卫星对的改变而变化，基准卫星变换时不影响流动站的误差改正精度。在参考站网载波相位整周模糊度准确固定的前提下，流动站的误差改正精度不受到测站基准卫星变换的影响，测站间距离和区域观测误差改正模型是影响观测误差改正效果的主要因素。分别选取各系统当前历元中的高度角卫星作为基准卫星，当相邻历元的基准卫星发生变换时，对之前历元的宽巷模糊度计算信息或已固定载波相位整周模糊度的GPS、BDS双差卫星进行基准卫星的变换，并利用当前弧段的观测值继续进行双差整周模糊度的解算。
由于多数历元的大气误差影响大于载波相位半个波长，因此电离层延迟误差和非色散性误差既是影响长距离参考站网载波相位整周模糊度准确解算的主要因素，也是参考站网利用误差改正模型计算流动站观测误差改正信息和解算流动站模糊度时必须考虑的因素。利用§2的误差分类内插方法，计算流动站的电离层延迟误差和非色散性误差改正数，并对流动站观测值进行改正。使用导航定位数据分析软件（position and navigation data analysist，PANDA）和测站的已知坐标，准确计算出流动站GPS/BDS两系统L1、B1载波相位的观测误差，对内插出的电离层延迟、非色散性误差改正数总和进行对比。利用综合误差内插法和误差分类内插法得到的卫星C14、G10的误差改正数残差分别如图 11、图 12所示。
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图 11 两种方法的C14卫星误差改正数残差Figure 11. Residuals of Error Correction of C14 Satellite by Two Methods![]()
图 12 两种方法的G10卫星误差改正数残差Figure 12. Residuals of Error Correction of G10 Satellite by Two Methods对于长距离误差计算和改正，使用分类误差内插计算方法单独对中心电离层高度处的电离层延迟误差进行内插计算更符合实际情况。从图 11、12的误差改正数残差图可知，虽然两种方法均可获得流动站厘米级精度的误差改正信息，并能恢复流动站模糊度的整周特性，有利于载波相位整周模糊度的准确解算，但误差分类内插法的精度高于综合误差内插法。对流动站载波相位整周模糊度解算的几种策略进行了实验对比，初始化时间对比结果如表 1所示。
表 1 不同解算策略的整周模糊度初始化时间/sTable 1. Initialization Time of Integer Ambiguity with Different Solution Strategies/s解算策略 定位系统 GPS/BDS GPS BDS 先解算宽巷整周模糊度，再解算载波相位整周模糊度 16 27 68 直接估计L1载波相位整周模糊度 — 116 — 直接估计B1载波相位整周模糊度 — — 201 直接估计L1/B1载波相位整周模糊度 118 — — 从表 1可知，与直接估计流动站L1、B1双差整周模糊度相比，先解算宽巷整周模糊度，再解算载波相位整周模糊度的策略在解算速度上具有明显优势，这是因为多频组合可形成更长波长的虚拟观测值，利用该特性可加快整周模糊度的解算速度，所以建议选择先估计GPS/BDS宽巷整周模糊度、再解算L1、B1双差载波相位整周模糊度的解算策略。
在载波相位整周模糊度解算正确的情况下，流动站观测误差经参考站网误差改正数改正之后，其位置参数解算的精度直观反映了参考站网观测误差的改正数是否可靠。使用GPS/BDS两系统L1/B1载波相位观测值解算坐标参数，计算出流动站BDS、GPS单系统、GPS/BDS双系统的定位结果与已知坐标在东（east，E）、北（north，N）、高程（up，U）方向的差值，结果分别如图 13~15所示。
从图 13~15的定位结果差值可以看出，长距离GPS/BDS网络RTK方法解算出的流动站坐标与流动站已知的准确坐标在E、N、U 3个坐标分量上的差值均为厘米级。BDS、GPS、GPS/BDS定位结果差值的均方根（root mean square，RMS）如表 2所示。
表 2 定位结果差值的RMS/mTable 2. RMS of Positioning Errors/m定位系统 E分量 N分量 U分量 BDS 0.010 0.014 0.035 GPS 0.013 0.009 0.028 GPS/BDS 0.011 0.010 0.030 由上述实验结果可以看出，长距离参考站网GPS/BDS双系统网络RTK方法可以有效消除流动站GPS、BDS的观测误差。3种模式下流动站的定位精度都达到了厘米级，GPS的定位精度整体优于BDS的定位精度。且从表 1中可以看出，双系统融合的模糊度解算时间相对于单系统有所缩短，可见GPS/BDS双系统融合有利于加快流动站模糊度的解算速度。
5 结语
本文研究了一种基于长距离参考站网的GPS/BDS双系统网络RTK方法，并使用长距离CORS网观测数据对该方法进行了实验验证和结果分析。首先采用长距离参考站网GPS/BDS多频伪距和载波相位观测数据计算和确定双差宽巷整周模糊度，然后利用包含大气延迟误差参数的模糊度解算模型准确解算出GPS/BDS双系统的多频载波相位整周模糊度。使用参考站网观测误差分类内插法，按照观测误差特性不同分别计算出流动站的色散性误差和以对流层延迟误差为主的非色散性误差。分类误差内插法更符合长距离参考站网误差改正的特点，能够恢复流动站GPS/BDS载波相位模糊度的整数特性，进而完成GPS/BDS双系统载波相位整周模糊度的准确解算，最终实现流动站位置的高精度解算。实验结果表明，长距离GPS/BDS双系统网络RTK定位方法可以实现GPS/BDS单系统、双系统的厘米级定位。本文在GPS/BDS双系统融合定位时，对GPS、BDS卫星都是按照高度角进行权值的确定，未考虑系统性能和各卫星观测数据质量等方面的差异，下一步将着重研究双系统网络RTK定位中各类卫星权值的优化分配算法。
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图 1 Cao方法确定pbri站点的最小嵌入维数
Figure 1. Minimum Embedded Dimension for the pbri Site Using Cao Method
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图 2 两种模型在北半球低纬地区的ZTD预测结果对比
Figure 2. Comparison of ZTD Prediction Results for Two Models in Low Latitude Areas of the Northern Hemisphere
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图 3 两种模型在北半球中纬地区的ZTD预测结果对比
Figure 3. Comparison of ZTD Prediction Results for Two Models in Mid-latitude Areas of the Northern Hemisphere
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图 4 两种模型在北半球高纬地区的ZTD预测结果对比
Figure 4. Comparison of ZTD Prediction Results for Two Models in High Latitude Areas of the Northern Hemisphere
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图 5 两种模型在南半球低纬地区的ZTD预测结果对比
Figure 5. Comparison of ZTD Prediction Results for Two Models in Low Latitude Areas of the Southern Hemisphere
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图 6 两种模型在南半球中纬地区的ZTD预测结果对比
Figure 6. Comparison of ZTD Prediction Results for Two Models in Mid-latitude Areas of the Southern Hemisphere
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图 7 两种模型在南半球高纬区的ZTD预测结果对比
Figure 7. Comparison of ZTD Prediction Results for Two Models in High Latitude Areas of the Southern Hemisphere
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图 8 GP模型预测结果与原始数据及其线性拟合结果
Figure 8. Prediction Results of GP Model and Original Data and Their Linear Fitting Results
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图 10 GP模型对不同海拔地区ZTD的预测结果
Figure 10. Prediction Results of ZTD at Different Altitude Areas Using GP Model
表 1 12个IGS站点的纬度值
Table 1 Latitude Values for 12 IGS Sites
站点 纬度 pbri 11.6°N hnlc 21.3°N hnpt 38.5°N lama 53.9°N invk 68.3°N nyal 78.9°N xmis 10.4°S iqqe 20.3°S mobs 37.8°S parc 53.1°S dav1 68.6°S mcm4 77.8°S 
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表 2 北半球两种模型预测结果的RMSE和MRE值
Table 2 RMSE and MRE of Prediction Results of Two Models in the Northern Hemisphere
纬度地区 站点 RMSE/mm MRE/% GP模型 BP模型 GP模型 BP模型 低纬 pbri 9.340 10.812 0.256 0.279 hnlc 8.793 10.213 0.287 0.350 中纬 hnpt 7.435 12.262 0.221 0.397 lama 11.348 39.822 0.361 1.100 高纬 invk 2.960 5.108 0.098 0.146 nyal 3.096 4.635 0.102 0.161
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表 3 南半球两种模型预测结果的RMSE和MRE值
Table 3 RMSE and MRE of Prediction Results of Two Models in the Southern Hemisphere
纬度地区 站点 RMSE/mm MRE/% GP模型 BP模型 GP模型 BP模型 低纬 xmis 4.322 10.413 0.138 0.368 iqqe 4.096 5.817 0.143 0.201 中纬 mobs 3.127 4.491 0.103 0.156 parc 4.522 5.644 0.157 0.185 高纬 dav1 3.557 10.514 0.127 0.361 mcm4 2.271 2.610 0.073 0.101
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表 4 北半球各站点的昼夜平均绝对误差/mm
Table 4 Mean Absolute Errors of Day and Night at All Stations in the Northern Hemisphere/mm
站点 白天 晚上 pbri 5.90 7.73 hnlc 7.55 6.82 hnpt 3.79 7.56 lama 9.03 8.51 invk 2.56 2.18 nyal 2.76 2.11
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表 5 南半球各站点的昼夜平均绝对误差/mm
Table 5 Mean Absolute Errors of Day and Night at All Stations in the Southern Hemisphere/mm
站点 白天 晚上 xmis 4.01 2.69 iqqe 2.58 4.26 mobs 2.93 1.99 parc 3.90 3.36 dav1 3.68 2.10 mcm4 2.11 1.12
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表 6 不同经度地区ZTD的预测结果
Table 6 Prediction Results of ZTD at Different Longitude Areas
组别 站点 经度 纬度 海拔/m 预测中误差/mm 第1组 nrc1 284.38°W 45.45°N 82.5 6.46 mikl 31.97°E 46.97°N 94.7 7.98 第2组 chan 125.44°E 43.79°N 268.3 10.11 tlse 1.48°E 43.56°N 207.2 9.17 第3组 iqqe 289.87°W 20.27°S 38.9 4.10 nium 190.07°W 19.08°S 90.1 5.33
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