Similarity Measurement of Multi-holed Regions Using Constraint Satisfaction Problem
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摘要: 多洞面实体作为现实世界的抽象，主要用来表示拥有多个内部边界的地理实体，如包含多个湖泊的区域，或带有岛屿的湖泊。为了度量这些空间实体，提出了一种顾及多约束的多洞面实体相似性度量模型，该模型将多洞区域看做微场景，将洞视为空间对象，洞之间的方向表示为空间分布关系。顾及复杂多洞面实体中洞与洞之间的方向、几何形状等约束条件，利用傅里叶描述子来描述洞的形状，使用方向特征矩阵来表示洞之间的分布，将相似性度量过程转换变成满足约束条件问题。利用由结点和边组成的关联图对约束条件的匹配过程进行描述。采用伊朗西北部的乌鲁米耶湖作为实验数据，对其不同年份的形态进行相似性度量，实验结果表明该方法简单可行且不失精度。Abstract: Multi-holed plane object, as one of the abstracts of the real world, mainly represent geographic objects having more than one interior boundary, such as areas that contain a few lakes, or lakes with islands. To realize the matching between these spatial objects, the paper proposed a model of similarity measurement on multi-holed regions, with several restrictions being taken into account. In this model, the multi-holed plane object was viewed as a micro-spatial-scene, where holes and direction between holes playing roles of spatial objects and spatial distribution relations respectively. Taking into the direction between holes and the shape of holes account, Fourier descriptor was utilized to describe the shape of holes and Feature Matrix of direction was applied to represent the distribution relationship between holes, then the process of measuring similarity would be transformed into a constraint satisfaction problem (CSP). Association graph containing nodes and edges could be adopted to represent the matching solutions of CSP. In the paper, A case study of Urmia, a lake in Iran, is given to illustrate the whole process of similarity measurement among the shapes of the lake in different years, and the result of experiment is presented to be simple and applicable.
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近年来，随着中国海洋经济的发展特别是南海海洋开发的不断深入，急需对岛礁、近海大陆架、暗礁等海区进行精确测绘。海底地形地貌测绘是通过覆盖一定海域、以一定测点密度分布的海深测量实现的。它以深度基准面或平均海平面作为基准，以海域具体坐标点的水深值作为量度来反映海底的地貌信息。只有全面、准确地获得目标水域的水深值，才能得到该水域准确的海底地貌信息，因此，发展快速、准确的海洋测深方法具有十分重要的意义[1-4]。与传统的多波束声呐等回声测深技术相比，机载海洋激光测深系统不仅具有多波束测深系统的高精度、高分辨率、全覆盖特点，更具有快速高效的优点，尤其适用于船舶难以到达的浅海海域和岛礁水域作业，是实现海洋测绘经济、快捷、有效的手段[5-8]。国外代表性的机载海洋激光测深系统主要有加拿大Optech公司的CZMIL [9]、瑞士Leica公司的HAWK-EYE Ⅲ [10]和荷兰Fugro公司的LADS HD [11]，这些商业化系统不仅通过提升激光发射的频率实现测绘点密度提升，也增加了更多的接收通道以提升对不同水深的探测能力，整体性能技术指标已实现测深深度达到50 m、测深精度达到0.36 m。中国的华中科技大学、中国海洋大学、中国科学院上海光学精密机械研究所等单位分别进行了相关的技术研究和系统研制[12-16]，其中有代表性的国产机载海洋激光测深系统有LADM-Ⅰ、LADM-Ⅱ和Mapper-5000，产品性能已达到国际水平[17]。国内外代表性机载海洋激光测深系统性能参数如表 1所示。
表 1 国内外代表性机载海洋激光测深系统性能参数/mTable 1. Performance Parameters of Abroad and Domestic Representative Airborne Laser Bathymetry System/m参数 CZMIL HAWKEYE Ⅲ LADS HD LADM-Ⅰ LADM-Ⅱ Mapper-5000 测深深度 [0.15, 50] [0.15, 50] [0.15, 50] [0.5, 50] [0.5, 50] [0.25, 51] 测深精度 0.36 0.36 0.36 0.31 0.3 0.23 与多波束测深系统的测量精度要求一致，机载海洋激光测深系统的水深测量精度需满足国际海道测量规范IHO-S44的要求，即对浅于30 m水深的测量精度应优于0.3 m；关于最大测深能力，目前国际上已有系统的指标为kDmax=3~5（白天为3~4，晚上为4~5），其中k为海水漫衰减系数，Dmax为最大水深。在海水光束衰减系数为0.2 m-1时，要求系统能够达到50 m的穿透能力[18]。海洋测绘中，机载海洋激光测深系统的最大探测深度指标主要受接收信噪比（signal to noise ratio, SNR）的影响，综合考虑海浪影响、探测器热噪声等因素后，可把海底可探测的最小信噪比定义为3 [18]。本文以最小信噪比大于3为标准进行机载海洋激光测深系统参数设计，以满足最大探测深度指标。机载海洋激光测深的精度指标主要受回波信号的定位精度影响，海洋激光测深系统波形处理方法与陆地激光测绘系统不同，并且更加复杂[18]。这是因为在进行陆地测绘时，空气对激光传播的影响几乎可以忽略，通常认为陆地波形是多高斯回波的叠加，而激光在海洋中传播时，受到海气界面和水体吸收散射等影响，从而出现复杂的脉冲展宽，造成严重的波形失真，同时回波强度也随海水深度呈指数衰减。从波形失真的回波信号中准确定位激光信号的位置是确保机载激光测深精度的关键[19]，本文采用实测水质数据对回波信号进行蒙特卡罗仿真，利用蒙特卡罗仿真激光脉冲展宽结果设计自适应匹配滤波器，对不同深度的回波信号进行自适应匹配滤波，提高测深精度。
本文首先对机载测深系统的激光信号传输特性展开分析，详细分析激光信号经过大气-海气界面-海水-海气界面-大气的信道传输后的脉冲展宽、能量衰减和光斑扩展；其次根据激光传输特性的变化指导系统参数设计，以白天最大测深50 m为标准，设计机载激光测深系统参数以满足国际上已有系统的指标，并类推出系统的夜晚最大深度探测指标；然后根据不同深度回波信号特性设计对应匹配滤波器，并设计自适应匹配滤波算法；最后通过仿真对比分析自适应匹配滤波算法与固定匹配滤波的测深精度指标，为进一步提升机载海洋激光测深系统的性能提供新的技术途径。
1 激光信号传输特性分析
利用实测水质数据，对飞机高度500 m、水下深度10~70 m的回波信号进行蒙特卡罗仿真，分析不同海水深度下的激光传输特性变化。在机载海洋激光测深系统中，激光信号会依次经过大气、海气界面和海水到达海底发生反射，再经过海水、海气界面和大气传输至接收平面（飞机所处平面）。激光传输信道复杂，大气信道会对激光脉冲产生双程的吸收，海气界面由于海水和风的运动，海面通常处于波浪起伏的状态，在海平面不同位置光子包会根据海平面法线抽样发生折射进入海水，海气界面的仿真按照海气界面法线随风速抽样进行[20]。海水信道对激光具有吸收和散射作用，这会造成远场激光空间分布展宽、发散角弥散、能量衰减以及脉冲展宽。针对激光信号在海水中的传输特性变化研究，目前广泛采用蒙特卡罗法进行光子包追迹，通过在接收平面的光子包传输特性统计来描述激光信号经过海水传输后的传输特性变化。国内外已有研究发现，采用蒙特卡罗法追迹得到的激光传输特性变化可以有效模拟实测激光传输特性变化[21-28]。因此，本文将采用实测水质数据对回波信号进行蒙特卡罗仿真，利用激光脉冲展宽仿真结果设计自适应匹配滤波器，对不同深度的回波信号进行自适应匹配滤波，达到提高测深精度的研究目标。海水信道传输蒙特卡罗仿真算法如文献[28-30]所述。
蒙特卡罗仿真时所需的参数主要分为激光脉冲参数、信道参数和接收条件3类。激光脉冲参数主要包括波长、峰值功率、光斑大小、远场发散角和初始脉冲宽度。为满足海洋测绘中的最大测深指标，波长应选择海水透射窗口的蓝绿波段，光源需要峰值功率高的激光器，结合脉冲激光器的研究现状，参考上海光机所机载测深系统参数，将光源参数设计为激光波长532 nm、激光峰值功率1.5×106W（其中初始脉冲宽度2 ns，单脉冲能量3 m J）、激光发散角0.2 mrad [31]。海底反射率0.1，大气光学厚度0.08，飞机高度500 m，海面风速10 m/s。与海水信道蒙特卡罗仿真有关的信道参数包括衰减系数cw、吸收系数aw以及不对称因子g, g=0.924可以很好地符合绝大多数海水情况[32-33]。水质参数采用实测水质，如图 1所示，由于海水中的叶绿素悬浮层导致水深40~50 m水域衰减系数与吸收系数增加。
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图 1 不同深度海水衰减系数与吸收系数Figure 1. Attenuation Coefficients and Absorption Coefficients of Seawater at Different Depths激光脉冲经过500 m大气传输，再经过海水的吸收和散射，最后经过500 m大气传输到达接收平面，光斑空域扩展仿真结果如图 2所示。从图 2可以看出，由于受海水强吸收的影响，光斑总能量随海水深度的增加而呈指数衰减。光斑在10 m水深时半径为9.3 m，传输至70 m水深后扩展成半径为327.6 m的大光斑，光斑空域随海水深度的增加而快速扩展。光斑扩展的本质原因在于激光信号经过海水信道后的强散射使其发散角弥散，因此接收孔径和接收视场角都会对接收信噪比产生影响。图 2所获得的接收平面光斑仿真结果将作为机载海洋激光测深系统接收参数设计的输入条件。
受海水信道强吸收与强散射的影响，回波信号除了强度随海水深度的增加呈指数衰减、光斑随深度的增加而扩展外，激光信号的回波波形也会出现展宽和失真。利用蒙特卡罗法进行激光传输仿真，不同深度下的回波信号波形如图 3所示。从图 3可以看出，脉冲展宽、失真随海水深度的增加而加剧，原始脉宽为2 ns，进入海水10 m水深时脉宽为25.4 ns，传输至70 m水深时脉宽展宽到101.6 ns。根据脉冲展宽仿真结果，波形由原始的高斯波形逐渐变成上升沿陡、下降沿缓的波形，此时采用原始波形作为固定匹配滤波波形会产生较大的脉冲定位误差，影响测深精度。图 3所获得的不同深度回波信号脉冲展宽将作为自适应匹配算法设计的输入条件。
2 系统接收参数设计
机载海洋激光测深系统的最大测量深度由回波信号信噪比决定，根据§1的仿真分析，由于回波信号的光斑扩展及发散角弥散，接收信噪比受接收孔径及接收视场角的影响，同时也受噪声的影响。噪声主要由散粒噪声、暗电流、热噪声和背景光噪声构成。信噪比的计算式为[18]:
$$ \mathrm{SNR}=\frac{P_{s} S(\lambda)}{\sqrt{2 e B\left[S(\lambda)\left(P_{s}+P_{b}\right)+i_{d}\right]+\frac{4 k T B}{R}}} $$ (1) 式中，Ps为信号光功率，本文中回波信号功率通过蒙特卡罗仿真获得；e为基元电荷；B为探测器电子学频宽，其大小取50 MHz; id=2 nA为探测器暗电流；S (λ)=0.4 A/W为探测器的响应度；k为波尔兹曼常量；T为探测器工作温度；R为负载电阻；Pb为背景光噪声功率，背景光噪声由大气辐射分析软件Modtran仿真得到。
背景光噪声功率计算式为：
$$ P_{b}=I_{B} \times \pi r^{2} \times \pi \theta_{\mathrm{fov}}^{2} \times \Delta \lambda $$ (2) 式中，IB为背景噪声辐射量；r与θfov分别为接收半径与接收视场角；Δλ为滤光片带宽，滤光片用于滤除带外背景光，Δλ越小越好，综合考虑目前窄带滤光片的工艺难度，选取带宽为0.5 nm的滤光片。
对于机载海洋激光测深系统选用的532 nm波段，其白天背景噪声辐射量为IB=0.034 29 W∙cm-2∙sr-1∙μm-1，夜间背景噪声辐射量为IB=0.034 29 μW∙cm-2∙sr-1∙μm-1。白天时背景噪声辐射量光谱如图 4所示。从图 4可以看出，对于Jerlov IB、Ⅱ类水质透射窗口的绿光波段[34]，当波长λ=518.5 nm时，白天的背景噪声辐射量为IB=0.014 58 W∙cm-2∙sr-1∙μm-1，相较于λ=532 nm波段，信噪比可以提升3.71 d B。对于优于Jerlov IB水质透射窗口的蓝光波段[34]，当波长λ=486.2 nm时，白天的背景噪声辐射量为IB=0.018 69 W∙cm-2∙sr-1∙μm-1，相较λ=532 nm波段，信噪比可以提升2.64 d B。上述两种波段都处于弗朗禾费暗线，可以通过波长的选择大幅改善信噪比，但目前在518.5 nm和486.2 nm波段，针对海洋测绘的高峰值功率脉冲激光器研发尚不成熟，可将其作为未来海洋激光测绘的激光器关键技术开展技术攻关，因此本文系统中仍选用λ=532 nm波段激光器。
不同接收孔径和接收视场在不同测距深度下的信噪比如图 5所示。从图 5可以看出，随着深度的增加，接收信号功率呈指数衰减。从图 5(a)、5(c)中可以看出，由于光斑扩展，增加接收口径会增加信噪比，口径越大效果越好，但考虑机载、星载平台条件，接收口径不宜过大；从图 5(b)、5(d)可以看出，白天视场角扩大，背景光接收也随之增多，信噪比几乎没有改善，夜晚增大视场角有明显改善。结合SNR > 3的最大深度探测标准，当r=30 cm，θfov=50 mrad时，白天50 m深度信噪比为4.459，夜晚70 m深度信噪比为3.81，机载海洋激光测深系统可以实现白天50 m、夜晚70 m的最大探测深度。
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图 5 不同接收参数、不同接收时间、不同深度下的接收信噪比Figure 5. SNR of Different Receiving Parameters, Different Receiving Time and Different Depths3 自适应匹配滤波算法设计
根据图 3所示脉冲展宽仿真结果，波形由原始的高斯波形逐渐变成上升沿陡、下降沿缓的波形，匹配波形y (t)可由二项指数函数叠加表示，计算式为：
$$ y(t)=a \exp (b t)+c \exp (d t) $$ (3) 式中，t为回波信号时间；a、b、c、d均为二项指数函数拟合参数。t与深度h的换算关系为h=c0t/2n，其中，n为海水折射率，c0为真空中光速。
对海水深度10~70 m的回波波形进行最小绝对值残差法拟合，各参数拟合结果如表 2所示，7种深度拟合的均方根误差（root mean squared error, RMSE）均小于1×10-5，对应的脉冲展宽波形如图 6所示。根据不同深度回波波形设计的不同匹配波形，可以用于自适应匹配滤波算法，提高机载海洋激光测深系统测深精度。
表 2 不同深度对应匹配波形参数Table 2. Parameters of Matching Filters at Different Depths深度h/m 脉宽t/ns 参数a/W 参数b/10-2s-1 参数c/W 参数d/10-2s-1 RMSE (0, 15] (0, 134] 5.3 × 10-4 -3.8 1.1 × 10-3 2.7 4.2 × 10-8 (15, 25] (134, 223] 9.0 × 10-4 3.0 -3.2 × 10-4 14.17 1.1 × 10-7 (25, 35] (223, 313] 2.1 × 10-4 2.6 -1.5 × 10-4 14.97 1.4 × 10-7 (35, 45] (313, 402] 5.6 × 10-5 2.7 -5.3 × 10-5 11.20 3.8 × 10-7 (45, 55] (402, 491] 1.4 × 10-5 2.4 -1.4 × 10-5 7.8 4.2 × 10-7 (55, 65] (491, 581] 2.7 × 10-6 2.2 -3.1 × 10-6 7.9 1.7 × 10-6 (65, 75] (581, 670] 9.3 × 10-7 2.2 -9.8 × 10-7 4.5 3.2 × 10-6 对任意时刻的回波信号，计算回波波形与匹配波形在匹配窗口宽度内所有采样点的RMSE [35]，计算式为：
$$ D(t)=\sqrt{\frac{1}{N} \sum\limits_{m=1}^{N}\left(r\left(\frac{m}{N} \tau+t\right)-y\left(\frac{m}{N} \tau\right)\right)^{2}} $$ (4) 其中，m为当前采样点，τ为匹配窗口宽度，根据脉冲展宽仿真结果，取τ=200 ns可满足测距深度要求，$\frac{\tau }{N}$为采样间隔，模数转换器每秒千兆采样数为10，则N=2 000;y(t)为匹配波形。测距精度计算式为[36]:
$$ \Delta R=\sqrt{\Delta R_{s}^{2}+\Delta R_{c}^{2}} $$ (5) 式中，ΔRc为测时电路中的时间测量电路变化引起的测距误差，激光测深系统采用飞行时间测量方法测量目标的距离，采用高精度时间测量芯片测量激光脉冲的飞行时间，测试精度可达27 ps，对应的海洋测距精度为3 mm；ΔRs为探测器输出脉冲匹配的测距误差，计算式为[37]:
$$ \begin{gathered} \Delta R_{s}=\frac{c_{0} \Delta t}{2 n} \end{gathered} $$ (6) $$ \begin{gathered} \Delta t=\left|\arg _{t} \min D(t)-t_{0}\right| \end{gathered} $$ (7) 式中，Δt为回波信号的测时误差；argtmin D(t)为选取D (t)为最小值时的时刻；t0为回波信号的真值时间。
对10~70 m深度的回波信号进行仿真，分别采用自适应匹配滤波算法与固定匹配滤波算法进行波形位置提取，白天与夜晚的测深精度仿真如图 7所示。从图 7可以得出以下结论：
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图 7 自适应匹配滤波算法与固定匹配滤波算法在白天与夜晚的测深精度对比Figure 7. Measurement Accuracy Comparison of Adaptive Matching Filter and Fixed Matching Filter at Day and Night1）对于深度小于20 m的浅海测绘，由于信噪比较高，且激光脉冲展宽不明显，自适应算法与固定匹配滤波性能接近，此时匹配算法对探测精度影响较小，探测精度主要受限于测时电路中的时间测量电路变化引起的测深、测距误差和大气信道引起的测距误差。
2）对于深海测绘，激光衰减强烈导致接收信噪比降低，且激光脉冲出现明显的波形展宽与失真，测距精度开始明显下降。由于自适应匹配滤波器根据深度自适应选择波形进行匹配，相较于固定匹配滤波有显著的测距精度提高，且深度越大，波形失真越大，自适应匹配滤波器对测距精度的提升越明显。
3）对于最大深度探测，在白天50 m水深情况下，自适应匹配滤波相较于固定匹配滤波算法可将测距精度从206 mm提高到166 mm，精度提高了40 mm；在夜晚70 m水深情况下，自适应匹配滤波相较于固定匹配滤波算法可将测距精度从239 mm提高到172 mm，精度提高了67 mm。
4 结语
本文通过采用实测水质结合蒙特卡罗仿真分析了不同深度下回波信号空间扩展、能量衰减以及脉冲展宽，并结合信噪比优于3的标准进行机载海洋测深系统参数设计。根据仿真结果，所设计系统参数能实现白天最大测深深度50 m，夜间最大测深深度70 m的测深性能，满足国际上现有机载海洋激光测深系统的指标。根据不同深度的回波波形设计了自适应匹配滤波算法，在白天50 m水深情况下，自适应匹配滤波相较于固定匹配滤波算法可将测距精度从206 mm提高到166 mm，精度提高了40 mm；在夜晚70 m水深情况下，自适应匹配滤波相较于固定匹配滤波算法可将测距精度从239 mm提高到172 mm，精度提高了67 mm。基于自适应匹配滤波算法的高精度激光测深技术可以满足中国南海近海大陆架的测绘要求。
从背景光噪声辐射光谱的分析中可以看出，选用弗朗禾费暗线的λ=518.5 nm和λ=486.2 nm作光源可以大幅改善信噪比，开展λ=518.5 nm和λ=486.2 nm的高功率脉冲激光器关键技术攻关有望为未来海洋激光测绘提供更高的测绘深度和精度，进一步完善和提升机载海洋激光测深系统的性能。
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表 1 Rn和Rm外边界及每对洞的几何相似度
Table 1 Similarity of Outer andHoles of Rn and Rm
em H′1 H′2 H′3 H′4 H′5 en 0.901 75 H1 0.827 52 0.683 2 0.712 96 0.704 29 0.682 88 H2 0.685 5 0.849 12 0.732 75 0.786 79 0.762 22 H3 0.704 13 0.729 53 0.684 83 0.759 61 0.684 23 H4 0.721 28 0.751 07 0.706 49 0.747 27 0.712 13 
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表 2 对象A的方向矩阵
Table 2 Direction Matrix of Region A
H1 H2 H3 H4 H1 [(0, 0) (0, 2)]T [(2, 2) (2, 2)]T [(2, 2) (2, 2)]T H2 [(-2, 2) (-2, 0)]T [(0, 2) (2, 2)]T [(2, 2) (-1, 2)]T H3 [(-2, 2) (-2, -2)]T [(-2, 0) (-2, -2)]T [(-1, 2) (-2, -2)]T H4 [(-2, -2) (-2, -2)]T [(-2, -2) (-1, 0)]T [(-1, 0) (2, 2)]T
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表 3 对象B的方向矩阵
Table 3 Direction Matrix of Region B
H′1 H′2 H′3 H′4 H′5 H1 [(0, 0) (0 2)] [(2, 2) (2, 2)] [(2, 2) (2, 2)] [(-2, -2) (2, 2)] H2 [(-2, 2) (-2, 0)] [(0, 2) (2, 2)] [(2, 2) (-2, 2)] [(1, 2) (-2, -2)] H3 [(-2, 2) (-2, -2)] [(-2, 0) (-2, -2)] [(0, 2) (-2, -2)] [(0, 2) (-2, -2)] H4 [(-2, -2) (-2, -2)] [(-2, -2) (0, 0)] [(-2, 0) (2, 2)] [(0, 0) (-2, -2)] H5 [(-2, -2) (2, 2)] [(-2, -1) (2, 2)] [(-2, 0) (2, 2)] [(-2, 2) (2, 2)]
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