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摘要: 初始对准是捷联惯导系统的关键技术之一，对准精度直接影响到导航系统的导航解算精度，静基座捷联惯导卡尔曼滤波法对准的精度和收敛时间受模型参数以及初始条件的影响，对于低精度的捷联惯导，这种影响更大，滤波结果往往不能收敛，甚至发散。采用解析法对准是解决上述问题的有效途径，针对静基座解析法对准做了系统研究，推导了惯性器件误差的解析表达式，分析了对准时间与仪器误差估计精度的关系。实测试验结果表明，给予适当的对准时间，解析法对准亦可接近极限精度；同时，在解析法初始对准中，等效天向加速度计零偏可得到有效估计；等效天向、北向陀螺漂移虽可估计，但随机游走对估计结果的影响不可忽视。Abstract: Initial alignment is one of the key SINS technologies, and alignment precision affects the navigation precision of navigation system directly, while Kalman filter parameters and initial conditions affect the convergent time and accuracy in SINS ground alignment. The effect is greater and usually leads to non-convergence and subsequently, low-accuracy SINS. The analytic alignment method is recommended based on a systematic study of this approach. In this study, the analytic expressions of javascript:void(0); nertial instrument errors were derived. The relationship between alignment time and instrument error were analyzed. Test results show that alignment accuracy can be close to the limitation using the analytic method. Meanwhile, up accelerometer bias can be correctly estimated, but the influence by random walk on the estimation results of gyro drifts cannot be ignored.
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Keywords:
- SINS /
- stationary base /
- alignment /
- analytic method /
- constant bias /
- random walk
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初始对准是捷联惯导系统(strapdown inertial navitation system, SINS)的关键技术之一，对准精度直接影响到导航系统的导航解算精度[1-3]。静基座捷联惯导对准方法中，卡尔曼滤波法[4-7]是最为常用的对准方法，但卡尔曼滤波器的初始条件以及模型参数会影响到系统状态变量的估计精度和速度[8-10]。文献[8-13]曾开展相应的研究，来解决卡尔曼滤波器的初始化及滤波参数优化问题。对精度较高的捷联惯导，以上各种改进方法较为有效，但对精度较低的惯性系统，由于卡尔曼滤波法的鲁棒性较低，其对初始条件以及先验信息更为敏感，滤波结果很难收敛，甚至发散。
采用解析法对准是解决上述问题的有效途径，本文针对静基座解析法对准开展了系统研究，推导了惯性器件误差的解析表达式，分析了对准时间与仪器误差估计精度的关系。分析以及实测结果表明，适当时间(建议大于5 min)解析法对准即可以接近对准的极限精度。同时，本研究还证明了在解析法初始对准中，等效天向加速度计零偏是可以得到有效估计的；等效天向、北向陀螺漂移虽可估计，但随机游走对估计结果的影响不可忽视。
1 解析法对准原理
1.1 坐标系定义
导航坐标系：选取东-北-天(E-N-U)地理坐标系为导航坐标系，记为n系。
OEPQ坐标系：其原点O位于载体所在点，E轴指向导航系的东向，P轴平行于地球自转轴，Q轴与另外两轴构成右手坐标系，记为o系。
载体坐标系：其三轴分别平行于载体横轴、纵轴和立轴，取右-前-上为正，记为b系。
由导航坐标系与OEPQ坐标系的定义可知，两者之间的方向余弦矩阵为：
$$ \mathit{\boldsymbol{C}}_n^o = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0&0\\ 0&{\cos B}&{\sin B}\\ 0&{ - \sin B}&{\cos B} \end{array}} \right] $$ (1) 式中，B为载体所在纬度。
1.2 解析法对准的原理
考虑到捷联惯导系统处于静止状态，可将加速度计误差模型近似为常值零偏加白噪声(也称为随机游走), 陀螺误差模型近似为常值漂移加白噪声[14-15]。用平均法确定测量值，如果观测时间适当，白噪声得以减弱，测量值可表示为：
$$ \left\{ \begin{array}{l} \hat f_x^b = f_x^b + a_x^b\\ \hat f_y^b = f_y^b + a_y^b\\ \hat f_z^b = f_z^b + a_z^b \end{array} \right.,\left\{ \begin{array}{l} \hat \omega _x^b = \omega _x^b + \varepsilon _x^b\\ \hat \omega _y^b = \omega _y^b + \varepsilon _y^b\\ \hat \omega _z^b = \omega _z^b + \varepsilon _z^b \end{array} \right. $$ (2) 式中，上标表示所在坐标系，下标表示对应的坐标轴；$ {\hat f^b}$为加速度计比力测量值；fb为${\hat f^b}$的理论值(下同)；a为加速度计的测量误差；${{\hat \omega }^b}$为陀螺角速度测量值；ε为陀螺的测量误差。并记：
$$ \left\{ \begin{array}{l} {{\mathit{\boldsymbol{\hat f}}}^b} = {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\hat f_x^b}&{\hat f_y^b}&{\hat f_z^b} \end{array}} \right]^{\rm{T}}}\\ {{\mathit{\boldsymbol{\hat \omega }}}^b} = {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\hat \omega _x^b}&{\hat \omega _y^b}&{\hat \omega _z^b} \end{array}} \right]^{\rm{T}}} \end{array} \right. $$ (3) $$ \left\{ \begin{array}{l} {\mathit{\boldsymbol{\varepsilon }}^n} = \mathit{\boldsymbol{C}}_b^n{\mathit{\boldsymbol{\varepsilon }}^b}\left( {{\mathit{\boldsymbol{\varepsilon }}^b} = {{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\varepsilon _x^b}&{\varepsilon _y^b}&{\varepsilon _z^b} \end{array}} \right]}^{\rm{T}}},} \right.\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\left. {{\mathit{\boldsymbol{\varepsilon }}^n} = {{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\varepsilon _E^n}&{\varepsilon _N^n}&{\varepsilon _U^b} \end{array}} \right]}^{\rm{T}}}} \right)\\ {\mathit{\boldsymbol{a}}^n} = \mathit{\boldsymbol{C}}_b^n{\mathit{\boldsymbol{a}}^b}\left( {{\mathit{\boldsymbol{a}}^b} = {{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {a_x^b}&{a_y^b}&{a_z^b} \end{array}} \right]}^{\rm{T}}},} \right.\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\left. {{\mathit{\boldsymbol{a}}^n} = {{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {a_E^n}&{a_N^n}&{a_U^b} \end{array}} \right]}^{\rm{T}}}} \right) \end{array} \right. $$ (4) 求得平均值之后，姿态矩阵计算为：
$$ \begin{array}{*{20}{c}} {\mathit{\boldsymbol{\hat C}}_b^n = {{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\left( {{\mathit{\boldsymbol{g}}^n}} \right)}^{\rm{T}}}}\\ {{{\left( {{\mathit{\boldsymbol{g}}^n} \times {\mathit{\boldsymbol{\omega }}^n}} \right)}^{\rm{T}}}}\\ {{{\left[ {\left( {{\mathit{\boldsymbol{g}}^n} \times {\mathit{\boldsymbol{\omega }}^n}} \right) \times {\mathit{\boldsymbol{g}}^n}} \right]}^{\rm{T}}}} \end{array}} \right]}^{ - 1}} \times }\\ {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\left( { - {{\mathit{\boldsymbol{\hat f}}}^b}} \right)}^{\rm{T}}}}\\ {{{\left( { - {{\mathit{\boldsymbol{\hat f}}}^b} \times {{\mathit{\boldsymbol{\hat \omega }}}^b}} \right)}^{\rm{T}}}}\\ {{{\left[ {\left( { - {{\mathit{\boldsymbol{\hat f}}}^b} \times {{\mathit{\boldsymbol{\hat \omega }}}^b}} \right) \times \left( { - {{\mathit{\boldsymbol{\hat f}}}^b}} \right)} \right]}^{\rm{T}}}} \end{array}} \right]} \end{array} $$ (5) 导航系中的重力与地球自转角速度为：
$$ \left\{ \begin{array}{l} {\mathit{\boldsymbol{g}}^n} = {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0&0&{ - g} \end{array}} \right]^{\rm{T}}}\\ {\mathit{\boldsymbol{\omega }}^n} = {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0&{{\omega _N}}&{{\omega _U}} \end{array}} \right]^{\rm{T}}}\\ \;\;\;\; = {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0&{\omega \cos B}&{\omega \sin B} \end{array}} \right]^{\rm{T}}} \end{array} \right. $$ (6) 式(6)中，g为载体所在位置的重力加速度，ω为地球自转角速率。
把式(5)展开，可得(由于公式繁琐，在此仅写出第3行的值)：
$$ \mathit{\boldsymbol{\hat C}}_b^n = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\left( {\hat C_b^n} \right)}_{11}}}&{{{\left( {\hat C_b^n} \right)}_{12}}}&{{{\left( {\hat C_b^n} \right)}_{13}}}\\ {{{\left( {\hat C_b^n} \right)}_{21}}}&{{{\left( {\hat C_b^n} \right)}_{22}}}&{{{\left( {\hat C_b^n} \right)}_{23}}}\\ {\hat f_x^b/g}&{\hat f_y^b/g}&{\hat f_z^b/g} \end{array}} \right] $$ (7) 由于测量值存在误差，式(7)求得的矩阵不是正交单位阵，需要按下式正交化处理：
$$ {\left( {\mathit{\boldsymbol{\hat C}}_b^n} \right)_1} = \mathit{\boldsymbol{\hat C}}_b^n{\left[ {{{\left( {\mathit{\boldsymbol{\hat C}}_b^n} \right)}^{\rm{T}}}\mathit{\boldsymbol{\hat C}}_b^n} \right]^{ - 1/2}} $$ (8) 上式姿态矩阵的失准角为[16]：
$$ \left\{ \begin{array}{l} {\varphi _E} = a_N^n/g\\ {\varphi _N} = - a_E^n/g\\ {\varphi _U} = \varepsilon _E^n/{\omega _N} - a_E^n\tan B/g \end{array} \right. $$ (9) 通过比较文献[17]与文献[18]，可以发现，在忽略白噪声的情况下，解析法对准的误差与卡尔曼滤波法的极限精度相同。
2 惯性仪器误差的解析表达式
捷联惯导静基座对准时，可以估计惯性测量单元的常值偏置[19]，但目前还没有文献给出解析算法。本节推导了惯性仪器误差的解析表达式，可以得到惯性测量单元常值偏置的解析解。
由式(7)的第3行乘以加速度计的测量值，得：
$$ \begin{array}{l} \hat f_U^n = \left[ {{{\left( {\hat f_x^b} \right)}^2} + {{\left( {\hat f_y^b} \right)}^2} + {{\left( {\hat f_z^b} \right)}^2}} \right]/g\\ = \left\langle {{{\mathit{\boldsymbol{\hat f}}}^b},{{\mathit{\boldsymbol{\hat f}}}^b}} \right\rangle /g \end{array} $$ (10) 式中，$\left\langle {a, b} \right\rangle $表示a与b作内积。
把式(2)代入上式并化简，忽略高阶小量，可计算天向加速度计零偏：
$$ a_U^n/g = \left( {\left\langle {{{\mathit{\boldsymbol{\hat f}}}^b},{{\mathit{\boldsymbol{\hat f}}}^b}} \right\rangle /{g^2} - 1} \right)/2 $$ (11) 用同样的方法可在OEPQ坐标系中计算极向陀螺漂移，公式为：
$$ \varepsilon _P^o/\omega = \left( {\left\langle {{{\mathit{\boldsymbol{\hat \omega }}}^b},{{\mathit{\boldsymbol{\hat \omega }}}^b}} \right\rangle /{\omega ^2} - 1} \right)/2 $$ (12) 根据式(1)，陀螺极向漂移可写为：
$$ \varepsilon _P^o/\omega = \varepsilon _N^n\cos B/\omega + \varepsilon _U^n\sin B/\omega $$ (13) 用式(7)的第3行乘以陀螺的测量值并化简，然后忽略高阶小量，可得:
$$ \begin{array}{l} \hat \omega _U^n = \left( {\left\langle {{{\mathit{\boldsymbol{\hat f}}}^b},{{\mathit{\boldsymbol{\hat \omega }}}^b}} \right\rangle } \right)/g\\ \;\;\;\;\; = \frac{{\left\langle {{\mathit{\boldsymbol{f}}^b},{\mathit{\boldsymbol{\omega }}^b}} \right\rangle + \left\langle {{\mathit{\boldsymbol{f}}^b},{\mathit{\boldsymbol{\varepsilon }}^b}} \right\rangle + \left\langle {{\mathit{\boldsymbol{a}}^b},{\mathit{\boldsymbol{\omega }}^b}} \right\rangle }}{g} \end{array} $$ (14) 把式(14)两边同除以地球自转角速度，再次进行化简，可得：
$$ \begin{array}{l} \frac{{\hat \omega _U^n}}{\omega } - \sin B = \frac{{\left\langle {{\mathit{\boldsymbol{f}}^n},{\mathit{\boldsymbol{\varepsilon }}^n}} \right\rangle + \left\langle {{\mathit{\boldsymbol{\omega }}^n},{\mathit{\boldsymbol{a}}^n}} \right\rangle }}{{g\omega }}\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; = \frac{{\varepsilon _U^n}}{\omega } + \frac{{a_N^n\cos B}}{g} + \frac{{a_U^n\sin B}}{g} \end{array} $$ (15) 式(11)、式(13)和式(15)即为惯性传感器误差方程，通常认为北向加速度计零偏不可观测，且相对于陀螺漂移其为小量，可把此项误差设为零，然后把上述3式整理为：
$$ \left\{ \begin{array}{l} \frac{{a_U^n}}{g} = \frac{{\left\langle {{{\mathit{\boldsymbol{\hat f}}}^b},{{\mathit{\boldsymbol{\hat f}}}^b}} \right\rangle /{g^2} - 1}}{2}\\ \frac{{\varepsilon _U^n}}{\omega } = \frac{{\left\langle {{{\mathit{\boldsymbol{\hat f}}}^b},{{\mathit{\boldsymbol{\hat \omega }}}^b}} \right\rangle }}{{g\omega }} - \sin B - \frac{{a_U^n\sin B}}{g}\\ \frac{{\varepsilon _N^n}}{\omega } = \frac{{\left\langle {{{\mathit{\boldsymbol{\hat \omega }}}^b},{{\mathit{\boldsymbol{\hat \omega }}}^b}} \right\rangle /{\omega ^2} - 1}}{{2\cos B}} - \frac{{\varepsilon _U^n\tan B}}{\omega } \end{array} \right. $$ (16) 式(16)即为惯性仪器误差的解析表达式，由此可以得到天向加速度计零偏、天向陀螺漂移与北向陀螺漂移。
3 精度分析
对准误差主要由常值偏置和白噪声引起，在增加外部观测或者多位置对准的情况下[20]，常值偏置引起的对准误差可以减弱或者消除。但在静基座的情况下，常值偏置引起的对准误差不可避免，理论上能达到的最高精度是包含常值偏置的极限精度。因此，如何减小白噪声引起的对准误差是静基座对准的关键。解析法对准采用的观测量是一定观测时间的平均值，观测时间的长短决定了白噪声的大小，下面分析观测时间对对准精度的影响。
3.1 姿态角估计精度分析
相对于陀螺误差对失准角的影响，加速度计误差的影响为小量，并且较短时间平均值的加速度计白噪声即可忽略，因此本小节只分析陀螺误差的影响。航向角误差主要受东向陀螺漂移的影响，虽然东向陀螺漂移不可观测，但只要观测时间适当，即可极大减弱白噪声的影响，对准精度可接近极限精度。
求观测数据平均值的目的是为了减弱角度随机游走(白噪声)的影响，观测时间的长短直接影响失准角的大小。在惯性器件的Allan方差分析中，陀螺角度随机游走和观测时间的双对数曲线为一条直线[21]，直线的斜率为-0.5，根据上述关系可以确定不同观测时间随机游走的大小，可写为：
$$ \sigma \left( t \right) = Q/\sqrt t $$ (17) 式中，σ为Allan标准差；Q为随机游走系数；t为观测时间，单位为h。
根据式(17)，10 min对应的随机游走约为2.4Q，5 min对应的随机游走约为3.5Q，与10 min的误差相差不大。根据式(9)，陀螺随机游走引起的航向角误差为：
$$ {\varphi _{U0}} = {\varepsilon _0}/{\omega _N} $$ (18) 式中，ε0为随机游走。
通常情况下认为陀螺常值漂移比随机游走系数高一个数量级，约为10Q，与之相比，5 min或者10 min对应的随机游走较小，引起的对准误差在可接受的范围内。同时，通过式(17)还可得出，当观测时间越长时，随机游走的影响越弱，对准精度越接近极限精度。
3.2 惯性器件误差估计精度分析
除了计算姿态角，静基座对准还可以估计惯性器件误差。在忽略白噪声和北向加速度计零偏的情况下，可以根据式(16)准确估计惯性器件偏置。但在实际应用中，白噪声对估计惯性器件误差是有影响的，影响的大小可以根据式(17)计算。10 min对应的随机游走约为2.4Q，5 min对应的随机游走约为3.5Q。
通过上述分析可知，对于低精度的静基座捷联惯导，在应用卡尔曼滤波法无法完成精对准的情况下，应用解析法对准是可行的。即使对于高精度的捷联惯导，解析法对准也有一定的应用价值。
需要指出的是，对于陀螺零偏超过5°/h的捷联惯导系统，不具备自对准能力[22]，需要借助外部观测信息进行航向角的计算。
4 算例分析
为了验证解析法对准的效果，针对一组静基座光纤捷联惯导数据进行解算分析。光纤捷联惯导的标称精度为陀螺漂移小于0.75°/h，随机游走系数为0.1°/ $\sqrt {\text{h}} $，加速度计零偏1×10-3g。
捷联惯导采集数据时间为2 h，并把2 h数据的对准结果作为参考值，分两种方案进行比较。第1种方案为:从中截取10段数据进行解析法对准，每段数据的时间为10 min，并与参考值进行对比，比较结果见图 1和图 2。第2种方案为:从中截取10段数据进行解析法对准，每段数据的时间为5 min，并与参考值进行对比，比较结果见图 3和图 4。
通过图 1可以发现，水平姿态角可以得到有效估计，航向角的估计值与参考值之差在±1.1°之间。通过§3分析可知，10 min的随机游走约为2.4Q(Q=0.1)，比较式(18)可知，2.4Q对应的航向角误差约为1.0°，与实验结果相符。
惯性仪器误差方面，通过图 2可以得出:等效天向加速度计零偏可以得到有效估计；等效陀螺漂移受随机游走的影响，估计误差较大，但结果和第3节的分析相符，10 min的对准时间引起的陀螺估计误差约在±0.3°/h之间。
通过图 3可以发现，航向角的估计值与参考值之差在±1.7°之间。5 min的随机游走约为3.5Q(Q=0.1)，比较式(18)可知，3.5Q对应的航向角误差约为1.5°，与实验结果相符。
惯性仪器误差方面，通过图 4可以得出，等效陀螺漂移受随机游走的影响，估计误差较大，但结果和§3的分析相符，5 min的对准时间引起的陀螺估计误差约在±0.4°/h之间。
通过两种方案的比较发现，对于俯仰角、横滚角以及天向加速度计零偏，10 min和5 min的结果几乎相同，差异可以忽略；对于航向角、北向以及天向陀螺漂移，10 min的结果优于5 min，但其差异在可接受的范围内，考虑到§3的分析，本文建议解析法对准的时间大于5 min。读者也可根据§3的精度分析和实际需要选择合适的对准时间。
5 结语
本文针对静基座捷联惯导解析法对准，给出了解析法对准的详细过程，推导了惯性器件误差的解析表达式，分析了对准时间对对准精度的影响。分析以及试验结果证明，适当时间(建议大于5 min)解析法对准，即可以接近对准的极限精度。同时证明，在解析法初始对准中，等效天向加速度计零偏可得到有效估计；等效天向、北向陀螺漂移虽可估计，但随机游走对估计结果的影响不可忽视。最后，得出结论：解析法是适用于低精度捷联惯导行之有效的初始对准方法，而对于高精度的捷联惯导，解析法对准也有一定的应用价值。
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