Influence of Horizontal Disturbing Gravity on Position Error in Inertial Navigation Systems
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摘要: 研究了不同运动状态下扰动重力水平分量（HDG）对高精度惯导系统（inertial navigation system，INS）的位置误差影响。首先推导了HDG对INS误差影响的状态空间方程，进而推导出3种运动条件下INS位置误差与HDG之间的解析关系式，设计了基于惯导解算求解上述影响的方法。在匀速运动条件下，分别通过解析式与惯导解算两种方法计算了相同HDG引起的INS位置误差。解析式计算结果表明，±80 mGal（1 mGal=10-5 m/s2）范围内变化的HDG约可引起最大约3 000 m的INS位置误差；对两种方法计算结果的比较显示，所得INS位置误差的量级与变化情况基本一致，两组结果验证了各自方法的有效性。Abstract: The influence of horizontal disturbing gravity (HDG) on the positional error of high-precision Inertial Navigation Systems (INSs) was studied under different conditions of movement. A space-state equation expressing INS error with HDG was deduced and analytic expressions of INS position error with HDG were deduced under three conditions of movement. Additionally, a method of computing above influence based on inertial navigation calculation is designed. Under the condition of uniform motion, INS position error caused by the same HDG was calculated through analytic expressions and inertial navigation calculations. The results from analytic expressions show that disturbing gravity varied between ±80 mGal (1 mGal = 10-5 m/s2) causing about 3 000 m INS positional error at the maximum. A comparison of the results from two methods show that the level and change in INS positional error are basically consistent while the validity of each method was verified by these results.
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Keywords:
- disturbing gravity /
- inertial navigation system /
- position error /
- acceleration /
- ultra-precise
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在惯性导航解算中，地球重力场通常被假定为正常重力场，该处理方法忽略了实际重力场与正常重力场之间的差异，即扰动重力。该假定条件在惯性器件误差较大时可以忽略不计，然而，当惯性器件的误差量级很小时，由扰动重力所引起的惯性导航系统(inertial navigation system, INS)位置误差就成为了重要误差源，特别是对于远距离长时间的导航[1, 2]。因此，在研究高精度INS时，需要考虑该误差的影响，诸多国内外学者对相关问题进行了研究。
文献[3]通过状态空间误差分析研究了未知重力场对航空INS的影响；文献[4]研究了扰动重力对惯导系统速度误差的影响，近5个小时的飞行试验表明由垂线偏差引起的水平速度误差可达4 nmile/h；文献[5]研究了重力垂线偏差补偿对提高惯导系统位置和姿态精度的影响，通过地面车载实验验证了补偿对于水平姿态角以及水平坐标精度的提高；文献[6]研究了用于超高精度惯性导航误差补偿所需要的重力场模型，仿真结果表明，只有地面观测数据分辨率高于2′×2′，且精度优于5 mGal(1 mGal=10-5 m/s2)时，才能支持未来超高精度的惯导系统在载体以300 km/h的速度飞行1 h后仍能达到5 m的位置精度；文献[2]分析了引入重力梯度矢量测量值来提高INS精度的方法；文献分别通过对惯导系统误差方程的分析研究了扰动重力场的影响，均得出了惯导系统位置误差以舒勒周期进行振荡的相似结论；文献[12]分析了重力异常对平台式惯导系统的误差影响；文献[13]通过弹道导弹捷联算法，对重力异常造成的导弹落点误差进行了仿真；文献[14]从重力扰动对高精度惯导系统水平方向误差的影响出发，结合惯导系统的误差方程与地球重力场球谐模型和协方差模型，得到了重力异常对惯导系统水平方向精度影响的公式；文献[15]仿真分析了理想状态下扰动重力对惯性导航的影响，结果表明扰动重力影响显著；文献[16]通过对低速运动条件下高精度INS长时间的数值仿真，研究了重力扰动矢量补偿对惯导解算精度的改善；文献[17]对扰动重力为常值、线性函数、三角函数三种条件下产生的INS位置误差影响进行仿真计算；文献[18]通过载体处于匀速运动条件的仿真计算，研究了典型飞行条件下INS需要进行扰动重力补偿的时间间隔；文献[19]为提供定位定向系统(position and orientation system, POS)的精度，设计了实时估计扰动重力大小并进行扰动重力补偿的算法。
以上研究均表明扰动重力对INS位置误差的影响较大，在超高精度INS的设计中必须要考虑扰动重力对其精度的影响。这些研究各自有不同的侧重点，总体来说，较多地注重于分析无加速度运动过程的误差影响，缺少在变速运动条件下对该误差影响的分析。然而无加速度运动只能体现自然运动中的很少部分，基于此，本文重点对变速运动时扰动重力水平分量(horizontal disturbing gravity, HDG)对INS位置误差影响的解析表达式进行了推导。此外，本文从惯导解算的角度，通过对有无水平方向扰动重力两种重力场环境下惯导解算的结果比较，分析地球扰动重力场对INS位置解算的影响。
1 基本模型推导
以捷联INS为分析对象，在北东地坐标系下系统的误差方程为[20]：
$$ \mathit{\boldsymbol{\dot \psi }} = - \mathit{\boldsymbol{\omega }}_{in}^n \times \mathit{\boldsymbol{\psi }} + \delta \mathit{\boldsymbol{\omega }}_{in}^n - C_b^n\delta \mathit{\boldsymbol{\omega }}_{ib}^n $$ (1) $$ \begin{array}{l} \hat \delta \mathit{\boldsymbol{v}} = \left[{{\mathit{\boldsymbol{f}}^n} \times } \right]\mathit{\boldsymbol{\psi }} - \left( {2\delta \mathit{\boldsymbol{\omega }}_{ie}^n + \delta \mathit{\boldsymbol{\omega }}_{en}^n} \right) \times \mathit{\boldsymbol{v}} + \\ C_b^n\delta {\mathit{\boldsymbol{f}}^b} - \left( {2\mathit{\boldsymbol{\omega }}_{ie}^n + \mathit{\boldsymbol{\omega }}_{en}^n} \right) \times \delta \mathit{\boldsymbol{v}} + \delta \mathit{\boldsymbol{g}} \end{array} $$ (2) $$ \hat \delta \mathit{\boldsymbol{p}} = \delta \mathit{\boldsymbol{v}} $$ (3) 式中，i表示惯性坐标系；n表示导航坐标系；b表示载体坐标系；ω为旋转角速率；ψ为系统姿态角误差向量；Cbn为载体坐标系到导航坐标系的转移矩阵；f为比力向量；g为重力向量；v为速度向量；p为位置向量；fn×为比力向量的叉乘形式。
$$ \left[{\mathit{\boldsymbol{f}}^n \times } \right] = \left[{\begin{array}{*{20}{c}} 0&{-f_D^n}&{f_E^n}\\ {f_D^n}&0&{-f_N^n}\\ {-f_E^n}&{f_N^n}&0 \end{array}} \right] $$ 式中，fNn、fEn、fDn为导航系下的3个比力分量，为了重点分析扰动重力对INS位置误差的影响，将系统误差方程中与Coriolis影响有关的项忽略掉，并考虑加速度计的测量误差为零，式(2) 可简化为:
$$ \delta \mathit{\boldsymbol{\dot v}} = \left[{{\mathit{\boldsymbol{f}}^n} \times } \right]\mathit{\boldsymbol{\psi }} + \delta \mathit{\boldsymbol{g}} $$ (4) 由于高精度INS姿态误差角ψ很小，在式(1) 中将其与ωinn的乘积忽略，并考虑陀螺的测量误差为零，则式(1) 可简化为：
$$ \mathit{\boldsymbol{\dot \psi }} = \delta \mathit{\boldsymbol{\omega }}_{in}^n $$ (5) 式(3)~(5) 即构成了对本问题进行研究的误差方程组。
纯INS中的高度通道是发散的，但是通常在实际应用时，高度通道的误差能够通过其他测高系统进行有效控制[2, 21]，因而本文忽略高度通道的误差及其对水平通道的耦合，仅考虑系统的水平位置误差。将方程组写成各个分量的形式：
$$ \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\dot \psi }_x} = \delta {v_E}/R}\\ {{{\dot \psi }_y} = - \delta {v_N}/R}\\ {{{\dot \psi }_z} = - \delta {v_E}tan\varphi /R}\\ {\dot \delta {v_{\rm{N}}} = - f_D^n{\psi _y} + f_E^n{\psi _z} + \delta {g_{\rm{N}}}}\\ {\dot \delta {v_{\rm{E}}} = f_D^n{\psi _x} - f_{\rm{N}}^n{\psi _z} + \delta {g_{\rm{E}}}}\\ {\delta \dot \varphi = \delta {v_{\rm{N}}}/R}\\ {\delta \dot \lambda = \sec \varphi \cdot \delta {v_{\rm{E}}}/R} \end{array}} \right. $$ (6) 式中，ψx、ψy、ψz分别为系统3个姿态角误差；δvN、δvE分别为北向与东向速度误差；δgN、δgE为扰动重力在北向与东向的水平分量；φ、λ分别为地理纬度、经度；R为地球半径。这里假设载体所在的高度为零，进一步可写成状态空间方程的形式：
$$ \mathit{\boldsymbol{\dot X}} = \mathit{\boldsymbol{AX}} + \mathit{\boldsymbol{BU}} $$ (7) 其中，
$$ \begin{array}{l} \mathit{\boldsymbol{X}} = {\left[{{\psi _x}\;\;{\psi _y}\;\;{\psi _z}\;\;\delta {v_{\rm{N}}}\;\;\delta {v_{\rm{E}}}\;\;\delta \varphi \;\;\delta \lambda } \right]^{\rm{T}}}\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\mathit{\boldsymbol{U}} = {\left[{\delta {g_{\rm{N}}}\;\;\delta {g_{\rm{E}}}} \right]^{\rm{T}}} \end{array} $$ $$ \begin{array}{l} \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\mathit{\boldsymbol{A}} = \\ \left[{\begin{array}{*{20}{c}} 0&0&0&0&{1/R}&0&0\\ 0&0&0&{-1/R}&0&0&0\\ 0&0&0&0&{-\tan \varphi /R}&0&0\\ 0&{-f_D^n}&{f_{\rm{E}}^n}&0&0&0&0\\ {f_D^n}&0&{ - f_{\rm{N}}^n}&0&0&0&0\\ 0&0&0&{1/R}&0&0&0\\ 0&0&0&0&{\sec \varphi /R}&0&0 \end{array}} \right]\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\mathit{\boldsymbol{B}} = {\left[{\begin{array}{*{20}{c}} 0&0&0&1&0&0&0\\ 0&0&0&0&1&0&0 \end{array}} \right]^{\rm{T}}} \end{array} $$ 2 零加速度情况下的误差仿真
载体处于静止或匀速运动条件下，载体的加速度为零，比力与重力大小相等、方向相反，f=[fNn fEn fDn]T=[0 0-g0]T，故式(7) 可进一步简化。此时令系统初始误差为零，对式(7) 式取Laplace变换，可求得X(s)=(sI -A)-1 BU(s)，因而可以导出δgN、δgE对各误差量影响的传递函数。通过Matlab求得的结果如表 1所示，表中$ {\omega _s} = \sqrt {{g_0}/R} $，为舒拉频率。
表 1 扰动重力对INS各误差量影响的传递函数Table 1. Transfer Functions of Disturbing Gravity on Each Error Variation of INS误差项 δgN(s) δgE(s) ψx(s) 0 $ - \frac{1}{{R\left( {{s^2} + \omega _s^2} \right)}} $ ψy(s) $ \frac{1}{{R\left( {{s^2} + \omega _s^2} \right)}} $ 0 ψz(s) 0 $ \frac{{\tan \varphi }}{{R\left( {{s^2} + \omega _s^2} \right)}} $ δvN(s) $ - \frac{s}{{\left( {{s^2} + \omega _s^2} \right)}} $ 0 δvE(s) 0 $ - \frac{s}{{\left( {{s^2} + \omega _s^2} \right)}} $ δφ(s) $ - \frac{1}{{R\left( {{s^2} + \omega _s^2} \right)}} $ 0 δλ(s) 0 $ - \frac{{\sec \varphi }}{{R\left( {{s^2} + \omega _s^2} \right)}} $ 由表 1可得：
$$ \delta \varphi \left( s \right) = - \frac{1}{{R\left( {{s^2} + \omega _s^2} \right)}}\delta {g_{\rm{N}}}\left( s \right) $$ (8) $$ \delta \lambda \left( s \right) = - \frac{{\sec \varphi }}{{R\left( {{s^2} + \omega _s^2} \right)}}\delta {g_{\rm{E}}}\left( s \right) $$ (9) 对以上二式进行反拉氏变换，可得:
$$ \delta \varphi \left( t \right) = - \frac{1}{{{\omega _s}R}}\int_0^t {\sin \left( {{\omega _s}\tau } \right)} \delta {g_{\rm{N}}}\left( {t - \tau } \right){\rm{d}}\tau $$ (10) $$ \delta \lambda \left( t \right) = - \frac{{\sec \varphi }}{{{\omega _s}R}}\int_0^t {\sin \left( {{\omega _s}\tau } \right)} \delta {g_{\rm{E}}}\left( {t - \tau } \right){\rm{d}}\tau $$ (11) 即为零加速度情况下以时间为变量的HDG对INS位置误差影响的解析计算式。
通过式(10)、(11) 对匀速运动条件下HDG对INS误差影响进行仿真。仿真条件设定如下：模拟海面与陆地两种环境，其中海面航线设为北纬30°、东经120°~125°(约482 km航程)；陆地航线为北纬30°、东经94°~99°；航线上的HDG通过重力场位系数模型EGM2008[22]求得，运动载体速度均设为36 km/h；INS初始对准误差设为零，不考虑惯性器件的各种测量误差。
图 1、图 3所示分别为海洋、陆地航线上的HDG，图 2、图 4分别对应着它们所引起的INS位置误差。表 2所示为图 1~4所对应的统计信息，其中δPN与δPE分别代表北向位置误差与东向位置误差。
表 2 HDG及其引起位置误差的统计信息Table 2. Statistics of HDG and Corresponding Position Error海洋航线 陆地航线 最大值 平均值 最大值 平均值 |δgN|/mGal 18.18 9.05 93.61 38.19 |δPN|/m 223.58 75.63 2 971.32 1 058.23 |δgE|/mGal 39.23 30.89 79.18 26.04 |δPE|/m 531.82 214.33 2583.78 787.55 由图 1~4可见，陆地上的扰动重力要较海洋大，由此引起的INS的位置误差也较大；当扰动重力在有界范围内随机变化时，所引起INS的位置误差变化呈现出一定的周期性，在有界范围内震荡；由图 3、图 4可见，±80 m Gal范围内变化的扰动重力约可引起最大近3 000 m的INS位置误差。由此，对于高精度的INS而言，扰动重力进行补偿是非常必要的。
3 变加速度情况下的误差推导
在无加速度情况的仿真分析中，由于载体的比力水平分量为零，通过式(7) 求解δgN、δgE对各误差量影响的传递函数可以得到一定的简化。当载体处于变加速度运动状态时，需要综合考虑比力3个分量的影响。为在变加速度情况下作同上分析，仍然对式(7) 取Laplace变换，通过求X (s)=(sI -A)-1 BU (s)，导出δgN、δgE对各误差量影响的传递函数。
3.1 载体仅具有水平加速度的情况
当载体仅具有水平加速度时(如舰船在海面航行)，f=[fNn fEn-g0]T，扰动重力对INS位置误差的影响为：
$$ \begin{array}{l} \delta \varphi \left( s \right) = - \frac{1}{{R\left( {{s^2} + \omega _s^2} \right)}}\delta {g_{\rm{N}}}\left( s \right) + \\ \left[{\frac{1}{{R\left( {{s^2} + \omega _s^2} \right)}}\frac{{f_{\rm{E}}^n\tan \varphi }}{{R\left( {{s^2} + \frac{{{g_0}-f_{\rm{N}}^n\tan \varphi }}{R}} \right)}}} \right]\delta {g_{\rm{E}}}\left( s \right) \end{array} $$ (12) $$ \delta \lambda \left( s \right) = - \frac{{\sec \varphi }}{{R\left( {{s^2} + \frac{{{g_0} - f_{\rm{N}}^n\tan \varphi }}{R}} \right)}}\delta {g_{\rm{E}}}\left( s \right) $$ (13) 设tm时刻水平加速度分量fNn、fEn分别为fNtmn、fEtmn，并设$ \omega _{s{t_m}}^2 = \frac{{{g_0} - f_{{N}{{t}_m}}^n\tan \varphi }}{R} $(考虑g0-fNtmntanφ≥0，对于使用纯惯性导航方式的系统而言g0-fNtmntanφ＜0的情况基本不存在), 式(13) 可改写为：
$$ \delta \lambda \left( s \right) = - \frac{{\sec \varphi }}{{R\left( {{s^2} + \omega _{s{t_m}}^2} \right)}}\delta {g_{\rm{E}}}\left( s \right) $$ (14) 扰动重力分量δgE(tm)对t时刻经度误差的影响为$ - \frac{{\sec \varphi }}{{R{\omega _{s{t_m}}}}}\sin {\omega _{s{t_m}}}\left( {t - {t_m}} \right)\delta {g_{\rm{E}}}\left( {{t_m}} \right)\Delta t $。其中，Δt为采样间隔，总的采样点数为m。故扰动重力对INS经度误差的影响为:
$$ \delta \lambda \left( t \right) = - \sum\limits_{m = 0}^m {\frac{{\sec \varphi }}{{R{\omega _{s{t_m}}}}}\sin {\omega _{s{t_m}}}\left( {t - {t_m}} \right)\delta {g_{\rm{E}}}\left( {{t_m}} \right)\Delta t} $$ (15) 将式(12) 等式右端的两项分别用δφ1(s)与δφ2(s)表示，则有:
$$ \delta \varphi \left( s \right) = \delta {\varphi _1}\left( s \right) + \delta {\varphi _2}\left( s \right) $$ (16) $$ \delta {\varphi _1}\left( s \right) = - \frac{1}{{R\left( {{s^2} + \omega _s^2} \right)}}\delta {g_{\rm{N}}}\left( s \right) $$ (17) $$ \begin{array}{l} \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\delta {\varphi _2}\left( s \right) = \\ \left[{\frac{1}{{R\left( {{s^2} + \omega _s^2} \right)}}\frac{{f_{\rm{E}}^n\tan \varphi }}{{R\left( {{s^2} + \frac{{{g_0}-f_{\rm{N}}^n\tan \varphi }}{R}} \right)}}} \right]\delta {g_{\rm{E}}}\left( s \right) \end{array} $$ (18) 当fNtmn=0时，式(18) 可表示为：
$$ \delta {\varphi _2}\left( s \right) = \left[{\frac{{f_{\rm{E}}^n\tan \varphi }}{{{R^2}{{\left( {{s^2} + \omega _s^2} \right)}^2}}}} \right]\delta {g_{\rm{E}}}\left( s \right) $$ (19) 而
$$ {L^{ - 1}}\left[{\frac{{f_{\rm{E}}^n\tan \varphi }}{{{R^2}{{\left( {{s^2} + \omega _s^2} \right)}^2}}}} \right] = \frac{{f_{\rm{E}}^n\tan \varphi }}{{2{R^2}\omega _s^3}}\left( {\sin {\omega _s}t - {\omega _s}t\cos {\omega _s}t} \right) $$ (20) 当fNtmn≠0时，式(18) 可表示为：
$$ \delta {\varphi _2}\left( s \right) = \left[{\frac{{f_{\rm{E}}^n\tan \varphi }}{{{R^2}\left( {{s^2} + \omega _s^2} \right)\left( {{s^2} + \omega _{s{t_m}}^2} \right)}}} \right]\delta {g_{\rm{E}}}\left( s \right) $$ (21) 而
$$ \begin{array}{l} {L^{ - 1}}\left[{\frac{{f_{\rm{E}}^n\tan \varphi }}{{{R^2}{{\left( {{s^2} + \omega _s^2} \right)}^2}\left( {{s^2} + \omega _{s{t_m}}^2} \right)}}} \right]\\ = \frac{{f_{\rm{E}}^n\tan \varphi }}{{{R^2}}}\frac{{{\omega _{s{t_m}}}\sin {\omega _s}t - {\omega _s}\sin {\omega _{s{t_m}}}t}}{{{\omega _{s{t_m}}}{\omega _s}\left( {\omega _{s{t_m}}^2 - \omega _s^2} \right)}} \end{array} $$ (22) 则δφ2(t)可以用统一形式表示为：
$$ \delta {\varphi _2}\left( t \right) = \sum\limits_{m = 0}^m {f\left( {t - {t_m}} \right)} \delta {g_{\rm{E}}}\left( {{t_m}} \right)\Delta t $$ (23) 其中,
$$ f\left( t \right) = \left\{ \begin{array}{l} \frac{{f_{\rm{E}}^n\tan \varphi }}{{2{R^2}\omega _s^3}}\left( {\sin {\omega _s}t - {\omega _s}t\cos {\omega _s}t} \right), f_{{\rm{N}}{t_m}}^n = 0\\ \frac{{f_{\rm{E}}^n\tan \varphi }}{{{R^2}}}\frac{{{\omega _{s{t_m}}}\sin {\omega _s}t - {\omega _s}\sin {\omega _{s{t_m}}}t}}{{{\omega _{s{t_m}}}{\omega _s}\left( {\omega _{s{t_m}}^2 - \omega _s^2} \right)}}, f_{{\rm{N}}{t_m}}^n \ne 0 \end{array} \right. $$ (24) 因而
$$ \delta \varphi \left( t \right) = - \frac{1}{{{\omega _s}R}}\int_0^t {\sin \left( {{\omega _s}\tau } \right)} \delta {g_{\rm{N}}}\left( {t - \tau } \right){\rm{d}}\tau + \delta {\varphi _2}\left( t \right) $$ (25) 3.2 载体具有各向加速度的情况
当载体具有北、东、地3个方向的加速度时(如导弹的不同制动段)，有:
$$ \begin{array}{l} \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\mathit{\boldsymbol{f}} = {\left[{f_{\rm{N}}^n\;\;f_{\rm{E}}^n\;\;f_{\rm{D}}^n} \right]^{\rm{T}}}, \\ \delta \lambda \left( s \right) = - \frac{{\sec \varphi }}{{R\left( {{s^2} + \frac{{ - \left( {f_{\rm{D}}^n + f_{\rm{N}}^n\tan \varphi } \right)}}{R}} \right)}}\delta {g_{\rm{E}}}\left( s \right) \end{array} $$ (26) $$ \begin{array}{l} \delta \varphi \left( s \right) = - \frac{1}{{R\left( {{s^2} - f_{\rm{D}}^n/R} \right)}}\delta {g_{\rm{N}}}\left( s \right) + \left[{\frac{1}{{R\left( {{s^2}-f_{\rm{D}}^n/R} \right)}}\frac{{f_{\rm{E}}^n\tan \varphi }}{{R\left( {{s^2} + \frac{{-\left( {f_{\rm{D}}^n + f_{\rm{N}}^n\tan \varphi } \right)}}{R}} \right)}}} \right]\delta {g_{\rm{E}}}\left( s \right) \end{array} $$ (27) 由于fDn+g0=a，若要使得fDn > 0，则载体的整体加速度需满足a>g0，这种可能较小，即需要在载体下落的同时再给载体一个推力，除了极个别类别的导弹外很少满足此条件，因此不考虑fDn>0的情况。相同地可作类似分析，-(fDn+fNntanφ)只有在高纬度地区且北向加速度很大的情况下才能达到-(fDn+fNntanφ)＜0的条件，而使用纯INS的载体很难达到以上条件，故同样不作考虑。因此，可令
$$ \begin{array}{l} \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\omega _{s1{t_m}}^2 = \frac{{ - f_{{\rm{D}}{t_m}}^n}}{R}\\ \omega _{s2{t_m}}^2 = \frac{{ - \left( {f_{{\rm{D}}{t_m}}^n + f_{{\rm{N}}{t_m}}^n\tan \varphi } \right)}}{R} \end{array} $$ 则式(27) 与式(26) 可分别表示为：
$$ \begin{array}{l} \delta \varphi \left( s \right) = - \frac{1}{{R\left( {{s^2} + \omega _{s1}^2} \right)}}\delta {g_{\rm{N}}}\left( s \right) + \\ \left[{\frac{1}{{R\left( {{s^2} + \omega _{s1{t_m}}^2} \right)}}\frac{{f_{{\rm{E}}{t_m}}^n\tan \varphi }}{{R\left( {{s^2} + \omega _{s2{t_m}}^2} \right)}}} \right]\delta {g_{\rm{E}}}\left( s \right) \end{array} $$ (28) $$ \delta \lambda \left( s \right) = - \frac{{\sec \varphi }}{{R\left( {{s^2} + \omega _{s2{t_m}}^2} \right)}}\delta {g_{\rm{E}}}\left( s \right) $$ (29) 依据上节所述求解思路，可以推得:
$$ \delta \lambda \left( t \right) = - \sum\limits_{m = 0}^m {\frac{{\sec \varphi }}{{R\omega _{s2{t_m}}^{}}}} \sin \omega _{s2{t_m}}^{}\left( {t - {t_m}} \right)\delta {g_{\rm{E}}}\left( {{t_m}} \right)\Delta t $$ (30) $$ \begin{array}{l} \delta \varphi \left( t \right) = \sum\limits_{m = 0}^m {{f_1}} \left( {t - {t_m}} \right)\delta {g_{\rm{N}}}\left( {{t_m}} \right)\Delta t + \\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\sum\limits_{m = 0}^m {{f_2}} \left( {t - {t_m}} \right)\delta {g_{\rm{E}}}\left( {{t_m}} \right)\Delta t \end{array} $$ (31) 其中，
$$ {f_1}\left( t \right) = - \frac{1}{{R\omega _{s1{t_m}}^{}}}\sin \omega _{s1{t_m}}^{}t $$ (32) $$ {f_2}\left( t \right) = \left\{ \begin{array}{l} \frac{{f_{E{t_m}}^n\tan \varphi }}{{2{R^2}\omega _{s1{t_m}}^3}}\left( {\sin \omega _{s1{t_m}}^{}t - \omega _{s1{t_m}}^{}t\cos \omega _{s1{t_m}}^{}t} \right), \\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\omega _{s1{t_m}}^{} = \omega _{s2{t_m}}^{}\\ \frac{{f_{E{t_m}}^n\tan \varphi }}{{{R^2}}}\frac{{\omega _{s2{t_m}}^{}\sin \omega _{s1{t_m}}^{}t - \omega _{s1{t_m}}^{}t\sin \omega _{s2{t_m}}^{}t}}{{\omega _{s2{t_m}}^{}t\omega _{s1{t_m}}^{}t\left( {\omega _{s2{t_m}}^2 - \omega _{s1{t_m}}^2} \right)}}, \\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\omega _{s1{t_m}}^{} \ne \omega _{s2{t_m}}^{} \end{array} \right. $$ (33) 这样，即可根据tm时刻扰动重力对t时刻INS位置误差的影响，累加求得最终t时刻INS的位置误差。以上两种情况代表着两种载体运动方式，两种不同的分析均具有一定的意义。可对某些运动过程有比力数据支持的条件下，通过以上两组式子进行位置误差的计算。
4 惯导解算求解扰动重力的影响
通过INS解算结果比较的方法，也能够得出地球扰动重力场对INS位置解算的影响。假设地球重力场为正常重力场，在该条件下设定某运动路径，仿真生成惯性传感器单元的测量数据，通过该数据解算出一条运动轨迹。实际地球重力场包含扰动重力，模拟实际地球重力场环境，则对于相同的运动路径将生成不同的惯性测量数据，运用相同的惯导解算算法将得到与前述解算结果不同的轨迹。将得到的两条轨迹相比较，即得到扰动重力场对INS位置解算的影响。
首先模拟两种重力场环境，一种为假设正常重力场为真实重力场的理想重力场环境；另一种为在正常重力场上累加HDG的重力场，其中扰动重力由EGM2008重力场位系数模型计算得到。在以上两种重力场环境下分别通过轨迹发生器得到两组惯性测量单元的测量值，对这两组测量值分别使用正常重力计算公式进行惯导解算，通过两种解算结果的比较得到HDG对惯性系统位置误差的影响，仿真流程如图 5所示。
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图 5 通过惯导解算仿真HDG对INS的位置影响Figure 5. Position Error of INS Caused by HDG Computed by Inertial Navigation Algorithm文献[23]对战略、导航、商用3种级别的惯性器件精度水平进行了划分，据此针对INS传感器的精度水平设计3组仿真条件，如表 3，分别对应战略、导航、商用3种级别。仿真条件中将加速度计误差建模为零偏与白噪声，取白噪声的标准差作为参数；陀螺误差建模为零偏与随机漂移两部分，其中随机漂移部分建模为白噪声，并取白噪声的标准差作为参数。在以上3种条件下进行仿真时，INS的3个初始对准失准角均分别设为2"、2"、10"，系统的模拟轨迹与运动方式同§2。
表 3 惯性传感器仿真条件Table 3. Simulation Condition of Inertial Instruments条件1 条件2 条件3 陀螺零偏/((°)·h-1) 0.000 5 0.005 0.05 陀螺随机漂移/((°)·h-1, 1σ) 0.001 0.01 0.1 加速度计零偏/(m·s-2) 5×10-6 5×10-5 5×10-4 加计白噪声/(m·s-2, 1σ) 1×10-5 1×10-4 1×10-3 图 6与图 7所示分别为在仿真条件2情况下，使用海洋与山区航线上的扰动重力值所得到的惯导仿真与公式计算位置误差比较图。比较两图中惯导解算方法所得误差与通过公式计算得误差，如图 6中的黑色实线与蓝色实线，两种误差的变化情况十分一致。大体上，两种方法所得扰动重力值引起的系统位置误差量级基本相当，变化趋势基本相同。
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图 6 海洋航线上两种方法计算的位置误差比较Figure 6. Comparison of Position Error Computed by two Methods Along MarineRoute![]()
图 7 陆地航线上两种方法计算的位置误差比较Figure 7. Comparison of Position Error Computed by Two Methods Along Terrestrial Route通过比较在3种不同的惯性器件误差条件下所得到的仿真结果，发现当设定的扰动重力相同时，在3种不同条件下进行仿真所得到的扰动重力对INS位置误差的影响几乎一致(篇幅所限，此处不一一图示，仅在表 4中给出位置误差的统计值)，说明该误差影响并不因惯性器件精度的变化而变化。
表 4 不同仿真条件下INS位置误差统计表Table 4. Statistics of INS Position Error Under Different Simulation Conditions|δPN|/m |δPE|/m 最大值 平均值 最大值 平均值 条件1 435.18 123.62 558.49 211.98 条件2 435.17 123.56 558.29 211.90 条件3 435.20 123.64 558.52 211.99 通过以上仿真分析得：扰动重力对INS位置误差的影响与系统运动过程中所受扰动重力的大小有关，与INS传感器的精度水平相关性不大；通过式(10) 与式(11) 计算得到的扰动重力对INS位置误差的影响与惯导解算方法得到的结果不完全一致，但是位置误差的量级非常接近，可以反映出实际INS的位置误差受扰动重力影响的变化趋势，两种不同的方法所得到的结果相互印证，说明了各自的有效性。
5 结语
随着惯性器件精度的不断提高，军用、民用各领域对高精度INS的精度要求也不断提高，为实现超高精度的INS，以往的惯导解算机制需要考虑得更为精细，如扰动重力对INS的误差影响就需予以考虑。在INS中对扰动重力进行补偿已然成为进一步提高INS精度的必备环节，与此同时，也对高精度、高分辨率的重力场模型提出了更高的要求。
在前人工作的基础上，本文重点推导了载体处于变加速度运动状态下HDG对INS位置误差影响的计算式。通过这些计算式，可以在有相应运动信息数据支持的条件下，对特定运动过程进行扰动重力引起INS位置误差的计算分析。此外，对零加速度条件下HDG的影响进行了仿真，海洋与陆地两种环境下的计算表明，扰动重力在有界范围内随机变化时，所引起的INS的位置误差变化呈现出一定的周期性，在有界范围内产生震荡；±80 mGal范围内变化的扰动重力可引起最大近3 000 m的INS位置误差。最后，通过惯导解算结果比较的方法，同样得出了无加速度运动条件下扰动重力对INS位置误差的影响，将其结果与通过公式计算得到的结果进行比较，发现两种方法所得位置误差的量级与变化情况非常接近，两种方法相互验证了各自的有效性。
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图 5 通过惯导解算仿真HDG对INS的位置影响
Figure 5. Position Error of INS Caused by HDG Computed by Inertial Navigation Algorithm
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图 6 海洋航线上两种方法计算的位置误差比较
Figure 6. Comparison of Position Error Computed by two Methods Along MarineRoute
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图 7 陆地航线上两种方法计算的位置误差比较
Figure 7. Comparison of Position Error Computed by Two Methods Along Terrestrial Route
表 1 扰动重力对INS各误差量影响的传递函数
Table 1 Transfer Functions of Disturbing Gravity on Each Error Variation of INS
误差项 δgN(s) δgE(s) ψx(s) 0 $ - \frac{1}{{R\left( {{s^2} + \omega _s^2} \right)}} $ ψy(s) $ \frac{1}{{R\left( {{s^2} + \omega _s^2} \right)}} $ 0 ψz(s) 0 $ \frac{{\tan \varphi }}{{R\left( {{s^2} + \omega _s^2} \right)}} $ δvN(s) $ - \frac{s}{{\left( {{s^2} + \omega _s^2} \right)}} $ 0 δvE(s) 0 $ - \frac{s}{{\left( {{s^2} + \omega _s^2} \right)}} $ δφ(s) $ - \frac{1}{{R\left( {{s^2} + \omega _s^2} \right)}} $ 0 δλ(s) 0 $ - \frac{{\sec \varphi }}{{R\left( {{s^2} + \omega _s^2} \right)}} $ 
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表 2 HDG及其引起位置误差的统计信息
Table 2 Statistics of HDG and Corresponding Position Error
海洋航线 陆地航线 最大值 平均值 最大值 平均值 |δgN|/mGal 18.18 9.05 93.61 38.19 |δPN|/m 223.58 75.63 2 971.32 1 058.23 |δgE|/mGal 39.23 30.89 79.18 26.04 |δPE|/m 531.82 214.33 2583.78 787.55
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表 3 惯性传感器仿真条件
Table 3 Simulation Condition of Inertial Instruments
条件1 条件2 条件3 陀螺零偏/((°)·h-1) 0.000 5 0.005 0.05 陀螺随机漂移/((°)·h-1, 1σ) 0.001 0.01 0.1 加速度计零偏/(m·s-2) 5×10-6 5×10-5 5×10-4 加计白噪声/(m·s-2, 1σ) 1×10-5 1×10-4 1×10-3
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表 4 不同仿真条件下INS位置误差统计表
Table 4 Statistics of INS Position Error Under Different Simulation Conditions
|δPN|/m |δPE|/m 最大值 平均值 最大值 平均值 条件1 435.18 123.62 558.49 211.98 条件2 435.17 123.56 558.29 211.90 条件3 435.20 123.64 558.52 211.99
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