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摘要: 针对三维流场数据可视化容易出现的显示混乱问题，提出一种三维流场可视化自适应方法。该方法引入模糊支持向量机对流场特征进行分类预处理，并提出一种改进的线积分卷积算法，该算法利用模糊支持向量机得到的隶属度自适应生成Sobol稀疏噪声，避免当噪声过于稠密时产生重叠现象，而当噪声过于稀疏时漏掉流场重要的细节信息。通过多组流场三维可视化仿真实验的比较与分析，验证了本文方法的有效性。Abstract: To deal with the problem of confused display in 3D visualization of a flow field, an adaptive visualization method for flow fields is put forward. Due to the complicated feature in flow field, a fuzzy support vector machine is applied to describe and cluster the flow field features. To resolve the overlapping effects caused by excessive noise or omission of details caused when noise is removed, an improved line integral convolution algorithm is also presented. In the improved algorithm a fuzzy membership function obtained by fuzzy support vector machine generates sparse noise adaptively Experimental results illustrate the efficiency of the method.
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Keywords:
- fuzzy support vector machine /
- line integral convolution /
- flow field /
- visualization
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流场数据具有复杂的拓扑关系和较高的维数，不仅具有时间和空间上的内在连续性，还具有复杂的特征结构。因此，三维流场的可视化研究一直是科学计算可视化领域的挑战性课题。目前，矢量可视化常用的方法有点图标法、矢量线法、纹理法和特征法。点图标法[1, 2]易实现、速度快，缺点是无法表示矢量场的连续变化，而且三维箭头容易产生二义性；矢量线法[3, 4]可以表示场的连续性，绘制效果较好，但绘制质量严重依赖于初始点位置的选取；纹理法[5, 6]不仅可以表示空间连续性，还可以表示出一定的方向信息，但该方法计算量大，一般需要特定的加速算法或利用图形硬件加速；特征法[7, 8]是对场中的特征重点可视化，减少映射的数据量，但可视化严重依赖于所应用的领域，通用性不强。常规的单一方法在复杂流场可视化过程中，很难表达流场的整体特征，易出现凌乱遮挡现象，无法满足实际应用需求。
三维流场数据的可视化急需解决的问题之一就是遮挡与混淆问题，这是由于三维流场数据投影在二维屏幕时，视线方向上的信息会发生前后遮挡现象。目前，点图标法和矢量线法运用比较广泛，但两者共同的缺点是不利于动态矢量场的表达，而且采样密度对矢量场的可视化影响很大，即较少的采样会忽略矢量场的一些重要细节，而过多的采样又容易导致图像混乱，不易于观察流场内部细节。流场特征结构比较复杂，不仅包含了不同的流场特征，而且同一特征对于不同应用领域的定义也不完全相同，再加上流场具有的矢量性特点，使得流场的清晰可视化非常困难，而模糊技术对于复杂结构具有较强的描述能力，可以很好地应用到流场的可视化中。此外，在绘制方法上，线积分卷积法(line integral convolution, LIC)具有细腻表现流场全局信息的优势，已成为研究的热点。本文针对三维流场清晰可视化问题展开研究，引入了模糊支持向量机对矢量特征进行分类预处理，并提出一种改进的线积分卷积算法，采用稀疏噪声作为纹理卷积输入，结合模糊支持向量机得到的隶属度自适应生成稀疏噪声，研究解决由于噪声过于稠密时产生的遮挡现象以及噪声过于稀疏时可能漏掉的重要细节信息问题。
1 流场结构特征的模糊分类
流场具有复杂的特征结构，缺乏有效的统一描述，而模糊理论对这种复杂结构具有很好的描述能力。因此，引入模糊支持向量机对流场特征进行分类处理。支持向量机[9]是通过最优超平面将样本进行划分类别，但在实际应用中，样本并不是绝对地能够划归到某一类，而是以一定隶属度或概率归于某类，这样可能导致构造的最优超平面不是真正的最优分类面。模糊支持向量机[10, 11]将隶属度引入支持向量机，对不同的样本采用不同的惩罚权系数，在构造目标函数时，使不同的样本有不同的贡献，对含有噪声或异常值的样本赋予较小的权值消除其影响，更好地改进分类超平面的推广能力。设xi∈Rn为流场特征样本数据，yi∈(－1, 1)，μ(xi)为流场特征样本数据归属某类的隶属度(0＜μ(xi)≤1)，εi为分类误差(εi≥0)，i=1, 2, …, n，C为错分样本惩罚因子，b为阈值，K(·)为核函数，则训练的流场特征样本集可表示为{xi, yi, μxi}，最优分类平面为下面目标函数的最优解：
$$\begin{align} &\text{min}\left[ \frac{1}{2}\|w{{\|}^{2}}+C\sum\limits_{i=1}^{n}{\mu \left( {{x}_{i}} \right)}{{\varepsilon }_{i}} \right] \\ &\text{s}\text{.t}\text{.}\ {{y}_{i}}\left[ w\ {{x}_{i}}+b \right]\ge 1-{{\varepsilon }_{i}} \\ \end{align}$$ (1) 引入拉格朗日乘子αi(i=1, 2, …, n)得到对偶形式为：
$$\begin{align} &\text{max}\sum\limits_{i=1}^{n}{{{\alpha }_{i}}-\frac{1}{2}}\sum\limits_{i,j=1}^{n}{{{\alpha }_{i}}{{\alpha }_{j}}{{y}_{i}}{{y}_{j}}K\left( {{x}_{i}},{{x}_{j}} \right)} \\ &\text{s}.\text{t}\ 0\le {{\alpha }_{i}}\le C\mu \left( {{x}_{i}} \right);\sum\limits_{i=1}^{n}{{{\alpha }_{i}}{{y}_{i}}=0} \\ \end{align}$$ (2) 由此得模糊支持向量机的最优分类函数为：
$$f\left( x \right)=\text{sign}\left[ \sum\limits_{i=1}^{n}{{{\alpha }_{i}}{{y}_{i}}K\left( {{x}_{i}},x \right)+b} \right]$$ (3) 隶属度函数的确定是整个算法的关键，直接影响到模糊支持向量机的分类性能[12, 13]。目前主要的方法有两种:一种是基于时间序列的方法，该方法仅适用于序列学习的情况，而且缺乏坚实的理论依据；另一种是基于样本空间的方法。这里采用第二种方法，该方法利用基于样本到类中心之间的距离来度量隶属度的大小，具有较少的计算量和较强的鲁棒性。将隶属度看作是特征空间中流场样本数据与其所在类中心之间距离的函数，设xi为训练流场特征样本，x0为流场特征类中心，则流场样本特征的隶属度为：
$$\mu \left( {{x}_{i}} \right)=1-\frac{\|{{x}_{i}}-{{x}_{0}}\|}{\underset{i}{\mathop{\text{max}}}\,\|{{x}_{i}}-{{x}_{0}}\|}+\varepsilon $$ (4) 式中，ε为预定较小的常数(ε＞0)，避免出现隶属度为0的情形，如果出现隶属度大于1的情形，令其值为1，保证隶属度的值介于0和1之间。利用模糊支持向量机对矢量场的特征进行分类的具体过程如图 1所示。
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图 1 模糊支持向量机特征分类过程示意图Figure 1. Procedure of Feature Clustering by Fuzzy Support Vector Machine2 线积分卷积算法的改进
流场特征样本数据经过模糊支持向量机分类处理之后，就可以对流场特征的模糊提取结果进行三维可视化。在绘制方法上，由于线积分卷积法具有细腻表达流场全局信息的优势，近年来得到了众多研究者的关注。本文采用线积分卷积法进行三维可视化，并对算法进行改进。线积分卷积[14-19]通常采用白噪声作为纹理卷积输入，而白噪声不能保证分布的均匀性，有可能产生大块的空白区域或者互相重叠，不能有效覆盖全部流场，而Sobol[20]序列是半随机序列的一种，可以扩展到任意维度，具有稳定、覆盖性好等优点，如图 2所示。因此，稀疏噪声的生成应采用Sobol这种低差异序列来实现噪声点的稀疏均匀分布。
为了便于表达，以一维为例说明。首先，选择一个以2为模，次数为j的不可约多项式：
$$\begin{align} &W={{x}^{j}}+{{a}_{1}}{{x}^{j-1}}+{{a}_{2}}{{x}^{j-2}}+\cdots +1 \\ &{{a}_{i}}=\left\{ 0,1 \right\},\quad i=1,2,\cdots ,\text{ }j-1 \\ \end{align}$$ (5) 由式(5) 产生k(k＞j)个方向数，表示为：
$${{V}_{i}}=\frac{{{m}_{i}}}{{{2}^{i}}},i=1,2,\cdots ,k$$ (6) 式中，mi为奇数(0＜mi＜2i)。由式(6) 可得到初始值V1、V2、…、Vj，进而可利用选定多项式的系数计算Vj+1、Vj+2、…、Vk：
$$\begin{align} &{{V}_{i}}={{a}_{1}}{{V}_{i-1}}\oplus {{a}_{2}}{{V}_{i-2}}\oplus \cdots \oplus {{a}_{j-1}}{{V}_{i-j+1}}\oplus \\ &\quad \quad {{V}_{i-j}}\oplus \left( {{V}_{i-j}}/{{2}^{j}} \right)\left( i>j \right) \\ \end{align}$$ (7) 式(7) 中⊕表示按位异或。初始化x0=0，序列索引值n=0，令z为二进制的n值中从右边第一个值为0的位置，由式(8) 生成序列:
$${{x}^{n+1}}={{x}^{n}}\oplus {{V}_{z}}$$ (8) 依此类推，对于N维矢量场样本数据的可视化，可以选择N个不同的多项式和不同的初始值在不同的方向上产生N维Sobol序列：
在可视化过程中，对于稀疏噪声而言，必须要考虑矢量特征区域与周围背景的区别，对重点关注的矢量场要用精细的信息表示，而背景则可采用较粗的信息显示；否则，当噪声过于稠密时会产生遮挡现象，当噪声过于稀疏时会漏掉矢量场重要的细节信息。因此，这里利用§1模糊支持向量机对流场特征样本数据进行分类处理时，得到的隶属度生成自适应稀疏噪声，具体方法如下。
设模糊支持向量机将流场特征样本数据集划分成m个模糊子集，流场特征样本点xk的重要性权值定义为：
$$I\left( {{x}_{k}} \right)=\text{max}\left\{ {{\mu }_{i,k}},i=1,2,\cdots ,m \right\}$$ (9) 令φ(xk)为生成的自适应噪声，λ为指定的片元数，β为设定的阈值，则算法步骤如下。
① 初始化φ(xk)为0；
② 产生矢量场区域中一随机位置，并计算得出该处的重要性权值；
③ 产生一随机数ω，如果ω与该处重要性权值之积大于β，则对滤波核宽度内每个网格单元进行Sobol序列高斯滤波，生成φ(xk)；
④ 若产生的稀疏纹理片元数小于λ，则转②，否则结束。
3 实验与分析
为了验证算法的性能，本文采用多组试验进行仿真比较与分析。试验条件为：Intel Core 2 Duo CPU P8700 2.6 GHz，内存为4 GB，显卡为ATI Radeon HD 3450 512 MB，Microsoft Windows XP Professional操作系统的PC机。
分别采用经典的LIC方法和本文方法对洛伦茨吸引子进行三维可视化仿真比较，可视化结果如图 3所示。从图中可以明显看出：此前的方法采用常用的白噪声作为纹理卷积输入，没有考虑重叠和遗漏矢量场重要细节信息等问题，可视化结果不仅有空白区域，出现重叠紊乱、不清晰的现象，而且重要的细节信息表达也不明确。本文方法考虑了避免产生空白区域或相互重叠问题，采用了稀疏噪声作为纹理卷积输入，利用自适应方法保留重要细节信息，避免重叠遮挡等现象，可视化效果较好。此外，经典的LIC方法处理的平均速度约为15.1帧/秒，本文方法处理的平均速度约为12.9帧/秒，可见本文方法在很小的计算开销的基础上就能达到明显优于经典LIC方法的三维可视化效果。
为了进一步验证本文方法的性能，分别对2008年7月26日18时非洲及周边区域的风场数据以及2013年4月4日19时20分大西洋及周边区域流动的云场数据进行三维可视化，仿真结果如图 4所示。可以看出，本文方法对复杂的不同矢量场可视化效果较好，可以很好地满足视觉要求。
4 结语
本文首先引入模糊支持向量机对矢量特征进行分类，进而采用Sobol低差异序列作为LIC的纹理卷积输入，解决常用的白噪声作为纹理卷积输入可能产生的空白区域或互相重叠问题，并结合模糊支持向量机得到的隶属度自适应生成稀疏噪声，进一步解决噪声过于稠密时产生的遮挡现象以及噪声过于稀疏时可能漏掉的重要细节信息问题。下一步工作是在此基础上研究矢量场和标量场融合一体的三维可视化问题。
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图 1 模糊支持向量机特征分类过程示意图
Figure 1. Procedure of Feature Clustering by Fuzzy Support Vector Machine
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