在对工程建筑物、构筑物进行变形监测时，由于仪器自身观测精度、外部环境干扰等多种因素，使得获取的变形监测数据总是会受到噪声的影响。为此，需要对变形监测数据进行去噪处理，并在此基础上准确地提取出变形特征信息。随着现代信号处理方法的发展，小波分析、小波包分析已在变形监测领域取得了较多的成功应用^[1-3]。但在使用小波分析、小波包分析进行数据去噪时，都需提前设置小波基和分解层数。而不同的小波基和分解层数对去噪效果有较大的影响，所以小波、小波包分析并不具备自适应去噪能力。

近年来，一种自适应信号处理方法——经验模态分解（empirical mode decomposition，EMD）方法被广泛研究^[4]，并在变形监测数据去噪中取得了一定的应用^[5-7]。但EMD方法在信号分解过程中易产生模态混叠、端点效应等问题，在一定程度上影响了变形数据的去噪效果。文献[8]提出的集成经验模态分解（ensemble EMD，EEMD）有效解决了模态混叠问题；文献[9]在EEMD的基础上，提出了完备集成经验模态分解（complete EEMD，CEEMD）方法，进一步提高了信号重构的精度和计算效率；由于CEEMD方法也存在模态残余噪声及冗余模态的问题，因此文献[10]提出了改进的CEEMD（improved CEEMD，ICEEMD）方法，可有效地解决CEEMD方法的缺陷。

独立分量分析（independent component analysis，ICA）是一种可以实现信号盲源分离的方法。文献[11-14]提出了利用EMD联合ICA的信号去噪方法，都取得了较好的去噪效果。但ICA方法在去噪过程中存在幅值不确定性、排序不确定性、相位不确定性等问题，上述文献中并没有给出解决的办法。

为此，本文提出一种ICEEMD结合ICA的变形监测数据去噪方法，使用最小失真准则（minimal distortion principle，MDP）有效解决了ICA处理中出现的幅值不确定性问题。通过对加噪仿真数据和实际桥梁的全球导航卫星系统（global navigation satellite system，GNSS）变形监测数据进行去噪分析，发现所提方法取得了良好的去噪效果，有效验证了其可行性和优越性。

1 ICEEMD与ICA方法

1.1   ICEEMD方法

ICEEMD方法以CEEMD方法为基础，通过直接估算局部均值并从原始信号中将其减去，以降低信号分解后模态中的残余噪声。此外，其利用$E_k({\omega }^i)$（$E_k(\cdot )$表示利用EMD处理得到的第$k$阶模态的算子；${\omega }^i$为零均值单位方差高斯白噪声变量）而不是直接使用白噪声来提取第$k$阶模态函数，减少了冗余模态的影响^[10]。ICEEMD具体分解步骤如下：

1）利用EMD对信号进行$I$次分解，获得第1个余项如下：

式中，$〈〉$表示对整体求平均；${\mathit{x}}^i=\mathit{x}+{\beta }_{\mathrm{0}}{E}_{\mathrm{1}}({\omega }^i)$，$\mathit{x}$为原始信号，${\beta }_i={\epsilon }_{\mathrm{0}}\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{d}({\mathit{r}}_i)$，${\mathit{r}}_i$为第$i$个余项，${\epsilon }_{\mathrm{0}}$为噪声标准差；$M()$为产生信号局部均值的算子。

2）计算第1阶模态（intrinsic mode functions，IMF）为：

3）计算第2个余项和第2阶模态为：

4）当$k=\mathrm{3,\; 4}\cdots K$（$K$为固有模态总量）时，计算第$k$个余项和第$k$阶模态为：

5）重复步骤4）可得到所有模态。

1.2   ICA方法

ICA方法的作用是把观测信号线性分解为若干个相互独立的源信号分量，可以表示为：

式中，$\mathit{X}$为$m$维观测信号；$\mathit{S}$为$n$维源信号分量矩阵；$\mathit{A}$为$m\times n$$(m\ge n)$维混合矩阵。

ICA的目标就是寻找混合矩阵$\mathit{A}$的逆矩阵，即分离矩阵$\mathit{W}$，使输出矩阵$\mathit{Y}=\mathit{W}\mathit{X}$为源信号$\mathit{S}$的最优估计。考虑观测信号中含有噪声的情形，则$\mathit{X}$变为：

式中，$a_i$为噪声向量${\mathit{n}}_i$在观测中的权重；d为噪声的个数。为了利用ICA处理这种一维信号，需构建适当的虚拟噪声，将一维观测信号扩展到多维观测信号^[15]。设构建的虚拟噪声为$\mathit{n}=[n_{\mathrm{1}},n_{\mathrm{2}}\cdots n_d{]}^{\mathrm{T}}$，则式（7）可表示为：

从式（9）可以看出，通过虚拟噪声的引入，ICA可求取$\mathit{A}$的逆矩阵来估计分离矩阵$\mathit{W}$，以分离得到一维源信号，从而实现对观测信号进行去噪的目的^[16]。本文采用的是基于负熵最大化的快速ICA（FastICA）算法，具体流程可参考文献[17]。

由于缺少源信号的先验知识，将导致ICA产生幅值不确定性、排序不确定性与相位不确定性，因此在信号去噪的过程中，这3个不确定问题必须予以解决。

2 变形数据去噪模型

2.1   基于ICEEMD-ICA模型进行变形监测数据噪声分离算法

在§1的基础上，本文提出了一种新的变形监测数据噪声分离方法，其实现流程如下：

1）对含有噪声的变形监测数据$\mathit{x}(t)$使用ICEEMD方法进行有效分解，计算分解后的各个IMF分量与$\mathit{x}(t)$之间的相关系数。根据文献[18]，在K₁-1阶处相关系数产生局部极小值时，判定前K₁-1阶IMF分量为噪声分量。

2）将判定的前K₁-1阶IMF分量进行重构作为虚拟观测噪声，计算如下：

3）从式（9）可知，虚拟噪声与真实噪声越接近，则分离出来的源信号越准确。考虑到经ICEEMD一次分解后的高频分量中还可能包含有源信号的有效成分，为此，本文采用ICEEMD方法对式（10）中的noise信号进行二次分解，并去除noise信号中有效成分，重构二次分解后的高频噪声分量，以获取更接近真实噪声的noise2信号。

4）将noise2信号与原变形监测数据序列$\mathit{x}(t)$组成多维观测通道作为ICA的输入，使用FastICA算法进行信噪分离，获取包含有效信号的独立分量${\mathit{x}}^{\mathrm{\text{'}}}(t)$。

2.2   基于相关系数与MDP准则解决ICA不确定性问题

为了解决ICA存在的三大不确定性问题，本文采用相关系数法与MDP准则对经ICA分离后的独立分量进行处理，具体步骤如下：

1）计算ICA分离后的独立分量${\mathit{x}}^{\mathrm{\text{'}}}(t)$和ICA输入信号$\mathit{x}(t)$之间的相关系数为：

一般$\mathrm{0}\le {\rho }_{x^{\mathrm{\text{'}}}x}\le \mathrm{1}$。当${\rho }_{x^{\mathrm{\text{'}}}x}$越大时，独立分量${\mathit{x}}^{\mathrm{\text{'}}}(t)$与$\mathit{x}(t)$相似度越高，可据此判断ICA分离后的独立分量是否需要进行重新排序，以消除排序不确定性问题。

由于经ICA分离后的独立分量与原输入信号间还存在有相位不确定问题，即两者之间可能同相或反相，反相时相位差为180°。当${\mathit{x}}^{\mathrm{\text{'}}}(t)$与$\mathit{x}(t)$反相时，即$-\mathrm{1}\le {\rho }_{x^{\mathrm{\text{'}}}x}\le \mathrm{0}$，其波形将互为镜像。可以看出，根据${\rho }_{x^{\mathrm{\text{'}}}x}$也可解决相位不确定性问题，反相时独立分量直接取负值即可。

2）ICA分离后的独立分量如何恢复幅值是众多文献中没有明确解决的一大难点。本文根据文献[19]提出的MDP准则，用于修正ICA的分离矩阵$\mathit{W}$，有效地解决了幅值不确定问题。首先，根据相关系数对独立分量进行排序，原分离矩阵$\mathit{W}$对应的行数根据独立分量排序的调整也进行相应的调整，记排序后的分离矩阵为${\mathit{W}}_{\mathrm{1}}$；然后，根据MDP准则，可得到修正幅值的分离矩阵${\mathit{W}}_{\mathrm{2}}=\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}(\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}({\mathit{W}}_{\mathrm{1}}^{-\mathrm{1}}))\cdot {\mathit{W}}_{\mathrm{1}}$。

将${\mathit{W}}_{\mathrm{2}}$乘以ICA的输入观测信号，可得到消除幅值不确定性的ICA独立分量。本文仅使用虚拟噪声加原始数据序列的双观测通道作为ICA的输入，如果使用多个虚拟观测噪声通道，上述算法依然可行。另外，本文不需对独立分量进行相位处理，仅根据相关系数法对分离矩阵进行重新排序后利用MDP准则即可消除三大不确定性的影响。

2.3   模型评价指标

为了对模型的去噪效果进行定量的分析，设置评价指标为：信噪比（signal-to-noise ratio，SNR）和均方根误差（root mean squared error，RMSE），计算公式如下：

式中，$\mathit{x}$为原始信号；${\mathit{x}}^{\mathrm{\text{'}}}$为去噪后信号。

3 仿真数据分析

以标准测试Bumps信号作为仿真信号，信号采样长度取值为4 096。以其为基础，加入5 dB的噪声信号以形成加噪仿真信号，如图 1所示。

图  1  加噪Bumps信号与各组成成分

Figure  1.  Noisy Bumps Signals and the Components

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对加噪Bumps信号使用ICEEMD方法进行分解，其总体平均次数设置为100，噪声标准差设置为0.2，此参数为文献[8，10]推荐的默认设置。经过ICEEMD方法的有效分解，可以获得11个IMF分量及1个余项。计算各个IMF分量（包含最后1个余项）与加噪Bumps信号之间的相关系数，结果如图 2所示。

图  2  各个IMF分量与原加噪Bumps信号的相关系数

Figure  2.  Correlation Coefficient of Each IMF and Original Noisy Bumps Signal

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从图 2中可以看出，前4阶IMF分量处的相关系数呈现单调递减趋势，从第5个IMF分量开始相关系数增大，所以判定前4个IMF分量为噪声分量。对其应用式（10）进行重构以获得虚拟噪声noise信号。

考虑到经高频IMF分量重构的虚拟噪声noise信号中仍可能包含有一定的有效成分，本文继续使用ICEEMD方法对noise信号进行分解，并与上述处理步骤类似，本文将其称之为二次噪声处理。计算二次分解后的各个IMF分量与noise信号之间的相关系数，结果如图 3所示。从图 3可以看出，二次分解后前3个IMF分量为噪声分量，将其进行重构获得noise2信号。noise2信号与noise信号中包含的有效信号如图 4所示。

图  3  二次分解后各个IMF分量与noise信号的相关系数

Figure  3.  Correlation Coefficient Between IMF Components and Noise Signal After Two Decomposition

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图  4  noise2信号及noise信号中的有效成分

Figure  4.  Noise2 Signal and Effective Components in Noise Signal

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将noise2信号与原Bumps加噪信号组成ICA输入通道，使用FastICA算法进行处理，结果如图 5所示。由于只有两个输入信号，仅需计算第1个独立分量IC1（图 5（c））与原ICA输入信号（图 5（b））之间的相关系数，其相关系数为0.896 1，相关程度非常高，因此需对ICA分离出的独立分量进行重新排序，分离矩阵也需作出相应排序调整。由于相关系数为正值，从图 5中可以看出，IC1分量与原加噪Bumps信号波形同相；ICA独立分量与原加噪Bumps信号间的幅值变化明显，如不对其进行幅值修正，去噪将变得没有任何意义。使用MDP准则，消除不确定性后的ICA分量如图 6所示。

图  5  ICA分离结果

Figure  5.  ICA Separation Results

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图  6  消除不确定性后ICA分离结果

Figure  6.  ICA Separation Results After Eliminating Uncertainties

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为了对比验证本文所提方法的去噪效果，还采用了以下3种对比方法对加噪Bumps信号进行处理：（1）ICEEMD强制去噪法，即在判断出噪声层数后，直接舍去高频IMF分量，对其余分量进行重构；（2）ICEEMD分解后构建虚拟噪声时，不进行二次噪声提取，其余与本文方法一致，将其称之为ICEEMD-ICA方法；（3）参考文献[11]使用的EMD-ICA方法，另外增加MDP准则进行幅值恢复。计算4种方法的去噪性能指标如表 1所示，4种去噪方法的结果对比如图 7所示。

表  1  4种方法的去噪指标

Table  1.  Denoising Indexes of Four Methods

去噪方法	SNR/dB	RMSE
ICEEMD	10.727 3	0.209 8
EMD-ICA	9.514 7	0.241 3
ICEEMD-ICA	10.152 1	0.224 2
本文方法	12.765 7	0.165 9

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图  7  4种方法的去噪结果对比

Figure  7.  Comparison of Denoising Results Using Four Methods

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从表 1和图 7中可以看出，本文所提方法的信噪比最大，均方根误差最小，达到了最优的去噪效果；ICEEMD强制去噪法的性能次之，表明ICEEMD方法可以取得较好的分解结果并准备对噪声分量进行重构；EMD-ICA方法的去噪性能较差，原因在于使用EMD方法对信号分解时其质量较差，难以消除模态混叠等问题，以此重构高频分量提取的虚拟噪声与真实噪声有较大差异，此时采用ICA处理难以分离出有效信号；ICEEMD-ICA方法的去噪性能稍优于EMD-ICA方法，但由于一次虚拟噪声也并不能很好地接近真实噪声，所以其表现也不佳。

4 GNSS桥梁动态监测数据分析

本文采用某大型悬索桥GNSS动态健康监测系统2017-03-03的SHM3监测点实际变形数据进行实例分析，其采样频率为10 Hz，截取已投影到桥梁独立坐标系$x$方向上的1 024个历元位移变形量作为研究对象，如图 8所示。该健康监测系统设置了8个监测站与1个基准站，在各站上都安装了Leica GR10专业型接收机，其数据解算采用实时动态测量（real-time kinematic，RTK）模式，其中SHM3监测点位于桥梁中跨上游位置^[20]。

图  8  x方向变形序列

Figure  8.  x Direction Deformation Series

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对$x$方向变形时间序列应用ICEEMD分解，其参数设置采用与仿真信号一致的默认设置。在判定噪声层数后构建虚拟噪声，并进行二次噪声处理，进而构成ICA双输入通道，使用FastICA进行信号分离处理，其分离结果如图 9所示。

图  9  实例数据中ICA分离结果

Figure  9.  ICA Separation Results of Instance Data

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图 9（d）中IC2独立分量与原变形序列之间的相关系数为-0.997 5，因此无需对独立分量进行排序调整。但由于相关系数为负值，可以看出IC2独立分量与原变形序列的波形互为镜像。通过使用MDP准则，消除不确定性后的ICA分量如图 10所示。

图  10  实例数据中消除不确定性后ICA分离结果

Figure  10.  ICA Separation Result After Eliminating Uncertainties of Instance Data

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与仿真信号分析类似，计算得到4种方法的去噪性能指标如表 2所示。从表 2可以看出，本文所提方法的去噪效果仍然最优；ICEEMD-ICA方法的去噪性能要稍优于ICEEMD强制去噪方法，表明在一次分解重构后即可以获得质量稍优的虚拟噪声；EMD-ICA的去噪性能仍然不佳，这是受到了EMD方法的分解能力所限。图 11给出了给出了4种方法的去噪结果对比。从图 11可看出，ICEEMD强制去噪后曲线最为光滑，这是因为其直接剔除了噪声分量的缘故；其余3种方法由于采用了ICA进行分离，其去噪效果与所构建的虚拟噪声的质量有关。

表  2  实例数据中4种方法的去噪指标

Table  2.  Denoising Indexes of Four Methods in Instance Data

去噪方法	SNR/dB	RMSE/${10}^{-4}$m
ICEEMD	24.964 2	7.768 8
EMD-ICA	23.263 4	9.449 1
ICEEMD-ICA	25.518 0	7.288 9
本文方法	29.129 8	4.809 2

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图  11  实例数据中4种方法的去噪结果对比

Figure  11.  Comparison of Denoising Results of Instance Data Using Four Methods

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5 结语

本文提出了一种结合ICEEMD、ICA、MDP准则的变形监测数据去噪新方法。该方法充分利用ICEEMD优良的分解特性，以其建立准确的虚拟噪声信号，在此基础上利用ICA对变形数据进行了信噪分离，并通过使用相关系数法与MDP准则，有效解决了原ICA分离后存在的三大不确定性问题。应用所提方法对加噪仿真信号与实际桥梁GNSS变形监测数据进行了详细的去噪分析，其研究结果表明本文方法具有良好的去噪性能。在去噪效果上，本文方法要优于不进行二次虚拟噪声处理的直接ICEEMD-ICA方法，也要优于EMD-ICA方法、ICEEMD强制去噪方法。这证明了本文所提方法在变形监测数据去噪领域具备的可行性和有效性。