随着人类活动范围的逐渐拓展，远海地区的精密定位越来越重要，在海洋资源勘探、航道测量等方面发挥着重要的作用。相对陆地和近海地区精密定位，远海地区精密定位最大的劣势是没有基准站可以使用。这就意味着经典的实时动态定位 (real-time kinematic, RTK)、网络RTK、参考站增强精密单点定位^[1](precise point positioning, PPP) 等都将无法应用。目前在全球导航卫星系统 (global navigation satellite system, GNSS) 领域，比较可靠的手段就是PPP^[2]。

PPP利用精密卫星轨道和精密卫星钟差, 并使用单台GNSS接收机采集的载波相位和伪距观测值进行定位解算。PPP利用单台双频接收机的观测数据在全球范围内的任意位置都可以实现厘米至分米的动态定位精度，是实现全球精密实时动态定位与导航的关键技术，具有广阔的应用前景。但是PPP有两个问题无法绕开，一是首次收敛的问题，二是重新收敛的问题。针对首次收敛的问题，可以采取提前开机的方法，比如在测量任务前2 h开机，利用前2 h的观测数据完成首次收敛。重新收敛问题，特别是频繁需要重新收敛的情况，目前依然是PPP研究中的热点。

针对PPP的重新收敛，众多学者进行了许多研究。文献 [3-5]通过精化各项误差源，求解模糊度变化的浮点解并进一步固定为整数。文献[6-7]通过预报电离层延迟误差精确估计模糊度的变化。文献[8]利用多普勒观测值来辅助确定模糊度变化。文献[9]利用贝叶斯理论来确定模糊度变化大小。文献[10]利用惯性设备辅助确定模糊度变化。文献[11]利用多个参考站播发的增强信息加快PPP的收敛。文献[11-13]将自适应选权滤波应用到参数估计中，合理地选取未知参数及其方差协方差阵的初值来加快收敛。文献[14]通过改正电离层的高阶项来加快PPP的收敛速度。文献[15-16]使用多个卫星导航系统的数据加快PPP的收敛。

上述方法各有优点，在应用中取得了较好的效果。经过分析发现，这些方法均主要依托单个接收机的数据来完成重新收敛。

一般而言，PPP需要重新收敛主要是因为发生了周跳或者发生了信号中断。无论是发生了周跳还是发生了信号中断，其本质上都是模糊度发生了变化。为表达方便，本文统一使用数据中断的表述。

为了防止单个接收机故障造成无法定位，在实践应用中测量工作者往往会在测量船的不同位置上架设多台接收机，以便彼此作为备份。由于不同接收机的天线架设在测量船的不同位置，也就是说不同接收机的观测环境不完全一致, 比如船体对天线的遮挡情况就不完全一致。船体的遮挡情况不一样不同接收机发生数据中断就不一定在同一时刻。分析测量船上的多个接收机的实测数据发现，经常会出现如图 1所示的情况。

图  1  数据中断示意图

Figure  1.  Schematic Diagram of Data Interruption

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如图 1所示，两个接收机同时在t₀时刻开始采集数据，接收机i在t₁时刻发生数据中断，接收机j在t₂时刻发生数据中断。换句话说，两个接收机发生数据中断并不在同一时刻，本文正是利用这一特点来完成PPP的重新收敛。

1 PPP快速重新收敛基本思路

GPS测量的非差观测方程为^[17]:

其中, P_{g, i}^k和Φ_{g, i}^k分别表示卫星k和接收机i之间的伪距观测量和载波相位观测量; g表示频率，g=1, 2;ρ_i^k表示卫星天线相位中心和接收机天线相位中心之间的距离; δt_i和δt^k分别表示接收机钟差和卫星钟差; $\frac{{\mu _i^k}}{{f_g^2}}$ 表示一阶电离层延迟; T_trop表示对流层延迟; λ_g表示波长; N_{g, i}^k表示模糊度; e_{g, i}^k和ε_{g, i}^k分别表示模型的残余误差。

PPP快速重新收敛本质上是建立数据中断前后的模糊度之间的关系。如图 1所示，从时间角度看，t₀＜t₁＜t₂＜t₃。假设接收机i、j在t₀时刻已完成首次收敛，接收机i在t₁时刻、接收机j在t₂时刻大多数卫星发生数据中断，所以接收机i在t₁时刻、接收机j在t₂时刻需要进行PPP的重新收敛。事实上，接收机i在t₁时刻需要进行PPP的重新收敛时，接收机j在t₁时刻的模糊度并没有发生变化。如果在t₁时刻可以建立接收机i和接收机j的模糊度之间的关系，那么可以将接收机j在t₁时刻的准确模糊度传递给接收机i，这样，接收机i就可以在t₁时刻瞬间完成重新收敛。当接收机i接收传来的准确模糊度后，自己就可以瞬间完成收敛，所以在t₁时刻之后接收机i的模糊度是准确的。同理，当接收机j在t₂时刻需要进行PPP的重新收敛时，接收机i在t₂时刻的模糊度是准确的。如果在t₂时刻可以建立接收机i和接收机j的模糊度之间的关系，那么可以将接收机i在t₂时刻的准确模糊度传递给接收机j，这样，接收机j就可以在t₂时刻瞬间完成重新收敛。

2 快速重新收敛基本处理策略

本节首先建立不同接收机的模糊度之间的关系，然后获得数据中断的接收机的准确模糊度并完成PPP的重新收敛。

2-1   两个接收机的模糊度之间的关系

对于测量船上两个接收机的模糊度之间的关系，首先考虑的方法是传统的RTK方法。不同的是传统的RTK的基准站是固定的，而测量船上的两个接收机都在运动，无法选取基准站。但是，两个接收机都在运动并不影响获取两个接收机的模糊度之间的关系。参考传统的RTK，以单点定位坐标作为基准站的坐标，双差模型为：

式中， $\nabla \Delta $ 表示双差算子；其余符号参考式 (1)、(2)。考虑到两个接收机距离较近，电离层和对流层误差可以忽略，双差模型可以简化为：

此外，由于两个接收机是固定在船上的，所以两个接收机之间的距离是常数。可以将两者之间的距离作为一个约束条件进行联合解算：

式中，(x_i, y_i, z_i)、(x_j, y_j, z_j) 分别表示两个接收机的坐标；const表示两个接收机之间的距离，可以通过事先测量的方式获得，是已知参数。后文的实验会证明，该约束条件对固定双差模糊度非常有效。

参考传统的RTK方法，利用LAMBDA方法^[18]可以获取两个接收机之间的双差模糊度。由于测量船上的船体长度有限，即两个接收机之间的距离比较短，利用LAMBDA方法并附加式 (7) 的外部约束，成功固定双差模糊度的概率非常高，这为模糊度的传递奠定了坚实的基础。

2.2   数据中断的接收机的先验模糊度获取

§2.1建立了两个接收机的双差模糊度之间的关系，这个模糊度是整数模糊度，而PPP由于一般使用消电离层组合，其模糊度是消电离层组合模糊度。两者之间的关系是：

式中, $\nabla \Delta N_{nc,ij}^{kl}$ 表示接收机i和接收机j在卫星k和卫星l之间的双差消电离层组合模糊度，下标nc表示消电离层组合； $\nabla \Delta N_{1,ij}^{kl}$ 和 $\nabla \Delta N_{2,ij}^{kl}$ 分别表示在频率L₁和L₂上的双差整数模糊度，已经在§2.1中求解出。

利用式 (8) 获得了两个接收机的双差消电离层组合模糊度。假设接收机i发生了数据中断，接收机j没有发生中断，即图 1所示的t₁时刻的情况，这时接收机j的模糊度ΔN_{nc, j}^kl是准确的。接收机i的单差消电离层组合模糊度表示为：

其中, Δ表示单差算子；ΔN_{nc, i}^kl表示接收机i在卫星k和卫星l之间的单差消电离层组合模糊度；ΔN_{nc, j}^kl类似。

至此，发生数据中断的接收机i的单差消电离层组合模糊度ΔN_{nc, i}^kl已准确求出，可以作为先验值参与解算。

2.3   PPP快速重新收敛

由于上文获取的是单差消电离层组合模糊度，所以PPP解算采用星间单差模型，观测方程为：

由于单差消电离层组合模糊度已经事先获得，式 (10) 可以化为：

式中， $\tilde N_{nc,i}^{kl}$ 表示获取的先验单差消电离层组合模糊度。

在式 (12) 中，待估参数有4个，分别是3个位置参数和1个对流层延迟参数。也就是说，只要有4个或4个以上的方程就可以解算出待估参数，然后通过Kalman滤波就可以获得待估参数的值。

3 实验验证

为了验证本文的算法，拟采用船载数据，船上有两个接收机，两个天线相距约12 m，数据采样间隔是1 s。该数据在近海采集，利用岸边的基准站进行RTK，作为比对标准来验证动态PPP重新收敛效果。

3.1   双差模糊度快速固定

两个接收机的双差模糊度的快速确定对于PPP快速重新收敛至关重要。根据§2的方法，具体处理参数设置如表 1所示。

表  1  双差模糊度固定参数设置

Table  1.  Parameter Settings for Fixing Double-Differenced Ambiguity

参数	处理策略
对流层误差	忽略
电离层误差	忽略
卫星星历	广播星历
高度截止角	15°
固定模糊度策略	单历元固定
固定模糊度的ratio值	3

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固定模糊度策略采用的单历元固定表示固定模糊度时仅采用了当前历元的观测量，与上一历元和下一历元的观测数据没有关系。固定模糊度时采用经典的LAMBDA方法，该方法主要参考指标是ratio值，ratio值越大表明固定效果越可靠。

双差模糊度固定情况如图 2所示，经统计双差模糊度固定成功率为99.6%。

图  2  双差模糊度固定的ratio值

Figure  2.  Ratio Value of Fixing Double-Differenced Ambiguity

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为了进一步验证单历元数据固定双差模糊度的效果，本文给出了固定双差模糊度后计算的基线长度 (见图 3)。从图 3中可以看出，绝大多数历元计算的基线长度都正确，仅有1个历元计算的基线长度有问题，这是因为对应的ratio值小于3，模糊度没有固定，使用的是浮点解。

图  3  基线长度

Figure  3.  Length of Baseline

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总而言之，附加基线长度约束的单历元数据固定双差模糊度具有非常高的固定成功率，为PPP快速重新收敛打下了坚实的基础。

3.2   先验模糊度辅助PPP快速重新收敛实验

获取两个接收机的双差模糊度后，进而可以获得发生数据中断的接收机的先验单差消电离层组合模糊度，利用该先验模糊度可以完成PPP的快速重新收敛。

为了验证本文方法的有效性，假设从第1 000个历元开始每隔20 min所有卫星发生数据中断，即对所有卫星人为地添加周跳，模拟数据中断的情况。本文设计了两个方案：① 方案1。不利用先验模糊度辅助，PPP按照传统方法进行收敛，此方案作为对照组；② 方案2。使用本文方法，即利用先验模糊度辅助PPP收敛。

方案1和方案2的定位误差结果分别如图 4、图 5所示。从图 4中可以看出，由于发生了数据中断，模糊度需要一定的时间重新收敛。在第一次数据中断 (第1 000个历元处) 时，方案1大约花了将近600个历元 (将近10 min) 才将数据中断后的精度损失降低到较小的程度。此后，每次重新收敛都用去了十几分钟的时间。然而从图 5中可以看出，方案2定位误差一直很稳定，平面误差保持在厘米至分米的水平上，高程误差在分米级别上，尤其在每次数据中断处没有发生剧烈的精度下降，整体上没有受到数据中断的影响，说明本文的重新收敛算法效果较好。

图  4  方案1的重新收敛效果

Figure  4.  Re-convergence Effect of Scheme 1

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图  5  方案2的重新收敛效果

Figure  5.  Re-convergence Effect of Scheme 2

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通过上文对比实验可以看出，只要双差模糊度成功固定，本文方法就可以瞬间完成动态PPP的重新收敛，而且收敛后的定位精度没有损失。而对于距离较近的两个接收机，单历元数据可以保持99%以上的固定成功率。综上，本文的方法可以瞬间完成动态PPP的重新收敛，而且定位精度不会损失。

4 结语

本文提出了基于多接收机模糊度关联的实时动态PPP快速重新收敛方法。该方法从远海地区精密定位的实际情况出发，充分利用了测量船上有多个接收机的特点，建立了多个接收机的双差模糊度的关系。附加基线长度约束的单历元数据固定双差模糊度具有99%以上的成功率。在双差模糊度固定的条件下，本文方法可以单历元完成动态PPP的重新收敛，而且不会损失定位精度。本文方法在求解双差模糊度过程中仅仅利用了单历元数据，完全可以应用于实时动态PPP的重新收敛。而且无论数据中断多久，只要双差模糊度成功固定就可以单历元完成动态PPP的重新收敛。

本文的假设是不同的接收机不同时发生数据中断。一般来讲，对于架设在测量船不同位置的接收机而言，本文假设是成立的。但是，如果发生不同接收机同时中断的情况，本文方法就会失效。所以为了防止失效，在不同接收机架设时需要充分考虑船体的遮挡，避免发生同时被遮挡的情况。此外，增加接收机数目是一个改进措施，比如从2个接收机增加到3个，甚至4个。因为接收机数目越多，分布的位置越分散，所有接收机同时被遮挡的概率就越低。只要有1个接收机没有被遮挡，本文方法就有效。