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摘要: 基于2003～2012年的GRACE卫星重力资料，采用最小二乘拟合的方法，构建了时变重力场统一模型IGG-TVG2013。该模型以球谐系数的形式表达，在考虑趋势项和周期项等经验参数的基础上，还考虑了加速度项和潮汐模型误差、大地震等因素的影响。将IGG-TVG2013模型与GRACE资料进行了比较分析，在全球92%以上的区域二者符合精度优于±1 ugal；利用该模型外推预测了2013年1～6月的重力场变化，结果与GRACE实测数据符合较好。这表明IGG-TVG2013模型不但能较好地描述重力场的连续时空变化，而且具有一定的短期预测能力。Abstract: We established a large-scale time-variable unified gravity field model IGG-TVG2013 based on GRACE satellite data from 2003 to 2012 using the least square method. This model is composed of annual and semi-annual trends and periodic terms, usually of each spherical harmonic coefficient. Besides those empirical parameters, an acceleration term, tidal aliasing error, and large earthquakes are taken into account. Acceleration is a modification to linear trend to detect and express more details in signals. Tidal aliasing error is the residual error in a tide model that must be carefully removed from GRACE solutions; a co-seismic jump in the gravity field may disturb the secular trend. An evaluation of IGG-TVG2013 solutions and corresponding GRACE solutions shows that the RMSE value in 92% of global grids was less than one ugal. Extrapolation results for the first half of 2013 using the IGG-TVG2013 model shows this model has good potential in short-term forecasting. We concluded that the IGG-TVG2103 model can effectively describe the time-space variability of gravity field.
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GRACE(Gravity Recovery and Climate Experiment)卫星自2002年3月发射至今，已对全球重力场变化已进行了十多年的监测。目前，GRACE卫星已经广泛应用于陆地水循环及水储量变化，两极冰盖和山岳冰川消融，海水质量变化，海平面变化和大地震检测等研究领域[1]。相关机构如美国德克萨斯大学空间研究中心(Center for Space Research, University of Texas at Austin, CSR)、德国地学中心(Geo Forschungs Zentrum, GFZ)和美国喷气动力实验室(Jet Propulsion Laboratory, JPL)等发布的卫星重力时变资料具有较高的观测精度，误差分析表明在周年时间尺度和几百km的空间尺度上，GRACE可探测出小于1 cm的陆地水和海水储量变化[2]。总之，GRACE卫星能够提供大尺度的、连续的时变重力资料，这对于相关地学研究具有重要的科学意义。
目前，重力场时变资料是基于引力位球谐系数表达的，一般按月间隔提供的离散模型。离散模型仅能表示一段时间内的平均变化，不能连续地描述地球重力场变化过程，也不能直接用于多源动态数据融合。为了连续、动态地描述重力场随时间的变化，需要用一种统一的函数形式将离散的球谐系数联系起来，即在传统的描述三维空间变化的重力场模型基础上，引入时间变量，构造出能够同时描述重力场时间变化和空间变化的四维结构模型[3]。该模型具有以下几个特点，①能方便计算出任意时刻的重力场动态数据，并为多源数据融合工作提供有效的输入值；②能同时计算大地水准面、重力异常、垂线偏差和梯度等多种重力场基本参量，对这些参量进行联合分析，方便地提取出重力场时变信息，如趋势、季节变化和年际变化等；③可用于模拟以前的重力场变化情形，也可用于预测以后一定时期内的重力场变化，为相关研究提供参考数据。
法国空间研究中心/空间大地测量研究所(Centre National d’Etudes patiales/Groupe de Recherches de Géodésie Spatiale，CNES/GRGS)基于2003～2010年GRGS-RL02引力位系数模型，建立了以球谐系数表达的EIGEN-GRGS.RL02bis.MEAN-FIELD平均周期重力场模型，其中2～50阶位系数由趋势项、周年项和半周年项等参数组成。此外，估算了2004年12月苏门答腊-安达曼(Sumatra-Andaman)Mw 9.3级地震造成的重力场同震形变，作为大地震效应的改正项。该模型在解算策略中作为先验的平均重力场模型，主要用于约束时变位系数产品[4]。近期，该机构按照ITRF(International Terrestrial Reference Frame)2013标准发布了新的平均重力场模型EIGEN-6S2，资料长度扩展为2003～2012年，其中2～50阶位系数是以常数项、趋势项、周年项和半周年项的形式给出，且常数项和趋势项是按年间隔用分段函数表示的。与前一个模型相比，新模型过于强调对线性部分的拟合，却忽略了趋势项应有的物理意义，即反映一段时间内的线性变化率。
本文考虑了潮汐混频和大地震的影响，重新构建了以球谐系数表达的时变重力场统一模型IGG-TVG2013，并对该模型描述大尺度时变重力场的能力进行了评估和讨论。
1 数据及处理方法
1.1 GRACE数据及预处理
本文计算数据采用CSR提供的2003年1月~2012年12月共120个月的GRACE Level-2(RL05)引力位系数，时间分辨率为一个月。对于少数资料缺失的月份，已通过样条插值方法补充完整。与该机构之前发布的RL04数据相比，RL05数据在重力场反演的解算策略、信号噪声水平、背景模型等方面有较大的改善。CSR提供了GSM、GAC和GAD三种产品供用户使用，其中GSM数据为截至60阶的正则化球谐系数，已利用背景模型扣除了非潮汐大气和高频海洋信号以及各种潮汐(包括海潮、固体潮和极潮等)的影响，主要反映重力场的非潮汐、非大气和非海洋的时变信号；而GAC数据是非潮汐的海气耦合产品，用于恢复海洋、大气的质量重分布对重力场的影响；GAD数据则用于恢复非潮汐的海洋信号，在陆地部分数值为0[5]。
受GRACE卫星轨道设计和观测精度的制约，目前解算的GRACE时变重力场模型的高阶系数存在较大的误差，在由引力位系数恢复的地球时变重力场结果中表现为严重的纬度方向“条带”误差，这将给地球物理信号的识别带来较大的困难[6]。为此，本文采取如下预处理步骤。在GSM产品的基础上，利用GAD产品恢复海洋信号；从球谐系数中扣除资料时间长度内的平均值；再采用Swenson等[6]提出的滑动窗去相关误差方法，在一定程度上削弱球谐系数之间的相关误差，达到去“条带”误差的效果；同时还利用滤波半径为300 km的扇形滤波进一步降低了高阶次球谐系数的噪声[7]。由于GRACE的轨道形状对C2, 0项不敏感，该项精度相对较低，本文用CSR发布的星激光测距(satellite laser ranging, SLR)数据的C2, 0项进行替换[8]，该数据的背景模型与该机构的GRACE Level-2产品一致；为了从GRACE数据中分离出冰期均衡调整(glacial isostatic adjustment model, GIA)信号，我们将ICE-5G作为全球模型，其中南极区域用Whitehouse的W12a模型替换[9]，格陵兰地区则采用Simpson提出的区域模型[10]。将经过上述预处理的GRACE数据解简称为CSR解，并作为后文的起始输入数据。
1.2 时变重力场统一模型
现有的研究成果表明，重力场的时间变化主要集中在周年项、半周年项和长期趋势项上。如要较准确地估计长期趋势项和周期项等，还需要考虑以下几点。①随着观测资料的不断积累，已发现一些地区的表层质量有加速变化的趋势，而单一的线性变化不能完全表示该情形；②由于背景潮汐模型的不完全模型化，残留的潮汐混频信号会泄漏到GRACE观测资料中，对影响较大的几种混频信号应予以考虑；③大地震会引起地震近场区域的重力场形变，其中同震变化部分属于突变，对估算趋势项干扰极大。
1.2.1 主要周期项和趋势项
从频率域角度出发，对时变信号频谱特征的研究显示，周年项的能谱最大，其次是半周年项和长周期项(大于12个月)，而短周期项(小于6个月)的能谱较小；再从空间域角度来看，由主成分分析(EOF)的结果可知，按方差贡献率的大小排列，依次是周年项、趋势项和半周年项[3, 11]。
在数据拟合中虽然可以引入更多周期项，但是并非引入越多越好。这是因为GRACE观测数据长度有限，引入较长周期项会削弱长期趋势项的贡献，而且长周期项本身也存在不确定性，有待进一步研究；GRACE数据为每月采样间隔，引入短周期信号没有实际意义[12]。因此选取周年、半周年项作为主要的周期项。
趋势信号是时变重力场研究的重点，主要反映了极区冰雪消融、陆地水文和海洋环流等多种动态过程。在许多文献中，为了更好地反映不同时段内的区域质量变化，趋势项一般是按时间分段计算的，比如西伯利亚中部地区，在2002~2007年和2007~2011年两段时间内，质量变化趋势从增加变为减少[13]。实际上，由于种种原因，每个区域的趋势变化情形各不相同，分段时间点的选取有很大的随意性，因此本模型只采用一个趋势项来表示长期变化率[4]。
1.2.2 加速度项
以格陵兰冰盖为例，Chen等发现，该区域的GRACE观测序列反映了冰雪加速消融的情况，这与卫星测高和InSAR等方法的观测结果保持一致[14, 15]；Baur[16]、Svendsen[17]等分析了加速度项的统计显著性，并对多个机构的GRACE二级产品进行了比较，证明了加速度项是可探测并显著的。因此，在时变参考模型中引入加速度项是有其必要性的。
1.2.3 潮汐混频项
需要特别说明的是，由于背景海潮模型存在误差，使得GRACE数据中存在潮汐混频问题，Han等在研究南极附近地区时就发现了S2混频信号的存在[18]。Ray等[19]列举了10种主要的潮汐混频信号，其周期从几天到几年不等。由于选用的GRACE观测资料长度为10 a，且是按月间隔发布的，故先排除那些周期小于1个月或大于5 a的混频信号。在比较它们的量级后，发现S2混频信号(周期为161 d)和K2混频信号(周期为3.73 a)的影响最大：S2混频信号与半周年项的周期十分接近，会干扰半周年项的数值估计；而K2混频信号属于长周期波，对趋势项影响较大，因此将这两个混频信号都引入到时变参考模型中。
1.2.4 大地震改正项
到目前为止，GRACE卫星已成功检测到三次大地震引起的重力场变化，它们分别是2004年12月苏门答腊Mw 9.3级地震[20, 21]，2010年2月智利Mw 8.8级地震[22]和2011年3月日本Mw 9.0级地震[23]。而对于一些释放能量较低的地震，如2008年5月汶川Mw 7.9级地震，因其同震信号量级小于水文信号和观测误差，GRACE卫星检测效果不明显[12]。
从地震引发重力场变化的量级考虑，这三次大地震引发了局部重力场的显著突变，必须予以关注。如忽略该变化，地震信号势必会泄漏到趋势项中，从而影响时变参考模型的可靠性。以苏门答腊Mw 9.3级地震为例，对于地震近场区域(80°E~110°E, 10°S~20°N)格网点，取地震前后各2 a的GRACE观测时间序列，令其由常数项、趋势项、季节项(周年、半周年)、S2混频项和同震阶跃项等组成，建立如下关系式：
(1) 式中，a1、φ1、a2、φ2分别是周年项和半周年项的振幅和相位；a3、φ3是S2混频信号的振幅和相位；t0是Sumatra-Andaman地震的发生时刻；δ(t0)是Heaviside函数，t＜t0时, δ(t0)=0, t＞t0时，δ(t0)=1;ΔS是同震阶跃项，结果见图 1。为了计算该大地震效应对位系数的影响，对同震阶跃项作球谐展开(令地震近场区域以外的同震变化为0)，并将所得的球谐系数(Cn, mΔS, Sn, mΔS)作为震后GRACE位系数序列的同震改正项[4, 21]。
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图 1 GRACE检测出的2004年12月26日苏门答腊Mw 9.3地震的同震重力变化Figure 1. Coseismic Gravity Changes of Sumatra Mw 9.3Earthquake on Dec 26th, 2004 Detected by GRACE1.2.5 时变重力场统一模型构建
从上述讨论出发，引力位系数变化主要由静态项、趋势项、加速项、周期信号(周年、半周年)、S2和K2混频信号与大地震改正项组成。那么对于CSR解中固定阶次的位系数序列，可以建立如下关系：
(2) 式中，Cn, m(t)和Sn, m(t)是t时刻的n阶m次正则化球谐位系数；令参考时刻为2003.0，则Δt=t－2003.0，此处的时间均换算成以年为单位。根据最小二乘法计算得到式(2)中的待定参数，前缀“C_”和“S_”与Cn, m(t)和n, m(t)分别对应，其中a是长期平均项，b是趋势项，c是加速度项，d1、e1、d2、e2分别表示周年项、半周年项的正余弦系数，而d3、e3、d4、e4分别是S2、K2混频信号的正余弦系数，(Cn, mΔS, n, mΔS)是大地震同震变化对应的球谐展开系数。依此类推，对所有位系数都进行上述处理后，就可以得到完整的以球谐函数形式表示的GRACE时变重力场统一模型，并将该模型命名为IGG-TVG2013。为了便于叙述，后文中将依据该模型计算的结果简称为TVG解。
2 结果与讨论
2.1 模型显著性检验
为保证所建立的时变参考模型是可靠的，需要对模型方程做整体拟合度的显著性检验。采用F检验法，置信水平取95%。图 2给出了模型方程的显著性检验结果，其中令1表示显著，0表示不显著。可见在置信水平为95%的情况下，超过75%的球谐系数都满足显著性条件，尤其是次数小于30的球谐系数，这说明模型的拟合度很好，而从重力场的能量分布来看，低阶次球谐系数对重力场的贡献也是最大的，因此用式(2)来表示时变重力场是有效的。
2.2 模型精度分析
2.2.1 时变重力场统一模型内插精度分析
根据IGG-TVG2013模型，可以直接计算任意时间任意点位的各种重力场参量(如重力异常、大地水准面、垂线偏差和梯度等)，下面以重力异常为例，进行内插精度分析以检验模型的使用精度。
利用IGG-TVG2013模型计算了2003~2012年的月平均全球重力异常值与对应CSR解的互差均方根(RMSE)。如图 3所示，在全球范围内，92%以上区域的RMSE数值优于1 ugal，平均值为0.63 ugal，最小值和最大值分别为0.26 ugal和3.38 ugal，最大值出现在亚马逊流域等地区。对于这些RMSE值较大的区域，应给予更多的关注和分析，以亚马逊流域为例，由文献可知该区域经历了2005年、2010年的干旱期和2009年的洪水期[24-26]，导致重力异常在年际尺度上出现了几次较大量级的异常变化。
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图 3 TVG解和CSR解的RMSE分布及其直方图Figure 3. RMSE of the IGG-TVG2013 Model and the CSR Solutions2.2.2 时变重力场统一模型外推精度分析
IGG-TVG2013模型除了可以进行重力场参量的内插计算，还可以外推预估各种重力场参量，这里仍以重力异常为例。给出了6步外推预估值(2013年1~6月)，并与对应的CSR月平均解数据进行了比较。表 1列举了预测误差的统计结果。
表 1 全球重力异常变化的外推精度分析/ugalTable 1. Analysis of Extrapolation Accuracy of Global Gravity Anomaly Changes /ugal步长 时间 最小值 最大值 平均值 均方根 1 2013-01 -6.17 3.87 0.06 0.940 2 2013-02 -5.93 3.49 0.05 0.935 3 2013-03 -5.69 3.99 0.06 0.968 4 2013-04 -6.02 6.26 0.05 0.958 5 2013-05 -6.48 6.84 -0.02 0.966 6 2013-06 -5.91 4.63 -0.005 0.935 从表 1中可知，在全球范围内，外推预测值与CSR解的差异较小，RMS均优于1 ugal。
图 4还分别给出了2013年1、3、6月重力异常变化的CSR月平均解和TVG月平均解，可以发现，二者不但在空间分布上基本一致，而且在信号强度上差异较小。
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图 4 2013年1月、3月、6月的重力异常变化Figure 4. Gravity Anomaly Variation in January, March, June of 20132.3 时变重力场统一模型的应用
根据IGG-TVG2013模型，可以直接计算各种重力场参量变化的趋势项、加速度项、周年和半周年变化等要素。以重力异常变化为例，参见图 5。
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图 5 根据IGG-TVG2013模型计算的重力异常各参数Figure 5. Aliasing Signal of Gravity Anomaly from IGG-TVG2013 Model从图 5(a)可知，西南极、格陵兰南部、阿拉斯加南部以及加拿大东部等地区重力异常有较大的趋势变化，主要受冰雪消融的影响；而图 5(b)中有明显加速项的地区可以分为两类，其一是以格陵兰岛南部、西南极和南极半岛周边地区等为代表的冰雪加速消融[14-16, 27-28]，其二是以非洲中部、北美中部、南美北部为代表的局部水文变化[29]。
从图 5(c)、5(d)可以看到，在亚马逊河流域、印度北部和非洲中部等地区的重力异常有很强的周年信号和半周年信号，这些地区集中于赤道附近区域，主要反映了受降雨量影响的陆地水变化。此外，阿拉斯加南部及临近的加拿大部分地区的周年信号也较强，该地区的山岳冰川多年来一直处于快速消融的状态[30]。
如图 5(e)、5(f)所示，S2混频信号主要分布于澳大利亚西北部、哈德逊湾和南极的龙尼-菲尔希纳冰架及其周边地区[18]；而K2混频信号则分布广泛，其振幅最大值出现在亚马逊河流域。
3 结语
本文利用2003～2012年的GRACE数据构建了以球谐函数表示的时变重力场统一模型IGG-TVG2013，从多方面分析了时变参考模型的可用性，得到如下结论。
1)在时变重力场统一模型中引入了加速度项、潮汐混频项和大地震同震阶跃项等参数，既能真实地反映重力场的时变特征，也削弱了背景模型和地震效应等引起的泄漏误差，对趋势项、季节项、加速项和潮汐混频项等进行了较好的估算；
2) IGG-TVG2013月解与GRACE月解符合较好，在全球92%以上的地区，二者差值的均方根优于1 ugal，最大值出现在亚马逊流域等地区；
3)利用IGG-TVG2013外推预测了2013年1～6月的重力异常，结果显示，在全球大部分地区，预测结果与GRACE资料符合较好，这表明该模型具有可靠的短期预测能力。
总之，IGG-TVG2013模型从球谐位系数的变化特性出发，在内插值和外推预测两方面都能够得到可靠的结果，对研究地球重力场的动态变化有十分重要的意义。
致谢: 感谢CSR提供的GRACE RL-05 Level-2数据。 -
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图 1 GRACE检测出的2004年12月26日苏门答腊Mw 9.3地震的同震重力变化
Figure 1. Coseismic Gravity Changes of Sumatra Mw 9.3Earthquake on Dec 26th, 2004 Detected by GRACE
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图 3 TVG解和CSR解的RMSE分布及其直方图
Figure 3. RMSE of the IGG-TVG2013 Model and the CSR Solutions
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图 4 2013年1月、3月、6月的重力异常变化
Figure 4. Gravity Anomaly Variation in January, March, June of 2013
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图 5 根据IGG-TVG2013模型计算的重力异常各参数
Figure 5. Aliasing Signal of Gravity Anomaly from IGG-TVG2013 Model
表 1 全球重力异常变化的外推精度分析/ugal
Table 1 Analysis of Extrapolation Accuracy of Global Gravity Anomaly Changes /ugal
步长 时间 最小值 最大值 平均值 均方根 1 2013-01 -6.17 3.87 0.06 0.940 2 2013-02 -5.93 3.49 0.05 0.935 3 2013-03 -5.69 3.99 0.06 0.968 4 2013-04 -6.02 6.26 0.05 0.958 5 2013-05 -6.48 6.84 -0.02 0.966 6 2013-06 -5.91 4.63 -0.005 0.935 
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期刊类型引用(1)
1. 朱传东, 刘金钊, 王同庆, 陈兆辉, 张品, 张双喜. GRACE离散时变重力场的大尺度动态变化模型构建分析. 测绘学报. 2018(12): 1581-1590 . 
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