源于合成孔径雷达^[1-4]的多接收阵合成孔径声纳(synthetic aperture sonar, SAS)^[5-9]提高了测绘作业的效率，但增加了频域快速成像算法的设计难度。多接收阵SAS的双根号斜距历程导致基于相位驻留原理不能得到解析的二维频域系统函数，一般需采用近似处理。

最直接的处理方法是基于收发合置SAS的成像算法^[10]，这种方法的前提是多接收阵SAS数据必须转化为类似收发合置SAS的数据。相位中心近似方法(phase centre approximation, PCA)^[11-12]假设收发阵元基线的中点位置存在一个虚拟的收发合置阵元，通过这个近似便将多接收阵元的信号转化为类似收发合置SAS的数据，进而采用传统快速成像算法进行处理，这种方法在收发合置转换时一般采用插值操作进行空变误差的补偿^[13]，但制约了成像效率。另一种是基于Loffeld双基公式(Loffeld’s bistatic formula，LBF)的数据融合成像方法^[14-15]，该方法等分收发阵元对回波多谱勒的贡献，将多接收阵SAS的系统函数分解为准收发合置项和收发分置畸变项，在二维频域对收发分置畸变项进行补偿后，多接收阵SAS成像就转化为收发合置SAS成像问题。该方法需在多谱勒域融合多接收阵SAS的数据，以实现收发合置SAS数据的转换，这同样限制了成像效率。

针对LBF方法，本文基于数值计算的二维频域系统函数分析相位误差，结果表明该方法能够满足高分辨成像需求，并在此基础上提出了一种新的成像方法。新方法针对各接收阵元的回波，首先采用距离向数据分块的方法在二维频域对收发分置畸变相位中的距离空变项进行补偿，通过这一步骤实现各接收阵元收发分置畸变相位中的距离空变项补偿；然后在二维时域对各接收阵元的数据进行顺序重排，就能得到去收发分置畸变项的数据。针对这个等效收发合置SAS系统的数据，以距离-多谱勒(range-Doppler, R-D)算法为例进行成像处理，就能得到多接收阵SAS高分辨成像结果。

1 多接收阵SAS成像几何

多接收阵SAS二维成像几何如图 1所示。发射阵元和接收阵分布在同一条线阵，接收阵中有M个等间距分布的接收阵元，M表示接收阵元的个数。假设空间中有一个理想点目标，其坐标为(r, 0)，声纳平台速度为v，水声环境中的声速为c。经过t时间后，发射阵元运动到vt位置并沿正侧视方向发射宽频带信号p(τ)；信号历经的去程距离为${{R}_{T}}\left( t \right)=\sqrt{{{r}^{2}}+{{\left( vt \right)}^{2}}}$，由于声纳平台的连续运动，在信号传播过程中，与发射阵元间隔d_i的第i($i\in \left[ 1, M \right]$)个接收阵元向前运动了vτ_i的距离，τ_i为回波的精确延迟时间^[12]，i为接收阵元的索引。目标回波被第i个接收阵元接收时历经的回程距离为${{R}_{Ri}}\left( t \right)=\sqrt{{{r}^{2}}+{{(vt+v{{\tau }_{i}}+{{d}_{i}})}^{2}}}$。于是，信号历经的双程斜距历程为:

$\begin{matrix} {{R}_{i}}\left( t \right)={{R}_{T}}\left( t \right)+{{R}_{Ri}}\left( t \right)= \\ \sqrt{{{r}^{2}}+{{\left( vt \right)}^{2}}}+\sqrt{{{r}^{2}}+{{(vt+v{{\tau }_{i}}+{{d}_{i}})}^{2}}} \\ \end{matrix}$

(1)

用s_i表示第i个接收阵元所接收的回波信号，对第i个接收阵元的回波进行解调处理，可得：

${{s}_{i}}\left( \tau , t \right)=p\left( \tau -\frac{{{R}_{i}}\left( t \right)}{c} \right){{w}_{a}}\left( t \right)\text{exp}\left\{ -\text{j}2\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }\frac{{{R}_{i}}\left( t \right)}{\lambda } \right\}$

(2)

式中，τ、t分别为距离向快时间与方位向慢时间；λ为载波波长；w_a(·)为收发阵元的联合指向性函数，由于其不影响成像算法的推导，后文予以忽略。

2 多接收阵SAS R-D算法 2.1 二维频域系统函数

由于信号的精确延迟时间非常复杂，本文采用τ_i≈2r/c对信号的精确延迟时间进行近似处理。基于LBF方法^[14-15]，对式(2)所示的回波进行二维频域变换，可得到二维频域系统函数，用S_i表示对s_i进行二维频域变换的结果，其表达式为：

$ \begin{align} & \ {{S}_{i}}\left( {{f}_{\tau }}, {{f}_{t}};r \right)=P\left( {{f}_{\tau }} \right)\cdot \text{exp}\left\{ \text{j}2\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }{{f}_{t}}\frac{r}{c} \right\}\text{exp}\left\{ \text{j }\!\!\pi\!\!\text{ }{{f}_{t}}\frac{{{d}_{i}}}{v} \right\}\cdot \\ & \text{exp}\left\{ -\text{j }\!\!\pi\!\!\text{ }\frac{{{\left[ {{\left( {{f}_{c}}+{{f}_{\tau }} \right)}^{2}}-f_{t}^{2}\frac{{{c}^{2}}}{4{{v}^{2}}} \right]}^{3/2}}}{c{{\left( {{f}_{c}}+{{f}_{\tau }} \right)}^{2}}}\frac{1}{2r}{{\left( 2\frac{r}{c}v+{{d}_{i}} \right)}^{2}} \right\}\cdot \\ & \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{exp}\left\{ -\text{j}4\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }\frac{r}{c}\sqrt{{{\left( {{f}_{c}}+{{f}_{\tau }} \right)}^{2}}-{{f}_{t}}^{2}\frac{{{c}^{2}}}{4{{v}^{2}}}} \right\} \\ \end{align} $

(3)

式中，${{f}_{\tau }}$、f_t分别为距离向瞬时频率与方位向多谱勒频率；等式右边第1项P(${{f}_{\tau }}$)为发射信号的频谱；第2项表示“停-走-停”近似误差^[12]导致的目标方位偏移；第3项表示由各接收阵元空间采样延迟引入的相位偏差；第4项表示由收发阵元空间分置和“停-走-停”近似误差引入的相位误差，包含多谱勒相位误差和距离-方位之间的耦合误差；第3项和第4项均和收发阵元间距相关，因此被称为收发分置畸变项；第5项类似收发合置SAS的二维频域系统函数，称为准收发合置项。

2.2 相位误差分析

为分析LBF方法的相位误差，首先需得到标准的二维频域系统函数，本文采用数值计算方法计算二维频域系统函数^[7].对式(2)进行二维频域变换，可得：

$ \begin{align} & {{S}_{i}}\left( {{f}_{\tau }}, {{f}_{t}};r \right)=P\left( {{f}_{\tau }} \right)\int_{0}^{{{T}_{s}}}{\text{exp}\{-\text{j}2\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }\left( {{f}_{c}}+{{f}_{\tau }} \right)\frac{{{R}_{i}}}{c}-} \\ & \ \ \ \ \text{j}2\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }{{f}_{t}}t\}\text{d}t \\ \end{align} $

(4)

式中，T_s表示合成孔径时间。

观察式(1)、式(4)很难通过积分得到。令式(4)积分式中的相位为：

$ {{\phi }_{i}}\left( {{f}_{\tau }}, {{f}_{t}};t \right)=-2\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }\left( {{f}_{c}}+{{f}_{\tau }} \right)\frac{{{R}_{i}}}{c}-2\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }{{f}_{t}}t $

(5)

基于相位驻留原理，可得：

$ {{\left. \frac{\partial }{\partial t}{{\phi }_{i}}\left( {{f}_{\tau }}, {{f}_{t}};t \right) \right|}_{t=t_{i}^{\text{*}}}}=0 $

(6)

根据式(1)和式(5)，式(6)可转换为：

${{\left. \frac{\partial {{R}_{i}}}{\partial t} \right|}_{t=t_{i}^{\text{*}}}}=-\frac{c{{f}_{t}}}{{{f}_{c}}+{{f}_{\tau }}}$

(7)

用数值分析法计算相位驻留点$t_{i}^{\text{*}}$，将$t_{i}^{\text{*}}$代入式(5)得到二维频域系统函数，即：

${{S}_{i}}\left( {{f}_{\tau }}, {{f}_{t}};r \right)=P\left( {{f}_{\tau }} \right)\text{exp}\left\{ \text{j}{{\phi }_{i}}\left( {{f}_{\tau }}, {{f}_{t}};t_{i}^{\text{*}} \right) \right\}$

(8)

考虑到多接收阵SAS的方位空不变和距离空变特性，固定目标的方位坐标并以式(8)所示数值系统函数的相位为标准，就能得到具有距离空变性的相位误差。本文主要研究方位坐标在合成孔径中心且距离坐标分别为45 m、155 m和265 m的目标系统函数相位误差，系统仿真参数如表 1所示。

对于第1个接收阵元和发射阵元所组成的子系统来说，其相位误差如图 2所示。

观察图 2中的每个误差图，相位误差随着多谱勒频率中心的偏离而增大，这是由于在多谱勒中心频率附近，收、发阵元对多谱勒的贡献基本相等，因而相位误差较小；但随着多谱勒频率偏离多谱勒中心，收、发阵元不再等分多谱勒，因而相位误差具有增大的趋势。观察图 2(a)~2(c)，相位误差还随着距离的增大而增大。总体来说，最大相位误差约为0.1 rad。

对于第50个接收阵元和发射阵元所组成的子系统，其相位误差如图 3所示。当收发阵元间距较大时，可以得到与图 2相一致的结论。对比图 2(a)和图 3(a)，当距离较小时，收发阵元间距对相位误差的影响非常明显，然而随着距离的增大，收发阵元间距对相位误差的影响较小，如图 2(c)和图 3(c)所示。总体来说，基于LBF的二维频域系统函数最大相位误差约为0.15 rad，能够满足合成孔径高分辨成像的要求。

2.3 R-D成像算法

首先将多接收阵回波信号转化为类似收发合置SAS的数据，然后利用R-D算法进行成像处理。对每个接收阵元的回波进行二维傅里叶变换(Fourier transformation, FT)，然后将测绘带沿距离向划分成N个数据块，针对第n个数据块，与收发分置畸变相位中距离空变项对应的补偿函数$H_{\text{dc}\_n}^{i}$为：

$ \begin{matrix} H_{\text{dc}\_n}^{i}\left( {{f}_{\tau }}, f_{t}^{'};{{r}_{c\_n}} \right)=\text{conj}\left\{ P\left( {{f}_{\tau }} \right) \right\}\cdot \\ \text{exp}\left\{ \text{j }\!\!\pi\!\!\text{ }\frac{{{\left[ {{\left( {{f}_{c}}+{{f}_{\tau }} \right)}^{2}}-f_{t}^{2}\frac{{{c}^{2}}}{4{{v}^{2}}} \right]}^{3/2}}}{c{{\left( {{f}_{c}}+{{f}_{\tau }} \right)}^{2}}}\frac{1}{2{{r}_{c\_n}}}{{\left( 2\frac{{{r}_{c\_n}}}{c}v+{{d}_{i}} \right)}^{2}} \right\} \\ \end{matrix} $

(9)

式中，conj表示复共轭；$f_{t}^{\text{ }\!\!'\!\!\text{ }}\in \left[ -{{P}_{s}}/2, {{P}_{s}}/2 \right]$表示与系统脉冲重复频率P_s相关的多谱勒频率；${{r}_{c\_n}}$为第n个数据块的参考距离，一般取数据块的中心距离。该步骤同时进行距离向脉压处理。

完成上一步骤后，对数据进行二维傅里叶逆变换(inverse Fourier transformation, IFT)，提取并存储第n个数据块。对N个数据块进行同样的处理，可实现第i个接收阵元数据收发分置畸变相位中距离空变项的补偿。按照上述步骤，对所有接收阵元的回波进行相同的操作，就可实现多接收阵回波数据收发分置畸变相位中距离空变项的补偿。将各接收阵元的回波数据变换至二维时域，对各接收阵元的数据进行顺序排列，便得到M倍脉冲重复频率的数据，该数据可作为传统快速成像算法的输入。下文以R-D算法为例研究多接收阵SAS的成像过程。

定义${{\mathit{\Phi} }_{i}}\left( {{f}_{\tau }}, {{f}_{t}};r \right)$为式(3)中的准收发合置相位，对其在${{f}_{\tau }}/{{f}_{c}}=0$处进行二阶泰勒级数近似，得：

$ \begin{array}{*{35}{l}} {{\mathit{\Phi} }_{i}}\left( {{f}_{\tau }}, {{f}_{t}};r \right)\approx -\frac{4\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }r\beta }{\lambda }-\frac{4\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }r}{c\beta }{{f}_{\tau }}+ \\ \ \ \ \ \ \ \ \ 2\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }\frac{r\lambda }{{{c}^{2}}}\left( \frac{1}{{{\beta }^{3}}}-\frac{1}{\beta } \right)f_{\tau }^{2} \\ \end{array} $

(10)

式中，$\beta =\sqrt{1-\frac{{{c}^{2}}f_{t}^{2}}{4{{v}^{2}}f_{c}^{2}}}$。式(10)中等式右边第1项与方位脉压相关，第2项表示距离与方位间的耦合，第3项为二次距离压缩的来源。

对收发合置转换后的数据先进行二维频域变换，然后进行二次距离压缩。用于二次距离压缩的相位补偿函数H_src为：

$ {{H}_{\text{src}}}\left( {{f}_{\tau }}, {{f}_{t}};{{r}_{s}} \right)=\text{exp}\left\{ \text{j }\!\!\pi\!\!\text{ }\frac{f_{\tau }^{2}}{{{\gamma }_{\text{src}}}\left( {{f}_{t}};{{r}_{s}} \right)} \right\} $

(11)

式中，${{\gamma }_{\text{src}}}\left( {{f}_{t}};{{r}_{s}} \right)=-2{{r}_{s}}\lambda \frac{1-{{\beta }^{2}}}{{{c}^{2}}{{\beta }^{3}}}$；r_s表示参考距离，一般取整个测绘带的中心距离。

基于距离向傅里叶逆变换，将二次距离压缩后的数据变换到距离-多谱勒域，利用sinc插值进行距离徙动校正(range cell migration correction, RCMC)。根据式(10)，需校正的距离徙动量$\Delta R$为：

$ \text{ }\!\!\Delta\!\!\text{ }R\left( {{f}_{t}};r \right)=\frac{2r}{\beta }-2r $

(12)

针对RCMC处理后的数据，在距离-多谱勒域进行方位向匹配滤波和方位偏移校正，根据式(3)中等式右边第2项和式(10)中等式右边第1项，可得相位补偿函数H_ac为：

$ {{H}_{\text{ac}}}\left( {{f}_{t}};r \right)=\text{exp}\left\{ \text{j}4\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }\frac{\beta }{\lambda }r \right\}\cdot \text{exp}\left\{ -\text{j}2\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }{{f}_{t}}\frac{r}{c} \right\} $

(13)

将数据变换到方位时域，就可以得到SAS高分辨率图像。成像流程如图 4所示。

观察图 4可以发现，各接收阵元回波数据双基相位误差的补偿以及各数据块的相位误差补偿是相互独立的，因此在实际处理中可以采用并行算法进一步提高成像处理效率。

3 多接收阵SAS仿真和实测分析 3.1 多接收阵SAS仿真数据处理

采用仿真数据验证本文提出的方法，系统仿真参数如表 1所示，场景中理想点目标的二维坐标为(127, 15) m。对原始回波直接进行距离向脉冲压缩，其处理结果如图 5(a)所示，图 5(b)为收发合置转换后的结果。不难发现，经过收发分置畸变相位误差补偿后得到的信号已经较好地补偿了收发分置畸变相位，类似于传统收发合置SAS信号。将该信号直接输入到R-D算法就能得到目标的成像结果。

采用R-D算法成像的结果见图 6(a), 其中右侧的图例表示对归一化结果取对数后的操作。图 6(b)给出了反向投影算法(back projection, BP)^[16]的成像结果。与图 6(b)所示的BP算法结果相比，本文方法也能得到基本一致的成像结果。

经过插值平滑处理后，图 7为本文方法和BP算法成像处理后的方位向剖面图，从图 7中可以清晰看出本文方法的方位向剖面与BP算法的方位向剖面基本一致。

为定量说明本文方法的有效性，表 2给出了两种方法的峰值旁瓣比(peak sidelobe ratio, PSLR)和积分旁瓣比(integrated sidelobe ratio, ISLR)。观察表 2可知，本文方法成像后的PSLR、ISLR与BP算法处理后的对应值分别相差0.14 dB和0.12 dB，因此本文方法接近BP算法的成像性能，进一步验证了本文方法的有效性。

3.2 多接收阵SAS实测数据处理

SAS系统chirp信号的中心频率、带宽与脉冲重复周期分别为150 kHz、20 kHz和0.32 s。发射阵元方位向实孔径为8 cm，接收阵长192 cm，共48个接收阵元；平台拖曳速度为2.5 m/s。基于本文方法成像结果如图 8所示。图 9给出了BP算法的成像结果。

观察图 8和图 9可知，基于本文方法能够得到同BP算法相一致的处理结果。由此可见，本文方法是有效的。

利用戴尔灵越14 7000系列笔记本电脑测试本文方法和BP算法的运算时间。BP算法的成像时间为5 868 s，本文方法的运算时间为451 s，其中收发合置转换时间约为67 s，而R-D成像算法的运算时间约为384 s，这主要是R-D算法中的插值所致。即便如此，本文方法仍可将成像效率提高约13倍，由此进一步验证了本文方法的高效性。然而，需要说明的是，在非理想运动状态下，BP算法能够较好地融合各运动误差的补偿，不需要额外的计算量；而本文方法需先依据运动误差校正各接收阵元的信号，以得到接近理想运动状态的数据^[9]，然后才能利用本文方法进行下一步的成像处理。

4 结语

本文研究了基于LBF的多接收阵SAS R-D成像方法，分析了LBF的二维频域相位误差，提出了二维频域内基于距离向数据分块的空变相位补偿和二维时域内的顺序重排两步操作法，较好地实现了多接收阵SAS回波数据的收发合置转换。在此基础上，利用R-D算法进行了成像处理。该方法仅采用复乘，能够在保证成像质量的前提下提高成像效率。仿真和实测数据显示本文方法能够取得与BP算法基本相一致的成像结果。