非差非组合模型采用原始的观测值，通过引入信号偏差参数，实现多频多系统数据的灵活处理，并满足电离层延迟提取以及PPP-RTK定位等各类需求。其基本观测方程为^[14]：

式中，$P_{r,f}^s$、${\Phi }_{r,f}^s$分别为频率f上卫星s至接收机r，考虑天线相位中心、相对论效应、地球自转、潮汐、相位缠绕等误差后的伪距和相位观测值；${\rho }_r^s$为卫星s至接收机r的几何距离；$t_{r,G}$为接收机r对应GNSS系统的接收机钟差参数；$T_z$为测站天顶对流层延迟；${\alpha }_r^s$为对流层从天顶至斜路径的投影函数；$I_r^s$为单层电离层模型穿刺点处天顶电离层延迟；${\gamma }_r^s$为电离层从天顶至斜路径的投影函数；$b^{s,f}$为卫星端硬件延迟；$b_{r,f}$为接收机端硬件延迟；$N_{r,f}^s$为浮点解模糊度参数；λ为其对应波长；${\epsilon }_P$和${\epsilon }_{\Phi }$分别为伪距和相位观测噪声。

在非差非组合模型中，一般将电离层延迟作为一个独立的参数进行估计。对此，文献[15]提出了一种GNSS确定性加随机性电离层延迟模型（deterministic plus stochastic ionospheric delay modeling for GNSS，DESIGN），该模型利用多项式的方式对电离层延迟进行描述，其基本函数表达式为：

式中，$d_r^s(Z)$为接收机至卫星的天顶电离层延迟；$a_i(i=\mathrm{0,\; 1},\mathrm{2,\; 3},\mathrm{4})$描述电离层的空间变化；$d_L$、$d_B$分别表示穿刺点和测站大致坐标的经度和纬度差值；$r(t)$表示电离层在时域上的随机特性。进一步地，DESIGN将确定性参数$a_i$在时域上进行傅里叶展开，并通过变异函数分析建立了随机性参数$r(t)$的相关模型，该电离层参数化模型估计策略详见文献[16]。

此外，引入先验的电离层模型约束可进一步提高非差非组合数据处理精度，计算式为：

式中，$\tilde{I}{(z)}_r^s$表示由先验电离层延迟产品内插或计算的改正数；${\epsilon }_{\tilde{I}{(z)}_r^s}$表示电离层延迟虚拟观测值噪声，描述了先验电离层延迟产品如北斗全球电离层延迟修正模型（BeiDou global ionospheric delay correction model，BDGIM）的精度^[17]；其他参数含义同式（2）。

实际处理中，服务端电离层产品建模时，一般可将Klobuchar模型或实时全球电离层格网图等作为先验背景电离层延迟。终端定位时，则可基于服务端区域电离层延迟产品实现高精度的电离层延迟改正。基于式（1）~式（3）可估计各测站相对于卫星的电离层延迟STEC。与传统的零基线无几何距离组合相位平滑伪距算法相比，该方法不易受测站多路径、噪声以及周跳的影响，可显著提升GNSS电离层延迟提取精度。高精度的电离层建模是PPP-RTK实现的关键。为了减少投影函数带来的精度损失，本文直接采用提取所得的STEC，以SIM为基础，建立SIM_IDW和SIM_POLY电离层延迟改正模型。采用SIM_IDW方法构建模型时，对该历元内所有基准站相对同一颗卫星的STEC进行内插，获取当前历元流动站相对于该卫星的电离层延迟，由此建立SIM_IDW模型，计算式为：

式中，$i$为用户编号；$j$为参考站编号；$S^j$表示该历元卫星测站上空穿刺点电离层延迟；$D_{ij}$为用户与参考站之间的距离，通常取用户观测穿刺点与参考站上空穿刺点之间的几何距离。

与SIM_IDW方法不同，SIM_POLY通过选取建模原点，对该历元或相应弧段内所有基准站相对于同一颗卫星的电离层延迟建立多项式模型^[18]，计算式为：

式中，$a_i$、$b_i$表示多项式系数；$n$为多项式阶数；$\mathrm{d}\lambda$、$\mathrm{d}\phi$分别表示用户与穿刺点上空经度差、纬度差。

本文选取中国广东、湖北、河北3个省2019-08-01—2019-08-05（DOY 213~217）的观测数据进行分析，并进一步将其分为基准站和流动站，3个省份测站分布如图 1所示。其中，基准站解算相位偏差以及大气延迟改正产品；流动站作为定位解算站，利用基准站计算所得产品进行定位解算，并分析其定位性能。

图  1  3个省份测站分布

Figure 1.  Distribution of Stations in 3 Provinces

本文服务端相位偏差、大气延迟改正产品解算及终端定位等都基于武汉大学FUSING软件展开，目前FUSING已能实现多系统实时滤波定轨、精密卫星钟差与信号偏差估计、大气延迟建模与监测以及多源协同精密定位等^[19-20]。其中相位偏差/大气延迟解算以及终端定位解算配置策略中的相同项及差异项分别见表 1及表 2。

为评估两种电离层模型的精度，将模型拟合的电离层延迟与流动站事后反算高精度电离层延迟作差，统计其RMS（root mean square）作为电离层延迟模型精度。广东、湖北及河北3个省单GPS/GPS+北斗解算模式下两种电离层模型残差RMS见表 3。对比不同建模方法可知，在纬度相对较高的湖北省和河北省，两种模型精度无明显差异；而在纬度较低的广东省，SIM_IDW模型精度略优于SIM_POLY模型，这是因为广东省纬度较低，电离层相对活跃，当用多项式模型表达电离层延迟时可能有一定精度损失。另一方面，结合3个省所处纬度可知，随着纬度的升高，电离层活动减弱，电离层模型精度相应提高。

图 2给出了上述3个省SIM_IDW及SIM_POLY模型5天内24 h的平均电离层延迟残差。由图 2可以看出，在电离层活动较弱的0时-4时，电离层建模差异较小；而在电离层活动较强的8时-16时，3个省电离层延迟残差出现了显著差异，湖北省电离层建模精度显著优于广东省。此外，由图 2可知，SIM_POLY相对于SIM_IDW更为平滑，这也解释了SIM_POLY在电离层活跃区域（如广东省）的改正精度比SIM_IDW损失更多的原因。

图  2  SIM_IDW与SIM_POLY平均电离层延迟残差

Figure 2.  Average Ionospheric Delay Residuals of SIM_IDW and SIM_POLY

本文将SIM_IDW与SIM_POLY电离层延迟改正模型应用于双频PPP中，并以IF组合IFPPP及基于CODG全球电离层格网图改正下的非差非组合PPP为参考，评估区域电离层增强PPP收敛速度和收敛后定位精度等性能。由于定位每小时重收敛，本文将所有弧段相同历元定位误差取绝对值后从小到大排序，并取每个历元68%分位数下定位精度作为其收敛序列，收敛时间则以收敛序列水平方向首次连续10个历元收敛至5 cm，高程方向首次连续10个历元收敛至10 cm所需时间作为评价指标；收敛后定位精度则以收敛30 min后的RMS为参考，考虑定位每小时重启，因此，该RMS是基于30~60 min的定位误差统计获得的。

浮点解的定位性能可以直接反映电离层模型的改正效果。图 3和图 4分别给出了广东、湖北及河北3个省单GPS/GPS+北斗两种模式浮点解下不同电离层改正方式（IF组合、CODG产品、SIM_IDW、SIM_POLY）前30 min的68%分位数收敛序列图。结合表 3可以看出，湖北省、河北省SIM_IDW和SIM_POLY模型改正下的浮点解收敛速度基本一致，而广东省单GPS模式下SIM_IDW模型改正的浮点解收敛速度较快；河北省收敛速度略优于广东省及湖北省；GPS+北斗双系统相较于单GPS也有一定提升。

图  3  3个省份单GPS浮点解收敛曲线

Figure 3.  Convergence Sequence of Single GPS Float Solution in 3 Provinces

图  4  3个省份GPS+北斗浮点解收敛曲线

Figure 4.  Convergence Sequence of GPS+BDS Float Solution in 3 Provinces

表 4统计了广东、湖北及河北3个省各站点采取不同电离层改正模式时30~60 min的定位误差，以此作为浮点解精度，并以IFPPP为参考，统计SIM_IDW、SIM_POLY电离层模型及CODG产品相较于IFPPP的三维精度提升比例。结合表 3可以看出，湖北省、河北省SIM_IDW和SIM_POLY模型改正下的浮点解定位精度并无显著差异，而广东省单GPS解算模式下SIM_IDW模型改正下的浮点解定位精度略优于SIM_POLY；GPS+北斗双系统相较于单GPS在定位精度上也有显著提升。

值得注意的是，虽然整体上基于CODG全球电离层产品的非差非组合PPP收敛速度更快，但是在图 4中，湖北省水平方向收敛速度IFPPP略优。一方面，在双频条件下，非差非组合PPP相对于IFPPP的提升并不明显，因此，存在部分样本IFPPP性能略优于非差非组合PPP^[15]；另一方面，CODG电离层产品主要基于非中国区域GPS、GLONASS数据解算获得，因此其对中国区域北斗定位精度提升有限。

相较于浮点解，固定解通过相位偏差产品改正固定模糊度，从而提高定位精度。本文从收敛时间、收敛后定位精度以及模糊度首次固定时间（time to first fix，TTFF）等方面对比分析SIM_IDW模型及SIM_POLY模型改正下的固定解对定位性能的提升。图 5和图 6分别给出了广东、湖北及河北3个省单GPS/GPS+北斗两种模式固定解下不同电离层改正方式（CODG产品、SIM_IDW和SIM_POLY）前30 min的68%分位数收敛序列图。可见，图 5和图 6与表 3结果一致，湖北省及河北省SIM_IDW、SIM_POLY模型改正下的PPP-RTK收敛速度并无显著差异，而广东省SIM_IDW模型改正下的PPP-RTK收敛速度略优于SIM_POLY；与广东省及湖北省相比，河北省收敛速度相对较快；在引入北斗系统后，PPP-RTK收敛速度显著提升。

图  5  3个省份单GPS固定解收敛曲线

Figure 5.  Convergence Sequence of Single GPS Fixed Solution in 3 Provinces

图  6  3个省份GPS+北斗固定解收敛曲线

Figure 6.  Convergence Sequence of GPS+BDS Fixed Solution in 3 Provinces

表 5给出了3个省两种模式下水平定位精度收敛至5 cm、高程定位精度收敛至10 cm所需的时间。结合表 3可以看出，河北省收敛速度最快，在GPS+北斗定位模式下，水平定位精度首个历元收敛至5 cm，高程定位精度1.5 min收敛至10 cm。此外，广东省SIM_IDW模型改正下PPP-RTK收敛速度略优于SIM_POLY，湖北省、河北省SIM_IDW和SIM_POLY模型改正下的PPP-RTK收敛速度则无显著差异；在引入北斗系统后，PPP-RTK收敛速度显著提升。

表 6统计了广东、湖北及河北3个省各站点采取不同电离层改正模式时30~60 min的定位误差，以此作为固定解精度，并以CODG改正下的PPP模糊度固定解（PPP-ambiguity resolution，PPP-AR）为参考，统计SIM_IDW、SIM_POLY模型改正下的PPP-RTK三维精度提升比例。可见，相较于CODG产品改正下PPP-AR，SIM_IDW及SIM_POLY模型改正下的PPP-RTK定位精度明显提升；引入北斗系统后，GPS+北斗PPP-RTK定位精度相较于单GPS有显著提升。

图 7为广东、湖北及河北3个省单GPS、GPS+北斗首次窄巷模糊度固定时间占比柱状图。由图 7可以看出，在单GPS解算模式下，SIM_IDW及SIM_POLY模型改正下的PPP-RTK有50%以上的样本在首个历元实现了窄巷模糊度固定，而在GPS+北斗解算模式下则有60%以上的样本在首个历元实现了固定，相较于CODG产品改正下的PPP-AR有着明显提升。结合表 3可以看出，随着电离层模型精度的提高，首个历元模糊度固定率也随之提高，在GPS+北斗解算模式下，河北省SIM_IDW、SIM_POLY模型改正下的PPP-RTK首个历元模糊度固定率分别为86.09%和89.13%。

图  7  3个省份首次窄巷模糊度固定时间占比

Figure 7.  Proportion of Time to First Ambiguity Fix in 3 Provinces

高精度电离层延迟改正是实现PPP-RTK、提高PPP收敛速度的关键。本文基于广东、湖北及河北3个省份不同纬度区域观测数据，对比分析SIM_IDW和SIM_POLY两种电离层模型的精度及其应定位性能，得出以下结论：1）电离层建模方面，在电离层活动相对强烈的低纬度区域，SIM_IDW模型略优于SIM_POLY模型，而在中高纬度区域，两者并无显著差异。此外，SIM_POLY模型与SIM_IDW模型相比更为平滑，但在一定程度上损失了建模精度。2）定位性能方面，定位结果中的收敛速度、定位精度随着电离层模型精度的提升而提高，在引入北斗系统后，定位性能有显著提升。浮点解中，随着纬度的升高，电离层建模精度升高，浮点解收敛速度及定位精度相较于IFPPP提升更为明显。固定解中，电离层模型精度越高的区域，首个历元模糊度固定率越高，GPS+北斗定位模式下，河北省SIM_IDW、SIM_POLY模型改正下的PPP-RTK首个历元固定成功率可达86.09%和89.13%，水平方向定位精度首个历元即可收敛至5 cm，高程方向定位精度1.5 min即可收敛至10 cm；在模糊度固定之后，PPP-RTK相较于PPP浮点解定位精度有显著提升，河北省GPS+北斗定位模式下水平及三维方向RMS分别为1.3 cm、3.5 cm。