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利用VLBI观测量对月球天平动参数解算及着陆器定位和测速的改进

魏二虎 任晓斌 刘经南 李连艳 聂桂根 李岩林

魏二虎, 任晓斌, 刘经南, 李连艳, 聂桂根, 李岩林. 利用VLBI观测量对月球天平动参数解算及着陆器定位和测速的改进[J]. 武汉大学学报 ● 信息科学版, 2022, 47(4): 483-491. doi: 10.13203/j.whugis20200311
引用本文: 魏二虎, 任晓斌, 刘经南, 李连艳, 聂桂根, 李岩林. 利用VLBI观测量对月球天平动参数解算及着陆器定位和测速的改进[J]. 武汉大学学报 ● 信息科学版, 2022, 47(4): 483-491. doi: 10.13203/j.whugis20200311
WEI Erhu, REN Xiaobin, LIU Jingnan, LI Lianyan, NIE Guigen, LI Yanlin. Calculation of Lunar Libration Parameters Using VLBI Observations and Improvement of Lander Positioning and Velocity Measurement[J]. Geomatics and Information Science of Wuhan University, 2022, 47(4): 483-491. doi: 10.13203/j.whugis20200311
Citation: WEI Erhu, REN Xiaobin, LIU Jingnan, LI Lianyan, NIE Guigen, LI Yanlin. Calculation of Lunar Libration Parameters Using VLBI Observations and Improvement of Lander Positioning and Velocity Measurement[J]. Geomatics and Information Science of Wuhan University, 2022, 47(4): 483-491. doi: 10.13203/j.whugis20200311

利用VLBI观测量对月球天平动参数解算及着陆器定位和测速的改进

doi: 10.13203/j.whugis20200311
基金项目: 

国家重点研发计划 2018YFC1503600

国家自然科学基金 41874036

详细信息

Calculation of Lunar Libration Parameters Using VLBI Observations and Improvement of Lander Positioning and Velocity Measurement

Funds: 

The National Key Research and Development Program of China 2018YFC1503600

the National Natural Science Foundation of China 41874036

More Information
  • 摘要: 在嫦娥三号探月工程中,月球天平动参数是影响其着陆器定位精度的重要参数,研究月球天平动参数估计方法对于中国探月工程的发展具有重要意义。目前,月球激光测距(lunar laser ranging,LLR)是解算月球天平动参数的常用方法,该方法通过数值拟合将拟合系数放在历表文件中供用户读取。首先,基于差分甚长基线干涉测量技术(very long baseline interferometry, VLBI)解算月球物理天平动参数,其仿真结果表明,与DE421星历的插值结果对比,其欧拉角Ωiμ的改进值分别补偿至-0.692 4″、0.009 6″和-0.009 7″;然后,基于补偿后的月球物理天平动参数求解着陆器坐标和速度,结果显示,相比于补偿前, 着陆器在XYZ方向的定位精度分别提高了24.204 m、0.405 m、1.996 m,速度误差的估计精度也分别提高了0.010 6 m/s、0.013 5 m/s、0.007 2 m/s。上述研究结果可为未来月球天平动参数解算的相关研究提供参考。
  • 图  1  VLBI单点定位原理图

    Figure  1.  VLBI Single Point Positioning

    图  2  天平动参数计算图

    Figure  2.  Calculation Diagrams of Libration Parameters Results

    图  3  着陆器位置误差

    Figure  3.  Positioning Error of the Lander

    图  4  着陆器速度误差

    Figure  4.  Velocity Error of the Lander

    表  1  两种方法的天平动参数差值

    Table  1.   Difference of Libration Parameters Between Two Methods

    天平动差值 12-20差值/(″) 12-21差值/(″) 12-22差值/(″) 12-23差值/(″) 平均值/(″)
    ΔΩ -0.692 1 -0.692 6 -0.692 4 -0.692 5 -0.692 4
    Δi 0.009 7 0.009 8 0.009 4 0.009 4 0.009 6
    Δμ -0.009 5 -0.009 8 -0.009 8 -0.009 6 -0.009 7
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    表  2  标准差及均方根误差统计/m

    Table  2.   Statistics of SD and RMSE/m

    精度 方向 12-20 12-21 12-22 12-23 平均值
    改进前 改进后 改进前 改进后 改进前 改进后 改进前 改进后 改进前 改进后
    SD X 100.739 100.026 230.636 229.365 273.720 272.770 109.579 107.794 178.668 177.489
    Y 2.073 2.030 8.002 7.971 6.498 6.445 2.464 2.361 4.706 4.702
    Z 2.298 2.253 7.184 7.203 9.185 9.227 2.294 2.265 5.240 5.237
    RMSE X 277.895 264.173 1 316.258 1 295.387 1 319.851 1 292.142 345.224 310.710 814.807 790.603
    Y 2.672 2.396 14.409 14.120 17.383 17.111 5.674 4.892 10.035 9.630
    Z 6.634 4.889 32.221 30.470 31.222 29.498 7.556 4.792 19.408 17.412
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    表  3  速度误差的标准差及均方根误差统计/(m·s-1)

    Table  3.   SD and RMSE Statistics of Velocity Errors/(m·s-1)

    精度统计 方向 12-20—12-23
    改进前 改进后
    SD X 0.012 7 0.002 1
    Y 0.015 3 0.0018
    Z 0.008 4 0.0012
    RMSE X 0.010 0 0.007 0
    Y 0.013 0 0.007 0
    Z 0.007 0 0.006 0
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出版历程
  • 收稿日期:  2020-04-18
  • 刊出日期:  2022-04-05

利用VLBI观测量对月球天平动参数解算及着陆器定位和测速的改进

doi: 10.13203/j.whugis20200311
    基金项目:

    国家重点研发计划 2018YFC1503600

    国家自然科学基金 41874036

    作者简介:

    魏二虎,博士,教授,研究方向为空间大地测量与深空导航。ehwei@sgg.whu.edu.cn

    通讯作者: 任晓斌,硕士。xiaobinren@whu.edu.cn
  • 中图分类号: P228

摘要: 在嫦娥三号探月工程中,月球天平动参数是影响其着陆器定位精度的重要参数,研究月球天平动参数估计方法对于中国探月工程的发展具有重要意义。目前,月球激光测距(lunar laser ranging,LLR)是解算月球天平动参数的常用方法,该方法通过数值拟合将拟合系数放在历表文件中供用户读取。首先,基于差分甚长基线干涉测量技术(very long baseline interferometry, VLBI)解算月球物理天平动参数,其仿真结果表明,与DE421星历的插值结果对比,其欧拉角Ωiμ的改进值分别补偿至-0.692 4″、0.009 6″和-0.009 7″;然后,基于补偿后的月球物理天平动参数求解着陆器坐标和速度,结果显示,相比于补偿前, 着陆器在XYZ方向的定位精度分别提高了24.204 m、0.405 m、1.996 m,速度误差的估计精度也分别提高了0.010 6 m/s、0.013 5 m/s、0.007 2 m/s。上述研究结果可为未来月球天平动参数解算的相关研究提供参考。

English Abstract

魏二虎, 任晓斌, 刘经南, 李连艳, 聂桂根, 李岩林. 利用VLBI观测量对月球天平动参数解算及着陆器定位和测速的改进[J]. 武汉大学学报 ● 信息科学版, 2022, 47(4): 483-491. doi: 10.13203/j.whugis20200311
引用本文: 魏二虎, 任晓斌, 刘经南, 李连艳, 聂桂根, 李岩林. 利用VLBI观测量对月球天平动参数解算及着陆器定位和测速的改进[J]. 武汉大学学报 ● 信息科学版, 2022, 47(4): 483-491. doi: 10.13203/j.whugis20200311
WEI Erhu, REN Xiaobin, LIU Jingnan, LI Lianyan, NIE Guigen, LI Yanlin. Calculation of Lunar Libration Parameters Using VLBI Observations and Improvement of Lander Positioning and Velocity Measurement[J]. Geomatics and Information Science of Wuhan University, 2022, 47(4): 483-491. doi: 10.13203/j.whugis20200311
Citation: WEI Erhu, REN Xiaobin, LIU Jingnan, LI Lianyan, NIE Guigen, LI Yanlin. Calculation of Lunar Libration Parameters Using VLBI Observations and Improvement of Lander Positioning and Velocity Measurement[J]. Geomatics and Information Science of Wuhan University, 2022, 47(4): 483-491. doi: 10.13203/j.whugis20200311
  • 着陆器的精确定位一直是嫦娥三号的重要课题。其中,影响嫦娥三号着陆器定位精度的主要因素之一是月球天平动。按照类型的不同,月球天平动可分为几何天平动和物理天平动。几何天平动反映了经度、纬度和地球自转引起的摆动,而物理天平动反映了月球的真实空间摆动。此外,月球物理天平动通过月球非球形引力位的方式作用在月球卫星的轨道中,并在月球与地球坐标系的相互转化中起着非常重要的作用,因此物理天平动是月球重要的物理参数[1-3]

    目前,月球天平动主要由月球激光测距(lunar laser ranging,LLR)进行持续观测并且以月球星历的形式获得,再通过对星表内插及外推的方式获取特定时间内的物理天平动参数[4-6],由于内插本身损失精度,所以在特定的时间内对着陆器定位时需要更加精确的天平动信息。此外,在LLR测量中,对于天平动的周期项特别是对于短周期项的分析较少,关于着陆器定位的相关研究存在一定的局限性。在计算月球着陆器时,文献[7]基于计算机视觉理论,通过处理图像序列获得高精度的着陆器位置坐标;文献[8]先通过多项式捕捉着陆器下降轨迹,借助统计定位明确着陆器轨道末端,然后基于甚长基线干涉测量技术(very long baseline interferometry,VLBI)获得着陆器相对定位信息;文献[9]从测量数据和跟踪弧段的角度出发探索高精度着陆器优化算法。虽然关于着陆器定位的研究较多,但对天平动参数解算即月球坐标系建立的研究较少。因此,开展天平动参数解算的相关研究对于着陆器定位领域的发展至关重要。

    本文首先推导了基于VLBI的着陆器定位模型以及天平动参数的求解模型;然后将天平动参数的求解结果与喷气推进实验室(Jet Propulsion Laboratory,JPL)DE421星历的求解结果进行对比分析,再基于VLBI的求解结果进行着陆器定位的改进;最后对求解结果进行了多维度对比分析及讨论。

    • VLBI将两台射电望远镜分别安置在一条基线的两端,两个望远镜同时接收同一个射电源的辐射电磁波信号,通过记录信号到达射电望远镜的时刻得到时间延迟,从而计算射电源的位置信息[10-12]。一般望远镜的角分辨率大小非常有限,VLBI可以通过增加两个天线的距离,将两个天线视为一个望远镜的口径,通过这种方式可以有效增大望远镜的角分辨率,也为观测深空天体提供了一种可行的方式。

      在VLBI测量中,两天线和射电源之间存在路程差L,因此到达两天线的电磁波之间存在固定的时间延迟τg,则有:

      L=cτg ]]>

      式中,c为光速。设两天线间的基线向量为B,射电源信号的方向向量为K,在考虑相对论效应光行差后,有:

      τg=-1cBK+Δτtg ]]>
      Δτtg=Δτtg1+Δτtg2+Δτtg3 ]]>
      τtg1=2t0tkGMSc3lnX1-XsK+X1-XsX2-XsK+X2-Xsτtg2=2t0tkGMEc3lnX1-XEK+X1-XEX2-XEK+X2-XEτtg3=2t0tkGMJc3lnX1-XJK+X1-XJX2-XJK+X2-XJ ]]>

      式中,τtg1τtg2τtg3分别表示太阳、地球和木星所引起的引力时延,IERS(international earth rotation service)标准中明确提出VLBI数据处理中需要考虑太阳、地球及木星造成的引力时延[13]G为地心引力常数; MSMEMJ分别表示太阳质量、地球质量和木星质量; X1X2分别表示天线1、2在地心坐标系中的位置矢量;XsXEXJ分别表示太阳、地球、木星在地心坐标系中的位置矢量,可由星历表提供;t0表示电磁波的传输时刻;tk表示地面天线1、2的接收时刻。

      由于自转、公转等自然现象,地球在不停运动,BK也在不断变化,因此引入时间延迟率τ˙gτ˙gτg是VLBI测量的两个重要观测量,τ˙g的计算如下:

      τ˙g=-1ctBK+τ˙tg ]]>
      Δτ˙tg=Δτ˙tg1+Δτ˙tg2+Δτ˙tg3 ]]>
      τ˙tg1=-1c1+1+2MSXOSτ˙tg2=-1c1+1+2MEXOEτ˙tg3=-1c1+1+2MJXOJ ]]>

      式中,XOSXOEXOJ分别表示观测者至中心天体在t0tk任意时刻到太阳、地球、木星的距离矢量。

      VLBI观测量中包含了大气参数以及天线和台站信息,利用多历元多基线的单点定位模型即可确定着陆器的位置。本文对嫦娥三号着陆器进行单点定位解算,其原理如图 1所示。

      图  1  VLBI单点定位原理图

      Figure 1.  VLBI Single Point Positioning

      2013-12-14美国国家航空航天局(National Aeronautics and Space Administration,NASA)的月球勘测轨道探测器(lunar reconnaissance orbiter,LRO)曾对月球着陆点进行拍照,获得影像的编号为M1127248516R。着陆器着陆后,LRO于12-25再次拍照,获得的影像编号为M1142582775R[14]。对前后两张图像进行处理,结合月面数字高程模型获得月心月固坐标系下的着陆器坐标为(340.488 4°E,44.121 4°N)。由此可设着陆器在月心天球坐标系中的参考近似坐标为(X0,Y0,Z0),该坐标可由大地坐标计算得到。由于VLBI角分辨率极高,只用VLBI数据进行解算会导致径向误差较大,本文建立的单点定位模型中限制条件如下:

      X02+Y02+Z02=X2+Y2+Z2 ]]>

      结合图 1,令S=[XS YS ZS],S1=[X1 Y Z1],S2=[X2 Y2 Z2],单点定位模型中台站S2相对于台站S1的基线矢量B可描述为坐标之差,表示如下:

      B=X2-X1Y2-Y1Z2-Z1 ]]>

      利用文献[15]提出的基于平行四边形法推估有限源信号的方向矢量,得到:

      K=2RM·S-RE·(S1+S2)2RM·S-RE·(S1+S2) ]]>

      式中,(X1,Y1,Z1)(X2,Y2,Z2)坐标为地心地固ITRF2000坐标;(XS,YS,ZS)为探测器处于J2000.0月心天球坐标系坐标;RM为月固坐标系到J2000.0月心天球坐标系的旋转矩阵;RE为地固系到J2000.0月心天球坐标系的旋转矩阵。将式(9)、(10)代入式(2)可得:

      τg=-1cRE·BT2RM·S-RE·(S1+S2)2RM·S-RE·(S1+S2)+Δτtg ]]>

      对式(11)进行位置求导,结合文献[16]中简化模型,得到时延率与位置参数的关系为:

      τ˙g=-1cREX2-X1Y2-Y1Z2-Z1TREX1-2RMXS(S˙1-S)2-REX2-2RMXS(S˙2-S)2REY1-2RMXS(S˙1-S)2-REY2-2RMXS(S˙2-S)2REZ1-2RMXS(S˙1-S)2-REZ2-2RMXS(S˙2-S)2TdX˙SdY˙SdZ˙S ]]>

      式中,X˙S表示对XS求导,Y˙SZ˙SS˙1S˙2同理。

      根据卡西尼定则[17]可知,RM与月球天平动参数相关,RE与地球自转参数相关,计算如下:

      RM=RZ(-Ω)RX(-i)RZ(-μ)RE=Q'(t)R'(t)W'(t) ]]>

      ,R'(t)表示因地球旋转所产生的旋转矩阵;W'(t)表示天球中间极在国际地球参考系中运动所产生的旋转矩阵;Q'(t)表示地球参考系中天球中间极运动产生的旋转矩阵。

      通过以上推导得到VLBI单点定位观测方程,利用最小二乘估计解算观测方程以及误差方程[18],得到月球着陆器的3个位置参数以及月球天平动的3个改正参数,假设其他参数已知,则观测方程可以转变为:

      L=Bx+Δ ]]>

      其中,EΔ=0Ex=0。式(14)的随机模型为:

      covΔ,Δ=DΔ=σ2PΔ-1,detDΔ=DΔ>0covx,x=Dx=σ2Px-1,detDx=Dx>0covΔ,x=0 ]]>

      在解算过程中,为了有效解决法方程的病态问题,本文采用加权平差的方式解算未知参数。通过最小二乘法得到:

      VxV=EBx̂-lx̂l ]]>

      式中,V为残差向量;Vx为参数加权残差向量。

      (BTPΔB+σ02σx-2Px̂)x̂=BTPΔl+σ02σx-2Px̂lx̂ ]]>

      x̂的平差值为:

      x̂=(BTPΔB+σ02σx-2Px̂)-1BTPΔl ]]>

      观测值方差为:

      σ̂02=lTPΔl-(BTPΔl)Tx̂r ]]>

      对数学模型进行线性化处理,得到:

      XS=X0+dXSYS=Y0+dXSZS=Z0+dZS ]]>
      ΩS=Ω0+dΩSiS=i0+diSμS=μ0+dμS ]]>
      VX=VX0+dVXVY=VY0+dVYVZ=VZ0+dVZ ]]>

      式中,(Ω0,i0,μ0)为基于星历外推获得的近似观测时刻月球天平动的欧拉角;VX0VY0VZ0分别表示星历外推获得的近似时刻着陆器在xyz方向的速度。将观测方程在(X0,Y0,Z0,Ω0,i0,μ0,VX0,VY0,VZ0)处展开,得到的函数关系表达式如下:

      v=B1dXS+B2dYS+B3dZS+B4dΩ+B5di+B6dμ+B7dVX0+B8dVY0+B9dVZ0 ]]>

      考虑到地面的4个VLBI观测站同一时刻能得到6个观测值,系数矩阵由观测值对系数求解偏导获得,计算时延对位置的偏导得到的B1,B2,B3如下:

      B1B2B3T=-2cRE·X2-X1Y2-Y1Z2-Z1T·RM2RM·X0Y0Z0T-RE·X1+X2Y1+Y2Z1+Z2T ]]>

      结合限制方程可以得到:

      B1B2B3=X0Y0Z0·RMX02+Y02+Z02 ]]>

      建立的VLBI单点定位解算模型可以同时解算月球着陆器的位置和天平动欧拉角,而欧拉角Ω,i,μ通过观测方程中旋转矩阵RM解算得到:

      RMΩ=-R˙Z(-Ω)RX(-i)RZ(-μ)RMi=-RZ(-Ω)R˙X(-i)RZ(-μ)RMμ=-RZ(-Ω)RX(-i)R˙Z(-μ) ]]>

      结合限制方程,对月球天平动欧拉角偏导数解算得到月球天平动欧拉角的数学模型为:

      B4=X0Y0Z0RMΩX0Y0Z0TX02+Y02+Z02B5=X0Y0Z0RMiX0Y0Z0TX02+Y02+Z02B6=X0Y0Z0RMμX0Y0Z0TX02+Y02+Z02 ]]>

      同时,改写式(12),可得到时延率B7,B8,B9与着陆器速度的关系如下:

      B7B8B9T=-1cREX2-X1Y2-Y1Z2-Z1T·REX1-2RMXS(S˙1-S)2-REX2-2RMXS(S˙2-S)2REY1-2RMYS(S˙1-S)2-REY2-2RMYS(S˙2-S)2REZ1-2RMZS(S˙1-S)2-REZ2-2RMZS(S˙2-S)2TdX˙SdY˙SdZ˙S ]]>
    • 利用DE421星历历表可以获得任意时刻的天平动欧拉角,用以计算月球物理天平动参数以及相关坐标系之间的相互转换。首先,下载JPL DE421星历文件,基于JPL搭建的ftp服务器(ftp://ssd.jpl.nasa.gov/)取得用于处理星历的Fortran版应用程序,然后获取欧拉角及其变化率。

    • 本文所需的数据包括VLBI网对嫦娥三号着陆器的时延率接收数据、地球定向参数(earth orientation parameter,EOP)数据、星历数据、着陆器及测站初始坐标。

      1)VLBI时延率文件

      实验使用的数据为2013-12-20—2013-12-23中国VLBI网对嫦娥三号着陆器的时延率接收数据,涵盖4个地面VLBI天线的6条基线。所选取的弧段为2013-12-20T19:41:57.439 125—2013-12-20T20:21:27.439 221,共2 850个数据;2013-12-21T20:25:22.439 692—2013-12-21T20:57:22.439 911,共2 309个数据;2013-12-22T17:01:7.444 697—2013-12-22T18:46:12.440 849,共7 567个数据;2013-12-23T18:41:37.444 192—2013-12-23T18:48:57.449 116,共2 478个数据,合计为15 204个数据。

      2)EOP数据

      实验需要使用坐标转换的EOP数据,从IERS官网EOP(IERS)08C04序列中得到。

      3)星历数据

      选用的星历为JPL DE421星历,星历数据在实验中用于外推得到月球天平动的初始值来解算改进后的月球天平动参数。

      4)着陆器及测站初始坐标

      嫦娥三号着陆器的初始坐标由NASA对着陆器拍摄图像进行处理后得到:

      B=44.121 4°NL=340.488 4°E ]]>

      经由月面数字高程计算得到H=-2 636 m,将月固坐标系下的坐标转换得到着陆器的空间坐标为:

      X0=1 174 974.041 847 28 mY0=-416 347.875 847 125 mZ0=1 205 979.122 817 27 m ]]>
    • 将2013-12-20—2013-12-23着陆器的时延率接收数据作为解算月球天平动参数的数据,为了避免直接平差产生的方程病态问题,选用加权平差法解算月球天平动参数。同时,为测试VLBI法解算月球天平动参数的鲁棒性,独立解算该时段的月球天平动参数,得到不同的时间内VLBI法与DE421星历法解算的物理天平动参数的差异,结果如图 2所示。其中,红色线表示JPL DE421星历的欧拉角估计结果,蓝色的点表示基于VLBI法的欧拉角计算结果,绿色直线表示对基于VLBI得到的欧拉角的拟合。由图 2可知,12-21—12-23这3天VLBI与DE421的计算结果Ω存在一定的系统性偏差。经过进一步的统计分析,得到两种方法所得(Ωiμ)的系统性偏差,如表 1所示。

      图  2  天平动参数计算图

      Figure 2.  Calculation Diagrams of Libration Parameters Results

      表 1  两种方法的天平动参数差值

      Table 1.  Difference of Libration Parameters Between Two Methods

      天平动差值 12-20差值/(″) 12-21差值/(″) 12-22差值/(″) 12-23差值/(″) 平均值/(″)
      ΔΩ -0.692 1 -0.692 6 -0.692 4 -0.692 5 -0.692 4
      Δi 0.009 7 0.009 8 0.009 4 0.009 4 0.009 6
      Δμ -0.009 5 -0.009 8 -0.009 8 -0.009 6 -0.009 7

      表 1可知,12-20—12-23 ΔΩΔiΔμ的天平动差值非常接近, ΔΩ的最大波动值为0.000 5″,表明最大波动值对ΔΩ的影响较小,因此可以将ΔΩ视为恒定值,同样地,ΔiΔμ也可以视为与时间无关的恒定值。对12-20—12-23的ΔΩΔiΔμ计算均值,并将其作为DE421星历法与VLBI法解算的系统误差,分别为-0.692 4″、0.009 6″、-0.009 7″。此外,与DE421星历法相比,VLBI法对Ω角的改进可以达到-0.692 4″,i角与μ角的改进值分别可以达到0.009 6″和-0.009 7″。产生这种结果的原因可能是在坐标转换时,由于Ω角指的是月心指向春分点方向与月球赤道面与地球赤道面交线夹角,因此在坐标转换的横向方向作用较大,并且由于VLBI的横向分辨率较高,利用VLBI法解算便可以提供较为准确的Ω值。

    • 为了进一步研究天平动参数的改进对着陆器定位产生的影响,基于VLBI单点模型及随机模型并联合平差模型解算着陆器的位置。为验证天平动参数的改进对于着陆器定位的影响是否随时间变化,采取与月球天平动参数类似的处理方法,独立解算12-20—12-23数据。本文设置了一组对比实验,实验A采用DE421星历作为已知数据求解着陆器位置,实验B在实验A基础上,对Ω加上整体偏差-0.692 4″,i角加上整体偏差0.009 6″,μ角加上整体偏差-0.009 7″,其他条件不变。统计改进天平动参数前后着陆器的位置误差,结果如图 3所示。

      图  3  着陆器位置误差

      Figure 3.  Positioning Error of the Lander

      图 3可知,将天平动参数加上固定偏差后,重新解算的着陆器位置误差均有不同程度的下降。12-20、12-23结果中的Z方向位置误差下降最为明显。为了获得位置误差的内符合精度及外符合精度,分别计算12-20—12-23的标准差(standard deviation,SD)和均方根误差(root mean square error,RMSE),结果如表 2所示。

      表 2  标准差及均方根误差统计/m

      Table 2.  Statistics of SD and RMSE/m

      精度 方向 12-20 12-21 12-22 12-23 平均值
      改进前 改进后 改进前 改进后 改进前 改进后 改进前 改进后 改进前 改进后
      SD X 100.739 100.026 230.636 229.365 273.720 272.770 109.579 107.794 178.668 177.489
      Y 2.073 2.030 8.002 7.971 6.498 6.445 2.464 2.361 4.706 4.702
      Z 2.298 2.253 7.184 7.203 9.185 9.227 2.294 2.265 5.240 5.237
      RMSE X 277.895 264.173 1 316.258 1 295.387 1 319.851 1 292.142 345.224 310.710 814.807 790.603
      Y 2.672 2.396 14.409 14.120 17.383 17.111 5.674 4.892 10.035 9.630
      Z 6.634 4.889 32.221 30.470 31.222 29.498 7.556 4.792 19.408 17.412

      表 2可知,对比DE421解算着陆器位置误差改正前后SD的变化,只有12-21和12-22的Z方向的SD增加,在其他任意时间内SD在XYZ方向均有所减少。进一步分析可以发现,改进天平动参数后着陆器位置的标准差有所改进,计算12-20—12-23的XYZ方向的SD均值,然后计算实验A与实验B之间存在的SD差值,发现改进天平动参数后着陆器位置的标准差分别减少了1.179 m、0.058 m、0.003 m。此外,X方向的SD减少幅度最大,在12-20—12-23,XYZ方向每日解算的SD接近,这表明改进模型的鲁棒性更强。另外,根据RMSE统计结果可知,12-20—12-23的定位精度均有不同程度的提高。同样地,首先计算12-20—12-23的XYZ方向的RMSE,然后计算实验A与实验B之间存在的RMSE差值,改进天平动参数后着陆器位置的RMSE分别提高了24.204 m、0.405 m、1.996 m,X方向的定位精度呈现出较为明显的波动,在12-20和12-23,X方向的RMSE在300 m左右,而12-21和12-22的RMSE则达到了1 300 m左右,这主要是由于时延数据的差异造成的。但仍可以发现在12-20—12-23期间,改进天平动参数均可减少X方向的定位误差。这也侧面证实了改进天平动参数可以实现更好的定位精度。

    • 在嫦娥三号着陆后,理想状态下认为在月固参考系中着陆器是静止的,然而存在着固体潮汐、引力延迟、设备硬件延迟等扰动项会使速度发生微小变化,因此着陆器相对于月球质心的绝对速度不一定是恒定不变的 [19]。本文基于式(24)求解了在时延率影响下着陆器速度的变化。为进一步验证天平动参数是否对着陆器的速度有影响,采取了与着陆器速度类似的方法,独立解算12-20—12-23数据,且为了便于观察,将该时段数据合并。实验A采用DE421星历作为已知数据求解着陆器速度,实验B在实验A配置的基础上对Ω角、i角、μ角分别加上整体偏差。分别统计改进天平动参数前后着陆器的速度误差,结果如图 4所示。

      图  4  着陆器速度误差

      Figure 4.  Velocity Error of the Lander

      图 4可知,XYZ轴的速度误差都有了较大的提高,天平动参数改进后3个方向的速度误差都更平稳,同时速度误差估计的稳定性也进一步提高。表 3统计了总速度误差的SD和RMSE。由表 3可知,基于DE421星历提供的天平动参数解算的速度误差远大于基于VLBI解算的天平动参数的速度误差。改进后,速度误差的SD在XYZ方向上分别减少了0.010 6 m/s、0.013 5 m/s及0.007 2 m/s,在XY方向的减少最为明显;另外,改进天平动参数后着陆器速度的RMSE在XYZ方向分别减少了0.003 0 m/s、0.006 0 m/s、0.001 0 m/s。

      表 3  速度误差的标准差及均方根误差统计/(m·s-1)

      Table 3.  SD and RMSE Statistics of Velocity Errors/(m·s-1)

      精度统计 方向 12-20—12-23
      改进前 改进后
      SD X 0.012 7 0.002 1
      Y 0.015 3 0.0018
      Z 0.008 4 0.0012
      RMSE X 0.010 0 0.007 0
      Y 0.013 0 0.007 0
      Z 0.007 0 0.006 0
    • 本文基于嫦娥三号着陆器的VLBI观测,推导出着陆器定位模型以及天平动参数计算的数学模型。与DE421星历法相比,VLBI法求解天平动参数对Ω角、i角、μ角均有较好的改进效果。通过对2013-12-20—2013-12-23的数据进行独立解算改进JPL星历,分析其对着陆器定位精度的改进。实验结果表明,改进后的月球天平动参数能够有效地提高着陆器的定位精度及速度估计精度[20]

参考文献 (20)

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