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钟差建模与预报的相关研究主要是以卫星钟差（相位）数据为支撑而开展的。可靠有效的卫星钟差数据是实现高精度卫星钟差建模与预报的前提和基础[1]。由于星载原子钟在卫星高速运动过程中会出现钟切换、调相或调频等操作，同时还会受到外部环境及星载钟自身等多种不确定因素的影响，在获取的原始钟差数据中常会出现跳变、粗差和间断等异常情况，有时在测量中还会出现无数据段的现象。如果用这样的数据进行数据分析与建模预报，会大大影响数据分析与建模预报的质量，所以使用钟差数据之前，合理有效的数据预处理是非常必要的步骤[2]。
目前，针对钟差数据预处理给出了不同形式的多种策略。对于钟差数据的其他异常情况（跳变、数据间断、无数据段等），现有的策略和处理方法已相对完善和有效[3]。而针对卫星钟差数据所含粗差等异常值处理方面，一些学者也提出了许多解决方法。常用的方法有中位数方法[4]、抗差估计方法[5]、贝叶斯（Bayesian）方法[6]、小波分析探测法[7]等。其中，中位数方法是当前使用最为广泛的一种粗差探测方法。但是该方法虽可有效探测出超出阈值的异常值，却不具备探测偏离真值但仍在阈值内的数据的能力[8]，很难剔除钟差中量级较小的异常值。而小波阈值法具有多分辨率分析的特点，可以有效探测出数据中量级较小的异常值[9]，但是较小异常值的剔除与有效阈值的设置有很大关系[10]。因此，本文针对钟差数据中量级较小的异常值处理的问题，提出了一种小波阈值法[11]与中位数方法结合的钟差预处理策略，其基本思想为：利用中位数方法处理小波分解后各层的高频系数，将影响阈值设定的较大高频系数剔除并用内插方法恢复，利用处理后的高频系数计算各层阈值，提高小波阈值法剔除小异常值的能力。利用本文提出的方法对北斗导航系统（BeiDou navigation satellite system，BDS）的超快速钟差数据进行实验处理，计算结果表明本文提出的卫星钟差处理方法能够有效处理钟差数据中的量级较小的误差，同时利用处理后的钟差数据建模能够有效提高卫星钟差预报的精度。
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原子钟相位数据和频率数据不仅会出现异常值，而且其数据本身也不服从正态分布，因此，采用传统的粗差探测方法对其进行处理并不适合。目前，主要采用基于中位数的粗差探测方法剔除钟差数据中较大的异常值。中位数方法的思路是：将频率数据$ {y}_{i} $与频率数据序列的中数$ m $加上中位数$ K $的若干倍之和相比较[7]，若钟差频率数据满足：
$$ \left|{y}_{i}\right| > \left(m+n\times K\right) $$ (1) 式中$ , m={\mathrm{m}}{\mathrm{e}}{\mathrm{d}}{\mathrm{i}}{\mathrm{a}}{\mathrm{n}}\left({y}_{i}\right) $，表示频率数据序列$ {y}_{i} $的中数或者是中值；$ K= $$ {\mathrm{m}}{\mathrm{e}}{\mathrm{d}}{\mathrm{i}}{\mathrm{a}}{\mathrm{n}}\left\{({y}_{i}-m)/0.674\;5\right\} $；n表示中位数$ K $的若干倍。此时就认为该值是粗差点，同时剔除该值，然后用内插方法来内插出该数值。
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小波阈值法[12]的基本思想为：当小波系数小于某个临界阈值时，认为这时的小波系数主要是由噪声引起的，应该舍弃；当小波系数大于这个临界阈值时，认为这时的小波系数主要是由信号引起的，那么就把这一部分的小波系数按某一个固定量向零收缩（软阈值方法），用新的小波系数进行小波重构得到去噪后信号。小波阈值法工作流程详见文献[12]，本文主要详细说明基于中位数的小波阈值法预处理策略，其基本思路是：首先，利用小波分析对钟差数据进行多层分解得到各层的高频系数，利用中位数法对各层较大的高频系数进行剔除，并用内插方法内插出剔除的高频系数；然后，利用处理后的高频系数计算各层阈值并进行阈值化处理，得到处理后的高频系数；然后，将高频系数与低频系数重构即得到最终“干净”的钟差序列。其基本步骤如下：
1）小波分解。选择一种小波函数，对变化率数据进行M层分解，得到低频系数和各层高频系数。
在小波函数的选择上，选择适合非线性钟差数据的Daubechies（db6）[13]小波函数，并利用文献[14]中的方法确定分解层数。
2）处理高频系数。利用中位数方法对较大的高频系数进行处理。首先将每层的高频系数$ {d}_{j, k} $与高频系数序列的中数m加上中位数$ K $的若干倍之和相比较，若高频系数满足：
$$ \left|{d}_{j, k}\right| > \left(m+n\times K\right) $$ (2) 就认为该高频系数对应的就是较大的峰值，同时剔除该高频系数；然后用三次分段样条内插方法[2]来内插剔除的数据；再对处理后的高频系数$ {d}_{j, k} $计算每层噪声的估计方差$ {\mathrm{\sigma }} $，在此基础上计算各层的阈值$ \lambda $, 计算公式为[14]：
$$ \lambda =\sigma \sqrt[]{2{\mathrm{l}}{\mathrm{g}}N} $$ (3) 式中，N为高频系数个数。
3）阈值化处理。选择阈值函数对分解后的小波高频系数进行估计，阈值函数体现了对小波分解后各层系数处理的策略。本文选用软阈值函数估计小波系数[15]，其表达式为：
$$ {\widehat{d}}_{1j, k}=\left\{\begin{array}{l}{\mathrm{s}}{\mathrm{i}}{\mathrm{g}}{\mathrm{n}}\left({d}_{1j, k}\right) \cdot \left(\left|{d}_{1j, k}\right|-\lambda \right), \left|{d}_{1j, k}\right|\ge \lambda \\ 0, \left|{d}_{1j, k}\right| < \lambda \end{array}\right. $$ (4) 式中，$ {d}_{1j, k} $为小波系数；$ {\widehat{d}}_{1j, k} $为估计小波系数；$ j $为分解层数；$ k $为第$ j $层上第$ k $个小波系数；$ \lambda $为阈值。式（4）的含义就是把信号分解后得到的小波系数的绝对值与给定的阈值进行比较，其策略是小于给定阈值的变为0，大于阈值的系数变为该系数与阈值的差值，并保持符号不变。
4）小波重构。将处理后的高频系数和低频系数进行小波重构，得到最终“干净”的钟差序列。
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本文使用武汉大学卫星导航定位技术研究中心提供的15 min采样间隔的BDS超快速钟差产品，该产品包含地球静止轨道（geostationary orbit，GEO）C01~C05、倾斜地球同步轨道（inclined GEO synchronous orbit，IGSO）C06~C10以及中圆地球轨道（middle Earth orbit，MEO）C11~C14共14颗BDS卫星的钟差数据。此外，武汉大学产品包含48 h钟差数据，其中前24 h钟差数据为超快速实测钟差产品，后24 h钟差数据为通过实测数据建模预报得到的超快速预报钟差产品[16]。本文实验选取该时间段内数据连续、完整的所有在轨卫星（C03和C05卫星数据不完整）进行实验分析。
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为了验证本文提出的钟差处理策略的有效性，选择C01、C08、C13这3颗BDS卫星进行实验，这3颗卫星覆盖了BDS 3种轨道类型。首先，分别利用小波阈值算法以及本文提出的处理策略对3颗卫星超快速实测钟差数据进行预处理，以对应时间段的BDS精密钟差值为真值，采用信噪比（signal-to-noise ratio，SNR）和均方根误差（root-mean-square error，RMSE）来评价数据预处理效果（信噪比越大，均方误差越小，预处理的效果越好）。其中，SNR的计算公式为[15]：
$$ {\mathrm{S}}{\mathrm{N}}{\mathrm{R}}=10\times {\mathrm{l}}{\mathrm{g}}\left\{ {\frac{\sum\limits _{t}{v}^{2}\left(t\right)}{\sum\limits _{t}{\left[v\left(t\right)-u\left(t\right)\right]}^{2}}} \right\} $$ (5) 式中，v$ \left(t\right) $为处理后的钟差数据；$ u\left(t\right) $为精密钟差值。然后用预处理后的钟差数据分别通过小波神经网络（wavelet neural network，WNN）建模[4]预报卫星钟差，利用RMSE来评价预报的精度；利用最大误差与最小误差之差的绝对值Range评价模型预报的稳定性[17]。图 1给出了3颗卫星的钟差相位和一次差分数据。
图 1 3颗卫星的钟差数据及其对应的一次差分数据
Figure 1. Clock Bias Data of 3 Satellites and Their Corresponding Primary Difference Data
由图 1可知，短时间段的卫星钟差数据中不存在较为显著的数据异常（包括数据粗差、数据间断及数据跳变）。相比于钟差相位数据，一次差分数据序列中出现异常值时会出现峰值，可以放大钟差数据中量级较小的误差，便于小误差的识别。此外，3颗卫星钟差进行一次差分后出现了很多峰值，如果用含有大量小误差的数据进行建模预报钟差数据，会影响预报的精度，所以在建模之前对钟差数据中含有的小误差进行剔除是很有必要的。为了更好地分析本文方法对钟差数据处理的效果，用钟差一次差分图来分析3颗卫星钟差数据处理后的效果（见图 2）。
图 2 小波阈值法和本文方法预处理效果图
Figure 2. Effect of Preprocessing with Wavelet Threshold and the Proposed Method
从图 2中可以很明显地看出，小波阈值算法经过频率域处理能够很好地将相对较小的峰值点处理掉，但是不能准确地剔除相对较大峰值点。这是由于在计算每层阈值时，较大误差的影响会使每层计算的噪声方差变小，从而计算的阈值会变小，不能探测出一些代表较大误差值的高频系数；而本文方法预处理策略是先将代表较大误差的高频系数剔除，再用内插的方法来补充该点的高频系数，然后根据处理后的高频系数计算每层阈值。这样处理后既能有效剔除较大误差，又能很好地抑制较小的误差，更好地净化数据。表 1给出了使用两种方法对3颗卫星钟差预处理后的SNR和RMSE统计值。
表 1 小波阈值法和本文方法预处理后的统计值
Table 1. Statistics of Preprocess Results of Wavelet Threshold and the Proposed Methods
卫星钟 小波阈值法 本文方法 SNR/dB RMSE/ns SNR/dB RMSE/ns C01 110.451 0.043 111.465 0.029 C08 101.805 0.025 102.684 0.017 C01 113.349 0.032 114.647 0.021 从表 1中可以看出，本文方法得到的SNR均大于小波阈值方法，同时该方法得到的RMSE均小于小波阈值方法。总体来看，本文方法预处理的效果要优于小波阈值方法。
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为了验证本文方法的有效性，先采用小波阈值法和本文方法对北斗超快速钟差实测数据进行预处理，再利用WNN对处理后的钟差数据建模，预报接下来24 h的钟差。两种预处理方法后的WNN模型分别记做W-WNN和new-WNN。图 3给出了WNN、W-WNN和new-WNN 3种模型在24 h预报时长下所有卫星预报的精度。
图 3 3种模型在24 h预报时长下所有卫星预报的精度
Figure 3. Prediction Accuracy of All Satellites Under 24 h Predicting Time Lengths by 3 Models
从图 3中可以看出，3种模型中，WNN预报的精度最差，而new-WNN模型预报的精度最优。同时发现，C04、C06、C09这3颗卫星预报精度较差。为了定量地对比3种模型预报精度，表 2给出了不同类型轨道的所有卫星钟使用3种模型预报的平均精度统计值。“平均值”含义是所有卫星预报结果RMSE和Range的平均统计值。
表 2 WNN、W-WNN、new-WNN 3种模型预报效果统计值/ns
Table 2. Statistics of Prediction Results of WNN, W-WNN and new-WNN Models/ns
卫星轨道
类型WNN模型 W-WNN模型 new-WNN模型 RMSE Range RMSE Range RMSE Range GEO卫星 2.017 2.124 1.900 1.971 1.744 1.621 IGSO卫星 1.775 2.407 1.759 2.334 1.549 2.053 MEO卫星 1.468 1.334 1.430 1.361 1.194 1.133 平均值 1.733 1.979 1.685 1.919 1.488 1.589 从表 2中可以看出，总体上，new-WNN模型预报效果要好于WNN和W-WNN模型，相比于这两种模型，new-WNN模型预报的精度分别提高了约14.1%和11.7%，而预报的稳定性分别提高了约19.7%和17.2%。这说明通过对钟差数据进行预处理剔除了钟差数据中含有的误差，可以有效地提高WNN模型钟差预报的精度。同时发现，在对IGSO和MEO两类轨道卫星预报时，W-WNN模型预报的效果较WNN并不明显，这证明了本文提出的钟差预处理方法要更优于小波阈值方法。另外，3种预报模型对MEO轨道的卫星预报的平均精度和稳定性优于其他两类轨道卫星。这是因为MEO轨道卫星钟差数据的精度优于IGSO和GEO两类轨道卫星[18]。所以，使用较高精度钟差数据建模的MEO轨道卫星，会得到优于其他两类轨道卫星的预报精度。
为了进一步验证new-WNN模型的预报性能，使用超快速钟差实测产品24 h钟差数据进行建模，预报接下来24 h的钟差，并将预报效果与超快速钟差预报产品进行对比分析。图 4给出了14颗卫星new-WNN和超快速钟差预报产品24 h钟差的预报精度。
图 4 14颗卫星使用两种模型的预报精度
Figure 4. Prediction Precisions of 14 Satellites by Two Models
从图 4中可以看出，14颗卫星在使用new-WNN模型进行钟差24 h预报时，得到的预报结果优于钟差预报产品。为了充分说明本文方法的优势，表 3给出了14颗卫星使用new-WNN和钟差预报产品24 h钟差预报结果的统计情况。
表 3 new-WNN和预报产品两种模型预报结果RMSE和Range统计值/ns
Table 3. Statistics of Prediction RMSE and Range Results of new-WNN Model and Prediction Products/ns
模型
轨道类型钟差预报产品 new-WNN模型 RMSE Range RMSE Range GEO卫星 8.944 15.256 1.744 1.621 IGSO卫星 15.398 28.231 1.549 2.053 MEO卫星 2.452 3.411 1.194 1.133 平均值 9.469 16.714 1.483 1.589 从表 3中可以看出，总体上，new-WNN模型预报的精度和稳定性均明显优于预报产品。相比于钟差预报产品，new-WNN模型预报的平均精度和稳定性分别提高了约84.3%和90.5%。同时发现，对于GEO和IGSO这两类轨道卫星而言，使用new-WNN模型后，预报精度和稳定性提高的幅度要远大于MEO轨道卫星。这说明采用本文提出的预处理方法可以有效改善GEO和IGSO这两类轨道卫星钟差数据的质量，从而提高WNN模型对这两类轨道卫星的预报效果。
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为了提高导航卫星钟差预报的精度，本文提出了一种基于中位数法的小波阈值钟差数据预处理方法，该方法能够有效地剔除经典粗差探测方法很难剔除的量级较小的误差，提高钟差预报建模数据的质量。该方法不但可以提高WNN模型预报的精度，还使模型具有较长时间预报钟差的能力，并且预报的精度优于北斗超快速预报钟差产品，一定程度丰富了现有的卫星钟差数据质量控制方法。
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摘要: 为了提高卫星钟差预报的精度，针对钟差数据中量级较小的误差，提出了一种基于中位数的小波阈值法钟差数据预处理策略。首先，利用小波阈值方法将钟差数据进行分解，得到分解后的高频系数和低频系数。然后，利用中位数法处理各层影响阈值设置的高频系数，通过处理后的高频系数计算阈值，从而提高小波阈值法剔除小异常值的能力。最后，用北斗二号卫星钟差数据进行了验证，结果表明，利用所提方法处理后的钟差数据建模，小波神经网络（wavelet neural network，WNN）模型预报的精度提高约14.1%，预报稳定性提高约19.7%。该方法可以有效剔除钟差历史观测序列中量级较小的误差，改善钟差数据质量，从而提高模型钟差预报的精度。Abstract:
Objectives In order to find a high accuracy method for satellite clock bias prediction, a preprocessing strategy for wavelet threshold method based on the median absolute deviation(MAD) is proposed to preprocess the small magnitude error of satellite clock bias data. Methods Firstly, the wavelet threshold method is used to decompose the SCB data to obtain the decomposed high frequency coefficient and low frequency coefficient.Then the MAD method is used to deal with the high frequency coefficient of each layer affecting the threshold setting, and the processed high frequency coefficient is used to calculate the threshold, so as to improve the ability of eliminating small outliers by the wavelet threshold method. Finally, the clock bias data of BeiDou-2 satellite are used to verify. Results The experimental results show that after modeling the clock bias data processed by the proposed method, the prediction accuracy of wavelet neural network(WNN) model is improved by about 14.1% and the prediction stability is improved by about 19.7%. Conclusions This method can effectively eliminate the small error in the historical observation sequence of clock bias, improve the quality of clock bias data and the effect of model clock bias prediction. -
图 1 3颗卫星的钟差数据及其对应的一次差分数据
Figure 1. Clock Bias Data of 3 Satellites and Their Corresponding Primary Difference Data
图 2 小波阈值法和本文方法预处理效果图
Figure 2. Effect of Preprocessing with Wavelet Threshold and the Proposed Method
图 3 3种模型在24 h预报时长下所有卫星预报的精度
Figure 3. Prediction Accuracy of All Satellites Under 24 h Predicting Time Lengths by 3 Models
表 1 小波阈值法和本文方法预处理后的统计值
Table 1. Statistics of Preprocess Results of Wavelet Threshold and the Proposed Methods
卫星钟 小波阈值法 本文方法 SNR/dB RMSE/ns SNR/dB RMSE/ns C01 110.451 0.043 111.465 0.029 C08 101.805 0.025 102.684 0.017 C01 113.349 0.032 114.647 0.021 
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表 2 WNN、W-WNN、new-WNN 3种模型预报效果统计值/ns
Table 2. Statistics of Prediction Results of WNN, W-WNN and new-WNN Models/ns
卫星轨道
类型WNN模型 W-WNN模型 new-WNN模型 RMSE Range RMSE Range RMSE Range GEO卫星 2.017 2.124 1.900 1.971 1.744 1.621 IGSO卫星 1.775 2.407 1.759 2.334 1.549 2.053 MEO卫星 1.468 1.334 1.430 1.361 1.194 1.133 平均值 1.733 1.979 1.685 1.919 1.488 1.589
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表 3 new-WNN和预报产品两种模型预报结果RMSE和Range统计值/ns
Table 3. Statistics of Prediction RMSE and Range Results of new-WNN Model and Prediction Products/ns
模型
轨道类型钟差预报产品 new-WNN模型 RMSE Range RMSE Range GEO卫星 8.944 15.256 1.744 1.621 IGSO卫星 15.398 28.231 1.549 2.053 MEO卫星 2.452 3.411 1.194 1.133 平均值 9.469 16.714 1.483 1.589
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