横摇残差对多波束测深数据的影响最为显著，是导致数据边缘出现波浪状的主要原因^[21]。与横摇相比，纵摇和升沉误差对同一ping的影响的量级较小，因此本文主要研究横摇残差对测量数据的影响及其改正方法。

首先，经过声线跟踪之后利用换能器安装偏差，将测深中心坐标系下的点位坐标转换至测船坐标系（vessel frame system，VFS）。然后对数据进行姿态改正，可将水深点数据转换至当地水平坐标系（local level system，LLS）：

式中，$\alpha \mathrm{、}\beta \mathrm{、}\gamma$分别为船体坐标系绕x轴、y轴和z轴的旋转角；$\mathit{R}(\alpha )\mathrm{、}\mathit{R}\left(\beta \right)\mathrm{、}\mathit{R}\left(\gamma \right)$为相应的旋转矩阵；[X Y Z]_LLS^T、[x y z]_VFS^T分别表示水深点在LLS和VFS下的点位坐标向量。

在综合考虑吃水和升沉影响后，结合水位观测数据将水深归算至深度基阵面，此时水深的表达式为：

式中，$Z^{\text{'}}$为改正后水深；$Z_{\mathrm{L}\mathrm{L}\mathrm{S}}$表示LLS下的水深值；$h_m$为姿态传感器测量升沉；$h_w$为测船吃水；$h_r$为测船坐标系原点至船底的高度；$h_t$为潮汐观测值。

顾及船体实际横、纵摇旋转角$\alpha \mathrm{、}\beta$与横、纵摇观测值$R\mathrm{、}P$之间的关系^[22]，将式（2）整理为：

进一步可得到横摇残差$\mathrm{\Delta }R$引起的水深误差$\mathrm{\Delta }Z$为：

残差改正的目的是获得一组横摇时序改正数，使利用改正横摇得到的水深计算值与真值达到最佳拟合，可以形象地认为是将海底“起伏”逐渐“熨平”的过程。结合横摇残差影响性质，采用非线性最小二乘LM算法进行残差的提取^[23]，由于LM算法具有较强的鲁棒性，因此更适合解决影响因素较为复杂的非线性运动残差问题。

选取问题条带中连续N个ping的水深数据，提取每ping中某一固定入射角度附近若干波束水深数据作为观测值。根据文献[20]建议，本文选取同一条带左、右舷50°附近波束的水深数据。根据非线性最小二乘思想，建立各ping水深值与内插姿态采样值之间的误差方程关系式：

式中，j为采样ping的序号，j=1，2，3…N；i为ping内的波束点序号，i=1，2，3…s+1；k为内插姿态采样的序号，k=1，2，3…s；$r_{jk}$为第j号ping用于姿态内插的第k个横摇采样值；$a_{jk}$为内插时$r_{jk}$的权值，本文采用时域内反距离内插法，即基于时间间隔的反距离加权；${\theta }_{ij}\mathrm{、}{t}_{ij}\mathrm{、}{Z}_{ij}$分别为第j号ping中选取的第i个波束点的回波角度、回波时间和水深值；F表示水深归算函数。

假设测量回波角度和时间无误差，根据LM算法的线性化原则，将式（5）进行泰勒级数展开并取至一阶近似可得：

式中，${\tilde{Z}}_{ij}$为波束水深真值；${\tilde{r}}_{jk}$为横摇真值；$r_{jk}^{\mathrm{0}}$为横摇观测值；${\widehat{r}}_{jk}$为横摇残差；$A_{ijk}$为水深对横摇的偏导，即${\widehat{r}}_{jk}$的系数。结合式（3），横摇残差系数可表示为：

式中，$y_{ij}$、z_ij分别表示第j号ping中选取的第i个波束点在VFS下的横向坐标值和水深值；p_j表示第j号ping的纵摇观测值；$r_j^{\mathrm{0}}$为第j号ping的横摇观测值。由此，水深误差V_ij可表示为：

多波束测线一般平行于等深线方向布设，因此沿测线方向水深变化相对稳定，并且每次选取的解算ping时长一般较短，从而可将海底描述为线性函数，即利用加权最小二乘法对沿航迹向左、右舷50°附近波束测量水深进行线性拟合，构建左、右舷两侧50°水深剖面趋势线。将两侧剖面中同一ping的测量水深与趋势线差值之和视为由横摇残差造成的剖面内该ping总水深误差，基于横摇残差对同一ping左、右舷相同波束入射角处波束测量水深影响大小相同、方向相反的特点，对左、右舷水深剖面趋势线进行改正，使同一ping在左、右舷剖面中的测量水深与改正后趋势线水深之差大小相同、符号相反，且均为总水深误差的1/2。此时，改正后左、右舷剖面趋势线即可认为是理想海底，将剖面趋势线中相应ping的水深值作为误差方程中常数项的近似值$Z_{ij}^{\mathrm{0}}$。

令$L_{ij}=[Z_{ij}^{\mathrm{0}}-F({\displaystyle \sum _{k=\mathrm{1}}^s}{a}_{jk}{r}_{jk}^{\mathrm{0}},{\theta }_{ij},t_{ij})]$，结合本文参数定义，将式（8）展开为：

此时，第j号采样ping中选取的（s+1）个波束点的水深误差方程组系数阵${\mathit{A}}_j$为一个（s+1）×s的雅可比矩阵，该方程系数为s个内插横摇采样值。根据最小二乘原理，求解横摇残差矩阵${\widehat{\mathit{r}}}_j$：

式中，${\mathit{L}}_j$表示第j号ping误差方程的常数项矩阵；权阵$\mathit{P}$要根据系数阵中所选波束入射角度余弦值大小而定，权大小由中央向边缘依次降低。研究发现，式（10）中法方程的系数方阵${\mathit{A}}_j^{\mathrm{T}}\mathit{P}{\mathit{A}}_j$接近奇异值成为病态矩阵。LM算法采用岭估计^[23-24]的方法来改善方阵的病态性，即在系数方阵的主对角线上加上一个常数$k$：

选用不同的$k$值可以得到不同的岭估计值，当$k$取零时，即是最小二乘估计。

实验数据取自某海域外业实测数据，采用的是R2sonic 2024浅水多波束测量系统，水深约为23 m。利用CARIS软件对水深数据进行处理时发现条带边缘出现了明显的规律性“起伏”，幅度约为1 m，初步判定是运动残差导致。为验证本文方法有效性，设计了如下实验。

选取问题条带中长度200 ping的数据段，提取该数据段内的姿态信息、水深信息、定位信息、声速信息、潮汐信息等相关数据内容。此次测量所采用的多波束测深系统的波束采样周期$T_{\mathrm{p}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{g}}$为0.11 s，姿态采样周期$t_{\mathrm{p}\mathrm{o}\mathrm{s}}$为0.02 s。利用上述剖面趋势线的构建思想，对左、右舷50°波束水深剖面进行计算，将剖面趋势线中相应ping的水深值作为误差方程中常数项的近似值。权阵$P$的确定原则为利用入射角余弦值作为权。在解算法方程时发现其系数方阵接近奇异值，利用岭估计法改善其病态性，最终确定的$k$值为0.01。

图 1（a）、1（b）为使用相同颜色范围进行3维显示的改正前后海底地形，图 2为改正前后左、右舷50°波束水深剖面比对图，图 3为改正前后姿态横摇对比图。

图  1  改正前后海底地形

Figure 1.  Submarine Topography of Before and After Correction

图  2  改正前后左、右舷水深剖面比对

Figure 2.  Comparison of Port and Starboard Depth Before and After Correction

图  3  改正前后姿态横摇

Figure 3.  Roll of Before and After Correction

从图 1（a）、1（b）中可以发现，改正前边缘波束较为明显的规律性起伏问题在改正后得到很好的改善，沿航迹方向地形过渡更加平滑，更为接近真实海底变化。图 2中剖面比对数据见表 1。由表 1可以看出，左、右舷剖面水深变化范围明显缩小，右舷剖面水深变化区间由改正前的0.9 m降至改正后0.5 m，左舷则由0.96 m降至0.44 m。同时剖面水深标准差也明显降低，左舷剖面标准差降低约62%，右舷标准差降低约57%，左、右舷起伏地形均得到一定程度的校正。改正前后左、右舷剖面水深均值几乎不变，这也证明了本文方法的可行性，即在对“起伏”进行抑制的同时也保证了海底的基本走势。

从图 3中可以发现，两者横摇序列具有较强的相关性。利用相似性相关概念对两组横摇序列进行计算，发现当延时为116.7 ms时相关系数最大，为99.95%，杆晃残差变化幅度的区间范围为－0.2°~0.2°，可初步判断此时的横摇残差包含延时影响与杆晃影响。

本文推导了多波束横摇残差与水深误差的函数关系式，构建了横摇残差改正模型，提出了一种采用非线性最小二乘LM算法并结合剖面趋势线构建思想的横摇残差提取方法，该方法充分顾及了海底基本走势，综合考虑了横摇残差对水深的影响，具有较高的理论可行性。利用提取的横摇残差对畸变海底进行改正，实例验证结果表明，本文方法能够较准确地提取横摇残差，在保证海底基本走势的同时，可有效地对测量条带左、右舷边缘呈现的规律性“起伏”现象进行抑制，左、右舷水深剖面相对起伏标准差均降低约50%。本文模型推导严密，方法切实可行，计算过程简捷，具有实际的工程应用价值。