地球向径$\rho$是地心O到椭球面上任意一点P的距离，如图 1所示。图 1中，X为横轴，Y为纵轴。$\rho$关于地心纬度的表达式为：

图  1  地球向径示意图

Figure 1.  Digram of Earth Radius Vector

式中，$\varphi$为地心纬度，地心纬度为参考椭球上一观测点和椭球中心的连线与赤道平面之间的夹角；$e$为椭球偏心率；$b$为地球短半轴。地心纬度$\varphi$与大地纬度$B$的关系表达式为：

略去推导过程，由式（1）和式（2）得到地球向径$\rho$与大地纬度$B$的关系表达式为：

将式（3）展开成偏心率$e$的幂级数形式：

式中，$a$为地球长半轴，系数$a_{\mathrm{0}}$~$a_{\mathrm{4}}$为：

平均曲率半径$R_a$是描述椭球面曲率的几何量，即椭球面上某一点所有方向法截线曲率半径的算术平均值，常用于制作地球表面上局部地区地图^[22]，如图 2所示。

图  2  平均曲率半径示意图

Figure 2.  Diagram of Average Curvature Radius

$R_a$的表达式为：

式中，$N$为卯酉圈曲率半径；$M$为子午圈曲率半径。略去推导过程，得到平均曲率半径与大地纬度$B$的关系表达式为：

将式（7）展开成偏心率$e$的幂级数形式：

式（8）的系数$b_{\mathrm{1}}$~$b_{\mathrm{5}}$为：

从图 1中可以看出，地球向径$\rho$是地心到椭球面上任意一点的距离。由于曲率半径是随着大地纬度$B$不断变化的，曲率半径不过地球球心，因此所构成的曲率圆也不同。于是，随着点位不断的变化，曲率圆中心形成了图 2所示的渐屈线。也就是说，曲率半径的中心是在不断变化的，并不是从地心到地球表面的一段线段，不能准确地表示地球半径的准确位置。从这一点来看，地球向径可以更精准地描绘地心到地球上某一点的距离，更具有代表性。

图 3为地球向径、平均曲率半径变化示意图。从图 3中可以看出，地球向径随着大地纬度的增大而减小，平均曲率半径随着大地纬度的增大而增大，地球向径与平均曲率半径在一定意义上是背离的。向径最大时，曲率半径最小；向径最小时，曲率半径最大。

图  3  地球向径、平均曲率半径变化示意图

Figure 3.  Diagram of Changes About Earth Radial Direction and Average Radius of Curvature

基于地球向径和平均曲率半径关于大地纬度$B$的表达式，本文提出一个新的概念，即地球向径的椭圆曲线积分平均值和平均曲率半径的椭圆曲线积分平均值。以推导地球向径的椭圆曲线积分平均值为例：首先对地球向径关于大地纬度$B$的表达式进行椭圆曲线积分，再将经过椭圆曲线积分后的地球向径表达式取平均值，得到平面椭圆上的地球向径曲线积分平均值符号表达式。

将式（3）展开成幂级数形式，并在$[\mathrm{0},\mathrm{\pi }/\mathrm{2}]$范围内积分后取平均得到地球向径曲线积分平均值级数解表达式：

式中，$\overline{\rho }$为地球向径曲线积分平均值。

同理，对平均曲率半径关于大地纬度$B$的表达式进行椭圆曲线积分，再将经过椭圆曲线积分后的平均曲率半径表达式取平均，得到平面椭圆上的平均曲率半径曲线积分平均值符号表达式。

将式（7）在$[\mathrm{0},\mathrm{\pi }/\mathrm{2}]$范围内进行积分计算，得到平均曲率半径在平面椭圆上的曲线积分平均值：

式中，${\overline{R}}_a$为平均曲率半径曲线积分平均值。

从式（11）中可以看出，平均曲率半径曲线积分平均值为$a$，要大于一般意义上的地球半径曲线平均值（即地球半径平均值为$(a+b)/\mathrm{2}$），与通常所认为的平均曲率半径在平面椭圆上的平均值应该在椭圆长半轴$a$和短半轴$b$之间不同，证明存在系统误差。也就是说，平均曲率半径代表地球半径平均值是不精确的，这与平均曲率半径不在地心有关，然而地球向径是从地心到椭球面上任意一点的距离，将式（10）和式（11）进行对比可以看出，地球向径曲线积分平均值在某种程度上更能代表地球半径平均值进行测量和地球科学计算。

基于上述结果，本文提出另一个新的概念，即地球向径在地球椭球面上的曲面积分平均值和平均曲率半径在地球椭球面上的曲面积分平均值。将地球向径关于大地纬度$B$的表达式进行椭球面曲面积分后再取平均，得到地球向径在地球椭球面上的曲面积分平均值符号表达式。将式（3）代入到椭球面曲面积分公式中可得：

式中，$\overline{\overline{\rho }}$表示地球向径在椭球面上的曲面积分平均值；$\frac{b^{\mathrm{2}}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}B}{(\mathrm{1}-e^{\mathrm{2}}\mathrm{s}\mathrm{i}{\mathrm{n}}^{\mathrm{2}}{B)}^{\mathrm{2}}}\mathrm{d}B\mathrm{d}L$表示球面积分$\mathrm{d}\sigma$；$\iint \mathrm{d}\sigma =\mathrm{2}\mathrm{\pi }{b}^{\mathrm{2}}(\frac{\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{h}(e)}{e}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}-e^{\mathrm{2}}})$为椭球面积的分析解。

由于此积分公式是椭圆积分，得不到分析解，因此将式（12）展开成幂级数形式再进行积分，得到地球向径曲面积分平均值级数解：

同理，将平均曲率半径关于大地纬度$B$的表达式进行椭球面曲面积分后再取平均，得到平均曲率半径在地球椭球面上的曲面积分平均值符号表达式。

将式（7）代入到椭球面曲面积分公式中得：

式中，${\overline{\overline{R}}}_a$表示平均曲率半径在椭球曲面上的曲面积分平均值。

为便于将平均曲率半径和地球向径的椭球面曲面积分平均值进行比较，将式（7）代入到椭球面曲面积分公式中先展开成$e$的幂级数形式再进行积分，得到平均曲率半径椭球面曲面积分平均值的级数解：

从式（13）和式（15）中可以看出，在地球椭球面上，地球向径和平均曲率半径的曲面积分平均值的级数解在前两项是一致的，从第3项开始产生了差距。因此，将式（13）和（15）作差得到：

由式（16）可以看出，在地球椭球面上，地球向径和平均曲率半径的曲面积分平均值差异很小，差异首项为$\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{15}}{e}^{\mathrm{4}}$。由于曲率半径的中心是在不断变化的，并不能准确地表示地球半径的准确位置，从这一点来看，地球向径更加精准。

就地球总体而言，平均球半径（取地球椭球三轴半轴长的算术平均值，用于简单决定球半径） ^[23]、等面积球半径（保持球体表面积等于地球椭球面相应全面积而决定的球半径，主要用于等面积投影） ^[24]、等距离球半径（使球面经线总长等于地球椭球面经线总长而决定的球半径，主要用于等距离投影中）^[25]和等体积球半径（使地球球体的体积等于地球椭球体的体积来决定的球半径）的表达式与大地纬度$B$无关，只取决于地球参考椭球模型的参数$a$和$e$，其表达式分别为：

式中，$R_e$表示平均球半径；$R_F$表示等面积球半径；$R_S$表示等距离球半径；$R_V$表示等体积球半径。将4种常用球体半径分别与地球向径在椭球面上的曲面积分平均值和平均曲率半径在椭球面上的曲面积分平均值作差，${\Delta }_{\mathrm{1}}=a(R_{\mathrm{e}}-\overline{\overline{\rho }}),{\Delta }_{\mathrm{2}}=a(R_F-\overline{\overline{\rho }}),{\Delta }_{\mathrm{3}}=a(R_S-\overline{\overline{\rho }}),{\Delta }_{\mathrm{4}}=a(R_V-\overline{\overline{\rho }})$，$D_{\mathrm{1}}=a(R_e-{\overline{\overline{R}}}_a),D_{\mathrm{2}}=a(R_F-{\overline{\overline{R}}}_a),D_{\mathrm{3}}=$$a(R_S$$-$${\overline{\overline{R}}}_a),D_{\mathrm{4}}=a(R_V-{\overline{\overline{R}}}_a)$，推导出其差异符号表达式列于表 1、表 2。

对比表 1、表 2可知，4种常用球体半径与向径曲面积分平均值之差比4种常用球体半径与平均曲率半径曲面积分平均值之差要小。平均球半径与向径曲面积分平均值之差首项系数绝对值是平均球半径与平均曲率半径曲面积分平均值之差的$\mathrm{1}/\mathrm{23}$；等面积球半径与向径曲面积分平均值之差比等面积球半径与平均曲率半径曲面积分平均值之差多了一个数量级$e^{\mathrm{4}}$；等距离球半径与向径曲面积分平均值之差第二项系数绝对值是等距离球半径与平均曲率半径曲面积分平均值之差的$\mathrm{1}/\mathrm{383}$；等体积球半径与向径曲面积分平均值之差第二项系数绝对值是等体积球半径与平均曲率半径曲面积分平均值之差的$\mathrm{1}/\mathrm{7}$。

本文以CGCS2000参考椭球为例，对地球向径和平均曲率半径曲面积分平均值与4种球体半径差异问题进行数值分析，将地球椭球长半轴a=6 378 137 m、e=0.081 819 19代入表 1、表 2中得到表 3。

观察表 3，通过数值比较看出4种常用球体半径与向径曲面积分平均值之差比4种常用球体半径与平均曲率半径曲面积分平均值之差要小，符合表 1、表 2结论。为了更直观地表现出4种常用球体半径与向径曲面积分平均值之差的差异问题，以及4种常用球体半径与平均曲率半径曲面积分平均值之间的差异问题，将椭球体的偏心率进行变化，将椭球偏心率的范围确定为$e\in (\mathrm{0,\; 0.8})$，以便更好地放大它们之间的差异关系并分析讨论，差异曲线见图 4~7。

图  4  ${\Delta }_{\mathrm{1}}\mathrm{、}{D}_{\mathrm{1}}\mathrm{曲}\mathrm{线}\mathrm{变}\mathrm{化}\mathrm{图}$

Figure 4.  Change Graph of ${\Delta }_{\mathrm{1}},D_{\mathrm{1}}$

图  5  ${\Delta }_{\mathrm{2}}\mathrm{、}{D}_{\mathrm{2}}\mathrm{曲}\mathrm{线}\mathrm{变}\mathrm{化}\mathrm{图}$

Figure 5.  Change Graph of ${\Delta }_{\mathrm{2}},D_{\mathrm{2}}$

图  6  ${\Delta }_{\mathrm{3}}\mathrm{、}{D}_{\mathrm{3}}\mathrm{曲}\mathrm{线}\mathrm{变}\mathrm{化}\mathrm{图}$

Figure 6.  Change Graph of ${\Delta }_{\mathrm{3}},D_{\mathrm{3}}$

图  7  ${\Delta }_{\mathrm{4}}\mathrm{、}{D}_{\mathrm{4}}\mathrm{曲}\mathrm{线}\mathrm{变}\mathrm{化}\mathrm{图}$

Figure 7.  Change Graph of ${\Delta }_{\mathrm{4}}\mathrm{、}{D}_{\mathrm{4}}$

由图 4~7可以看出，椭球偏心率$e$在（0，0.8）范围内变化时，4种常用球体半径与向径曲面积分平均值之差比4种常用球体半径与平均曲率半径曲面积分平均值之差小，差值更加稳定，反映出地球向径曲面积分平均值更接近4种常用球体半径。

将地球向径在椭球面上的曲面积分平均值、平均曲率半径在地球椭球面上的曲面积分平均值、平均球半径、等面积球半径、等距离球半径和等体积球半径随偏心率$e$在（0，0.8）的变化曲线绘制如图 8所示。由图 8可知，在椭球偏心率$e$在（0，0.8）范围内变化时，地球向径曲面积分平均值与4种常用球体半径之间更为接近，特别是在偏心率$e$逐渐变大的过程中体现得更为突出。因此，地球向径积分平均值比平均曲率半径积分平均值能更加准确地代表地球半径平均值进行测量和地球科学计算。

图  8  变化曲线图

Figure 8.  Change Graph of ${\overline{\overline{R}}}_a,\overline{\overline{\rho }},R_e,R_F,R_S,R_V$

本文从地球向径和平均曲率半径的基本概念入手，引入了两个新的概念：地球向径与平均曲率半径的曲线积分平均值和曲面积分平均值，通过计算机代数系统对它们进行推导计算，并进行对比分析，为大地测量基准问题提供理论参考，得到如下结论：

1）地球是一个旋转椭球体，地球向径与平均曲率半径在一定意义上是背离的：向径最大$(\rho =a)$时，平均曲率半径最小；向径最小$(\rho =b)$时，平均曲率半径最大；只有将地球看作是球体时，向径与平均曲率半径相等。这表明平均曲率半径不能精准地代表地球半径。

2）地球向径是从地心到椭球面上任意一点的距离，地球向径曲线积分平均值介于椭球长半轴$a$与短半轴$b$之间，相比较于平均曲率半径曲线积分平均值，可以更加准确地代表地球半径的平均值进行测量和地球科学计算。

3）地球向径曲面积分平均值与4种常用球体半径之差比平均曲率半径曲面积分平均值与4种常用球体半径之差小，特别是偏心率$e$在（0，0.8）范围内变化时显得尤为明显。从这一点来看，地球向径积分平均值能更加准确地代表地球半径平均值进行测量和地球科学计算。

4）将地球向径与常用地球半径的差异表示为符号形式，并统一展开为偏心率$e$的幂级数形式。该表达式易于比较分析，一定程度上丰富了测量及地图学数学分析理论。