地球椭球向径和平均曲率半径的积分表达式

宗敬文; 李厚朴; 钟业勋

doi:10.13203/j.whugis20200059

地球椭球向径和平均曲率半径的积分表达式

doi: 10.13203/j.whugis20200059

宗敬文¹,
李厚朴^1,,
钟业勋^{1, 2, 3}

1.
海军工程大学导航工程系，湖北武汉，430033
2.
南宁师范大学北部湾环境演变与资源利用省部共建教育部重点实验室，广西南宁，530001
3.
南宁师范大学广西地表过程与智能模拟重点实验室，广西南宁，530001

基金项目:

国家自然科学基金 41671459

国家自然科学基金 41871376

国家自然科学基金 41771487

湖北省杰出青年科学基金 2019CFA086

详细信息

作者简介:
宗敬文，博士生，主要从事几何大地测量学和物理大地测量的理论与方法研究。zjw19950613@163.com

通讯作者: 李厚朴，博士，副教授。lihoupu1985@126.com

中图分类号: P282

Integral Expressions of Earth Ellipsoid Radius Vector and Mean Radius of Curvature

ZONG Jingwen¹,
LI Houpu^1
,,
ZHONG Yexun^{1, 2, 3}

1.
Department of Navigation, Naval University of Engineering, Wuhan 430033, China
2.
Key Laboratory of Environment Change and Resources Use in Beibu Gulf, Ministry of Education, Nanning Normal University, Nanning 530001, China
3.
Guangxi Key Laboratory of Earth Surface Processes and Intelligent Simulation, Nanning Normal University, Nanning 530001, China

Funds:

The National Natural Science Foundation of China 41671459

The National Natural Science Foundation of China 41871376

The National Natural Science Foundation of China 41771487

the Hubei Province Science Fund for Distinguished Young Scholars 2019CFA086

More Information

Author Bio:
ZONG Jingwen, PhD candidate, specializes in the theories and methods of geometric geodesy and physical geodesy. E-mail: zjw19950613@163.com

Corresponding author: LI Houpu, PhD, associate professor. E-mail: lihoupu1985@126.com

摘要: 引入地球向径积分平均值和地球平均曲率半径积分平均值的概念，借助计算机代数系统推导出了两者的符号表达式，并将它们表示为偏心率e的幂级数形式。将地球向径积分平均值和地球平均曲率半径积分平均值分别与平均球半径、等面积球半径、等距离球半径、等体积球半径这4种常用球体半径进行比较，研究表明地球向径积分平均值与4种常用球体半径间的差异更小。由于地球是一个旋转椭球体，向径与曲率半径是背离的，向径最大时，曲率半径最小, 向径最小时，曲率半径最大，传统思维所认为的曲率半径并不能准确地代表地球半径平均值，因此在一定程度上，地球向径的积分平均值更能代表地球半径平均值。这些研究结果可为地球科学、空间科学、导航定位提供基础理论依据。
- 大地测量 /
- 地球向径积分表达式 /
- 平均曲率半径积分表达式 /
- 计算机代数系统 /
- 差异符号表达式
Abstract: Objectives The Earth's radial diameter and mean radius of curvature are the basic parameters commonly used in measurement and Earth science calculation.According to the requirements of Earth scien-ce and space science and some requirements, the Earth's radial diameter, mean radius of curvature, mean radius of sphere, equal distance radius of sphere, equal area radius of sphere and equal volume radius of sphere are commonly used. The concept of integral mean values of ellipsoid radius vector and mean radius of curvature is introduced.With the application and development of space technology and computer technology in geodesy and cartography, it is of more important practical value to study the relationship between the Earth's radial diameter and the common Earth radius. Methods The symbolic expressions of them are deduced by computer algebraic system and are expressed as the power series of eccentricity.We use the method that comparing the radial vector integral mean and the radius integral mean with the four common sphere radius respectively. Results The results shows that the difference between the radial integral mean and the four common sphere radii is smaller. Since the Earth is a rotating ellipsoid, the radial and the radius of curvature deviate. When the radial vector is the largest, the radius of curvature is the smallest. When the radial is the smallest, the radius of curvature is the largest. Conclusions The radius of curvature considered by traditional thinking cannot accurately represent the radius of the earth average values, to a certain extent, which means that integral mean value of ellipsoid radius vector is more representative of the average of the Earth's radius. These research results can provide theoretical basis for Earth science, space science and navigation and positioning.
- geodesy /
- integral expression of Earth ellipsoid radius vector /
- integral expression of mean radius of curvature /
- computer algebra system /
- difference symbolical expression

图 1 地球向径示意图

Figure 1. Digram of Earth Radius Vector

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图 2 平均曲率半径示意图

Figure 2. Diagram of Average Curvature Radius

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图 3 地球向径、平均曲率半径变化示意图

Figure 3. Diagram of Changes About Earth Radial Direction and Average Radius of Curvature

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图 4 $Δ_{1} 、 D_{1} 曲线变化图$

Figure 4. Change Graph of $Δ_{1}, D_{1}$

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图 5 $Δ_{2} 、 D_{2} 曲线变化图$

Figure 5. Change Graph of $Δ_{2}, D_{2}$

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图 6 $Δ_{3} 、 D_{3} 曲线变化图$

Figure 6. Change Graph of $Δ_{3}, D_{3}$

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图 7 $Δ_{4} 、 D_{4} 曲线变化图$

Figure 7. Change Graph of $Δ_{4} 、 D_{4}$

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图 8 变化曲线图

Figure 8. Change Graph of ${\bar{\bar{R}}}_{a}, \bar{\bar{ρ}}, R_{e}, R_{F}, R_{S}, R_{V}$

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表 1 4种常用球体半径与向径平均值差异符号表达式

Table 1. Different Symbolical Expressions Between Four Global Radii and Integral Mean Values ofEllipsoid Radius Vector

$Δ_{i}$	差异符号表达式
$Δ_{1}$	$a (\frac{1}{180} e^{4} + \frac{5}{756} e^{6} - \frac{499 099}{907 200} e^{8})$
$Δ_{2}$	$a (\frac{1}{189} e^{6} - \frac{2 227}{4 050} e^{8})$
$Δ_{3}$	$a (- \frac{1}{12} e^{2} + \frac{1}{2 880} e^{4} + \frac{383}{48 384} e^{6} - \frac{127 225 969}{232 243 200} e^{8})$
$Δ_{4}$	$a (- \frac{1}{45} e^{4} - \frac{17}{1 134} e^{6} - \frac{192 959}{340 200} e^{8})$

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表 2 4种常用球体半径分别与曲率半径平均值差异符号表达式

Table 2. Different Symbolical Expressions Between Four Global Radii and Mean Radius of Curvature

$D_{i}$	差异符号表达式
$D_{1}$	$a (- \frac{23}{180} e^{4} - \frac{503}{3 780} e^{6} - \frac{619 243}{907 200} e^{8})$
$D_{2}$	$a (- \frac{2}{15} e^{4} - \frac{127}{945} e^{6} - \frac{38 687}{56 700} e^{8})$
$D_{3}$	$a (- \frac{1}{12} e^{2} - \frac{383}{2 880} e^{4} - \frac{31 877}{241 920} e^{6} - \frac{157 982 833}{232 243 200} e^{8})$
$D_{4}$	$a (- \frac{7}{45} e^{4} - \frac{877}{5 670} e^{6} - \frac{238 013}{340 200} e^{8})$

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表 3 地球向径和平均曲率半径曲面积分平均值与4种球体半径数值差异/m

Table 3. Value of Different Between Integral Mean Values of Radius Vector and Mean Radius of Curvature/m

	i
差异	1	2	3	4
$Δ_{i}$	1.59	0.003	－3 556.36	－6.38
$D_{i}$	－36.75	－38.34	－3 594.71	－44.73

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图(8) / 表(3)

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地球向径和平均曲率半径是测量和地球科学计算中常用的基本参数，根据地球科学、空间科学的要求和某些需求，常用到地球向径、平均曲率半径、平均球半径、等距离球半径、等面积球半径和等体积球半径^[1-7]。由于地球是一个旋转椭球，向径与曲率半径是背离的。向径 $ρ$ 最大 $(ρ = a$ ， $a$ 为椭球长半轴）时，曲率半径最小；向径 $ρ$ 最小 $(ρ = b$ ， $b$ 为椭球短半轴）时，曲率半径最大。只有将地球看作是球体时，向径与半径才相等。

随着空间技术和计算机技术在大地测量及地图学^[8]中的应用和发展，研究地球向径和常用地球半径之间的关系具有更加重要的实用价值。文献[9]提出使用不同的球体半径表示球体特性，将不同球体半径代入克拉索夫斯基椭圆参数求得数值解，再代入到球体面积公式，求得不同半径下大圆航线长度和角度变形大小，发现使用等角球半径计算大圆航线可以满足航海使用精度要求。文献[10]将子午圈曲率半径和卯酉圈曲率半径展开为大地纬度的幂级数，并借助辅助函数 $V$ 导出了不同形式的平均曲率半径展开式。文献[11]利用地球向径和计算机代数系统对大地测量学和地理信息系统中的问题进行了研究。

从目前来看，前人对这一领域做了很多卓有成效的工作，但主要是针对其中一种或几种地球半径单独进行计算和应用，多是对等角纬度、等面积纬度及等距离纬度的计算与分析^[12-17]，很少有文献对向径进行推导和研究。为丰富对这一问题的理论研究，引入向径积分平均值和半径积分平均值的概念，并利用计算机代数系统（计算机代数系统可以将基本的数学公式展开成幂级数形式，推导出的公式相对于人工计算具有更高的精确度^[18-21]）将向径和半径分别进行椭圆曲线积分和椭球曲面积分，得到向径曲线积分平均值、向径曲面积分平均值、曲率半径曲线积分平均值和曲率半径曲面积分平均值。

2. 地球向径和平均曲率半径的椭圆曲线积分

基于地球向径和平均曲率半径关于大地纬度 $B$ 的表达式，本文提出一个新的概念，即地球向径的椭圆曲线积分平均值和平均曲率半径的椭圆曲线积分平均值。以推导地球向径的椭圆曲线积分平均值为例：首先对地球向径关于大地纬度 $B$ 的表达式进行椭圆曲线积分，再将经过椭圆曲线积分后的地球向径表达式取平均值，得到平面椭圆上的地球向径曲线积分平均值符号表达式。

将式（3）展开成幂级数形式，并在 $[0, π / 2]$ 范围内积分后取平均得到地球向径曲线积分平均值级数解表达式：

$$ \begin{aligned} \bar{\rho}=& \frac{2}{\pi} \int \rho \mathrm{d} B=\frac{2}{\pi}\left[1-\frac{1}{2} \sin ^{2} B e^{2}+\left(\frac{\sin ^{2} B}{2}-\right.\right.\\ &\left.\frac{5 \sin ^{4} B}{8}\right) e^{4}+\left(\frac{3 \sin ^{4} B}{4}-\frac{13 \sin ^{6} B}{16}\right) e^{6}+\\ & \frac{1}{128}\left(-16 \sin ^{4} B+152 \sin ^{6} B-\right.\\ &\left.\left.141 \sin ^{8} B\right) e^{8}\right]\left.\right|_{0} ^{\pi / 2}=\\ & a\left(1-\frac{e^{2}}{4}+\frac{e^{4}}{64}+\frac{7 e^{6}}{256}+\frac{377 e^{8}}{16384}\right) \end{aligned} $$

(10)

式中， $\bar{ρ}$ 为地球向径曲线积分平均值。

同理，对平均曲率半径关于大地纬度 $B$ 的表达式进行椭圆曲线积分，再将经过椭圆曲线积分后的平均曲率半径表达式取平均，得到平面椭圆上的平均曲率半径曲线积分平均值符号表达式。

将式（7）在 $[0, π / 2]$ 范围内进行积分计算，得到平均曲率半径在平面椭圆上的曲线积分平均值：

$$ \begin{aligned} \bar{R}_{a}=& \frac{2}{\pi} \int_{0}^{\pi / 2} R_{a} \mathrm{~d} B=\\ &\left.a\left[\frac{2}{\pi} \arctan \left(\sqrt{1-e^{2}} \tan B\right)\right]\right|_{0} ^{\pi / 2}=a \end{aligned} $$

(11)

式中， ${\bar{R}}_{a}$ 为平均曲率半径曲线积分平均值。

从式（11）中可以看出，平均曲率半径曲线积分平均值为 $a$ ，要大于一般意义上的地球半径曲线平均值（即地球半径平均值为 $(a + b) / 2$ ），与通常所认为的平均曲率半径在平面椭圆上的平均值应该在椭圆长半轴 $a$ 和短半轴 $b$ 之间不同，证明存在系统误差。也就是说，平均曲率半径代表地球半径平均值是不精确的，这与平均曲率半径不在地心有关，然而地球向径是从地心到椭球面上任意一点的距离，将式（10）和式（11）进行对比可以看出，地球向径曲线积分平均值在某种程度上更能代表地球半径平均值进行测量和地球科学计算。

3. 地球向径和平均曲率半径的椭球面曲面积分

基于上述结果，本文提出另一个新的概念，即地球向径在地球椭球面上的曲面积分平均值和平均曲率半径在地球椭球面上的曲面积分平均值。将地球向径关于大地纬度 $B$ 的表达式进行椭球面曲面积分后再取平均，得到地球向径在地球椭球面上的曲面积分平均值符号表达式。将式（3）代入到椭球面曲面积分公式中可得：

\bar{\bar{ρ}} = \frac{\iint ρ d σ}{\iint d σ} = \frac{\int_{0}^{2 π} \int_{- \frac{π}{2}}^{- \frac{π}{2}} a \sqrt[]{\frac{1 - e^{2} (2 - e^{2}) s i n^{2} B}{1 - e^{2} s i n^{2} B}} \frac{b^{2} c o s B}{(1 - e^{2} s i n^{2} {B)}^{2}} d B d L}{2 π b^{2} (\frac{a r c t a n h (e)}{e} + \frac{1}{1 - e^{2}})}

式中， $\bar{\bar{ρ}}$ 表示地球向径在椭球面上的曲面积分平均值； $\frac{b^{2} c o s B}{(1 - e^{2} s i n^{2} {B)}^{2}} d B d L$ 表示球面积分 $d σ$ ； $\iint d σ = 2 π b^{2} (\frac{a r c t a n h (e)}{e} + \frac{1}{1 - e^{2}})$ 为椭球面积的分析解。

由于此积分公式是椭圆积分，得不到分析解，因此将式（12）展开成幂级数形式再进行积分，得到地球向径曲面积分平均值级数解：

$$ \begin{aligned} {\overline{\overline \rho } }=& a\left(1-\frac{1}{6} e^{2}-\frac{17}{360} e^{4}-\frac{83}{3024} e^{6}+\right.\\ &\left.\frac{974573}{1814400} e^{8}\right) \end{aligned} $$

(13)

同理，将平均曲率半径关于大地纬度 $B$ 的表达式进行椭球面曲面积分后再取平均，得到平均曲率半径在地球椭球面上的曲面积分平均值符号表达式。

将式（7）代入到椭球面曲面积分公式中得：

\begin{array}{l} {\bar{\bar{R}}}_{a} = \frac{\iint R_{a} d σ}{\iint d σ} = \frac{\int_{0}^{2 π} \int_{- π / 2}^{π / 2} \frac{a \sqrt[]{1 - e^{2}}}{(1 - e^{2} s i n^{2} B)} \frac{b^{2} c o s B}{(1 - e^{2} s i n^{2} {B)}^{2}} d B d L}{2 π b^{2} (\frac{a r c t a n h (e)}{e} + \frac{1}{1 - e^{2}})} = \\ \frac{a (\sqrt[]{1 - e^{2}}) (\frac{3 a r c t a n h (e)}{e} + \frac{5 - 3 e^{2}}{(1 - e^{2})^{2}})}{8 π (\frac{a r c t a n h (e)}{e} + \frac{1}{1 - e^{2}})} \end{array}

式中， ${\bar{\bar{R}}}_{a}$ 表示平均曲率半径在椭球曲面上的曲面积分平均值。

为便于将平均曲率半径和地球向径的椭球面曲面积分平均值进行比较，将式（7）代入到椭球面曲面积分公式中先展开成 $e$ 的幂级数形式再进行积分，得到平均曲率半径椭球面曲面积分平均值的级数解：

$$ \begin{aligned} {\overline{\overline R } }_{a}=& a\left(1-\frac{1}{6} e^{2}+\frac{31}{360} e^{4}+\frac{1697}{15120} e^{6}+\right.\\ &\left.\frac{1214861}{1814400} e^{8}\right) \end{aligned} $$

(15)

从式（13）和式（15）中可以看出，在地球椭球面上，地球向径和平均曲率半径的曲面积分平均值的级数解在前两项是一致的，从第3项开始产生了差距。因此，将式（13）和（15）作差得到：

{\bar{\bar{R}}}_{a} - \bar{\bar{ρ}} = a (\frac{2}{15} e^{4} + \frac{44}{315} e^{6} + \frac{2 503}{18 900} e^{8})

由式（16）可以看出，在地球椭球面上，地球向径和平均曲率半径的曲面积分平均值差异很小，差异首项为 $\frac{2}{15} e^{4}$ 。由于曲率半径的中心是在不断变化的，并不能准确地表示地球半径的准确位置，从这一点来看，地球向径更加精准。

5. 结语

本文从地球向径和平均曲率半径的基本概念入手，引入了两个新的概念：地球向径与平均曲率半径的曲线积分平均值和曲面积分平均值，通过计算机代数系统对它们进行推导计算，并进行对比分析，为大地测量基准问题提供理论参考，得到如下结论：

1）地球是一个旋转椭球体，地球向径与平均曲率半径在一定意义上是背离的：向径最大 $(ρ = a)$ 时，平均曲率半径最小；向径最小 $(ρ = b)$ 时，平均曲率半径最大；只有将地球看作是球体时，向径与平均曲率半径相等。这表明平均曲率半径不能精准地代表地球半径。

2）地球向径是从地心到椭球面上任意一点的距离，地球向径曲线积分平均值介于椭球长半轴 $a$ 与短半轴 $b$ 之间，相比较于平均曲率半径曲线积分平均值，可以更加准确地代表地球半径的平均值进行测量和地球科学计算。

3）地球向径曲面积分平均值与4种常用球体半径之差比平均曲率半径曲面积分平均值与4种常用球体半径之差小，特别是偏心率 $e$ 在（0，0.8）范围内变化时显得尤为明显。从这一点来看，地球向径积分平均值能更加准确地代表地球半径平均值进行测量和地球科学计算。

4）将地球向径与常用地球半径的差异表示为符号形式，并统一展开为偏心率 $e$ 的幂级数形式。该表达式易于比较分析，一定程度上丰富了测量及地图学数学分析理论。

参考文献 (25)

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地球椭球向径和平均曲率半径的积分表达式

doi: 10.13203/j.whugis20200059

作者简介:
宗敬文，博士生，主要从事几何大地测量学和物理大地测量的理论与方法研究。zjw19950613@163.com

通讯作者: 李厚朴，博士，副教授。lihoupu1985@126.com

Integral Expressions of Earth Ellipsoid Radius Vector and Mean Radius of Curvature

Author Bio:
ZONG Jingwen, PhD candidate, specializes in the theories and methods of geometric geodesy and physical geodesy. E-mail: zjw19950613@163.com

Corresponding author: LI Houpu, PhD, associate professor. E-mail: lihoupu1985@126.com

计量

地球椭球向径和平均曲率半径的积分表达式

doi: 10.13203/j.whugis20200059

1. 海军工程大学导航工程系，湖北武汉，430033

2. 南宁师范大学北部湾环境演变与资源利用省部共建教育部重点实验室，广西南宁，530001

3. 南宁师范大学广西地表过程与智能模拟重点实验室，广西南宁，530001

作者简介:
宗敬文，博士生，主要从事几何大地测量学和物理大地测量的理论与方法研究。zjw19950613@163.com

通讯作者: 李厚朴，博士，副教授。lihoupu1985@126.com

English Abstract

Integral Expressions of Earth Ellipsoid Radius Vector and Mean Radius of Curvature

Author Bio:
ZONG Jingwen, PhD candidate, specializes in the theories and methods of geometric geodesy and physical geodesy. E-mail: zjw19950613@163.com

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doi: 10.13203/j.whugis20200059

作者简介: 宗敬文，博士生，主要从事几何大地测量学和物理大地测量的理论与方法研究。zjw19950613@163.com

通讯作者: 李厚朴，博士，副教授。lihoupu1985@126.com

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出版历程

地球椭球向径和平均曲率半径的积分表达式

doi: 10.13203/j.whugis20200059

1. 海军工程大学导航工程系，湖北 武汉，430033 2. 南宁师范大学北部湾环境演变与资源利用省部共建教育部重点实验室，广西 南宁，530001 3. 南宁师范大学广西地表过程与智能模拟重点实验室，广西 南宁，530001

作者简介: 宗敬文，博士生，主要从事几何大地测量学和物理大地测量的理论与方法研究。zjw19950613@163.com

通讯作者: 李厚朴，博士，副教授。lihoupu1985@126.com

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作者简介:
宗敬文，博士生，主要从事几何大地测量学和物理大地测量的理论与方法研究。zjw19950613@163.com

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ZONG Jingwen, PhD candidate, specializes in the theories and methods of geometric geodesy and physical geodesy. E-mail: zjw19950613@163.com

1. 海军工程大学导航工程系，湖北武汉，430033

2. 南宁师范大学北部湾环境演变与资源利用省部共建教育部重点实验室，广西南宁，530001

3. 南宁师范大学广西地表过程与智能模拟重点实验室，广西南宁，530001

作者简介:
宗敬文，博士生，主要从事几何大地测量学和物理大地测量的理论与方法研究。zjw19950613@163.com

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