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近年来，随着全球导航卫星系统（global navigation satellite system，GNSS）接收机技术、数据存储能力和数据处理技术的发展，高频（1~10 Hz）和超高频（20~50 Hz）采样率接收机的出现使得高频GNSS接收机可作为地震仪被广泛应用于地球物理事件的监测和研究，如地震、火山喷发等[1-4]。与传统地震仪获取的数据相比，高频GNSS不存在饱和问题和积分引起的误差，能够在初始几分钟内直接快速估计出地震的永久偏移量[5-6]。因此，高频GNSS可为地震预警、救援和相关理论研究提供可靠的信息[7]。
尽管利用高频GNSS可以直接获取静态偏移量和动态同震形变，但经过动态定位处理后，获得的GNSS位移时序信号中仍然包含各种噪声，如未模型化的卫星轨道误差、多路径误差、空间相关性引起的共模误差等[8-12]，同时还有随机噪声。已有研究表明，高频GNSS动态位移中存在明显的非线性变化，且在由地震引起的短周期地震波中也发现了随时间变化的特征[1，13]。由于GNSS位移时间序列本质上是非线性和多尺度的，因此有必要将信号分解到不同时间尺度上。
小波分析作为一种新的时频局部化分析方法，能够对原始信号进行分解，在大尺度上获取信号的概貌，在小尺度上获取信号的细节[14]。文献[15]结合小波变换（wavelet transform，WT）和主成分分析（principal component analysis，PCA）的优点，提出了一种多尺度主成分分析（multiscale PCA，MSPCA）方法。但该方法用于GNSS去噪时，仅考虑不同站点之间存在的相关性，而忽略了每个测站坐标不同分量之间的相关性。为了充分利用每个测站坐标不同分量之间的相关性，文献[16]采用了一种多尺度多方向PCA（multiscale multiway PCA，MSMPCA）方法，其在计算过程中可同时考虑数据不同分量之间的相关性，进而结合小波变换将数据矩阵从单一尺度转换为多尺度模型。文献[17]提出了一种自适应、数据驱动的时频经验模态分解（empirical mode decomposition，EMD）方法，它依据信号本身固有的时间尺度特征，将原始时间序列分解为一系列由高频到低频的本征模态函数（intrinsic mode function，IMF）和残余项。为了解决模态混叠效应，EMD已经发展到总体经验模态分解（ensemble EMD，EEMD）[18]和完备总体经验模态分解（complete EEMD，CEEMD）[19]。文献[20]将CEEMD与MSMPCA的优点进行结合，提出了一种基于CEEMD的MSMPCA（C-MSMPCA）去噪方法，有效消除了高频GNSS非震时坐标时序中的噪声，但并未对高频GNSS同震位移进行研究。
对于高频GNSS同震位移，增强地震信号对地震反演和解释尤为重要[21-23]。对于地震信号，CEEMD分解后得到的前几个IMF分量仍然包含部分有用的尖锐地震信号，不能通过简单地去除前几个IMF分量并利用剩余的IMF分量对原始信号重构来达到去噪的效果。因此，为了提高高频GNSS同震位移的定位精度，并有效保留地震信号，本文利用C-MSMPCA方法对2010年墨西哥Baja Mw 7.2地震中美国加州实时GNSS观测网络（California real-time GNSS network，CRTN）中14个测站的高频（5 Hz）GNSS观测值进行处理，并与MSMPCA方法进行比较，以获得高精度地震瞬时同震形变。
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假设n维GNSS地震信号模型由3部分组成，表达式为：
X n t = x n t + c n t + w n t , t = 1 , 2 … m ]]>式中，n和m分别表示GNSS测站数和历元数；
和 分别表示含有噪声的信号和去噪后的信号； 表示低频有色噪声； 表示高斯白噪声。 在GNSS区域网中，假设用一个三维数据矩阵
代表GNSS坐标时间序列，其中，p为每个站点坐标的分量数。为不失一般性，假设 ，且p=3。基于传统PCA对 去噪，需要依次处理所有站点的东向（east，E）、北向（north，N）和垂向（up，U）二维分量矩阵，故忽略了站点坐标3个分量之间的相关性。多方向PCA（multiway PCA，MPCA）将三维数据矩阵沿坐标分量方向切割为历元数和站点数据矩阵 ，每个数据矩阵依次向右水平排列，形成一个新的二维数据矩阵 。 CEEMD以正负成对的形式向原始信号中加入辅助白噪声，这样能够很好地消除重构信号中的残余辅助噪声，而且噪声实现次数较低，提高了计算效率[24]。对加入辅助白噪声后的原始GNSS地震信号
进行CEEMD分解[24]，得到一系列IMF，记作 ， … ，则有： X ( t ) = ∑ i = 1 K c i ( t ) MSMPCA方法的原理是：在滤波过程中，首先将得到的二维数据矩阵进行小波变换，得到不同尺度上的小波系数；然后对每个尺度上的小波系数进行MPCA分析，以提取每个尺度上信号的关系；再将所有尺度上的小波系数利用小波逆变换进行重建，组成一个新坐标矩阵；最后利用MPCA进行分析，得到去噪后的信号。
C-MSMPCA方法充分利用MSMPCA和CEEMD的优点，即用CEEMD取代WT方法，首先将信号分解为不同IMF分量，将纯噪声分量直接舍掉；然后，对每个IMF分量基于其频带进行分组，将相同频带的一组IMF分量进行MSMPCA；最后，将处理后的IMF分量进行重建得到新的数据矩阵，对重建后的数据矩阵进行MPCA，得到去噪后的信号。而对于地震信号，前几个高频IMF仍包含有用的尖锐信号，因此不能简单地对其直接进行删除。因此，本文中所提出方法的具体步骤如下：
1）利用CEEMD将
的每一个量分解为K个IMF分量； 2）不直接删除前h个高频IMF分量，而是直接基于IMF的频带进行分组，并将相同频带的一组IMF分量进行MSMPCA；
3）将处理后的IMF分量进行重建得到新的数据矩阵；
4）对重建后的数据矩阵进行MPCA，得到去噪后的信号。
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2010-04-04T22：40：42（UTC，协调世界时）墨西哥加利福尼亚州（Baja California）北部发生Mw 7.2地震，震中位于（115°18'W，32°17'N），震源深度10.0 km。地震中的高频GNSS数据由美国卫星导航系统与地壳形变观测研究大学联盟（The University NAVSTAR Consortium，UNAVCO）机构提供，选取了14个高频GNSS观测站数据（见图 1）。本文选取的GNSS数据采样率为5 Hz，时间为2010年第094天，由于数据量较大，因而选取地震发生前后的22：30：00.2—23：00：00.0（1 800个历元），共9 000个数据点。所采用的数据处理软件为武汉大学GNSS中心的定位导航数据分析（positioning and navigation data analysis，PANDA）软件的精密单点定位（precise point positioning，PPP）模块[25]，采用非差无电离层组合观测量来消除电离层延迟，采用萨斯塔莫宁（Saastamoinen）模型和全球投影函数（global mapping function，GMF）来改正对流层延迟[26]，均方根信息滤波（square root information filter，SRIF）用于估计残余的电离层延迟、接收机钟差、模糊度和轨道参数[27]；卫星截止高度角为7o。采用欧洲定轨中心（The Center for Orbit Determination in Europe，CODE）提供的精密轨道产品和5 s卫星钟差文件作为解算基准，对测站坐标进行单历元估计得到每个测站的坐标3分量（E、N和U）时间序列。测站坐标时间序列含有有效信号和具有空间相关性的误差，将各个测站的3个坐标分量联合构造一个三维数据矩阵
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图 1 CRTN中高频GNSS测站分布图
Figure 1. Distribution of the High-Rate GNSS Stations of CRTN in Southern California
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为了验证采用本文方法处理高频GNSS同震位移的有效性，将其与MSMPCA方法进行比较。由于篇幅限制，本文仅以P496测站为例，显示高频GNSS同震位移时序滤波去噪前后的对比结果，如图 2所示。
图 2 P496站滤波前后同震位移时间序列对比图
Figure 2. Comparison of Coseismic Displacement Time Series Before and After Filtering at P496 Station
图 2（a）给出的是P496站在E、N、U 3个分量上滤波前后的同震位移时序结果。从图 2中可以看出，在水平分量上，GNSS去噪前的同震位移结果与经MSMPCA和C-MSMPCA滤波去噪后的结果均吻合得较好，说明在水平E、N分量上GNSS解算结果的噪声较小，且该测站地震信号的振幅较大。但在垂向分量上，可以明显看出GNSS去噪前的同震位移结果具有明显的噪声，这是因为该测站在垂向分量上地震信号的振幅相对水平分量明显变小。另外，由于卫星星座分布、接收机钟差、对流层延迟误差等的影响，GNSS定位结果的垂向精度通常会明显低于水平分量精度，且垂向分量的精度是水平分量的2~3倍左右[28]。经MSMPCA和C-MSMPCA滤波去噪后，其同震位移结果均明显变得平滑，这表明这两种去噪方法均能有效减少GNSS同震位移时序中的定位误差。
为了更清楚地显示本文方法的滤波结果，将E、N和U 3个分量上的前60 s的位移结果进行放大（图 2（b））。从图 2（b）中可以看出，在E分量上，在峰值和长期的稳定性方面，经两种方法滤波后的同震位移结果与原始GNSS同震位移时序符合得较好。这是因为在E分量上GNSS解算结果的噪声较小，且地震信号的振幅较大。在N分量上，随着地震信号的振幅减小，在峰值和长期的稳定性方面，经C-MSMPCA滤波后的同震位移结果更好。在U分量上，由于GNSS地震信号的振幅相对N分量变得更小，且定位精度较差，去噪结果的精度得到明显提高。在峰值和长期的稳定性方面，C-MSMPCA滤波后的同震位移结果明显优于MSMPCA的滤波结果。经MSMPCA和C-MSMPCA滤波后，可以发现尤其是在U分量上系统误差得到了削弱，表明这两种方法均能够显著削弱系统误差。但与MSMPCA方法相比，C-MSMPCA方法能更有效地消除噪声且能保留高频地震信号。这是因为C-MSMPCA根据信号本身特征对GNSS同震信号进行分解，且在相同频段内对IMF分量进行处理，在消除噪声的同时，还更有效地保留了高频IMF分量中的尖锐信号，进而保留高频地震信号。
图 3给出了Baja地震前600 s的滤波前后残差时间序列结果。从图 3中可以看出，测站的原始残差时间序列含有厘米级的波动，即低频有色噪声，并且含有明显的高频随机白噪声，这表明原始信号中含有高频随机噪声和低频有色噪声。这些低频有色噪声可能是由重复性的多路径误差[29]和同时影响所有站点的未模型化的共模误差[30]引起的。MSMPCA同时考虑了小波和PCA的优势，以及站点坐标分量之间的相关性，从而较好地消除了信号中的高频和低频有色噪声。与MSMPCA相比，C-MSMPCA计算过程中用自适应且数据驱动的CEEMD方法代替小波变换，将非线性和随时间变化的GNSS数据分解成不同频率范围的IMF分量，同时综合MSMPCA的优势，能够更加有效地消除信号中的低频有色信号和白噪声，使得残差时间序列的变化趋于平稳。
图 3 P496站地震震前600 s的滤波前后GNSS残差时间序列对比图
Figure 3. Comparison of GNSS Residual Time Series Before and After Filtering at P496 Station as Observed in the 600 s Before the Earthquake
图 4给出了Baja地震前600 s的滤波后滤除的误差曲线。从图 4中可以发现，经MSMPCA和C-MSMPCA方法滤波后，滤除的误差曲线均含有厘米级的波动和明显的高频随机震荡，表明这两种滤波方法均能有效滤除GNSS坐标时序中的低频有色噪声和高频随机白噪声。与MSMPCA滤除的误差曲线相比，C-MSMPCA滤除的误差曲线的波动更明显，这表明C-MSMPCA的滤波效果更好。
图 4 P496站地震震前600 s的滤波后滤除的误差曲线对比图
Figure 4. Comparison of GNSS Error Curve Obtained from Filtering Methods at P496 Station as Observed in the 600 s Before the Earthquake
为了定量描述GNSS定位精度的提高程度，本文利用中误差σ来评定MSMPCA和C-MSMPCA方法的去噪效果。其定义如下：
σ = ∑ i = 1 m x i - x ̂ i 2 m - 1 式中，
和 分别表示第i个历元的含噪信号和去噪后的信号。 图 5给出了MSMPCA、C-MSMPCA两种方法在各个测站地震前600 s的滤波前后的残差时间序列的中误差。由图 5可知，所有站点原始信号的中误差均大于其他滤波算法中误差，表明滤波算法能有效降低信号中噪声，提高高频GNSS定位的精度。对原始坐标残差时间序列运用两种方法滤波后，C-MSMPCA方法精度显著优于MSMPCA方法。原因在于：（1）小波变换在本质上是一个线性非自适应的变换，因此不适合处理具有非线性特征的信号，而CEEMD分解不受此限制，根据信号本身的固有特性自然地对信号进行分解，无需进行频域上的转换，是一种基于数据本身的自适应滤波去噪方法；（2）信号进行CEEMD后，不需要直接舍弃高频IMF分量，而是在相同频段内的各个IMF分量上进行MSMPCA，这样不仅可以去除噪声，还不容易破坏原始信号本身的特征，从而减少有效信号的损失。总之，相比MSMPCA方法，C-MSMPCA方法的优势在于利用CEEMD将非线性并随时间变化的信号本身分解成各个时间尺度的IMF分量，并实现IMF分量自适应处理。
图 5 各测站地震震前600 s的滤波前后中误差比较图
Figure 5. Comparison of Root Mean Square Error Before and After Filtering for Different Stations, as Observed in the 600 s Before the Earthquake
所有测站震前600 s的滤波前后的残差时间序列平均中误差如表 1所示。由表 1可见，C-MSMPCA方法滤波得到的各站E、N和U坐标分量平均中误差小于MSMPCA方法。例如，去噪前，各站坐标残差分量（E、N和U）平均中误差分别为1.82 mm、2.55 mm和7.16 mm，经C-MSMPCA去噪后，平均中误差分别为0.89 mm、0.96 mm和4.27 mm，比原始坐标残差时间序列的平均中误差分别降低了51.10%、62.35%和40.36%。表 1表明，MSMPCA、C-MSMPCA这两种方法可以明显消除原始数据水平方向上的噪声，而垂向上的噪声仅部分被消除，主要原因可能是高频GNSS定位结果的垂向精度通常会明显低于水平方向的精度。影响高频GNSS垂向定位的干扰因素[8]主要包括卫星星座分布、卫星轨道误差、接收机钟差、卫星钟差、对流层延迟误差以及解算策略的影响等。
表 1 Baja地震震前600 s的滤波前后14个GNSS站的残差时间序列的平均中误差/mm
Table 1. Average Root Mean Square Error of the Original and Denoised Residual Signals of the 14 GNSS Stations, as Observed in the 600 s Before the Earthquake/mm
方向 滤波前 MSMPCA C-MSMPCA E 1.82 1.13 0.89 N 2.55 1.36 0.96 U 7.16 4.98 4.27 功率谱密度（power spectral density，PSD）可以用来表征每个测站的高频GNSS定位结果中的噪声信息[1]。为了进一步发现MSMPCA、C-MSMPCA这两种滤波方法所消除的噪声信息，本文使用Welch法[31]对Baja地震震前600 s的残差时序进行频谱分析。从图 6中可以看出，高频GNSS位移时序中含有高频白噪声和低频有色噪声。MSMPCA和C-MSMPCA均能消除低频有色噪声和高频白噪声。比较这两种方法的功率谱结果可以发现，两种滤波方法均能显著消除在1×101~1×102 s周期范围内的高频白噪声。结合图 2（b）中U分量上滤波后的同震位移结果，在1×102~1×103 s周期范围内的较高频有色噪声，MSMPCA滤波效果相对更平滑，但C-MSMPCA能更有效地保留相对高频的地震信号。在1×103~1×104 s周期范围内的低频有色噪声，C-MSMPCA的滤波效果更明显。这是因为C-MSMPCA根据信号本身特征对GNSS同震信号进行分解，且在相同频段内对IMF分量进行MSMPCA处理，在消除噪声的同时，还更有效地保留高频IMF分量中的尖锐信号，进而保留高频地震信号。总体上，C-MSMPCA滤波效果优于MSMPCA，且能够有效保留地震信号。
图 6 地震震前600 s的滤波前后残差时间序列功率谱密度比较图
Figure 6. Comparison of Power Spectra Densities for Residual Time Series Before and After Filtering, as Observed in the 600 s Before the Earthquake
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去噪是高频GNSS同震时间序列进行地震研究和应用必不可少的步骤。考虑到高频GNSS同震时序中的非平稳性，针对高频地震信号如何有效保留的问题，本文利用C-MSMPCA方法对高频GNSS同震时间序列进行去噪。该方法不需要直接舍弃高频IMF分量，而是对IMF分量进行相同频带分组后再进行MSMPCA处理，将处理后的IMF重建后得到的新矩阵进行MPCA处理，得到高精度GNSS同震位移结果。与MSMPCA去噪方法相比，在峰值和长期的稳定性方面，经C-MSMPCA滤波后的同震位移结果明显优于MSMPCA的滤波结果，且能有效保留高频地震信号。谱分析结果显示，MSMPCA和C-MSMPCA均能显著消除在1×101~1×102 s周期范围内的高频白噪声。在1×102 ~1×103 s周期范围内的较高频有色噪声，MSMPCA滤波效果相对更平滑，但C-MSMPCA能更有效地保留相对高频的地震信号。在1×103~1×104 s周期范围内的低频有色噪声，C-MSMPCA的滤波效果更明显。总体上，C-MSMPCA的去噪效果优于MSMPCA方法，其原因是C-MSMPCA根据信号本身特征对GNSS同震信号进行CEEMD分解，且不直接删除前几个含有地震信号的高频IMF分量，在有效消除信号中噪声的同时有效地保留高频地震信号。
A Denoising Method of MSMPCA Based on CEEMD for Coseismic Deformation Monitoring with High-Frequency GNSS
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摘要: 考虑到全球导航卫星系统（global navigation satellite system, GNSS）地震信号的非线性和非平稳性，利用一种多尺度多方向主成分分析（multiscale multiway principal component analysis, MSMPCA）去噪的完备总体经验模态分解(complete ensemble empirical mode decomposition, CEEMD)（C-MSMPCA）方法对高频GNSS同震位移进行去噪，该方法有效地削弱了低频系统误差和高频白噪声，提高GNSS定位结果精度。去噪前，各站坐标残差分量（北向、东向和垂向）平均中误差分别为1.82 mm、2.55 mm和7.16 mm，经C-MSMPCA去噪后，其平均中误差分别为0.89 mm、0.96 mm和4.27 mm，比原始坐标残差时间序列的平均中误差分别降低了51.10%、62.35%和40.36%。C-MSMPCA不直接舍弃高频本征模态函数（intrinsic mode function, IMF），而对IMF分量进行相同频带分组，避免了高频有效信息的损失，从而有效保留了高频地震信号，这对高频GNSS在地震学中的研究和应用具有重要意义。
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关键词:
- 高频全球导航定位系统 /
- 经验模态分解 /
- 主成分分析 /
- 同震位移
Abstract:Objectives The global navigation satellite system(GNSS) coseismic displacements are always subject to temporal and spatial colored errors, which may lead to the incorrect interpretation of some geophysical phenomenon. Therefore, considering the nonlinear and nonstationary of GNSS seismic signal, a denoising method of multiscale multiway principal components analysis(MSMPCA) based on complete ensemble empirical mode decomposition(CEEMD) (C-MSMPCA) is used to denoising the high-frequency GNSS coseismic displacements for obtaining high precise instantaneous coseismic deformation. Methods The C-MSMPCA method integrates the merits of CEEMD and MSMPCA to denoise the high-frequency GNSS coseismic displacements. Firstly, CEEMD replaces wavelet transform (WT) to decompose GNSS coseismic signal into various intrinsic mode function(IMF). Then, instead of directly deleting the previous high-requency IMF, all IMFs are grouped based on their frequency bands (FB) and each group of modes with the same FB is denoised using MSMPCA. Finally, the processed IMF is reconstructed and handled using multiway principal component analysis(MPCA) to obtain the denoised coseismic signal. Results High-frequency(5 Hz) GNSS observations of 14 stations of the California real-time GNSS network (CRTN) in southern California during the 2010 EI Mayor-Cucapah earthquake(Mw 7.2) are denoised using C-MSMPCA. The performance of C-MSMPCA is compared with that of MSMPCA. The results show that: (1) Take coseismic displacement time series before and after filtering at P496 station as example, as the amplitude of the seismic signal decreases, in terms of the peak displacements and the long-term stability, the coseismic displacements obtained from C-MSMPCA are better than those obtained from MSMPCA. C-MSMPCA not only eliminates the noise in the GNSS seismic displacements, but also effectively retains the seismic signal. (2) Take GNSS residual and error curve time series before and after filtering at P496 station, as observed in the 600 s before the earthquake as example, the raw residual and error curve time series have centimeter-level low-frequency colored noise and high-frequency random noise. Compared with the error curves time series obtained from MSMPCA, the fluctuations of those obtained from C-MSMPCA are more obvious, indicating that the performance of C-MSMPCA is better than MSMPCA. (3) Each root mean square error(RMSE) and average RMSE of the original and denoised residual signals of the 14 GNSS stations, as observed in the 600 s before the earthquake show that RMSE of C-MSMPCA is less than those of MSMPCA, regardless of the coordinate components. The average RMSE values of the original GNSS solutions are determined to be 1.82, 2.55, and 7.16 mm for the east, north, and vertical components, respectively, while those of the denoising results obtained by C-MSMPCA are 0.89, 0.96, and 4.27 mm, respectively, representing RMSE reductions of 51.10%, 62.35%, and 40.36%, respectively. (4) The results of power spectral analysis show that high-frequency GNSS displacements contain high-frequency white noise and low-frequency colored noise. MSMPCA and C-MSMPCA both can significantly eliminate high-frequency white noise at 1×101—1×102 s periods. C-MSMPCA has the better performance than MSMPCA at 1×102—1×103 s and 1×103—1×104 s periods. Over all, the denoising results of MSMPCA are smoother than those of C-MSMPCA, but the latter can effectively retains higher-frequency seismic signal. Conclusions Denoising is an essential step in earthquake-induced coseismic displacements. Considering the nonlinear and nonstationary of GNSS seismic signal and how to effectively preserve seismic signal, a denoising method of C-MSMPCA is used to denoising the high-frequency GNSS coseismic displacements. Over all, the performance of C-MSMPCA is better than that of MSMPCA. The high performance of C-MSMPCA is that the method is not directly remove the first high-frequency IMF but group IMF based on their frequency bands for adaptively MSMPCA processing. The method avoids the loss of high-frequency effective information and effectively preserves high-frequency seismic waveform of high-frequency GNSS displacements, which is particularly critical for the research and application of earthquake-induced coseismic displacements. -
图 1 CRTN中高频GNSS测站分布图
Figure 1. Distribution of the High-Rate GNSS Stations of CRTN in Southern California
图 2 P496站滤波前后同震位移时间序列对比图
Figure 2. Comparison of Coseismic Displacement Time Series Before and After Filtering at P496 Station
图 3 P496站地震震前600 s的滤波前后GNSS残差时间序列对比图
Figure 3. Comparison of GNSS Residual Time Series Before and After Filtering at P496 Station as Observed in the 600 s Before the Earthquake
图 4 P496站地震震前600 s的滤波后滤除的误差曲线对比图
Figure 4. Comparison of GNSS Error Curve Obtained from Filtering Methods at P496 Station as Observed in the 600 s Before the Earthquake
图 5 各测站地震震前600 s的滤波前后中误差比较图
Figure 5. Comparison of Root Mean Square Error Before and After Filtering for Different Stations, as Observed in the 600 s Before the Earthquake
图 6 地震震前600 s的滤波前后残差时间序列功率谱密度比较图
Figure 6. Comparison of Power Spectra Densities for Residual Time Series Before and After Filtering, as Observed in the 600 s Before the Earthquake
表 1 Baja地震震前600 s的滤波前后14个GNSS站的残差时间序列的平均中误差/mm
Table 1. Average Root Mean Square Error of the Original and Denoised Residual Signals of the 14 GNSS Stations, as Observed in the 600 s Before the Earthquake/mm
方向 滤波前 MSMPCA C-MSMPCA E 1.82 1.13 0.89 N 2.55 1.36 0.96 U 7.16 4.98 4.27 
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