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多尺度源网重力与重力梯度联合聚焦反演

王逸宸 柳林涛 许厚泽

王逸宸, 柳林涛, 许厚泽. 多尺度源网重力与重力梯度联合聚焦反演[J]. 武汉大学学报 ● 信息科学版, 2022, 47(2): 181-188. doi: 10.13203/j.whugis20190263
引用本文: 王逸宸, 柳林涛, 许厚泽. 多尺度源网重力与重力梯度联合聚焦反演[J]. 武汉大学学报 ● 信息科学版, 2022, 47(2): 181-188. doi: 10.13203/j.whugis20190263
WANG Yichen, LIU Lintao, XU Houze. Integrated Focusing Inversion of Gravity and Gravity Gradients with Multi-scale Source Grids[J]. Geomatics and Information Science of Wuhan University, 2022, 47(2): 181-188. doi: 10.13203/j.whugis20190263
Citation: WANG Yichen, LIU Lintao, XU Houze. Integrated Focusing Inversion of Gravity and Gravity Gradients with Multi-scale Source Grids[J]. Geomatics and Information Science of Wuhan University, 2022, 47(2): 181-188. doi: 10.13203/j.whugis20190263

多尺度源网重力与重力梯度联合聚焦反演

doi: 10.13203/j.whugis20190263
基金项目: 

国家自然科学基金 Y211641064

国家重大科学仪器设备开发专项基金 20011YQ120045

详细信息
    作者简介:

    王逸宸, 博士, 研究方向为重力反演算法与机器学习。ycwang_1988@163.com

  • 中图分类号: P228

Integrated Focusing Inversion of Gravity and Gravity Gradients with Multi-scale Source Grids

Funds: 

The National Natural Science Foundation of China Y211641064

the National Key Scientific Instrument and Equipment Development Project of China 20011YQ120045

More Information
    Author Bio:

    WANG Yichen, PhD, specializes in gravity inversion and machine learning. E-mail: ycwang_1988@163.com

  • 摘要: 在重力聚焦反演基础上提出多尺度源网聚焦反演算法。首先,对源网进行粗网格剖分,用共轭梯度法求解粗网格源网模型的聚焦解,直到拟合差下降至设定的数值;然后,将粗网格得到的密度映射到细网格;最后,以细网格模型为初始模型,进一步迭代直到拟合差下降至符合反演要求。模型试验结果显示,相比于固定源网反演,多尺度源网聚焦反演迭代的总耗时缩短50%以上。所提算法对单体模型、同参数双体模型和不同参数双体模型均比固定源网聚焦反演有更好分辨能力,对底边更深或整体埋深更大的模型分辨能力明显提高。实测数据试验结果显示,采用澳大利亚Kauring地区的实测重力和重力梯度数据反演计算,反演结果与前人一致,说明所提算法适用于实测数据。
  • 图  1  多尺度网格聚焦反演流程图

    Figure  1.  Flowchart of Multi-scale Focusing Inversion

    图  2  密度映射算法对比

    Figure  2.  Comparision of Density Mapping Methods

    图  3  平均值密度映射示意图

    Figure  3.  Diagram of Average Density Mapping Method

    图  4  单体模型

    Figure  4.  Single Hexahedron Model

    图  5  多尺度源网

    Figure  5.  Multi-scale Grids

    图  6  单体模型反演结果

    Figure  6.  Results of Single Hexahedron Model

    图  7  多尺度与单尺度源网聚焦反演效率对比

    Figure  7.  Focusing Inversion Efficiency of Multi-scale and Single-scale Sources

    图  8  水平双体模型

    Figure  8.  Horizontal Double Hexahedrons Model

    图  9  水平双体模型反演结果

    Figure  9.  Results of Horizontal Double Hexahedrons Model

    图  10  不同尺寸和埋深的双体模型

    Figure  10.  Double Hexahedrons Model with Different Sizes and Depths

    图  11  不同尺寸和埋深双体反演结果

    Figure  11.  Results of Double Hexahedrons Model with Different Sizes and Depths

    图  12  测区原始数据及选取区域的反演测量数据

    Figure  12.  Measured Data in Testing Ground and Inversion Data in Selected Area

    图  13  实测数据反演三维结果

    Figure  13.  3D Voxels of Inversion Data

    图  14  实测数据反演结果

    Figure  14.  Inversion Results of Measured Data

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出版历程
  • 收稿日期:  2020-10-12
  • 刊出日期:  2022-02-05

多尺度源网重力与重力梯度联合聚焦反演

doi: 10.13203/j.whugis20190263
    基金项目:

    国家自然科学基金 Y211641064

    国家重大科学仪器设备开发专项基金 20011YQ120045

    作者简介:

    王逸宸, 博士, 研究方向为重力反演算法与机器学习。ycwang_1988@163.com

  • 中图分类号: P228

摘要: 在重力聚焦反演基础上提出多尺度源网聚焦反演算法。首先,对源网进行粗网格剖分,用共轭梯度法求解粗网格源网模型的聚焦解,直到拟合差下降至设定的数值;然后,将粗网格得到的密度映射到细网格;最后,以细网格模型为初始模型,进一步迭代直到拟合差下降至符合反演要求。模型试验结果显示,相比于固定源网反演,多尺度源网聚焦反演迭代的总耗时缩短50%以上。所提算法对单体模型、同参数双体模型和不同参数双体模型均比固定源网聚焦反演有更好分辨能力,对底边更深或整体埋深更大的模型分辨能力明显提高。实测数据试验结果显示,采用澳大利亚Kauring地区的实测重力和重力梯度数据反演计算,反演结果与前人一致,说明所提算法适用于实测数据。

English Abstract

王逸宸, 柳林涛, 许厚泽. 多尺度源网重力与重力梯度联合聚焦反演[J]. 武汉大学学报 ● 信息科学版, 2022, 47(2): 181-188. doi: 10.13203/j.whugis20190263
引用本文: 王逸宸, 柳林涛, 许厚泽. 多尺度源网重力与重力梯度联合聚焦反演[J]. 武汉大学学报 ● 信息科学版, 2022, 47(2): 181-188. doi: 10.13203/j.whugis20190263
WANG Yichen, LIU Lintao, XU Houze. Integrated Focusing Inversion of Gravity and Gravity Gradients with Multi-scale Source Grids[J]. Geomatics and Information Science of Wuhan University, 2022, 47(2): 181-188. doi: 10.13203/j.whugis20190263
Citation: WANG Yichen, LIU Lintao, XU Houze. Integrated Focusing Inversion of Gravity and Gravity Gradients with Multi-scale Source Grids[J]. Geomatics and Information Science of Wuhan University, 2022, 47(2): 181-188. doi: 10.13203/j.whugis20190263
  • 地球物理重力场反演算法的核心是提高重力反演计算对地下物质密度分布的空间分辨能力。文献[1]提出基于体积最小约束的重力反演,得到的反演结果密度分布集中,为解释提供比传统最小模型解更准确的参考;文献[2]加入异常源轴线先验信息约束进行聚焦反演;文献[3-4]使用全局变化正则项改善了重力反演对块状体边界的反映;文献[5]提出位场聚焦反演;文献[6]使用深度加权函数改善聚焦反演的垂向分辨能力;文献[7]提出一种新的稳定函数改进聚焦反演的效果。

    随着重力梯度测量的发展,重力梯度张量数据被用于聚焦反演[8-9],更充分利用重力数据[10]。基于柯西分布约束和快速近端目标函数优化的重力反演,可看作一种新的聚焦效果重力反演,比共轭梯度法求解更快[11]。用多尺度小波分解求解聚焦反演[12],可分析多尺度下目标函数产生的局部极小特性,改进反演算法的多解性,同时大幅提高反演计算效率。

    要进一步提高聚焦反演的分辨能力,必须提高剖分精度,大幅增加计算量。针对此问题,并行计算技术可从计算机角度提高计算效率[13-14]。共轭梯度法计算效率较牛顿法显著提高[15],随机奇异值分解也是可行的快速线性反演方法[16],但仍受到剖分网格单元数量的制约。本文提出多尺度网格聚焦反演算法,首先基于粗略网格进行聚焦反演,将得到的聚焦解在三维空间内映射到细密网格中。粗网格计算效率高,得到的聚焦解准确度不足,映射到细密网格中后继续迭代。需要注意的是,聚焦反演算法能够采用多尺度网格的求解策略,归功于聚焦解的密度分布相对最小模型解更为密集,聚焦解在解空间中分布稳定。

    本文设计模型试验验证算法,利用澳大利亚Kauring地区重力和重力梯度数据,测试算法在实际数据中的效果,与固定源网聚焦反演对比计算效率及反演结果。

    • 考虑地球物理线性反演问题,目标函数ϕ计算式为:

      ϕ=ϕd+αϕs

      式中,ϕd是数据拟合项;α是正则化参数;ϕs的线性形式为:

      ϕd=(d-Gm)T(d-Gm)

      式中,d代表测点的重力测值向量;m代表源网单元格的密度值向量;G为重力雅可比矩阵。聚焦项可看做一类特殊的正则化项,此处ϕs为:

      ϕs=mTHTHm

      式中,H=diag(w˜1,w˜2w˜M),为聚焦正则化矩阵,M为网格单元数;w˜i为聚焦正则化矩阵对角线元素,其计算式为:

      w˜i=wimi2+β2,1iM

      其中,β为控制聚焦反演整体效果的聚焦参数,关于聚焦参数的选取可参考文献[8-9],根据前人计算经验,本文所有算例的选取聚焦参数为0.05;wi权参数在聚焦反演中控制聚焦正则项中模型参数的响应大小,其计算式为:

      wi=j=1NGji214,1iM

      N为测量数据个数。

    • 对聚焦反演的目标函数(1)求解极小值,得到聚焦模型解m*。数值方法为共轭梯度法,收敛效率大幅优于牛顿法[1517]

      聚焦反演每次迭代都利用当前解m与式(4)、式(5)重新计算聚焦正则化矩阵H,并计算聚焦模型参数mw,计算式为:

      mw=Hm

      从而目标函数变为:

      ϕ=(d-Fmw)T(d-Fmw)+αmwTmw

      式中,F表示聚焦雅可比矩阵,FG的关系式为:

      Fmw=Gm

      取任意值的初始模型m(0),可由式(6)得到mw(0)。首次迭代中取共轭梯度p0为目标函数的梯度q0,即p0=q0,则q0计算式为:

      q0=FT(Fmw(0)-d)+αmw(0)

      后续的每次迭代中,共轭梯度pk与当前次的梯度qk及前次迭代的共轭梯度pk-1有关,即为:

      pk=qk+ckpk-1
      ck=qk2qk-12

      梯度qk求法与式(9)同理。每次迭代中聚焦模型参数向负共轭梯度方向更新,计算式为:

      mw(k)=mw(k-1)-Δm(k-1)pk

      式中,Δm(k)为步长,其计算式为:

      Δm(k)=qkTpkpkT(FkTFk+αI)pk

      聚焦参数更新后,将聚焦参数转回参数空间,计算式为:

      m(k)=Hk-1mw(k)

      式中,Hk为第k次迭代的聚焦正则化矩阵。得到mk)后,根据式(2)计算模型参数的拟合差,迭代直到拟合差符合要求的精度为止。在聚焦反演中,令正则化参数值在迭代中等比减小,可得到理想反演效果[10]。具体步骤中,首次迭代令数据拟合项与带α的聚焦正则项数值相等[10],即:

      α1=ϕd(mw(0))ϕs(mw(0))

      后续迭代中α等比减小,即αk=sαk-1,其中0.5 < s < 1。

    • 本文算法流程如图 1所示。首先进行粗略剖分,用共轭梯度法迭代求解,直至拟合差符合一定的精度要求。然后设计更细密的网格剖分,将粗网格密度解映射到细网格中。映射后的细网格密度图像与粗网格的差别应尽可能小,且密度变化均匀。

      图  1  多尺度网格聚焦反演流程图

      Figure 1.  Flowchart of Multi-scale Focusing Inversion

      本文对比了3种密度映射方法,如图 2所示。图 2(a)为某单体模型粗网格反演得到的密度,图 2(b)为采用平均值算法映射,图 2(c)为取与每个细网格相交面积最大粗网格的密度值映射,图 2(d)为取与每个细网格相交的粗网格中密度最大值进行映射。由图 1可以看出,图 2(c)2(d)映射得到的密度分布与图 2(a)有较大误差,且不能体现出细网格的分辨率增加,图 2(b)则整体上呈现较小的误差,密度分辨增加,过渡均匀。因此,本文使用图 2(b)对应的平均值映射算法。

      图  2  密度映射算法对比

      Figure 2.  Comparision of Density Mapping Methods

      本文采用的密度平均值映射算法如图 3所示,比对粗网格和细网格单元的位置,考察细网格中的某个单元a,取所有与其相交的粗网格单元ABCD的平均密度,映射到细网格中的单元a。设细网格单元aK个与其相交的粗网格单元,密度为ρi',则a的映射密度ρa计算式为:

      ρa=1Ki=1Kρi'

      图  3  平均值密度映射示意图

      Figure 3.  Diagram of Average Density Mapping Method

      密度映射后,令映射得到的模型为初始模型,用共轭梯度法再进行求解。直到反演解拟合差和聚焦效果达到要求。

    • 为验证反演算法的效果,本文设计3组模型进行模型试验。采用正演得到的重力和重力梯度数据,从反演效果和反演计算效率两个方面,与单一网格的聚焦反演进行比较,探讨本文算法相比常规聚焦反演的优势。

    • 图 4(a)所示单体正六面体模型,设置模型剩余密度为1.0 g/cm3。单体模型属于简单模型,此处只采用重力gz数据进行反演,并对正演的gz加入标准差为测点重力平均值的5%、均值为0的高斯噪声,见图 4(b)

      图  4  单体模型

      Figure 4.  Single Hexahedron Model

      多尺度源网设计方法如图 5所示,在图 5(a)粗网格中进行聚焦反演,将相对拟合误差约为10%反演结果映射到图 5(b)的细网格中,继续迭代反演直到相对拟合误差达到极小约为4.5%。与直接用细网格进行聚焦反演的结果在反演效果和计算速度两方面进行比较。

      图  5  多尺度源网

      Figure 5.  Multi-scale Grids

      两种反演算法结果对比如图 6所示,剖面位置见图 4(a)。由图 6(b)6(d)对比可以看出,多尺度源网聚焦反演对单体模型近中心位置的剩余密度恢复好于聚焦反演,可达到1.0 g/cm3,符合模型实际值。聚焦反演在中心位置约为0.58 g/cm3,并且在地面附近出现少量假剩余密度。由图 6(a)6(c)可以看出,两种算法对模型底部恢复都不足,多尺度聚焦反演中模型底部剩余密度约为0.21 g/cm3,聚焦反演则为0.08 g/cm3

      图  6  单体模型反演结果

      Figure 6.  Results of Single Hexahedron Model

      同时,本文对比了二者的计算效率和迭代收敛性。图 7所示为相对误差随迭代下降曲线,图中每5次迭代绘制一个方形点。本文采用数值计算性能优良的Fortran语言以及MKL(math kernel library)、IMSL(international mathematics and statistics library)高性能计算程序库实现算法。在本算例中,多尺度源网聚焦反演总迭代89次,耗时约24 s。而聚焦反演总迭代120次,耗时约58 s。实际上,二者耗时差距将随反演测点数及源网单元数增大而继续增大。由此可见,多尺度源网聚焦反演计算速度大幅优于单尺度源网聚焦反演。

      图  7  多尺度与单尺度源网聚焦反演效率对比

      Figure 7.  Focusing Inversion Efficiency of Multi-scale and Single-scale Sources

    • 图 8为本文试验使用的水平双体模型。如图 8(a)所示,设置2个正六面体模型的剩余密度都为1.0 g/cm3。为提高反演分辨能力,此处采用重力gz和重力梯度分量gzz数据进行反演。多尺度剖分源网设计与单体模型相同。

      图  8  水平双体模型

      Figure 8.  Horizontal Double Hexahedrons Model

      两种反演算法结果对比如图 9所示。图 9(a)9(b)中,单尺度源网聚焦反演可分辨出两个模型,剩余密度分布特征准确反映两个模型中心位置,但存在明显剩余密度发散现象。图 9(c)9(d)中,多尺度源网聚焦反演清晰分辨出两个模型,剩余密度分布发散极少,两个模型的间隙分离清晰,模型中心位置附近最高剩余密度达到0.95 g/cm3,对模型边缘反应尤其优于单尺度源网聚焦反演。

      图  9  水平双体模型反演结果

      Figure 9.  Results of Horizontal Double Hexahedrons Model

    • 设计双体模型尺寸不同,且处在不同的深度。如图 10(a)所示,剩余密度都为1.0 g/cm3。此处采用重力gz和重力梯度分量gzz数据进行反演。多尺度剖分源网设计与单体模型相同。

      图  10  不同尺寸和埋深的双体模型

      Figure 10.  Double Hexahedrons Model with Different Sizes and Depths

      两种反演算法结果对比如图 11所示。图 11(a)11(b)11(c)分别为单尺度源网聚焦反演在y=750 m,小模型中心附近z=350 m,大模型中心附近z=650 m的剖面图,图 11(d)11(e)11(f)分别为多尺度源网聚焦反演对应图 11(a)11(b)11(c)位置的剖面图。对于小六面体和大六面体,聚焦反演给出各自中心附近最高剩余密度为0.81 g/cm3和0.90 g/cm3,多尺度源网聚焦反演为1.0 g/cm3和1.0 g/cm3。多尺度源网聚焦反演中大六面体底面的发散现象显著轻于单尺度源网聚焦反演,良好分辨出深部大六面体,仅在靠近小六面体的一侧存在少量剩余密度缺失。可见,单尺度源网聚焦反演对深部的大六面体的分辨不足。总体上,多尺度源网聚焦反演对模型的形态、位置及剩余密度分布的分辨均明显优于单尺度源网聚焦反演。

      图  11  不同尺寸和埋深双体反演结果

      Figure 11.  Results of Double Hexahedrons Model with Different Sizes and Depths

    • 为进一步测试算法,本文利用澳大利亚Kauring地区某重力试验场实测数据进行算法试验。Fugro公司从2011-07-2012-02在该测区实施航空重力及重力梯度测量,图 12(a)12(b)为测区原始数据。仿照模型试验中的做法,采用重力gz和重力梯度gzz联合进行反演计算,飞机飞行高度约为65.0 m,数据已经过地形改正。

      图  12  测区原始数据及选取区域的反演测量数据

      Figure 12.  Measured Data in Testing Ground and Inversion Data in Selected Area

      本文选取测区中最主要的gzgzz正异常所在区域进行反演计算,即图 12(a)12(b)中黄色框线区域,选取数据如图 12(c)12(d)所示。选取区域长、宽均为2 000 m,设置地下源网范围为2000×2000×2000,设计多尺度源网粗网格包含10×10×6个单元,细网格包含20×20×10个单元。

      对数据进行多尺度源网反演,图 13以三维形式显示反演结果,为了展示清楚,图 13中去除密度小于0.5 g/cm3的单元。在源网中心附近可见一个密度异常块体,最高密度约2.4 g/cm3,质心埋深约为280 m,与前人在该区域反演结果相吻合[18-20]。底面埋深400 m,比前人得到的320 m更深。对该区域南端的异常,前人反演结果显示为与中心主要异常埋深相当的另一个小体积的密度异常。而本文反演结果显示如图 13图 14(c)14(d)横剖面所示,南侧异常体比中心异常埋深更大,密度区域规模更大。该密度异常体印证南侧gz异常宽缓的幅值特性。

      图  13  实测数据反演三维结果

      Figure 13.  3D Voxels of Inversion Data

      图  14  实测数据反演结果

      Figure 14.  Inversion Results of Measured Data

      综上,反演实测数据结果与前人反演结果相符,说明算法的有效性。引入多尺度源网反演策略,可显著提高剖分较细密时迭代收敛的速度,并且得到的聚焦反演解可靠。

    • 相比于常规的固定源网,多尺度源网聚焦反演表现出2个优点。首先,计算时间大幅缩短,映射到细网格以后,只较少迭代次数即收敛。其次,结合准确的密度映射算法,多尺度源网聚焦反演提高了单尺度源网聚焦反演的分辨能力。在模型试验中,对3组模型均表现出比固定源网聚焦反演更好的分辨能力。尤其对于模型底部边界或埋深更大的模型,分辨能力提高。利用Kauring地区的实测重力gz和重力梯度gzz数据,将反演结果与前人研究结果做比较,对异常体的顶底分辨与前人研究结果一致,说明该方法适用于实测数据。

      本文仅探讨2个尺度的源网。源网尺度或可进一步发展为2个以上尺度的源网在反演中依次进行,或根据重要程度对不同区域采用不同尺度的源网剖分。在迭代中,映射到细网格的条件也值得深入研究。多尺度源网反演属于一般性的空间域重力密度反演思路,在其他重力反演算法中的运用也有待进一步探讨。

参考文献 (20)

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