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随着卫星导航技术的飞速发展，星间链路技术已经成为卫星导航领域的研究热点。借助星间链路技术，导航卫星能实现星间测距和时间同步，有助于提高卫星的定轨与钟差预报精度，提升导航系统的服务性能，并且可以减少导航卫星对地面站的依赖，实现导航星座的自主运行[1]。目前，GNSS(global navigation satellite system)四大卫星导航系统都将星间链路技术作为一项关键技术，已经或正在部署和设计不同体制的星间链路系统[2-6]。利用GNSS全球性、全天时、全天候的优势，搭载附加载荷、拓展导航系统的服务是卫星导航系统发展的重要趋势之一[7]。目前，地面导航用户及中低轨用户可以利用GNSS满足基本的导航定位和授时需求。同时，人类对科学的探索研究从地面延伸至深空，低轨空间站、深空飞行器等各类航天器的数量日益增多，空-天-地一体化已成为各类航天器协同工作的重要保障，对各类航天器的定轨及时间同步也提出了更为迫切的需求[8]。因此，利用已有导航星座网和空间航天器的特点，将星间链路技术与航天器时间同步紧密结合，是星间链路技术拓展应用的方向之一，同时也是实现航天器间高精度时间传递的有效技术途径。
目前，国内外关于星间双向时间同步的研究已经取得了一些进展。文献[9-10]对于多星时间同步分别提出了分布式和集中式自主时间同步算法并进行了仿真分析，证明了其可行性。文献[11]对星间双向伪距的钟差解算方法展开研究，提出了一种基于Kalman滤波的钟差解算方法；文献[12]提出了一种星间伪距历元归算方法，对北斗三号试验星星间时间同步精度进行了分析，其钟差拟合残差均方根(root mean square，RMS)优于0.3 ns。文献[13]对北斗二号卫星星间链路信号的星地实测数据进行了分析，结果表明卫星钟测量随机误差优于0.2 ns，卫星钟差2 h预报误差优于1 ns。文献[14]就GRACE卫星星间时间同步问题展开深入研究，提出了一种利用精密伪距插值提升数据精度及时间同步性能的方法。动态环境下的双向时间同步方法近些年也取得了一些成果。文献[15]将TWRTT(two-way ranging and time transmit)双向测距和时间同步技术扩展至动态环境，使其适用于北斗二号卫星之间的时间同步，但是该算法需要提供卫星双方的速度等信息，仅适用于类似北斗卫星等具有星历支持的情况。文献[16]提出了一种利用星间伪距拟合多项式和钟差拟合多项式联合求解星间钟差的卫星动态双向时间同步算法，时间同步误差控制在5 ns以内，但要求双向同步的时间段相对于最小星间距离出现的时刻基本对称，在实际使用时会受到数据范围的限制。
以上研究多是针对时间同步的历元归算及滤波处理方法或者针对导航卫星的星间时间同步进行的相关研究。当时间同步的用户为相对运动速度更高的空间航天器，如深空或远地的飞行器等，且这些飞行器难以保证精确的位置和速度信息支持时，常规的星间链路时间同步算法会受到一定限制。本文主要研究一种基于单点伪距归算的双向时间同步改进算法，并基于空间站和北斗卫星之间的时间同步应用场景进行仿真验证。该算法可以使原有的星间链路时间同步技术扩展应用至其他空间航天器用户之间的时间同步，为空间航天器用户的高精度授时需求提供一种参考的解决方案，也为空-天-地一体化时间同步提供一定的技术基础。
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北斗导航系统采用时分体制，导航卫星之间通过双向单程的DOWR (dual-one way ranging)方式实现星间测距及自主导航功能，其基本原理是双向测距与时间同步技术[15]。该技术既可以实现卫星之间的距离测量，也可以实现钟差测量，其优点在于双向测量的同时可以消除信道中的公共误差，因而在星间时间同步和测距中得到了广泛应用。
通常的双向时间同步的基本原理如图 1所示。图 1中，用户1和用户2分别在本地秒脉冲的上升沿向对方发射测距信号，其中$ \mathrm{\Delta }t $表示用户1和用户2的钟差，$ {\tau }_{T1}\mathrm{、}{\tau }_{T2} $分别表示用户1和用户2的设备发射时延，$ {\tau }_{R1}\mathrm{、}{\tau }_{R2} $分别表示用户1和用户2的设备接收时延，$ {\tau }_{21} $表示信号从用户2到用户1的空间传播时延，$ {\tau }_{12} $表示信号从用户1到用户2的空间传播时延。
图 1 双向时间同步原理
Figure 1. Principle of Two-Way Time Synchronization
另外，在实际测量环境中还应当考虑由于相对论效应以及对流层、电离层等引起的附加空间传播时延$ {\tau }_{\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{l}\mathrm{-}21\mathrm{ }} $、$ {\tau }_{\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{l}\mathrm{ }\mathrm{-}12} $以及用户1和用户2的测量噪声$ {\delta }_{1} $、$ {\delta }_{2} $，则用户1和用户2端得到的观测伪距$ {T}_{1}\mathrm{、}{T}_{2} $分别表示为：
$$ {T}_{1}={\tau }_{T2}+{\tau }_{21}+{\tau }_{R1}+\mathrm{\Delta }t+{\tau }_{\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{l}\mathrm{-}21}+{\delta }_{1} $$ (1) $$ {T}_{2}={\tau }_{T1}+{\tau }_{12}+{\tau }_{R2}-\mathrm{\Delta }t+{\tau }_{\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{l}\mathrm{ }\mathrm{-}12}+{\delta }_{2} $$ (2) 假设互发测距信号的双方用户是相对静止的，则可以认为双方的空间传播路径是互逆的，传播时延$ {\tau }_{21}\mathrm{和}{\tau }_{12} $相等，则式(1)、式(2)相减可以得到两个用户钟差的表达式：
$$ \mathrm{\Delta }t=\frac{1}{2}\left({T}_{1}-{T}_{2}\right)+\frac{1}{2}\left({\tau }_{T1}-{\tau }_{T2}\right)+\frac{1}{2}\left({\tau }_{R2}-{\tau }_{R1}\right)+\frac{1}{2}\left({\tau }_{\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{l}\mathrm{ }\mathrm{-}12}-{\tau }_{\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{l}\mathrm{-}21}\right)+\frac{1}{2}\left({\delta }_{2}-{\delta }_{1}\right) $$ (3) 对于固定的两个用户而言，$ {\tau }_{R2}-{\tau }_{R1}\mathrm{和}{\tau }_{T1}-{\tau }_{T2} $一般可以通过提前零值标定或在线标定的方法进行修正[17]，相对论效应以及附加空间传播时延等可以通过相应的模型进行修正，从而可以利用式(3)解算出钟差$ \mathrm{\Delta }t $。
但是对于导航星间链路体制而言，双方用户之间的双向单程测量并非同时进行，也就是说双方用户不能保证是在同一时刻发射信号，而且当双方用户具有相对较高的运动速度时，就会导致双向测量过程中传播时延$ {\tau }_{21}\mathrm{和}{\tau }_{12} $并不相等，此时式(3)不再适用，必须考虑由于相对运动带来的影响。
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目前，北斗导航星间链路中运动时延误差常规的处理方法是通过动力学法或几何法先将双方用户的发射时刻统一至同一时刻，然后根据星历计算双方卫星的径向速度并得到由于相对运动造成的时差测量值的补偿。运动时延误差补偿示意图如图 2所示，其中$ {S}_{1} $、$ {S}_{2} $分别表示时间同步的两个用户，$ {l}_{{S}_{2}{S}_{1}} $表示在发射时刻的瞬间$ {S}_{1} $和$ {S}_{2} $之间的几何距离，$ {l}_{{S}_{1}{S}_{2}\text{'}} $表示$ {S}_{1} $发射测距信号到$ {S}_{2} $收到信号的空间传播距离，$ {l}_{{S}_{2}{S}_{1}\text{'}} $表示$ {S}_{2} $发射测距信号到$ {S}_{1} $收到信号的空间传播距离。
图 2 时间同步运动时延误差补偿示意图
Figure 2. Diagram of Dynamic Time-Synchronization Delay Correction
假设$ {S}_{1} $和$ {S}_{2} $发射测距信号的时刻为$ {t}_{0} $，$ {S}_{1} $接收到$ {S}_{2} $测距信号的时刻为$ {t}_{1} $，$ {S}_{2} $接收到$ {S}_{1} $测距信号的时刻为$ {t}_{2} $。$ {S}_{1} $天线相位中心在地心惯性坐标系下的位置、速度和加速度分别表示为$ {\overrightarrow{x}}_{1}\left(t\right) $、$ {\dot{\overrightarrow{x}}}_{1}\left(t\right) $、$ {\ddot{\overrightarrow{x}}}_{1}\left(t\right) $，$ {S}_{2} $天线相位中心在地心惯性坐标系下的位置、速度和加速度分别表示为$ {\overrightarrow{x}}_{2}\left(t\right) $、$ {\dot{\overrightarrow{x}}}_{2}\left(t\right) $、$ {\ddot{\overrightarrow{x}}}_{2}\left(t\right) $。则有：
$$ {\overrightarrow{l}}_{{S}_{2}{S}_{1}}={\overrightarrow{\mathit{x}}}_{1}\left({t}_{0}\right)-{\overrightarrow{\mathit{x}}}_{2}\left({t}_{0}\right) $$ (4) $$ \left|{\overrightarrow{l}}_{{S}_{2}{S}_{1}\text{'}}\right|=\left|{\dot{\overrightarrow{x}}}_{1}\left({t}_{0}\right)\cdot \left({t}_{1}-{t}_{0}\right)+\\ \frac{1}{2}{\ddot{\overrightarrow{x}}}_{1}\left({t}_{0}\right)\cdot {\left({t}_{1}-{t}_{0}\right)}^{2}+{\overrightarrow{l}}_{{S}_{2}{S}_{1}}\right| $$ (5) $$ \left|{\overrightarrow{l}}_{{S}_{1}{S}_{2}\text{'}}\right|=\left|{\dot{\overrightarrow{x}}}_{2}\left({t}_{0}\right)\cdot \left({t}_{2}-{t}_{0}\right)+\\ \frac{1}{2}{\ddot{\overrightarrow{x}}}_{2}\left({t}_{0}\right)\cdot {\left({t}_{2}-{t}_{0}\right)}^{2}-{\overrightarrow{l}}_{{S}_{2}{S}_{1}}\right| $$ (6) 分别整理并化简式(5)、式(6)，平方后忽略二次以上项再开平方，并将右端按幂级数展开，忽略二次以上项，则有：
$$ \begin{array}{l}\left|{\overrightarrow{l}}_{{S}_{2}{{S}_{1}}^{\text{'}}}\right|=\left|{\overrightarrow{l}}_{{S}_{2}{S}_{1}}\right|+\frac{{\overrightarrow{l}}_{{S}_{2}{S}_{1}}\cdot {\dot{\overrightarrow{x}}}_{1}\left({t}_{0}\right)}{\left|{\overrightarrow{l}}_{{S}_{2}{S}_{1}}\right|}\left({t}_{1}-{t}_{0}\right)+\\ \frac{1}{2}\frac{{\dot{\overrightarrow{x}}}_{1}^{2}\left({t}_{0}\right)}{\left|{\overrightarrow{l}}_{{S}_{2}{S}_{1}}\right|}{\left({t}_{1}-{t}_{0}\right)}^{2}+\frac{1}{2}\frac{{\overrightarrow{l}}_{{S}_{2}{S}_{1}}\cdot {\ddot{\overrightarrow{x}}}_{1}\left({t}_{0}\right)}{\left|{\overrightarrow{l}}_{{S}_{2}{S}_{1}}\right|}{\left({t}_{1}-{t}_{0}\right)}^{2}-\\ \frac{1}{2}\frac{{\left({\overrightarrow{l}}_{{S}_{2}{S}_{1}}\cdot {\dot{\overrightarrow{x}}}_{1}\left({t}_{0}\right)\right)}^{2}}{{\left|{\overrightarrow{l}}_{{S}_{2}{S}_{1}}\right|}^{3}}{\left({t}_{1}-{t}_{0}\right)}^{2}\end{array} $$ (7) $$ \begin{array}{l}\left|{\overrightarrow{l}}_{{S}_{1}{{S}_{2}}^{\text{'}}}\right|=\left|{\overrightarrow{l}}_{{S}_{2}{S}_{1}}\right|-\frac{{\overrightarrow{l}}_{{S}_{2}{S}_{1}}\cdot {\dot{\overrightarrow{x}}}_{2}\left({t}_{0}\right)}{\left|{\overrightarrow{l}}_{{S}_{2}{S}_{1}}\right|}\left({t}_{2}-{t}_{0}\right)+\\ \frac{1}{2}\frac{{\dot{\overrightarrow{x}}}_{2}^{2}\left({t}_{0}\right)}{\left|{\overrightarrow{l}}_{{S}_{2}{S}_{1}}\right|}{\left({t}_{2}-{t}_{0}\right)}^{2}-\frac{1}{2}\frac{{\overrightarrow{l}}_{{S}_{2}{S}_{1}}\cdot {\ddot{\overrightarrow{x}}}_{2}\left({t}_{0}\right)}{\left|{\overrightarrow{l}}_{{S}_{2}{S}_{1}}\right|}{\left({t}_{2}-{t}_{0}\right)}^{2}-\\ \frac{1}{2}\frac{{\left({\overrightarrow{l}}_{{S}_{2}{S}_{1}}\cdot {\dot{\overrightarrow{x}}}_{2}\left({t}_{0}\right)\right)}^{2}}{{\left|{\overrightarrow{l}}_{{S}_{2}{S}_{1}}\right|}^{3}}{\left({t}_{2}-{t}_{0}\right)}^{2}\end{array} $$ (8) $ {S}_{1} $的运动时延为：
$$ {\tau }_{{S}_{2}{{S}_{1}}^{\text{'}}}^{m}=\frac{\left(\left|{\overrightarrow{l}}_{{S}_{2}{{S}_{1}}^{\text{'}}}\right|-\left|{\overrightarrow{l}}_{{S}_{2}{S}_{1}}\right|\right)}{c} $$ $ {S}_{2} $的运动时延为：
$$ {\tau }_{{S}_{1}{{S}_{2}}^{\text{'}}}^{m}=\frac{\left(\left|{\overrightarrow{l}}_{{S}_{1}{{S}_{2}}^{\text{'}}}\right|-\left|{\overrightarrow{l}}_{{S}_{2}{S}_{1}}\right|\right)}{c} $$ 令
$$ \tau {\text{'}}^{m}={\tau }_{{S}_{1}{{S}_{2}}^{\text{'}}}^{m}-{\tau }_{{S}_{2}{{S}_{1}}^{\text{'}}}^{m}=\frac{\left(\left|{\overrightarrow{l}}_{{S}_{1}{{S}_{2}}^{\text{'}}}\right|-\left|{\overrightarrow{l}}_{{S}_{2}{{S}_{1}}^{\text{'}}}\right|\right)}{c} $$ (9) 则式(3)的钟差计算式表示为：
$$ \mathrm{\Delta }t=\frac{1}{2}\left({T}_{1}-{T}_{2}\right)+\frac{1}{2}\left({\tau }_{T1}-{\tau }_{T2}\right)+\frac{1}{2}\left({\tau }_{R2}-{\tau }_{R1}\right)+\\ \frac{1}{2}\tau {\text{'}}^{m}+\frac{1}{2}\left({\tau }_{\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{l}\mathrm{ }\mathrm{-}12}-{\tau }_{\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{l}\mathrm{-}21}\right)+\frac{1}{2}\left({\delta }_{2}-{\delta }_{1}\right) $$ (10) 其中，$ \frac{1}{2}\tau {\text{'}}^{m} $即为运动时延补偿值。进一步将式(7)、式(8)代入式(9)，忽略影响较小的项，则得到：
$$ \tau {\text{'}}^{m}=\left[-\frac{{\overrightarrow{l}}_{{S}_{2}{S}_{1}}\cdot {\dot{\overrightarrow{x}}}_{2}\left({t}_{0}\right)}{\left|{\overrightarrow{l}}_{{S}_{2}{S}_{1}}\right|}\left({t}_{2}-{t}_{0}\right)-\frac{{\overrightarrow{l}}_{{S}_{2}{S}_{1}}\cdot {\dot{\overrightarrow{x}}}_{1}\left({t}_{0}\right)}{\left|{\overrightarrow{l}}_{{S}_{2}{S}_{1}}\right|}\left({t}_{1}-{t}_{0}\right)\right]/c $$ (11) 令$ \left|{\overrightarrow{l}}_{{S}_{2}{S}_{1}}\right|=L $，$ \left({t}_{2}-{t}_{0}\right) $和$ \left({t}_{1}-{t}_{0}\right) $近似等于$ L/c $，$ {\overrightarrow{l}}_{{S}_{2}{S}_{1}}\cdot {\dot{\overrightarrow{x}}}_{2}\left({t}_{0}\right)=L{V}_{2} $，$ {\overrightarrow{l}}_{{S}_{2}{S}_{1}}\cdot {\dot{\overrightarrow{x}}}_{1}\left({t}_{0}\right)=L{V}_{1} $，忽略矢量符号，则可得$ \tau {\text{'}}^{m} $的表达式为：
$$ \tau {\text{'}}^{m}=\frac{-\left({V}_{1}+{V}_{2}\right)L}{{c}^{2}} $$ (12) 由此可以看出，时间同步结果不但与用户双方的设备时延、附加空间传播时延以及测量噪声等有关，同时运动时延误差修正与补偿也是重要的一个环节，且运动时延的补偿与双方用户的速度和位置均有关。为了达到一定的运动时延修正精度，对于时间同步双方的速度精度也有一定的要求。
假定运动时延误差要求控制在0.01 ns，暂时不考虑其他误差，则由式(12)得：
$$ \left|\frac{1}{2}\tau {\text{'}}^{m}\right|=\frac{-\left({V}_{1}+{V}_{2}\right)L}{2{c}^{2}} <0.01\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{n}\mathrm{s} $$ (13) 对于北斗中轨道(medium earth orbit，MEO)卫星与空间站间的时间同步，由于MEO卫星与空间站的距离L可达23 900 km，，则由式(13)可以反推出对于双方用户的速度精度要求，即双方的速度误差之和$ {V}_{1}+{V}_{2} <0.075\mathrm{ }\mathrm{m}/\mathrm{s} $；对于北斗倾斜地球同步轨道(inclined geosynchronous orbit，IGSO)/ 地球静止轨道(geostationary orbit，GEO)卫星与空间站间的时间同步，由于IGSO/GEO卫星与空间站的距离L可达38 500 km，则双方的速度误差之和$ {V}_{1}+{V}_{2} <0.046\mathrm{ }\mathrm{m}/\mathrm{s} $。
可以看出，常规的运动时延补偿方法必须同时考虑时间同步双方较为精确的速度信息，这对于没有精确或连续星历信息支持的航天器用户来说会受到一定的限制。
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当北斗卫星与飞行动态较高的航天器进行双向时间传递且航天器不具备精确轨道和速度等信息的支持时，通过将航天器的接收时刻和发射时刻归算至同一时刻，从而在解算路径时延误差的过程中不需要航天器的速度信息，只需要精度不高的位置信息即可达到高精度时间同步。
如图 3所示，假定用户$ {S}_{1} $为北斗导航卫星，具有广播星历等完善信息的支持；用户$ {S}_{2} $为空间飞行器，没有连续准确的位置和速度信息。北斗卫星和空间飞行器按照导航星间链路时分体制实现双向测距。通过拉格朗日插值法或幂多项式拟合法进行历元归算，将空间飞行器的双向单点伪距值归算至同一时刻，该时刻飞行器收到信号，同时向对方发射信号。
图 3 基于单点伪距的时间同步运动时延修正示意图
Figure 3. Diagram of Dynamic Time-Synchronization Delay Correction Based on Single-Point Pseudorange
假定$ {S}_{1} $在$ {t}_{0} $时刻发出测距信号，$ {S}_{2} $在$ {t}_{1} $时刻接收到$ {S}_{1} $发射的测距信号，同时$ {S}_{2} $在$ {t}_{1} $时刻向$ {S}_{1} $发射测距信号，$ {S}_{1} $在$ {t}_{2} $时刻收到$ {S}_{2} $发出的信号。$ {l}_{{S}_{1}{S}_{2}} $为$ {S}_{1} $发射信号到$ {S}_{2} $收到信号的空间传播距离，$ {l}_{{S}_{2}{{S}_{1}}^{\mathrm{"}}} $为$ {S}_{2} $发射信号到$ {S}_{1} $收到信号的空间传播距离，$ {l}_{{S}_{2}{{S}_{1}}^{\mathrm{\text{'}}}} $为$ {t}_{1} $时刻$ {S}_{2} $与$ {S}_{1} $之间的瞬时几何距离。北斗卫星$ {S}_{1} $在地心惯性坐标系下的位置矢量、速度矢量和加速度矢量分别表示为$ {\overrightarrow{x}}_{1}\left(t\right) $、$ {\dot{\overrightarrow{x}}}_{1}\left(t\right) $、$ {\ddot{\overrightarrow{x}}}_{1}\left(t\right) $，飞行器$ {S}_{2} $在地心惯性坐标系下的位置矢量为$ {\overrightarrow{x}}_{2}\left(t\right) $。则有：
$$ {\overrightarrow{l}}_{{S}_{2}{S}_{1}\text{'}}={\overrightarrow{x}}_{1}\left({t}_{1}\right)-{\overrightarrow{x}}_{2}\left({t}_{1}\right) $$ (14) $$ \left|{\overrightarrow{l}}_{{S}_{1}{S}_{2}}\right|=\left|{\dot{\overrightarrow{x}}}_{1}\left({t}_{1}\right)\cdot \left({t}_{1}-{t}_{0}\right)-\frac{1}{2}{\ddot{\overrightarrow{x}}}_{1}\left({t}_{1}\right)\cdot {\left({t}_{1}-{t}_{0}\right)}^{2}-{\overrightarrow{l}}_{{S}_{2}{{S}_{1}}^{\text{'}}}\right| $$ (15) $$ \left|{\overrightarrow{l}}_{{S}_{2}{S}_{1}\text{'}\text{'}}\right|=\left|{\dot{\overrightarrow{x}}}_{1}\left({t}_{1}\right)\cdot \left({t}_{2}-{t}_{1}\right)+\frac{1}{2}{\ddot{\overrightarrow{x}}}_{1}\left({t}_{1}\right)\cdot {\left({t}_{2}-{t}_{1}\right)}^{2}+{\overrightarrow{l}}_{{S}_{2}{{S}_{1}}^{\text{'}}}\right| $$ (16) 分别整理并化简式(15)、式(16)，平方后忽略二次以上项再开平方，并将右端按幂级数展开，忽略二次以上项，则有：
$$ \begin{array}{l}\left|{\overrightarrow{l}}_{{S}_{1}{S}_{2}}\right|=\left|{\overrightarrow{l}}_{{S}_{2}{{S}_{1}}^{\text{'}}}\right|-\frac{{\overrightarrow{l}}_{{S}_{2}{{S}_{1}}^{\text{'}}}\cdot {\dot{\overrightarrow{x}}}_{1}\left({t}_{1}\right)}{\left|{\overrightarrow{l}}_{{S}_{2}{{S}_{1}}^{\text{'}}}\right|}\left({t}_{1}-{t}_{0}\right)+\\ \frac{1}{2}\frac{{\dot{\overrightarrow{x}}}_{1}^{2}\left({t}_{1}\right)}{\left|{\overrightarrow{l}}_{{S}_{2}{{S}_{1}}^{\text{'}}}\right|}{\left({t}_{1}-{t}_{0}\right)}^{2}+\frac{1}{2}\frac{{\overrightarrow{l}}_{{S}_{2}{{S}_{1}}^{\text{'}}}\cdot {\ddot{\overrightarrow{x}}}_{1}\left({t}_{1}\right)}{\left|{\overrightarrow{l}}_{{S}_{2}{{S}_{1}}^{\text{'}}}\right|}{\left({t}_{1}-{t}_{0}\right)}^{2}-\\ \frac{1}{2}\frac{{\left({\overrightarrow{l}}_{{S}_{2}{{S}_{1}}^{\text{'}}}\cdot {\dot{\overrightarrow{x}}}_{1}\left({t}_{1}\right)\right)}^{2}}{{\left|{\overrightarrow{l}}_{{S}_{2}{{S}_{1}}^{\text{'}}}\right|}^{3}}{\left({t}_{1}-{t}_{0}\right)}^{2}\end{array} $$ (17) $$ \begin{array}{l}\left|{\overrightarrow{l}}_{{S}_{2}{{S}_{1}}^{\text{'}\text{'}}}\right|=\left|{\overrightarrow{l}}_{{S}_{2}{{S}_{1}}^{\text{'}}}\right|+\frac{{\overrightarrow{l}}_{{S}_{2}{{S}_{1}}^{\text{'}}}\cdot {\dot{\overrightarrow{x}}}_{1}\left({t}_{1}\right)}{\left|{\overrightarrow{l}}_{{S}_{2}{{S}_{1}}^{\text{'}}}\right|}\left({t}_{2}-{t}_{1}\right)+\\ \frac{1}{2}\frac{{\dot{\overrightarrow{x}}}_{1}^{2}\left({t}_{1}\right)}{\left|{\overrightarrow{l}}_{{S}_{2}{{S}_{1}}^{\text{'}}}\right|}{\left({t}_{2}-{t}_{1}\right)}^{2}+\frac{1}{2}\frac{{\overrightarrow{l}}_{{S}_{2}{{S}_{1}}^{\text{'}}}\cdot {\ddot{\overrightarrow{x}}}_{1}\left({t}_{1}\right)}{\left|{\overrightarrow{l}}_{{S}_{2}{{S}_{1}}^{\text{'}}}\right|}{\left({t}_{2}-{t}_{1}\right)}^{2}-\\ \frac{1}{2}\frac{{\left({\overrightarrow{l}}_{{S}_{2}{{S}_{1}}^{\text{'}}}\cdot {\dot{\overrightarrow{x}}}_{1}\left({t}_{1}\right)\right)}^{2}}{{\left|{\overrightarrow{l}}_{{S}_{2}{{S}_{1}}^{\text{'}}}\right|}^{3}}{\left({t}_{2}-{t}_{1}\right)}^{2}\end{array} $$ (18) 由于$ \left({t}_{1}-{t}_{0}\right)\approx \left({t}_{2}-{t}_{1}\right) $，则：
$$ {\tau }^{m}=\frac{\left|{\overrightarrow{l}}_{{S}_{2}{{S}_{1}}^{\mathrm{"}}}\right|-\left|{\overrightarrow{l}}_{{S}_{2}{S}_{1}}\right|}{c}=\frac{{\overrightarrow{l}}_{{S}_{2}{{S}_{1}}^{\text{'}}}\cdot {\dot{\overrightarrow{x}}}_{1}\left({t}_{1}\right)}{\left|{\overrightarrow{l}}_{{S}_{2}{{S}_{1}}^{\text{'}}}\right|\cdot c}\left({t}_{2}-{t}_{0}\right) $$ (19) 则钟差计算公式(3)改写为：
$$ \begin{array}{l}\mathrm{\Delta }t=\frac{1}{2}\left({T}_{1}-{T}_{2}\right)+\frac{1}{2}\left({\tau }_{T1}-{\tau }_{T2}\right)+\frac{1}{2}\left({\tau }_{R2}-\\ {\tau }_{R1}\right)+\frac{1}{2}{\tau }^{m}+\frac{1}{2}\left({\tau }_{\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{l}\mathrm{ }\mathrm{-}12}-{\tau }_{\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{l}\mathrm{-}21\mathrm{ }}\right)+\\ \frac{1}{2}\left({\delta }_{2}-{\delta }_{1}\right)\end{array} $$ (20) 式中，$ {\tau }^{m} $由式(19)得到，$ \frac{1}{2}{\tau }^{m} $即为单点伪距归算中的运动时延修正项。
又由于$ \left({t}_{2}-{t}_{0}\right)\approx \frac{2\left|{\overrightarrow{l}}_{{S}_{2}{{S}_{1}}^{\text{'}}}\right|}{c} $，则：
$$ \frac{1}{2}{\tau }^{m}=\frac{{\overrightarrow{l}}_{{S}_{2}{{S}_{1}}^{\text{'}}}\cdot {\dot{\overrightarrow{x}}}_{1}\left({t}_{1}\right)}{{c}^{2}}=\frac{\left({\overrightarrow{x}}_{1}\left({t}_{1}\right)-{\overrightarrow{x}}_{2}\left({t}_{1}\right)\right)\cdot {\dot{\overrightarrow{x}}}_{1}\left({t}_{1}\right)}{{c}^{2}} $$ (21) 令$ {\overrightarrow{x}}_{1}\left({t}_{1}\right)=({X}_{1}, {Y}_{1}, {Z}_{1}) $，$ {\overrightarrow{x}}_{2}\left({t}_{1}\right)=({X}_{2}, {Y}_{2}, {Z}_{2}) $，$ {\dot{\overrightarrow{x}}}_{1}\left({t}_{1}\right)=({V}_{1}^{X}, {V}_{1}^{Y}, {V}_{1}^{Z}) $，则有：
$$ \frac{1}{2}{\tau }^{m}=\frac{1}{{c}^{2}}\left[\left({X}_{1}-{X}_{2}\right){V}_{1}^{X}+\left({Y}_{1}-{Y}_{2}\right){V}_{1}^{Y}+\\ ({Z}_{1}-{Z}_{2}){V}_{1}^{Z}\right] $$ (22) 由式(22)可以看出，时延修正项$ \frac{1}{2}{\tau }^{m} $仅与北斗卫星用户的位置信息$ {\overrightarrow{x}}_{1}\left({t}_{1}\right)=\left({X}_{1}, {Y}_{1}, {Z}_{1}\right) $和速度信息$ {\dot{\overrightarrow{x}}}_{1}\left({t}_{1}\right)=\left({V}_{1}^{X}, {V}_{1}^{Y}, {V}_{1}^{Z}\right) $以及航天器用户的位置信息$ {\overrightarrow{x}}_{2}\left({t}_{1}\right)=\left({X}_{2}, {Y}_{2}, {Z}_{2}\right) $有关。当航天器用户不能提供速度信息，利用该算法仍可完成运动时延修正及钟差解算。
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从§2.1可以看出，上述算法需要有航天器位置信息的支持，本节进一步分析其对位置精度的要求。
在式(22)中，令($ {X}_{1}, {Y}_{1}, {Z}_{1} $)和($ {V}_{1}^{X}, {V}_{1}^{Y}, {V}_{1}^{Z} $)分别为北斗卫星在地心惯性坐标系下的位置和速度，($ {X}_{2}, {Y}_{2}, {Z}_{2} $)为航天器在地心惯性坐标系下的位置，可以看出，运动时延修正精度受航天器和北斗卫星的位置误差以及北斗卫星的速度误差的影响。由于北斗广播星历精度为米级，由广播星历计算的卫星速度精度一般优于1 mm/s量级，因此航天器和北斗卫星运动时延的误差主要来源于航天器的位置($ {X}_{2}, {Y}_{2}, {Z}_{2} $)误差。设航天器在地心惯性坐标系$ XYZ $各方向上的坐标误差为$ (\mathrm{d}{X}_{2}, \mathrm{ }\mathrm{d}{Y}_{2}, \mathrm{ }\mathrm{d}{Z}_{2}) $，则对应的运动时延误差为：
$$ \mathrm{d}\left(\frac{1}{2}{\tau }^{m}\right)=\frac{1}{{c}^{2}}\left[\mathrm{d}{X}_{2}{V}_{1}^{X}+\mathrm{d}{Y}_{2}{V}_{1}^{Y}+\mathrm{d}{Z}_{2}{V}_{1}^{Z}\right] $$ (23) 假设需要保证运动时延误差小于0.01 ns，则必须使得：
$$ \frac{1}{{c}^{2}}\left[\mathrm{d}{X}_{2}{V}_{1}^{X}+\mathrm{d}{Y}_{2}{V}_{1}^{Y}+\mathrm{d}{Z}_{2}{V}_{1}^{Z}\right] <1\times {10}^{-11} $$ (24) 由点到平面的距离公式可得，当航天器位置误差满足下式时，运动时延误差小于0.01 ns：
$$ \sqrt[]{{\left(\mathrm{d}{X}_{2}\right)}^{2}+{\left(\mathrm{d}{Y}_{2}\right)}^{2}+{\left(\mathrm{d}{Z}_{2}\right)}^{2}} <\\ \frac{{c}^{2}\times {10}^{-11}}{\sqrt[]{{\left({V}_{1}^{X}\right)}^{2}+{\left({V}_{1}^{Y}\right)}^{2}+{\left({V}_{1}^{Z}\right)}^{2}}} $$ (25) 式中，$ \sqrt[]{{\left(\mathrm{d}{X}_{2}\right)}^{2}+{\left(\mathrm{d}{Y}_{2}\right)}^{2}+{\left(\mathrm{d}{Z}_{2}\right)}^{2}} $表示航天器位置误差；$ \sqrt[]{{\left({V}_{1}^{X}\right)}^{2}+{\left({V}_{1}^{Y}\right)}^{2}+{\left({V}_{1}^{Z}\right)}^{2}} $表示北斗MEO、IGSO/GEO卫星在惯性坐标系下的速度。
上面分别分析了北斗三号MEO卫星与航天器双向时间同步过程，以及在北斗三号IGSO/GEO卫星与航天器双向时间同步过程中对于航天器位置精度的要求。已知北斗三号MEO卫星轨道半长轴$ {A}_{0} $约为27 906 100 m，IGSO、GEO卫星轨道半长轴$ {A}_{0} $约为42 162 200 m，地心引力常数$ {u}_{E} $=3.986 004 418 ×1014 m3/s2，由此计算得到北斗MEO、IGSO/GEO卫星在惯性坐标系下的速度分别约为3 779 m/s和3 074 m/s。代入式(25)，忽略其他误差的影响，可以得到，当航天器位置误差小于230 m时，可以实现北斗三号MEO卫星与航天器的时间同步精度优于0.01 ns；当航天器位置误差小于290 m时，可以实现北斗三号IGSO/GEO卫星与航天器的时间同步精度优于0.01 ns。
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为了验证基于单点伪距归算的时间同步算法的效果，利用轨道理论模拟仿真双向伪距观测值，采用本文的改进算法对运动时延误差加以修正。仿真中，假定时间同步的一方为北斗三号M1卫星，另一方用户为某低轨空间站，根据空间站预设轨道信息及空间站与M1卫星的可视情况，仿真生成一段27 min的双向伪距观测值，双向伪距观测值的相互间隔时间为1.5 s。数据处理过程中北斗卫星采用广播星历，空间站假设只能提供误差为200 m的位置信息且没有速度信息。
根据单点伪距归算的原理，首先利用拉格朗日插值法对生成的伪距观测量进行处理，从而将双向伪距归算至同一时刻，然后利用单点运动时延修正算法进行钟差解算，解算的结果如图 4所示。从图 4可以看出，当空间站的位置误差为200 m时，通过单点伪距归算时延修正后的钟差拟合残差RMS=$ 2.96\times {10}^{-3} $ ns。而利用空间站真实位置解算的钟差如图 5所示，钟差拟合残差RMS=$ 3.24\times {10}^{-4} $ ns。因此，基于单点伪距归算的时延修正算法在航天器位置精度不高(误差200 m)的情况下与利用空间站真实位置解算的钟差精度尽管有一定的差距，但仍然可以达到比较高的时间同步结果，双向同步精度约为0.003 ns。
图 4 在空间站200 m位置误差情况下的时间同步精度
Figure 4. Time-Synchronization Accuracy Under the Case of Space-Station with 200 m Position Error
图 5 在空间站真实位置情况下的时间同步精度
Figure 5. Time-Synchronization Accuracy Under the Case of Space-Station with Real Position
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基于北斗三号组网卫星在轨试验期间的实测数据，提取北斗三号M7卫星与国家授时中心航天基地Ka地面站之间的星地测量数据，对本文提出的运动时延修正算法进行验证。选取2019年1月7日至8日的星地原始测量数据进行分析，时长为1 h，原始伪距观测量如图 6(a)所示，蓝色曲线表示M7卫星收到的上行伪距，红色曲线表示地面站收到的下行伪距，分别对上下行伪距进行多项式拟合，其拟合残差如图 6(b)所示，其中上行伪距拟合残差RMS为0.031 6 m，下行伪距拟合残差RMS为0.025 1 m。
图 6 北斗三号M7卫星与Ka地面站伪距观测量和伪距拟合残差
Figure 6. Pseudorange Observations and Fitted Residuals Between BeiDou-3 M7 Satellite and Ka Ground Station
进一步使用单点伪距归算方法解算钟差并分析其时间同步性能。首先通过拉格朗日插值法将测量数据的时标进行归算，将下行伪距进行多项式插值后得到的下行伪距值的发射时刻与对应上行伪距的接收时刻一致，组成一对基于卫星单点伪距的上下行测量值。然后利用单点伪距算法进行解算，此时无需考虑卫星运动速度，仅需精度不高的卫星位置信息(可由广播星历提供)以及地面站的位置及速度信息即可完成解算。其中地面站位置坐标已知，地面站速度采用地球自转速度。M7卫星与西安Ka地面站的时间同步解算结果如图 7(a)所示，分析其时间同步性能，其钟差拟合残差如图 7(b)所示，RMS约为0.07 ns。
图 7 北斗三号M7卫星与Ka地面站钟差计算结果和钟差拟合残差
Figure 7. Clock Offset Calculation Result and Fitted Residuals Between BeiDou-3 M7 Satellite and Ka Ground Station
上述试验结果表明，在两个用户双向时间同步过程中，当其中一方用户没有提供速度信息且没有精度较高的位置信息时，采用单点伪距归算的时间同步算法仍然可以达到时间同步精度在0.1 ns之内。
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本文提出了一种基于单点伪距归算的双向时间同步改进算法，将高速航天器的收发时刻归算至同一时刻，从而在解算路径时延误差的过程中不需要航天器的速度信息，并对其位置精度需求进行了分析。仿真结果表明，双向时间同步的一方用户即使其位置误差小于200 m且不具有速度等其他信息，暂不考虑动态时延误差之外的其他因素，通过单点伪距归算修正后的时间同步精度依然可以达到0.003 ns。利用北斗三号组网卫星与国家授时中心Ka地面站的星地实测数据对该算法进行进一步验证，其星地时间同步精度优于0.1 ns。本文算法不仅适用于只有一方用户具有完整星历时的时间同步，而且支持北斗卫星之间以及星地之间的Ka链路时间同步，可为空-天-地一体化高精度时间同步提供一定的技术基础。
An Improved Time Synchronization Algorithm on Inter-Satellite Link Based on Single-Point Pseudorange Epoch Conversion
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摘要: 北斗导航星间链路通过双向单程伪距测量，可以消除一部分信道误差，测量精度高，同时其Ka波段窄波束天线的灵活建链方式，使其在远距离高精度的时间同步以及其他空间航天器用户之间的时间同步方面具有很好的拓展应用价值。目前，导航星间链路时间同步方法主要依赖于卫星双方具备完整的星历信息，在具有较高运行速度且不能提供精确轨道信息的航天器等拓展用户的时间同步应用方面，导航星间链路常规算法受到一定的限制。提出了一种基于单点伪距归算的时间同步改进算法，给出了算法的基本原理和实现方式，分析了该算法对高速航天器位置精度的要求，通过仿真数据和实测试验数据分别对算法进行了验证，结果表明，基于单点伪距归算后的时间同步精度优于0.1 ns。该算法可拓展应用于低轨空间站以及深空探测器等高动态用户的时间传递。Abstract:
Objectives Inter-satellite link of BeiDou navigation constellation has better application value in remote time synchronization among space crafts because it can eliminate a part of channel error by dual-one way ranging method and it has a flexible link-building way. But current inter-satellite link system time synchronization method is highly depending on ephemeris parameters, and when one user has high orbital velocity and incomplete space position information, the conventional time synchronization algorithms are limited. Methods This study is carried out mainly aiming at the application requirements of expanding users in navigation constellation inter-satellite link technique, and an improved dynamic delay correction method based on single-point pseudorange epoch conversion is proposed. The method only needs to synchronize the movement speed of one of the two sides and the position of both sides to correct the motion delay error. The advantage of this method is that the two-way time synchronization accuracy is not affected by one user's speed error with poor speed accuracy. In this paper, the basic theory and implementation method of the algorithm is given, and requirements to positional accuracy of spacecraft are analyzed. The algorithm is verified by simulation and test data. Results From the simulation and test data analysis, this work could be classified some major clusters apparently: (1) By analyzing the requirement to the position accuracy of spacecraft in the course of time synchronization, the time synchronization accuracy between BeiDou-3 MEO (medium earth orbit) and spacecraft can arrive to 0.01 ns when the position error of spacecraft is less than 230 m, and the time synchronization accuracy between BeiDou-3 IGSO/GEO (inclined geosynchronous orbit/geostationary orbit) and spacecraft can arrive to 0.01 ns when the position error of spacecraft is less than 290 m. (2) By using single-point pseudorange epoch conversion method, the time synchronization accuracy between Beidou-3 M1 and spacecraft can arrive to 0.003 ns when the position error of spacecraft is 200 m and it has no velocity message. (3) By analyzing the inter-satellite link measuring data between BeiDou-3 M7 and Xi'an Ka ground station, the time synchronization accuracy between the satellite-ground is about 0.07 ns. Conclusions This algorithm based on single-point pseudorange epoch conversion can solve the time synchronization with incomplete ephemeris parameters, and its time synchronization accuracy is better than 0.1 ns. This method also adapts to the precise time transferring among the low-orbit spaces and deep-space detectors. -
Key words:
- time synchronization /
- inter-satellite link /
- relative movement /
- epoch conversion /
- delay correction
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图 2 时间同步运动时延误差补偿示意图
Figure 2. Diagram of Dynamic Time-Synchronization Delay Correction
图 3 基于单点伪距的时间同步运动时延修正示意图
Figure 3. Diagram of Dynamic Time-Synchronization Delay Correction Based on Single-Point Pseudorange
图 4 在空间站200 m位置误差情况下的时间同步精度
Figure 4. Time-Synchronization Accuracy Under the Case of Space-Station with 200 m Position Error
图 5 在空间站真实位置情况下的时间同步精度
Figure 5. Time-Synchronization Accuracy Under the Case of Space-Station with Real Position
图 6 北斗三号M7卫星与Ka地面站伪距观测量和伪距拟合残差
Figure 6. Pseudorange Observations and Fitted Residuals Between BeiDou-3 M7 Satellite and Ka Ground Station
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