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三维激光扫描技术借助其主动、快速获取高分辨率、高精度三维空间信息的优势，成为地面获取空间信息的重要途径之一，广泛应用于城市三维建模[1-3]、变形监测[4-6]、古建筑测量与文物保护[7-9]等领域。然而，源于地理实体的空间复杂度普遍较高，LiDAR传感器的视觉面较窄等原因，基于LiDAR技术的数据采集通常首先需要沿着多个视角进行，然后基于相应的配准算法实现对地理实体的全面表达[10]。
根据特征搜索空间的不同，可以分为全局配准和局部配准[11]。全局配准通常基于可以唯一匹配的局部几何特征，而不假设初始位置，这些特征可以是预先布置的标靶，扫描场景中的角点、线段或平面。配准效率较高，但如果几何条件不充分，特征分布不均匀，会降低配准结果的可靠性。局部配准是在已知两点集位置估计的情况下，利用原始点云优化变换矩阵获得较高的匹配精度[12-13]，其中，最经典的局部配准方法是迭代最近点（iterative closest point，ICP）算法[14]，该算法步骤简单、精度高且具有较好的鲁棒性。但它对点云间的初始位置要求较高，当初值误差较大时，易产生局部最优，且由于ICP算法直接利用两组点云中距离最近的采样点建立对应关系，对点云的重叠度要求较高，搜索耗时较长，使其在数据量较大时，不能满足应用需求。
国内外学者对ICP算法进行了大量的研究。Chen等[15]将对应点的选取方式由点到点的欧氏距离改为点到切平面的欧氏距离，提高了配准的精度，但效率依然不高。Lu等[16]提出了迭代双对应（iterative dual correspondence，IDC）算法，即融合最近点和匹配距离点对应规则，当初始位置较远时，IDC比ICP有更好的收敛性，但当初始位置较近时，其精度低于ICP算法。Li等[17]在ICP基础上提出了迭代最近线段和最近面片算法，先直接对两个数据集中的点进行连线或三角化处理，然后根据一定准则找到两个点集中对应的线段或三角面片，建立目标方程，求解旋转矩阵。但该算法用于寻找对应关系准则的稳定性有待验证。Akca[18]将对应点集的搜索范围控制在预先划分好的立方体网格中，不仅考虑点云曲率变化，且将强度、颜色、纹理等信息作为点云配准的标准。戴静兰等[19]通过寻找点云的主方向得到良好的初始位置，并根据点云的曲率特征寻找对应特征点，提高了算法运行的效率，但对于曲率特征不明显的物体，配准结果较差。杨小青等[20]采用盒子模型划分点云数据，根据三角形相似原理，利用两块点云之间每个单元盒所提取的特征点构建三角形并作为初始点对，有效提高了配准精度和效率。杨玲等[21]将普氏分析法与ICP算法结合，提出了PICP（Procrustes ICP）算法，在获得点云初始位置的情况下，采用普氏分析法求解转换参数，针对不同的点集均获得较好的鲁棒性，但是配准过程耗时。
考虑到大部分配准算法都是在假设配准参数初始值已知且较好的前提下，算法才能收敛，而当初始值不当时，算法不能得到正确的结果，因此如何较好地确定配准初值是一个关键。本文提出基于法线特征约束的粗配准方法，获得两组点云的初始位置，并在此基础上通过设定法向量阈值剔除错误对应点对，实现点云数据的精确配准。
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传统ICP算法是根据一定准则查询两组点云的对应点，然后通过最小二乘方法迭代计算最优的坐标变换矩阵，得到使目标函数最小的旋转矩阵R和平移向量T。
1）假定扫描目标表面的两站点云分别为P和Q，并且有足够的重叠区域Ω，重叠区域Ω的任意一点在P和Q的位置分别为pi、qi，设初始变换参数为R 0、T0。
2）根据初始变换参数R 0、T0，计算点云P的对应点p i'：
$$ p_i^{\rm{\prime}} = {\mathit{\boldsymbol{R}}_0}{p_i} + {\mathit{\boldsymbol{T}}_0} $$ (1) 3）在点云Q中查找与之对应的点qi，对所有最近点对(pi，qi)采用最小均方根方法计算转换参数R和T，并使目标函数最小，即：
$$ f\left( {\mathit{\boldsymbol{R}}, \mathit{\boldsymbol{T}}} \right) = \frac{1}{n}\mathop \sum \limits_{i = 1}^n {\left\| {{q_i} - \left( {\mathit{\boldsymbol{R}}{p_i} + \mathit{\boldsymbol{T}}} \right)} \right\|^2} $$ (2) 4）计算相邻两次迭代点集的距离差d：
$$ d = \left| {{d_{k + 1}} - {d_k}} \right| $$ (3) 式中，k表示迭代次数。如果小于指定阈值或达到规定的迭代次数，结束迭代，否则重复步骤2）和3）。
5）计算最终的R和T，将点云P转换到点云Q所在的坐标系下。
当两组点云的重叠度较高时，传统ICP算法通过寻找最近点并设置目标函数可以实现较好的配准。但在数据采集过程中，设站随机性较大，点云初始位置相差较大，传统ICP算法易陷入局部最优。
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本文引入带有法线信息的快速点特征直方图[22]，并根据采样一致性方法匹配具有相同或相似FPFH（fast point feature histograms）特征的采样点，从而求解对应点对的坐标转换参数，完成粗配准。
1）定义P和Q为两组待配准的点云数据，设P为目标点云，Q为参考点云。首先根据局部表面拟合法计算两组点云的法线，并分别计算其FPFH特征；
2）采用采样一致性算法获取两组点云的对应点对。首先在点云P中随机选择n个采样点，并设定距离阈值dmin和dmax，使得采样点匹配的距离位于dmin和dmax之间；然后在点云Q中寻找与采样点FPFH特征相似的点，并从这些对应点中随机选取一个点，确定两组点云对应点的集合；最后根据对应点关系求解两组点云的转换参数R0、T0，得到转换后的点云P'；
3）在点云P'和Q中通过KD-Tree查找最近点对(pi'，qi)，根据设定的两组点云中对应点对的法向量阈值δ，去除错误对应点；
4）根据两组点云的对应点对计算转换参数R和T，并使误差函数最小，得到变换后的点云P "、Q'；
5）重复步骤3）、4），直至满足下列条件之一：①相邻两次迭代点云的距离差小于指定阈值d；②迭代次数大于设定的阈值n。算法流程图如图 1所示。
图 1 算法流程图
Figure 1. Flowchart of Our Proposed Algorithm
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点云法线是点云数据的重要几何特征，而点云数据为一组离散的点集合，估计每个采样点的法线需要结合采样点的邻域点，通常采用局部表面拟合法估计点云法线[23]。
对于点云集合P中的任意一点pi，其法线可由点pi及其邻域点进行最小二乘平面拟合得到，公式如下：
$$ S\left( {\mathit{\boldsymbol{n}}, d} \right) = {\rm{arg}}{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\rm{mi}}{{\rm{n}}_{\mathit{\boldsymbol{n}}, d}}\mathop \sum \limits_{i = 1}^r {(n, {p_i} - d)^2} $$ (4) 式中，n表示平面S的法向量；r表示邻域点的个数；d表示平面S到坐标原点的距离。
平面S的法向量${\left\| \mathit{\boldsymbol{n}} \right\|_2} = 1$需满足，构造采样点pi及邻域点所对应的协方差矩阵M，公式如下：
$$ \mathit{\boldsymbol{M}} = \frac{1}{{k - 1}}\mathop \sum \limits_{j = 1}^k \left( {{p_i} - \bar p} \right){({p_i} - \bar p)^{\rm{T}}} $$ (5) 式中，p为采样点pi的邻域点的质心，其计算公式
如下：
$$ \bar p = \frac{1}{k}\mathop \sum \limits_{i = 1}^k {p_i} $$ (6) 对于协方差矩阵M，通过求解其最小特征值对应的特征向量即可得到采样点pi的法线信息。
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在扫描场景中，会有很多采样点具有相同或相似的法线特征，不能简单地以采样点的法线特征作为度量标准进行特征点匹配。本文引入FP‐ FH特征，该特征对采样点及邻域点法线之间的相互关系进行参数化，并对参数化结果进行统计分析，以便更好地描述采样点及邻域点的几何属性。
图 2展示了以p为采样点的FPFH特征估计的邻域点影响范围，其中pki（i=1，2…5）表示以点p中心、半径为r的邻域点，采样点与邻域点相互关联（图中以红色粗线表示），具体描述如下。
图 2 以p为中心FPFH特征估计的邻域点影响范围
Figure 2. Range of Neighborhood Points Estimated by the p-Centered FPFH Feature
1）由于点云的FPFH特征是基于点云法线信息的，而且采样点p与k邻域点的法线方向及位置存在偏差，因此，首先以点pi为坐标原点，并根据式（7）建立统一的uvw坐标系，如图 3所示。
图 3 统一的坐标系统
Figure 3. Unified Coordinate System
$$ \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {u = {n_i}}\\ {v = u \times \frac{{\left( {{p_j} - {p_i}} \right)}}{{{{\left\| {{p_j} - {p_i}} \right\|}_2}}}}\\ {w = u \times v} \end{array}} \right. $$ (7) 2）根据图 3建立的统一坐标系，定义参数(α，φ，θ，d)来表示pi和pj 的法线偏差，其中，α、φ、θ表示两条法线之间的角度偏差，d表示它们之间的距离偏差。计算公式如下：
$$ \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\alpha = v \cdot {n_j}}\\ {\varphi = u \cdot \frac{{{p_j} - {p_i}}}{d}}\\ {\theta = {\rm{arctan}}\left( {w \cdot {n_j}, u \cdot {n_j}} \right)}\\ {d = {{\left\| {{p_j} - {p_i}} \right\|}_2}} \end{array}} \right. $$ (8) 3）根据步骤2）计算每个采样点与其邻域点法线之间的偏差参数，并将其记为FPFH'。
4）对每个采样点最终的FPFH特征引入欧氏距离权重，则对于采样点p，其FPFH特征可以表示为：
$$ {\rm{FPFH}}\left( p \right) = {\rm{FPFH'}}\left( p \right) + \frac{1}{k}\frac{1}{{{m_k}}} \cdot {\rm{FPFH'}}\left( {{p_k}} \right){\rm{}} $$ (9) 式中，m k表示采样点p到邻域点pk的欧氏距离。
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为验证本文算法对噪声大小的敏感性，选取Stanford大学的bunny000点云模型作为目标点云，以绕z轴旋转30°的目标点云作为源点云。考虑到地面LiDAR点云的精度，为两组点云添加均值为0、标准差为2 mm的高斯噪声，初始位置如图 4所示。
图 4 初始位置
Figure 4. Initial Position
针对添加噪声后的三维点云，由本文算法估计点云转换矩阵M，得到变换参数：
$$ \mathit{\boldsymbol{R}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{\rm{}}0.871{\kern 1pt} {\kern 1pt} 0}&{0.491{\kern 1pt} {\kern 1pt} 2}&{ - 0.121{\kern 1pt} {\kern 1pt} 0}\\ { - 0.491{\kern 1pt} {\kern 1pt} 2}&{0.871{\kern 1pt} {\kern 1pt} 1}&{{\rm{}}0.005{\kern 1pt} {\kern 1pt} 6}\\ {{\rm{}}0.013{\kern 1pt} {\kern 1pt} 3}&{0.001{\kern 1pt} {\kern 1pt} 1}&{{\rm{}}0.999{\kern 1pt} {\kern 1pt} 9} \end{array}} \right] $$ $$ \mathit{\boldsymbol{T}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} { - 0.173{\kern 1pt} {\kern 1pt} 7}\\ {{\rm{}}0.098{\rm{}}{\kern 1pt} 4}\\ { - 0.003{\rm{}}{\kern 1pt} 1} \end{array}} \right] $$ 将源点云通过M -1映射到目标点云所在的坐标系中，然后观察配准后两组点云的重合情况，如图 5所示。可以看出源点云进行变换后，两组点云基本保持重合，验证了本文算法对噪声点的鲁棒性。
图 5 配准结果
Figure 5. Registration Result
为验证本文算法对两组点云初始位置的敏感性，以bunny000点云模型为目标点云，以经旋转、平移转换后的目标点云为源点云。实验采用控制单一变量的方法，当进行平移敏感度测试时，设置初始旋转误差为0，分析经本文算法配准后两组点云的旋转误差、平移误差和算法运行时间与初始平移位置的关系；类似地，当对旋转参数测试时，设置初始平移误差为0，分析配准后两组点云的旋转误差、平移误差和算法运行时间与初始旋转位置的关系。为保证实验结果的可靠性，在点云平移和旋转误差大小相同、方向随机的前提下，运行100次，其结果如图 6所示。盒须图内的矩形上限表示纵坐标的第25百分位数，下限表示第75百分位数，矩形内实线表示中位数，触须线是中间的纵向直线，其上下限分别表示纵坐标的最大值和最小值，圆形实心点表示异常值，即数值超过了第75百分位点与第25百分位点上的变量差值的1.5倍。
图 6 不同初始位置的配准结果
Figure 6. Registration Results for Different Initial Positions
从图 6（a）可以看出，当初始旋转角度从0~π变化时，配准结果的旋转误差在0.000 5 rad处波动；观察图 6（b）~6（c），配准结果的平移误差和算法的运行时间随着初始旋转角度的变化均呈现增大趋势，但平移误差均在0~4 mm之间，运行时间均在100~140 s范围内。可以说明，在点云完全重叠的情况下，本文算法对两组点云数据间的初始旋转角度敏感度较低。
由图 6（d）~6（f）可以看出，随着初始平移距离从0~5 m变化，配准结果的旋转误差、平移误差分别在0.001~ 0.002 rad和0~0.1 mm范围内波动，而算法运行时间有明显的上升趋势，但均在100~120 s范围内，且其异常值数量较少，能够满足精度要求。由此可见，在点云完全重叠的情况下，本文算法对两组点云数据的初始平移距离依赖较小。
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由于仿真实验中源点云是由目标点云经过旋转平移得到的，两组点云数据完全重叠，而实际扫描并非如此，因此，本文以bunny、dragon点云模型为例，验证改进算法对非完全重叠点云配准的可行性。图 7、图 8分别给出了配准前后目标点云和源点云的相对位置。
图 7 bunny点云配准结果
Figure 7. Registration Results of bunny Point Cloud
图 8 dragon点云配准结果
Figure 8. Registration Results of dragon Point Cloud
在初始位置相差不大，且存在重叠的两组点云数据中，本文算法、传统ICP算法均能够实现配准，但是由图 7（b）和图 8（b）的绿色椭圆区域可以看出，传统ICP算法的配准结果较差，两组点云数据不能完全重合。由图 7（c）和图 8（c）可以看出，本文提出的粗配准方法能够为点云数据提供较好的初始位置，且经过粗配准后的点云数据配准结果更好。
为定量评价算法配准精度，定义均方根误差（root mean square error，RMSE）表征同名特征之间的差异，计算公式如下：
$$ {R_e} = \sqrt {\frac{1}{N}\cdot\mathop \sum \nolimits^ {{\left\| {{p_i} - {q_i}} \right\|}^2}} $$ (10) 式中，N为欧氏变换后两块待配准点云重叠部分点数目；pi、qi分别为欧氏变换后重叠区域的点。根据式（10）分别计算3种配准算法的误差，结果如表 1所示。
表 1 3种配准算法的结果比较
Table 1. Results Comparison of Three Registration Algorithms
实验数据 点云数量 ICP 粗配准+ICP 粗配准+改进ICP 第1组 第2组 误差/mm 时间/s 误差/mm 时间/s 误差/mm 时间/s bunny 40 256 40 097 0.02 36 0.014 46 0.009 30 dragon 41 841 22 092 0.04 33 0.005 36 0.003 19 由表 1可以看出，改进ICP算法的效率和精度均高于传统ICP算法，主要是因为传统的ICP算法大多数时间都耗费在对应点查询上，而改进的ICP算法采用KD-Tree搜索，减少了对应点查询时间；并且在排除错误点对时加入法向量阈值条件，提高了算法配准精度。
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选取某雕塑为扫描对象，共布设4个测站，扫描场景如图 9所示。利用本文算法对第1测站和第2测站数据进行配准，并与四点快速鲁棒匹配（4-points congruent sets，4pcs）和Super4pcs算法配准结果进行对比，以RMSE为评价指标进行评估，如图 10所示。
图 9 扫描场景
Figure 9. Scanning Scene
图 10 雕塑点云配准结果
Figure 10. Registration Results of Sculpture Point Cloud
由于点云数据重叠度较低，利用粗配准算法4pcs和Super4pcs不能给ICP算法提供良好的初始转换矩阵，导致ICP算法配准结果出现局部最优，难以收敛至正确位置。而本文算法对初始位置敏感性较低，可以将两站点云数据进行精确配准。根据式（10），计算配准后点云数据对应特征的均方根误差如表 2所示。
表 2 配准误差比较
Table 2. Comparison of Registration Errors
实验数据 点云数量 配准方法 4pcs Super4pcs 4pcs + ICP Super4 pcs+ICP 本文算法 测站1 393 706 0.478 m 0.465 m 7 mm 8 mm 4 mm 测站2 516 131 表 2为雕塑第1测站点和第2测站点云数据采用3种配准算法配准精度的比较，可以看出，利用4pcs算法和Super4pcs算法提供的点云初始位置估计误差在0.5 m左右，不能满足重叠度较少的点云进行ICP精配准的精度要求，导致其出现局部最优。而本文算法充分考虑点云数据的局部特征，为点云精配准提供良好的初始位置，并在ICP配准中时加入法向量阈值条件，提高了算法的配准精度。利用本文算法对扫描数据进行两两配准，得到完整的雕塑点云数据，如图 11所示。
图 11 配准结果
Figure 11. Registration Result
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针对传统ICP算法的初始位置求解问题，本文通过计算点云数据的法线信息，选取相同或相似FPFH特征的对应点对，对点云进行初始配准；针对传统ICP算法搜索效率较低的问题，提出在搜索对应点时使用KD-Tree进行查询，并设定法向量阈值去除错误对应点，提高了点云数据配准精度。为验证本文算法的精度，利用该算法分别进行了仿真数据实验和实际数据实验，结果表明，本文方法充分利用了待配准点云的法向量特征，提高了配准的精度和效率。
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摘要: 作为点云数据处理的关键步骤，配准结果直接影响到后续数据处理的精度。针对传统迭代最近点（iterative closest point，ICP）算法依赖较好初始位置的局限性，提出基于法线特征约束的点云精确配准方法。首先采用局部表面拟合方法进行法线估计，并计算其快速点特征直方图，然后通过采样一致性方法对两组点云进行粗配准，最后通过建立KD‐Tree加快对应点的搜索效率，并设定阈值去除错误对应点对，实现精确配准。结果表明，基于法线特征约束的粗配准算法可以为待配准点云提供较好的初始位置，并且改进的ICP算法有效地提高了点云配准的精度和效率。Abstract: As one of the core steps in point cloud data processing, the registration result affects on the accuracy of subsequent data processing directly. In view of the limitation of the traditional iterative closest point (ICP) algorithm relying on a better initial position, the accurate registration algorithm based on normal features is studied. Firstly, the local surface fitting method is used to estimate the normal vector of point cloud, and to calculate the fast point feature histograms. Secondly, the sampling consistency algorithm is used to perform the coarse registration of point cloud. Finally, the KD-Tree is built to speed up the search efficiency of the corresponding points, and the normal vector threshold is set to remove corresponding error points. Results show that the coarse registration algorithm based on the normal features can provide a better initial position, and the improved ICP algorithm improves the efficiency and accuracy of registration.
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Key words:
- point cloud /
- normal vector /
- feature constraint /
- ICP /
- FPFH /
- registration
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图 2 以p为中心FPFH特征估计的邻域点影响范围
Figure 2. Range of Neighborhood Points Estimated by the p-Centered FPFH Feature
表 1 3种配准算法的结果比较
Table 1. Results Comparison of Three Registration Algorithms
实验数据 点云数量 ICP 粗配准+ICP 粗配准+改进ICP 第1组 第2组 误差/mm 时间/s 误差/mm 时间/s 误差/mm 时间/s bunny 40 256 40 097 0.02 36 0.014 46 0.009 30 dragon 41 841 22 092 0.04 33 0.005 36 0.003 19 
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表 2 配准误差比较
Table 2. Comparison of Registration Errors
实验数据 点云数量 配准方法 4pcs Super4pcs 4pcs + ICP Super4 pcs+ICP 本文算法 测站1 393 706 0.478 m 0.465 m 7 mm 8 mm 4 mm 测站2 516 131
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