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TSVD正则化解法的单位权方差无偏估计

 引用本文: 嵇昆浦, 沈云中. TSVD正则化解法的单位权方差无偏估计[J]. 武汉大学学报 ( 信息科学版), 2020, 45(4): 626-632.
JI Kunpu, SHEN Yunzhong. Unbiased Estimation of Unit Weight Variance by TSVD Regularization[J]. Geomatics and Information Science of Wuhan University, 2020, 45(4): 626-632. doi: 10.13203/j.whugis20180270
 Citation: JI Kunpu, SHEN Yunzhong. Unbiased Estimation of Unit Weight Variance by TSVD Regularization[J]. Geomatics and Information Science of Wuhan University, 2020, 45(4): 626-632.

• 中图分类号: P207

## Unbiased Estimation of Unit Weight Variance by TSVD Regularization

Funds:

The National Natural Science Foundation of China 41731069

###### Corresponding author:SHEN Yunzhong, PhD, professor.yzshen@tongji.edu.cn
• 摘要: 截断奇异值（truncated singular value decomposition，TSVD）法通过截掉病态观测方程系数矩阵的小奇异值来改善模型的病态性，提高参数估值的稳定性和精度。然而，截除小奇异值后，改变了观测方程的结构，不仅参数估值有偏，残差估值也是有偏的；因此，其单位权方差不能用传统的估计公式计算。针对此，导出了TSVD正则化解的单位权方差无偏公式，并以第一类Fredholm积分方程和病态测边网为算例验证了公式的正确性。
• 图  1  L曲线法确定截断参数的示意图（数值算例）

Figure  1.  Illustration of Determining the Truncation Parameter by Using L-curve Method(Numerical Example)

图  2  最小二乘解结果

Figure  2.  Result of Least Squares Solution

图  3  TSVD正则化解结果与真值

Figure  3.  Result of TSVD Regularization and Actual Values

图  4  3种算法算得的1 000个单位权方差对比（数值算例）

Figure  4.  Comparison of 1 000 Unit Weight Variance Estimated by Three Algorithms(Numerical Example)

图  5  空间测边网的点位平面分布图

Figure  5.  Point Position Distribution Map of the Space Net in XY Plane

图  6  用L曲线法确定截断参数的示意图(病态测边网算例)

Figure  6.  Illustration of Determining the Truncation Parameter by Using L-curve Method(Example of Ill-Posed Trilateration Network)

图  7  种算法算得的1 000个单位权方差对比(病态测边网算例)

Figure  7.  Comparison of 1 000 Unit Weight Variance Estimated by Three Algorithms(Example of Ill-Posed Trilateration Network)

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##### 计量
• 文章访问数:  1269
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• 被引次数: 0
##### 出版历程
• 收稿日期:  2019-01-13
• 刊出日期:  2020-04-05

## TSVD正则化解法的单位权方差无偏估计

##### doi: 10.13203/j.whugis20180270
###### 1. 同济大学测绘与地理信息学院, 上海, 200092
基金项目:

国家自然科学基金 41731069

• 中图分类号: P207

### English Abstract

 引用本文: 嵇昆浦, 沈云中. TSVD正则化解法的单位权方差无偏估计[J]. 武汉大学学报 ( 信息科学版), 2020, 45(4): 626-632.
JI Kunpu, SHEN Yunzhong. Unbiased Estimation of Unit Weight Variance by TSVD Regularization[J]. Geomatics and Information Science of Wuhan University, 2020, 45(4): 626-632. doi: 10.13203/j.whugis20180270
 Citation: JI Kunpu, SHEN Yunzhong. Unbiased Estimation of Unit Weight Variance by TSVD Regularization[J]. Geomatics and Information Science of Wuhan University, 2020, 45(4): 626-632.
• 病态观测方程广泛存在于大地测量解算模型中，如卫星定位[1-2]、大地测量反演[3-4]、重力场向下延拓[5-7]等。观测方程的病态性使最小二乘解对观测误差极为敏感，导致其参数估值极不稳定。为了求得稳定的参数估值，需要根据病态观测方程的特点，构建正则化解。常用的正则化方法有Tikhonov正则化、岭估计和截断奇异值（truncated singular value decomposition，TSVD）法。Tikhonov正则化方法通过构造稳定泛函准则并引入正则化参数来求解稳定的参数估值[8-9]；岭估计由Hoerl和Kennard[10]于1970年提出，它是Tikhonov正则化方法的特例；TSVD法是基于奇异值分解的一种病态观测方程的解算方法，通过截掉系数矩阵的小奇异值避免放大高频观测误差对参数估值的影响, 仅利用大的奇异值及相应的特征向量构建参数估值[11-12]。由于TSVD法只需要确定截断的奇异值数k, 因此广泛应用于病态观测方程的解算。

然而，TSVD法截掉了系数矩阵的小奇异值，尽管改善了观测方程的病态性，但改变了观测方程系数矩阵的结构，导致TSVD正则化解的参数估值和残差均是有偏的，若还用传统单位权方差估计公式计算单位权方差，其结果必定也是有偏的。目前，关于TSVD法的研究主要集中于分析参数估值的有偏性和解算更好的参数估值[13-15], 应用其有偏的残差估值计算无偏单位权方差则未见相关的研究文献。文献[16-17]根据有偏残差的二次型期望公式分别导出了病态方程Tikhonov正则化解的无偏单位权方差估计式和半参数模型补偿最小二乘解的无偏单位权方差估计式。本文根据类似的思路，利用TSVD法的有偏残差导出了其正则化解无偏单位权方差估计式，并以第一类Fredholm积分方程和病态测边网为算例验证公式的正确性。

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