## 留言板

 引用本文: 孙振, 曲国庆, 苏晓庆, 杜存鹏, 邓晓景. 测距定位方程参数估计的Frozen-Barycentre算法[J]. 武汉大学学报 ● 信息科学版, 2020, 45(9): 1478-1484.
SUN Zhen, QU Guoqing, SU Xiaoqing, DU Cunpeng, DENG Xiaojing. Frozen-Barycentre Algorithm for Solving Distance Equations[J]. Geomatics and Information Science of Wuhan University, 2020, 45(9): 1478-1484. doi: 10.13203/j.whugis20180129
 Citation: SUN Zhen, QU Guoqing, SU Xiaoqing, DU Cunpeng, DENG Xiaojing. Frozen-Barycentre Algorithm for Solving Distance Equations[J]. Geomatics and Information Science of Wuhan University, 2020, 45(9): 1478-1484.

• 中图分类号: P207

## Frozen-Barycentre Algorithm for Solving Distance Equations

Funds:

The National High-tech R & D Program of China 2016YDB051700

the National Natural Science Foundation of China 41674014

the National Natural Science Foundation of China 41704003

the Natural Science Foundation of Shandong Province BS2014HZ016

###### Corresponding author:QU Guoqing, PhD, professor. E-mail: qgq@sdut.edu.cn
• 摘要: 针对传统病态非线性最小二乘求解不稳定且可靠性低的特点, 基于测距定位方程最小二乘解性质, 提出了一种Frozen-Barycentre迭代法。该方法将萨玛斯基应用于重心迭代法, 实现了内迭代和外迭代的转换, 通过减少导数计算量节省运算时间, 提高重心迭代法的收敛效率。并采用模拟数据和水下定位实测数据, 验证了该方法的数值收敛解优于线性化平差估计解, 收敛效率优于重心迭代法。
• 图  1  高斯—牛顿法的点位迭代序列

Figure  1.  The Sequence of Gauss-Newton Method

图  2  Barycentre和Frozen-Barycentre法的点位迭代序列

Figure  2.  The Sequences of Barycentre and Frozen-Barycentre Methods

图  3  测量船围绕应答器实测航线

Figure  3.  The Ship's Measured Route Around the Transponder

图  4  15个相邻数据的已知点坐标

Figure  4.  Known Point Coordinates for 15 Adjacent Data

图  5  Barycentre和Frozen-Barycentre法的点位迭代序列

Figure  5.  The Sequences of Barycentre and Frozen-Barycentre Methods

•  [1] 王新洲.非线性模型线性近似的容许曲率[J].武汉大学学报·信息科学版, 1997, 22(2):119-121 http://ch.whu.edu.cn/article/id/4176 Wang Xinzhou.Linear Approximation of Non-linear Models Allow Curvature[J].Geomatics and Information Science of Wuhan University, 1997, 22(2):119-121 http://ch.whu.edu.cn/article/id/4176 [2] 王志忠, 阳可奇.非线性模型的线性近似条件研究[J].中南大学学报(自然科学版), 1999(3):230-233 http://www.wanfangdata.com.cn/details/detail.do?_type=perio&id=QK199901143619 Wang Zhizhong, Yang Keqi. Study on Non-linear Model of Linear Approximation[J]. Journal of Central South University:Science and Technology, 1999(3):230-233 http://www.wanfangdata.com.cn/details/detail.do?_type=perio&id=QK199901143619 [3] Mao X, Wada M, Hashimoto H. Nonlinear Iterative Algorithm for GPS Positioning with Bias Model[C].The International IEEE Conference on Intelligent Transportation Systems, Washington, USA, 2004 [4] Sirola N. Closed-Form Algorithms in Mobile Positioning: Myths and Misconceptions[C]. 7th Workshop on IEEE Positioning Navigation and Communication, Dresden, Germany, 2010 [5] Gerritsma D I M I. Development and Analysis of Least-Squares Spectral Element Methods for Non-linear Hyperbolic Problems[J]. American Journal of Psychology, 1995, 108, DOI: 10.2307/1423127 [6] Grafarend E, Schaffrin B. The Geometry of Nonlinear Adjustment—The Planar Trisection Problem[J].Department of Geodesy, 1989:149-172 [7] Takahama T, Sakai S, Iwane N. Constrained Optimization by the ε, Constrained Hybrid Algorithm of Particle Swarm Optimization and Genetic Algorithm[M]// AI 2005: Advances in Artificial Intelligence. Berlin, Heidelberg :Springer, 2005:389-400 [8] Teunissen P. Applications of Linear and Nonlinear Models: Fixed Effects, Random Effects, and Total Least Squares[J]. Surveyor, 2012, 58(2):339-340 [9] Kaltenbacher B, Hofmann B. Convergence Rates for the Iteratively Regularized Gauss-Newton Method in Banach Spaces[J]. Inverse Problems, 2010, 26(3):35 007-35 021 [10] Noftsger S, St-Pierre N R. Closed-form Algorithms in Mobile Positioning: Myths and Misconceptions[C]. IEEE Positioning Navigation and Communication, Dresden, Germany, 2010 [11] 薛树强, 杨元喜, 党亚民.测距定位方程非线性平差的封闭牛顿迭代公式[J].测绘学报, 2014, 43(8):771-777 Xue Shuqiang, Yang Yuanxi, Dang Yamin. A Closed-form of Newton Iterative Formula for Nonlinear Adjustment of Distance Equations[J]. Acta Geodaetica et Cartographica Sinica, 2014, 43(8):771-777 [12] Xue S, Dang Y, Liu J, et al. Bias Estimation and Correction for Triangle-Based Surface Area Calculations[J]. International Journal of Geographical Information Science, 2016, 30(11):2 155-2 170 [13] Xue Shuqiang, Yang Yuanxi, Dang Yamin. Barycentre Method for Solving Distance Equations[J]. Survey Review, 2016, 48(348):188-194 [14] Xue S Q, Yang Y X. Gaussâ-Jacobi Combinatorial Adjustment and Its Modification[J]. Empire Survey Review, 2014, 46(337):298-304 [15] Amat S, Argyros I, Busquier S, et al. On Two High Order Families of Frozen Newton Type Methods[J]. Numerical Linear Algebra with Applications, 2017(107):e2126 http://www.wanfangdata.com.cn/details/detail.do?_type=perio&id=10.1002/nla.2126 [16] Xu J, Han B, Li L. Frozen Landweber Iteration for Nonlinear Ill-Posed Problems[J]. Acta Mathematicae Applicatae Sinica, 2007, 23(2):329-336

##### 计量
• 文章访问数:  39
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• 被引次数: 0
##### 出版历程
• 收稿日期:  2019-08-18
• 刊出日期:  2020-09-05

## 测距定位方程参数估计的Frozen-Barycentre算法

##### doi: 10.13203/j.whugis20180129
###### 1. 山东理工大学建筑工程学院, 山东 淄博, 255049
基金项目:

国家高技术研究发展计划 2016YDB051700

国家自然科学基金 41674014

国家自然科学基金 41704003

山东省自然科学基金 BS2014HZ016

• 中图分类号: P207

### English Abstract

 引用本文: 孙振, 曲国庆, 苏晓庆, 杜存鹏, 邓晓景. 测距定位方程参数估计的Frozen-Barycentre算法[J]. 武汉大学学报 ● 信息科学版, 2020, 45(9): 1478-1484.
SUN Zhen, QU Guoqing, SU Xiaoqing, DU Cunpeng, DENG Xiaojing. Frozen-Barycentre Algorithm for Solving Distance Equations[J]. Geomatics and Information Science of Wuhan University, 2020, 45(9): 1478-1484. doi: 10.13203/j.whugis20180129
 Citation: SUN Zhen, QU Guoqing, SU Xiaoqing, DU Cunpeng, DENG Xiaojing. Frozen-Barycentre Algorithm for Solving Distance Equations[J]. Geomatics and Information Science of Wuhan University, 2020, 45(9): 1478-1484.
• 由位置信息构成的距离观测方程为非线性方程, 多采用迭代方法进行计算, 这就要求数值算法能够快速、稳定收敛到预期解。研究表明, 非线性扰动主要来源于线性近似时系数矩阵的扰动、附加的截断误差及正交过程, 初始值的选取和近似正交都可能导致线性近似引起的系数矩阵扰动和截断误差增大超出容许范围[1-2]。特别是在非线性模型病态时, 迭代计算不稳定会导致平差结果失真。根据问题的病态和秩亏程度选择合适的平差模型显得尤为重要。为解决非线性最小二乘不适定问题, 有关学者提出了一系列数值迭代方法, 如阻尼最小二乘法、非线性最小二乘同伦法和正则化牛顿法等, 目的是加速非线性最小二乘迭代速度、避免迭代矩阵求逆或者改善迭代计算稳定性[3-5]

大地测量与卫星导航定位中, 需要求解距离观测方程以获得位置参数, 该方程为超定非线性方程, 需采用非线性最小二乘方法进行参数估计[6-7]。虽然牛顿法能够处理非线性最小二乘问题, 但由于其储存成本等因素, 高斯牛顿迭代法[8-9]一般更为常用。若距离观测方程存在不适定问题时, 高斯牛顿法会由于观测数据误差扰动而出现强烈的不稳定特征, 甚至无法收敛而解算失效, 该问题在移动测量定位领域中已进行探讨[10]。文献[11]联合牛顿法和高斯—牛顿法, 提出了一种封闭式牛顿法来处理距离观测方程。可是, 在处理病态问题时, 牛顿型数值算法过多依赖于初始点精度, 会由于矩阵求逆的奇异性和计算舍入误差而无法收敛, 以致解算失效[12]

对于测距定位问题, 非线性最小二乘解是观测向量末端以观测权为质量质点系的重心, 基于该条件发展了简单且无需矩阵求逆的稳定数值方法, 即重心迭代法(Barycentre)[13], 然而, 该方法收敛速度可能非常缓慢, 具有较低的收敛效率。为此, 本文提出了一种Frozen-Barycentre迭代法来处理距离观测方程, 提高Barycentre迭代法的收敛效率。

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