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水汽是对流层中一种很重要的温室气体成分，它的变化会对天气和气候产生重要影响，因此，对水汽进行监测具有重要意义[1-2]。全球导航卫星系统(Global Navigation Satellite System, GNSS)具有全天运行、全球覆盖和高时空分辨率的特点，在水汽探测方面具有独特的优势[3]。加权平均温度(Tm)是利用GNSS技术反演可降水量(precipitable water vapor, PWV)过程中的关键参数，它的精度会直接对PWV反演精度产生影响[4]。
对温度和湿度廓线进行数值积分是获取高精度Tm的方法之一[5]，然而在实际应用中，往往难以实时获取温度和湿度廓线。对于数值天气预报(numerical weather prediction, NWP)模型的产品，更新会存在一个时间延迟，NWP模型产品的时间分辨率难以满足实时应用的需求[6]。因此，学者开始构建高精度的Tm模型。较常见的Tm模型有基于地表温度(Ts)的模型和经验模型两种。基于Ts的模型的依据是Bevis等[4, 7]在1992年根据Ts和Tm之间的线性关系构建了Ts-Tm线性回归模型，并在1994年对该模型进行了改进。然而，之后的研究结果发现，Tm和Ts之间的关系并不是一个定值，而是随着位置和时间发生变化，因此，许多学者建立了区域性的线性回归模型[1, 8-10]。文献[11]还发现了Tm与Ts之间存在非线性关系。经验模型的输入参数包括年积日以及GNSS用户的经纬度和高程。姚宜斌等[12]采用球谐函数的方式利用全球大地测量观测系统的大气格网数据构建了第三代全球Tm模型(global weighted mean temperature-Ⅲ, GTm-Ⅲ)；陈鹏等[13]利用美国国家环境预报中心(National Centers for Environmental Prediction, NCEP)的数据构建了基于NCEP的全球Tm模型。全球气压温度湿度模型(global pressure and temperature 2 wet, GPT2w)在早先的全球气压温度模型的基础上添加了Tm项，并将格网分辨率提高至1°[14-15]；滑中豪等[16]对GPT2w模型进行检验和校正。
目前，大多数研究集中在如何在地表处提供高精度的Tm估计值，而对于Tm在垂直方向上的研究尚浅。Tm的参考高度面与GNSS用户之间往往存在一个高度差，如果忽略该高度差带来的误差，则会对最后的水汽反演产生影响。文献[17-18]指出，利用Bevis回归公式得到的Tm的精度与测站的海拔高度有关，海拔越高，精度越低。文献[6, 10]指出，GPT2w模型只能够提供参考平面处的Tm估计值，而该参考平面与GNSS用户往往不在同一个高度面上。本文利用欧洲中期天气预报中心(European Centre for Medium-Range Weather Forecasts, ECMWF)的再分析资料对Tm在垂直方向上的分布特性进行了研究，构建了一种新的全球加权平均温度模型。
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ECMWF通过格网的形式提供数据产品，其再分析资料的最高空间分辨率为0.125°，最高时间分辨率为6 h，并可以通过网络免费下载[19-20]。本文使用了全球范围空间分辨率为2.5°每个格网点上的气压分层数据进行实验，并分别将1 000~250 hPa(对应高程范围大致为0~10 km)的气压层作为底层往顶层对温度和湿度廓线进行积分，得到对应高度层的Tm。
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无线电探空数据起源于国家气候数据中心的无线电探空数据集，其可以通过全球站点无线电探空资料数据集(integrated global radiosonde archive, IGRA)获得。IGRA包含了自1960年起的1 500多个无线电探空仪和探空气球的高质量观测数据，并可以通过网络免费下载。探空数据可以在每天提供两次诸如温度、重力位势和水汽压等气象参数的垂直廓线。本实验在全球范围总共选取了678个探空站, 其分布如图 1所示。对于每个探空站，分别将高程在0~10 km范围内的所有高度层作为底层往顶层积分来得到对应高程范围内的Tm廓线。
图 1 678个探空站的分布
Figure 1. Distribution of the 678 Radiosonde Stations
格网点的廓线情况如图 2中蓝点所示。从图 2可以看出，两个低纬度地区(30°S和10°N)格网点的Tm廓线随高程主要呈线性下降趋势，而两个高纬度地区(85°S和70°N)格网点的Tm廓线在垂直方向上却出现明显的非线性特征。其中85°S处格网点的Tm廓线在达到7 km时出现了一个明显的上移。本文还发现，高纬度地区两个格网点的Tm廓线形状与半个周期的三角函数(周期为20 km)极其相似，本文分别利用一个线性函数和一个周期为20 km的三角函数对以上4个格网点的Tm廓线进行拟合。两个拟合函数如下：
图 2 2013年1月1日4个格网点的Tm廓线及不同函数对其的拟合结果
Figure 2. Tm Profiles and the Fitting Results via Different Functions of Four Grid Points on Jan.1, 2013
$$ {T_m} = {\alpha _1} + {\alpha _2}h $$ (1) $$ {T_m} = {\alpha _1} + {\alpha _2}\cos (\frac{{2\pi h}}{{20}}) + {\alpha _3}\sin (\frac{{2\pi h}}{{20}}) $$ (2) 式(1)、式(2)中，h代表高程(km)；α代表拟合参数。
图 2中还给出了两种函数的拟合均方根误差(root mean square, RMS)，红线表示线性函数的拟合结果，橘黄色线表示三角函数的拟合结果。从图 2可以看出，线性函数对两个低纬度地区格网点Tm廓线的拟合效果较好，其拟合RMS分别为1.06 K和1.85 K，而三角函数对两个高纬度地区格网点Tm廓线的拟合效果较好，其拟合RMS分别为1.03 K和0.43 K。综合式(1)和式(2)会得到一个同时包含线性和三角函数特征的公式：
$$ {T_m} = {\alpha _1} + {\alpha _2}h + {\alpha _3}\cos (\frac{{2\pi h}}{{20}}) + {\alpha _4}\sin (\frac{{2\pi h}}{{20}}) $$ (3) 利用式(3)再次对4个格网点的Tm廓线进行拟合，每个格网点的拟合RMS在图 2中用紫线表示。可以看到，综合函数对4个格网点的Tm廓线都可以取得很好的拟合效果。在低纬度地区，综合函数更偏向于线性且存在微小弯曲，在高纬度地区，其非线性特性更加明显，且不是完全的三角函数形式，其拟合RMS分别为0.59 K、0.44 K、0.71 K和0.28 K。
为了评估这3种函数在全球范围内的拟合效果，分别利用它们对2013年1月1日全球格网点的Tm廓线进行拟合，并统计每个格网点的拟合RMS，统计结果如图 3所示。从图 3可以看出，线性函数在高纬度地区的拟合效果相对较差，在低纬度地区的拟合效果相对较好，其全球平均RMS为2.28 K；三角函数在高纬度地区的拟合效果相对较好，但是在低纬度地区的拟合效果相对较差，其全球平均RMS为2.35 K；综合函数在全球范围内都可以取得很好的拟合效果，不存在误差较大的区域，其全球平均RMS只有0.71 K。通过以上的分析结果可得：Tm在垂直方向上不仅存在线性变化特征，还存在非线性变化特征，而且线性特征在低纬度区域较为明显，在高纬度区域尤其是极地区域，则可以观测到较明显的非线性特征。
图 3 3种函数对2013年1月1日全球格网点Tm廓线的拟合RMS分布
Figure 3. Fitting RMS Distribution of Three Functions on the Tm Profiles of Global Grids on Jan. 1, 2013
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本文构建了一个顾及非线性高程归算的Tm模型，该模型包含两个部分：平均海水面(mean sea level, MSL)处的Tm计算值和Tm在高程方向上的修正值。因为MSL处的Tm存在明显的季节性变化[15-18]，本文将其进行年周期和半年周期展开。同时，根据§1的分析结果，Tm在垂直方向上存在线性和非线性变化，所以Tm高程修正值将会由线性和非线性部分组成，其中的非线性部分通过一个周期为20 km的三角函数来表示。构建的顾及非线性高程归算的全球Tm模型(global weighted mean temperature-height, GTm-H)的表达式如下：
$$ {T_m} = T_m^{{\rm{MSL}}} + T_m^h $$ (4) $$ \begin{array}{l} T_m^{{\rm{MSL}}} = {\beta _1} + {\beta _2}\cos (\frac{{2\pi {\rm{DOY}}}}{{365.25}}) + {\beta _3}\sin (\frac{{2\pi {\rm{DOY}}}}{{365.25}}) + \\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;{\beta _4}\cos (\frac{{4\pi {\rm{DOY}}}}{{365.25}}) + {\beta _5}\sin (\frac{{4\pi {\rm{DOY}}}}{{365.25}}) \end{array} $$ (5) $$ T_m^h = {\alpha _1}h + {\alpha _2}\cos (\frac{{2\pi h}}{{20}}) + {\alpha _3}\sin (\frac{{2\pi h}}{{20}}) $$ (6) 式(4)~式(6)中, TmMSL为平均海平面处的Tm值(K)；Tmh为Tm高程改正值(K)；DOY(day of year)是年积日；h为高程(km)；α和β为拟合参数，其中β1代表TmMSL的年均值，β2、β3代表TmMSL的年周期幅值，β4、β5代表TmMSL的半年周期幅值；α1代表Tmh的线性部分，α2、α3代表Tmh的非线性部分。用2013-2015年3年的ECMWF气压分层数据获取的Tm廓线格网数据求解模型系数，求解方法为最小二乘法，求解出的模型系数存储在全球格网分辨率为2.5°的各个格网点中。
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为了检验GTm-H建模的合理性，建模数据被用来检验其精度。根据模型精度统计结果，其平均偏差(Bias)为0，平均RMS为3.7 K，对应大约0.55 mm的PWV误差。RMS的范围是1.1~7.5 K，因此GTm-H有很高的内符合精度，这也可以说明建模过程是合理的。
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为了检验GTm-H的外符合精度，将由2016年全球空间分辨率2.5°的ECMWF气压分层数据得到的Tm廓线作为参考值，并将其与通过GTm-H得到的Tm廓线估计值进行比较。同时，将现存的高精度Tm模型GTm-Ⅲ[12]与GTm-H进行比较，计算两种模型得到的估计值与参考值的差值，并统计每个格网点的Bias和RMS，其全球分布如图 4所示。
图 4 利用ECMWF的外符合精度检验
Figure 4. External Accuracy Tested with ECMWF
从图 4(a)和图 4(c)可以看出，GTm-Ⅲ在两极区域存在较大的正向偏差，而在中纬度地区的部分区域则存在较大的负向偏差，导致这些区域的RMS较大，根据统计结果，其全球平均RMS为5.27 K。而由图 4(b)和图 4(d)可以看出，GTm-H在全球范围内没有较明显的偏差，而且其在大多数区域的RMS都小于GTm-Ⅲ，根据统计结果，GTm-H的全球平均RMS只有3.84 K，相对于GTm-Ⅲ，取得了27%的精度提升。GTm-Ⅲ在全球范围内采取同一个递减率进行修正，而GTm-H不仅针对每一个格网点给出了一个线性修改系数，还考虑了Tm廓线在高纬度地区的非线性垂直分布特性，所以其精度更高。
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为了进一步验证模型的精度，利用678个探空站2016年的数据计算Tm廓线，并将其作为参考值。对从GTm-Ⅲ和GTm-H获取的Tm廓线估计值与该参考值进行比较，计算差值并统计Bias和RMS。在得到所有探空站的Bias和RMS后，对其分纬度带进行统计(每20°为一个纬度带)。每个纬度带的平均Bias和RMS如图 5(a)所示。从图 5(a)可以看出，低纬度区域的精度高于高纬度区域的精度。GTm-Ⅲ相对于参考值主要存在负向偏差，GTm-H主要存在正向偏差，而在南极区域，两个模型都存在较大的正向偏差。GTm-H在任意一个纬度带的精度都高于GTm-Ⅲ。根据统计结果，对于GTm-Ⅲ，所有探空站的平均RMS为5.43 K，GTm-H的平均RMS为4.36 K，其相对于GTm-Ⅲ的精度提升了20%。
图 5 利用探空数据的外符合精度检验
Figure 5. External Accuracy Tested with Radiosonde Data
为了从时间尺度上评估模型精度，对678个探空站的Bias和RMS分月份进行统计，其在2016年12个月份的平均Bias和RMS如图 5(b)所示。可以看出，夏季的精度比冬季的精度稍好。GTm-Ⅲ存在较大的负向偏差，GTm-H虽然存在正向偏差，但是其值较小。GTm-H的精度在2016年的任意一个月份的精度都比GTm-Ⅲ高。
将两种模型在678个探空站处估计的Tm廓线分高度层进行精度统计(每1 km为一个高度层)，两种模型在0~10 km高程范围内不同高度层的Bias和RMS均值统计情况见图 5(c)。可见，随着高程的增加，GTm-Ⅲ的精度逐渐下降，而GTm-H的精度在整个高程范围内基本保持不变。这主要是因为随着高程的增加，GTm-Ⅲ的估计值相对于参考值的负向偏差越来越大，而GTm-H的估计值相对于参考值的正向偏差却一直处于一个较低的水平。综上可知，相对于GTm-Ⅲ，GTm-H可以显著提升Tm在高程方向上的归算效果，根据GTm-H计算出的Tm廓线与参考值更加接近。
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本文利用ECMWF再分析资料对Tm在高程方向上的分布特性进行分析发现，Tm在垂直方向上不仅存在线性变化特性，还存在非线性变化特性，而且在低纬度地区主要呈线性变化，在高纬度地区非线性垂直变化特性更加明显。本文构建了一个顾及非线性高程归算的全球Tm新模型——GTm-H，并利用ECMWF和无线电探空数据对该模型进行检验，检验结果表明，当分别利用ECMWF和无线电探空数据进行检验时，其RMS分别为3.84 K和4.36 K，相对于现存的高精度Tm模型GTm-Ⅲ的精度分别提升了27%和20%。GTm-H可以显著提升Tm在垂直方向上的归算效果，由该模型计算出的Tm廓线与参考值更加接近。
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摘要: 加权平均温度（Tm）是全球导航卫星系统技术中反演可降水量的关键参数。利用欧洲中期天气预报中心（European Centre for Medium-Range Weather Forecasts，ECMWF）的产品对Tm在垂直方向上的分布特性进行分析，并构建了一种新的全球Tm模型。利用ECMWF和无线电探空数据对该模型进行检验，并将其与现存的高精度Tm模型进行比较。实验结果显示，Tm在高程方向上存在非线性变化特征，而且该特征在高纬度地区特别是两极区域尤为明显。当利用ECMWF和探空数据检验构建的Tm模型时，其均方根误差分别为3.84 K和4.36 K，相比于现存的Tm模型精度分别提升了27%和20%。构建的模型可以显著提升Tm在垂直方向上的归算效果，由该模型计算出的Tm廓线与参考值更加接近。Abstract: Weighted mean temperature (Tm) is a critical parameter in global navigation satellite system technology to retrieve precipitable water vapor. In this paper, the products from the European Center for Medium-Range Weather Forecasts (ECMWF) are used to analyze the distribution trait of Tm along the vertical direction, and to establish a new global Tm model. The ECMWF and radiosonde data are used to validate this newly built model, and an existing high-accuracy Tm model is employed for comparison. The results show that Tm has nonlinear variation trait along the vertical direction, and this trait is specifically apparent in the high-latitude regions, especially in the polar areas. When tested with the ECMWF and the radiosonde data, the root mean square (RMS) of the newly built model are 3.84 K and 4.36 K, respectively, achieving accuracy improvements of 27% and 20% compared to the existing model. The correction performance for Tm along the vertical direction is increased noticeably and the Tm profile calculated by the model proposed in this paper is much closer to the reference.
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Key words:
- weighted mean temperature /
- nonlinear distribution /
- global model /
- vertical reduction
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图 2 2013年1月1日4个格网点的Tm廓线及不同函数对其的拟合结果
Figure 2. Tm Profiles and the Fitting Results via Different Functions of Four Grid Points on Jan.1, 2013
图 3 3种函数对2013年1月1日全球格网点Tm廓线的拟合RMS分布
Figure 3. Fitting RMS Distribution of Three Functions on the Tm Profiles of Global Grids on Jan. 1, 2013
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