-
海洋磁力测量的目的是获取高精度的磁异常图，目前海洋磁力测量只顾及了地磁场的水平分布，并未考虑磁力仪传感器(拖鱼)垂直高度变化对磁测数据的影响[1]。在实际测量中，由于测量环境不断变化必然导致拖鱼在水中起伏不定，尤其是不同航次、不同测区间因潮差或船速等因素不同而导致拖鱼入水深度相差几米甚至几十米[2]。当测区磁异常变化较剧烈时，磁测点垂直位置相差1 m，磁异常相差几nT甚至十几nT[3-4]。因此，为了消除拖鱼起伏变化对磁测的影响，实现整个测区磁场数据在垂直空间上的统一，必须将磁测数据归算到统一的基准面。
航空重磁测量中，为了消除地形起伏变化及飞行高度不一致对磁测数据的影响，主要采用地球物理学中位场的“曲化平”思想对测量数据进行垂直空间归算。常用的方法有等效源法[5-7]、有限元法[8]、边界元法[9]、泰勒级数法[10]、插值迭代法[11-12]等。在海洋磁力测量中，于波[13]将插值迭代法、泰勒级数迭代法用于海洋磁测数据垂直空间归算中，认为观测噪声对归算精度有较大影响，在进行空间归算前，需对磁场数据进行平滑或低通滤波处理。
刘东甲等[14]推导了位场“曲化平”积分方程的迭代解，主要是应用泰勒级数展开及逐步逼近法求解第一类Fredholm积分方程，实现位场曲面延拓到平面的过程，但由于迭代解中仍包含垂向高阶导数项，在处理含噪声的重磁数据时往往精度较低或难以收敛。然而，该方法无需插值计算，无需求解线性方程组，且波数域解计算效率高，对于海洋磁力测量的小起伏归算而言，迭代解收敛快。为此，本文尝试对曲面延拓积分方程的迭代解进行正则化处理，通过抑制垂向高阶导数对高频噪声的放大影响，使改进迭代解有更强的抗噪性，并在仿真试验与实测数据处理中验证了改进方法的有效性。
-
如图 1所示，S为海洋磁力测量中拖鱼起伏变化曲面，最低平面P设定为拖鱼入水深度归算面，建立右手坐标系，xoy平面与最低平面P重合，z轴垂直向下，观测曲面S相对于最低平面P的高程为h(x, y)>0，观测曲面S上的磁场为uS(x, y)是已知的，而最低平面P上的磁场uP(x, y)是待求的。
图 1 磁场“曲化平”示意图
Figure 1. Schematic Diagram of Magnetic Field Continuation from an Irregular Surface to a Plane
若最低平面P与观测曲面S之间为无源场，则磁场满足Laplace方程▽2u=0，进一步推导可以构建uS(x, y)、uP(x, y)与h(x, y)间满足第一类Fredholm积分方程：
$$ {u_P}(x, y) = \frac{1}{{2\pi }}\int {\int {{u_S}(\xi , \eta )} } \frac{{h(x, y)}}{{{{[{{(x - \xi )}^2} + {{(y - \eta )}^2} + {h^2}(x, y)]}^{\frac{3}{2}}}}}{\rm{d}}\xi {\rm{d}}\eta $$ (1) 由于第一类Fredholm积分方程是不适定的，其求解较困难，刘东甲等[14]针对式(1)的不适定性，采用逐步逼近法求解，并将其转换到波数域中进行。波数域迭代公式为：
$$ \left\{ \begin{array}{l} {U_0}({k_x}, {k_y}) = {U_S}({k_x}, {k_y})\\ {U_n}({k_x}, {k_y}) = {U_{n - 1}}({k_x}, {k_y}) + \{ {U_S}({k_x}, {k_y}) - \\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;F[A{u_{n - 1}}(x, y)]\} \end{array} \right. $$ (2) 式中，kx、ky分别为x、y方向的频率；U0(kx, ky)、Un－1(kx, ky)、Un(kx, ky)分别为平面P的初值、第n-1次与第n次迭代频域值；US(kx, ky)为曲面S上的磁场频域值；A为线性积分算子，用其简洁代替平面P向上延拓到曲面S的积分关系；$ F[A{u_{n - 1}}(x, y)] $为平面P向上延拓到观测曲面S的第n-1次迭代的傅里叶变换值，经复杂的推导计算得其表达式为：
$$ F[A{u_{n - 1}}(x, y)] = {{\rm{e}}^{ - {h_c} \cdot k}}{U_{n - 1}}({k_x}, {k_y}) + F\{ \sum\limits_{m = 1}^\infty {\frac{{{{( - 1)}^m}h_d^m(x, y)}}{{m!}}} \times \\\;{F^{ - 1}}[{k^m}{{\rm{e}}^{ - {h_c} \cdot k}}{U_{n - 1}}({k_x}, {k_y})]\} $$ (3) 式中，hc为观测曲面S相对于最低平面P的平均高程；hd为观测曲面S相对于平均高程平面的起伏变化；k为径向圆频率，即$ k = \sqrt {k_x^2 + k_y^2} $；m为泰勒级数展开阶数，一般取4~8项[14]。
式(2)的迭代终止条件为：
$$ \max |{U_n}({k_x}, {k_y}) - {U_{n - 1}}({k_x}, {k_y})| < \varepsilon \;或\;n < N $$ (4) 式中，ε、N分别为给定的极小正数与最大迭代次数，一般只需迭代30~60次。将延拓平面的磁场频域值进行傅里叶逆变换即可得到最低平面P的磁场：
$$ {u_P}(x, y) = {F^{ - 1}}[{U_n}({k_x}, {k_y})] $$ (5) -
由§1可知，计算曲面延拓积分方程迭代解的关键在于平面P的磁场向上延拓计算曲面S的磁场，即式(3)的“平化曲”过程。由式(3)可知，“平化曲”过程由两项组成，前一项是平面P向上延拓到平均高程平面，占主要部分，且计算是稳定的；后一项是观测面起伏校正项，其中含有高阶垂向导数因子km，它相当于高通滤波器，对高频噪声呈指数放大，并在迭代过程中逐步积累，导致延拓效果变差，为此，本文尝试引入Tikhonov正则化法对观测面起伏校正项中的垂向导数进行改进，使其具有更强的抗噪性。
根据磁场与其垂向导数间的关系[15]，平均高程平面上的磁场及其垂向导数的频域关系式为：
$$ {D_i}({k_x}, {k_y}) = {k^i}{{\rm{e}}^{ - {h_c} \cdot k}}{U_P}({k_x}, {k_y}) $$ (6) 式中，Di(kx, ky)为平均高程平面上磁场的第i阶垂向导数；ki为第i阶垂向导数因子；UP(kx, ky)为平面P的迭代频域计算值，即计算式(3)中的Un－1(kx, ky)。
针对垂向导数因子ki对高频噪声的放大作用导致式(6)的不稳定性，构造如下极小正则化泛函：
$$ \begin{array}{l} \min \{ \parallel {k^{ - i}} \cdot {D_i}({k_x}, {k_y}) - {{\rm{e}}^{ - {h_c} \cdot k}}{U_P}({k_x}, {k_y}){\parallel ^2} + \\ \;\;\;\;\;\;\;\;\alpha \parallel {D_i}({k_x}, {k_y}){\parallel ^2}\} \end{array} $$ (7) 式中，α为正则化参数，用于平衡不稳定性及光滑性。对于上述形式的极小化泛函的解，Tikhonov等[16]采用变分法，结合Parseval等式进行推导得到极小化泛函的频域解表达式为：
$$ D_i^\alpha ({k_x}, {k_y}) = \frac{{{k^i}}}{{1 + \alpha {k^{2i}}}}{{\rm{e}}^{ - {h_c} \cdot k}}{U_P}({k_x}, {k_y}) $$ (8) 式中，$ D_i^\alpha ({k_x}, {k_y}) $表示第i阶垂向导数的正则解。与式(6)相比，垂向导数的正则解多乘了一项正则低通滤波算子1/ 1+αk2i，当选择合适的正则化参数时，可以较好地压制位场中的高频噪声，使延拓结果趋于稳定，再经正则化改进后，式(3)变为：
$$ F[A{u_{n - 1}}(x, y)] = {{\rm{e}}^{ - {h_c} \cdot k}}{U_{n - 1}}({k_x}, {k_y}) + F\{ \sum\limits_{m = 1}^\infty {\frac{{{{( - 1)}^m}h_d^m(x, y)}}{{m!}}} \times\\\;{F^{ - 1}}[\frac{{{k^m}}}{{1 + \alpha {k^{2m}}}}{{\rm{e}}^{ - {h_c} \cdot k}}{U_{n - 1}}({k_x}, {k_y})]\} $$ (9) 由式(9)知，正则化参数α的选择至关重要，常采用广义交叉验证法、L曲线准则和拟最优准则等方法[17]来确定。本文采用频域L曲线准则确定α，其基本思想是通过选取合适的同正则参数α来平衡τ=log‖k－i·Di(kx, ky)－e－hc·k·UP(kx, ky)‖和σ=log‖Di(kx, ky)‖的值。实际处理时，需要先确定一条L曲线，L曲线拐点处对应的α即为最佳正则参数。
-
为验证改进方法的有效性，设计了球体组合模型仿真试验，观测区域为-5 km≤X≤5 km，-5 km≤Y≤5 km，以测区中心为坐标原点，XOY面为平均海面，Z轴向上为正，建立坐标系，观测曲面的深度值为经潮差改正到平均海面后的拖鱼入水深度数据，其等值线图见图 2(a)，其中拖鱼入水深度最大值为-9.26 m，最小值为-21.71 m，平均值为-14.36 m，均方差为1.45 m。
图 2 曲面延拓理论模型试验
Figure 2. Theoretical Model Experiment of Continuation for Curved Surface
仿真球体参数如下：球体半径为100 m，磁化强为100 A/m, 磁化倾角和磁化偏角均为45°，5个球体的球心坐标位置分别为(-1 000, 1 000, -500)m、(1 000, 1 000, -500)m、(-1 000, -1 000, -500)m、(1 000, -1 000, -500)m、(0, 0, -500)m。X、Y方向点距均为50 m，网格化后共生成201×201个磁测点，以观测曲面最低值Z=-21.71 m为归算平面。由球体磁异常计算公式[15]可分别计算观测曲面与归算平面上球体模型生成的磁异常。
在此基础上向观测曲面磁异常中加入均值为0、方差为1 nT的高斯白噪声，使仿真曲面观测数据更接近实际情况，含噪声曲面观测值与延拓面理论值分布分别见图 2(b)、图 2(c)；图 2(d)为采用刘东甲等[14]方法将含噪声曲面磁异常延拓到曲面深度最低平面Z=-21.71 m后的计算值；图 2(e)为L曲线确定的正则化参数α=0.034 2；图 2(f)为采用本文改进的方法得到的归算平面计算值。
比较图 2(d)与图 2(c)可以看出，磁异常等值线变化形态基本接近，但计算值中含有明显的噪声。比较图 2(f)与图 2(c)可以看出，改进方法计算的结果中含有较小的噪声干扰，更接近于归算平面理论值，验证了改进方法的有效性。
为了进一步分析说明，将归算平面的计算值与理论值的差值作为延拓误差，并计算其均方差作为延拓精度来评价改进方法的延拓效果。图 3给出了某一剖面上无噪声时刘东甲等[14]方法延拓、1 nT噪声时刘东甲等[14]方法与改进方法的延拓误差对比。
图 3 延拓误差剖面图
Figure 3. The Profile of Continuation Error
由图 3知，无噪声时, 采用刘东甲等[14]方法进行曲面延拓，其延拓误差主要分布在磁源附近，且越接近磁源, 误差越大；在误差水平不大的情况下，延拓误差呈现全局分布且误差明显变大。而改进方法计算的延拓误差明显减小了。所有参与计算的磁异常点延拓误差、算法迭代次数及计算时间的统计情况见表 1。
表 1 迭代次数、计算时间及延拓误差统计
Table 1. Statistics of Iterations, Computation Time and Continuation Errors
由表 1可知，受噪声的影响，刘东甲等[14]方法的迭代次数增大，计算时间变长，而改进方法虽然要用到L曲线准则确定正则化参数，但其通过抑制噪声的影响使延拓残差很快趋于最小，明显降低了迭代次数，从而缩短了计算时间，可见改进方法在计算效率上并未受到较大影响；同时改进方法有效解决了刘东甲等[14]方法对高频噪声的放大问题，延拓精度可提高1.6 nT，与无噪声时延拓效果接近，说明改进方法对处理含噪声的曲面磁异常延拓问题具有一定的可行性。
-
某次海洋磁力测量分别布设了22条主测线和6条检查线，测区最大水深为120 m，最小水深为85 m。图 4为经潮差改正后的拖鱼入水深度三维示意图。
图 4 观测曲面三维示意图
Figure 4. Three-dimensional Schematic Diagram of the Observed Surface
从图 4中可以看出，拖鱼入水深度在一条测线上变化较平稳，在不同测线间差别较大，尤其是在主测线与检查线间差别较大。测区拖鱼入水深度及磁异常统计情况见表 2。由表 2可知，在交叉点处，主测线、检查线上拖鱼入水深度差异明显。根据我国《海洋磁力测量要求》[18]规定，对于一般近海磁力测量而言，测量精度应不超过±4 nT。由于该测区磁异常变化剧烈且拖鱼入水深度起伏变化较大，尤其在交叉点处水深差明显，此时，考虑对测区数据进行垂直空间改正，将主测线、检查线数据统一归算到一个深度平面上。
表 2 磁测点水深及磁异常统计表
Table 2. Statistics of Depth and Magnetic Anomaly
统计项 最大值 最小值 平均值 均方差 拖鱼深度/m -8.76 -23.13 -13.62 2.14 水深差/m 6.69 -6.06 1.88 2.57 测区磁异常/nT 48.86 -84.34 -9.66 19.05 归算前交叉点不符值/nT 10.51 -11.48 0.43 5.58 归算后交叉点不符值/nT 9.19 -7.35 0.28 3.51 从表 2可以看出，采用改进方法将曲面观测数据归算到曲面最低点后，交叉点磁异常不符值明显减小，不符值精度可提高约2 nT，进一步验证了改进曲面延拓积分迭代法用于海洋磁力测量数据归算的有效性。
图 5为经各项改正后(船磁、日变、正常场及定位)磁异常等值线图。刘东甲等[14]方法和改进方法延拓到最低平面绘制得到的磁异常等值线图如图 6所示。
图 5 观测曲面磁异常等值线图
Figure 5. Magnetic Anomaly Contour Map of the Observed Surface
从图 6可知，刘东甲等[14]方法延拓结果中等值线较粗糙，含有更多的高频噪声，而改进方法延拓结果等值线相对光滑些，改进方法延拓结果更好。值得注意的是，改进方法的延拓结果与原始观测值相比突出了更多的磁异常细节部分，而这部分弱磁异常在实际测量数据中是不存在的，可认为是虚假异常，这正是向下延拓导致的问题。
图 6 刘东甲等[14]方法和改进方法延拓到最低平面绘制得到的磁异常等值线图
Figure 6. Magnetic Anomaly Contour Maps of Correcting to the Lowest Plane with Original Method and Improved Method
-
针对曲面延拓的积分迭代解在曲面延拓过程中易放大数据中的高频噪声问题，采用Tikhonov正则化方法对迭代解进行改进。仿真试验分析表明，在选择合适的正则化参数时，本文改进方法可以有效抑制高频噪声的影响，进一步提高延拓精度；将改进方法用于船载磁力测量数据的垂直空间归算中，当把测量数据归算到拖鱼入水深度最低点所在平面时，成果数据精度可提高2 nT，验证了本文改进方法用于海洋磁力测量数据垂直空间归算的有效性及必要性。
需要指出的是，本文的研究仍只针对高精度观测要求的测区或具体应用需求，而对于基础海洋磁力测量数据的垂直空间归算而言，归算面的确定及判断是否需要归算的阈值条件仍是需要进一步研究的问题。
Improved Continuation Iteration Method for Curved Surface on Vertical Space Reduction of Marine Magnetic Survey
-
摘要: 海洋磁力测量中，由于受到海流等因素的影响导致磁力仪传感器（拖鱼）的入水深度起伏变化，测得的海洋磁场数据并不在固定的平面上。为了满足不同用户对海洋磁场数据的应用需求，必须采取合理的“曲化平”，实现整个测区磁场数据垂直空间上的统一。针对位场曲面延拓积分方程的迭代解中高阶垂向导数对高频噪声的放大问题，尝试引入Tikhonov正则化方法对其进行改进，以抑制高频噪声的影响。仿真分析表明，在选择合适的正则化参数后，改进的延拓方法可将延拓精度提高1.6 nT。实测数据分析表明，采用改进曲面延拓迭代方法，将磁测成果数据归算到曲面最低平面时，归算后交叉点磁异常不符值精度可提高2 nT，进一步验证了海洋磁力测量数据垂直空间归算的必要性。Abstract: The constantly changing of depth of towfish into the water often leads to the magnetic data on a curved surface, which is not taken into account during data processing in marine magnetic survey. For the problem that the high frequency noise in the data is easy to be amplified by vertical derivative in continuation iterative solution of integral equation for curved surface, Tikhonov regularization method is introduced to improve the iterative solution, and the regularization parameter is determined by using the L-curve criterion, which makes the continuation method more anti-noise. Theoretical model and actual examples show that the improved method can effectively suppress the influence of high frequency noise, and the precision of continuation is obviously improved, when the survey data is corrected to the lowest plane of curved surface, the magnetic anomaly discrepancy mean square error of the line network intersection is increased 2 nT than before reduction, which verifies the improved method is feasible for vertical space reduction of marine magnetic survey data.
-
图 1 磁场“曲化平”示意图
Figure 1. Schematic Diagram of Magnetic Field Continuation from an Irregular Surface to a Plane
图 2 曲面延拓理论模型试验
Figure 2. Theoretical Model Experiment of Continuation for Curved Surface
图 6 刘东甲等[14]方法和改进方法延拓到最低平面绘制得到的磁异常等值线图
Figure 6. Magnetic Anomaly Contour Maps of Correcting to the Lowest Plane with Original Method and Improved Method
表 1 迭代次数、计算时间及延拓误差统计
Table 1. Statistics of Iterations, Computation Time and Continuation Errors
下载: 导出CSV
表 2 磁测点水深及磁异常统计表
Table 2. Statistics of Depth and Magnetic Anomaly
统计项 最大值 最小值 平均值 均方差 拖鱼深度/m -8.76 -23.13 -13.62 2.14 水深差/m 6.69 -6.06 1.88 2.57 测区磁异常/nT 48.86 -84.34 -9.66 19.05 归算前交叉点不符值/nT 10.51 -11.48 0.43 5.58 归算后交叉点不符值/nT 9.19 -7.35 0.28 3.51
下载: 导出CSV
-
[1] 边刚, 夏伟, 金绍华, 等.海洋磁力测量数据处理方法及其应用研究[M].北京:测绘出版社, 2015 Bian Gang, Xia Wei, Jin Shaohua, et al. Marine Magnetic Survey Data Processing and Its Application[M]. Beijing:Surveying and Mapping Press, 2015 [2] 于波, 刘雁春, 边刚, 等.海洋磁力测量垂直空间改正研究[J].武汉大学学报·信息科学版, 2008, 33(9):926-929 http://ch.whu.edu.cn/CN/abstract/abstract1704.shtml Yu Bo, Liu Yanchun, Bian Gang, et al. Correction of Vertical Free-Air in Marine Magnetic Surveying[J]. Geomatics and Information Science of Wuhan University, 2008, 33(9):926-929 http://ch.whu.edu.cn/CN/abstract/abstract1704.shtml [3] 于波, 刘雁春, 翟国君, 等.海洋地磁场的垂直空间变化分析[J].地球物理学报, 2009, 52(1):169-175 http://d.old.wanfangdata.com.cn/Periodical/dqwlxb200901018 Yu Bo, Liu Yanchun, Zhai Guojun, et al. Analysis of Vertical Space Variation of Marine Magnetic Field[J]. Chinese J Geophys, 2009, 52(1):169-175 http://d.old.wanfangdata.com.cn/Periodical/dqwlxb200901018 [4] 于波, 黄谟涛, 翟国君, 等.海洋磁力测量空间归算阈值条件确定及其应用[J].武汉大学学报·信息科学版, 2010, 35(2):172-175 http://ch.whu.edu.cn/CN/abstract/abstract840.shtml Yu Bo, Huang Motao, Zhai Guojun, et al. Application and Determination of Threshold on Free-Air Correction of Marine Magnetic Survey[J]. Geomatics and Information Science of Wuhan University, 2010, 35(2):172-175 http://ch.whu.edu.cn/CN/abstract/abstract840.shtml [5] Bhattacharyya B K, Chan K C. Reduction of Magnetic and Gravity Data on an Arbitrary Surface Acquired in a Region of High Topographic Relief[J]. Geophysics, 1977, 42(7):1411-1430 doi: 10.1190/1.1440802 [6] 王万银, 潘作枢, 李家康.三维高精度重磁位场曲面延拓方法[J].物探与化探, 1991, 15(6):415-422 http://d.old.wanfangdata.com.cn/Thesis/Y105083 Wang Wanyin, Pan Zuoshu, Li Jiakang. Continuation Methods for Curved Surface of the Three-Dimensional High-Precision Gravity and Magnetic Potential Field[J]. Geophysical & Geochemical Exploration, 1991, 15(6):415-422 http://d.old.wanfangdata.com.cn/Thesis/Y105083 [7] 王万银, 刘金兰, 邱之云, 等.频率域偶层位曲面位场处理和转换方法研究[J].地球物理学报, 2009, 52(10):2652-2665 doi: 10.3969/j.issn.0001-5733.2009.10.026 Wang Wanyin, Liu Jinlan, Qiu Zhiyun, et al. The Research of the Frequency Domain Dipole Layer Method for the Processing and Transformation of Potential Field on Curved Surface[J]. Chinese J Geophys, 2009, 52(10):2652-2665 doi: 10.3969/j.issn.0001-5733.2009.10.026 [8] 程振炎.重磁场的有限元法曲化平[J].物探与化探, 1981, 5(3):153-158 http://www.wanfangdata.com.cn/details/detail.do?_type=perio&id=QK000003242433 Chen Zhenyan. Reduction of Magnetic and Gravity Data to a Horizontal Plane by Using Finite Element Method[J]. Geophysical & Geochemical Exploration, 1981, 5(3):153-158 http://www.wanfangdata.com.cn/details/detail.do?_type=perio&id=QK000003242433 [9] 徐世浙, 楼云菊.起伏地形二维位场上延与换算的边界单元法[J].物化探计算技术, 1987, 7(3):195-199 http://www.wanfangdata.com.cn/details/detail.do?_type=perio&id=QK000003239706 Xu Shizhe, Lou Yunju. Application of the Boundary Element Method to the Continuation Upward and Transformation of 2-D Potential Field on Relief Topography[J]. Computing Techniques for Geophysical and Geochemical Exploration, 1987, 7(3):195-199 http://www.wanfangdata.com.cn/details/detail.do?_type=perio&id=QK000003239706 [10] 刘金兰, 王万银, 于长春.逐步逼近曲化平方法研究[J].地球物理学报, 2007, 50(5):1551-1557 doi: 10.3321/j.issn:0001-5733.2007.05.032 Liu Jinlan, Wang Wanyin, Yu Changchun. Reduction of Potential Field Data to a Horizontal Plane by a Successive Approximation Procedure[J]. Chinese J Geophys, 2007, 50(5):1551-1557 doi: 10.3321/j.issn:0001-5733.2007.05.032 [11] 徐世浙, 余海龙.位场曲化平的插值-迭代法[J].地球物理学报, 2007, 50(6):1811-1815 doi: 10.3321/j.issn:0001-5733.2007.06.022 Xu Shizhe, Yu Hailong. The Interpolation-Iteration Method for Potential Field Continuation from Undulating Surface to Plane[J]. Chinese J Geophys, 2007, 50(6):1811-1815 doi: 10.3321/j.issn:0001-5733.2007.06.022 [12] 陈生昌, 林晨, 李佩.位场数据曲化平的迭代法[J].地球物理学进展, 2009, 24(4):1320-1326 doi: 10.3969/j.issn.1004-2903.2009.04.021 Chen Shengchang, Lin Chen, Li Pei. An Iteration Approach to Potential Field Continuation from Curved Surface to Plane[J]. Progress in Geophys, 2009, 24(4):1320-1326 doi: 10.3969/j.issn.1004-2903.2009.04.021 [13] 于波.海洋磁力测量垂直空间归算与背景场模型构建[D].大连: 大连舰艇学院, 2009 Yu Bo. The Vertical Space Reduction and the Model Construction of Marine Magnetic Anomaly[D]. Dalian: Dalian Naval Academy, 2009 [14] 刘东甲, 洪天求, 廖旭涛, 等.位场曲化平积分方程的迭代解[J].地球物理学报, 2012, 55(10):3467-3476 doi: 10.6038/j.issn.0001-5733.2012.10.030 Liu Dongjia, Hong Tianqiu, Liao Xutao, et al. Iterative Solution of Integral Equation for Potential Field Continuation from an Irregular Surface to a Horizontal Plane[J]. Chinese J Geophys, 2012, 55(10):3467-3476 doi: 10.6038/j.issn.0001-5733.2012.10.030 [15] 管志宁.地磁场与磁力勘探[M].北京:地质出版社, 2005 Guan Zhining. Geomagnetic Field and Magnetic Exploration[M]. Beijing:Geological Publishing House, 2005 [16] Tikhonov A N, Arsenin V Y.Solutions of Ill-posed Problems[M]. New York:John Wiley and Sons, 1977 [17] 顾勇为, 归庆明, 韩松辉, 等.航空重力向下延拓分组修正的正则化解法[J].武汉大学学报·信息科学版, 2013, 38(6):720-724 http://ch.whu.edu.cn/CN/abstract/abstract2675.shtml Gu Yongwei, Gui Qingming, Han Songhui, et al. Regularization by Grouping Correction in Downward Continuation of Airborne Gravity[J]. Geomatics and Information Science of Wuhan University, 2013, 38(6):720-724 http://ch.whu.edu.cn/CN/abstract/abstract2675.shtml [18] GJB 7537-2012.海洋磁力测量要求[S].北京: 中国标准出版社, 2012 GJB 7537-2012. Specifications for Marine Magnetic Survey[S]. Beijing: Standards Press of China, 2012 -
点击查看大图
图(6) / 表(2)
计量
- 文章访问数: 802
- HTML全文浏览量: 78
- PDF下载量: 158
- 被引次数: 0
