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中国自主研制的北斗卫星导航系统目前已经实现了亚太地区的高精度定位、导航和授时服务，开始逐步由区域服务系统向全球服务系统发展[1]。一些学者在研究北斗伪距过程中，发现伪距码中存在与高度角相关的系统性偏差，并指出该偏差可能是由卫星内部引起的系统性偏差[2-4]。后来，不少学者对北斗伪距码偏差进行了详细的分析研究，并建立了相应的伪距码偏差改正模型，同时也分析了该偏差对定位的影响[5-12]。但是，目前研究该偏差对基线解算影响的文献还比较少，其中文献[10]分析了该偏差对长基线双差宽巷模糊度固定成功率的影响，文献[13]论述了非差、单差和双差观测值中伪距码偏差的特性，并分析了该偏差对双差宽巷模糊度解算的影响。然而，这些文献均未系统分析伪距码偏差对不同长度基线解算的影响。本文基于MW(Melbourne-Wübbena)组合[14-15]，利用伪距码偏差改正模型，从理论上计算了不同长度的基线在双差后残留的最大伪距码偏差，分析了该偏差对MW组合确定双差宽巷模糊度的影响, 并结合实测基线的双差宽巷模糊度残差及其固定率, 分析讨论了伪距码偏差对基线解算的影响大小。
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高精度基线解算的关键在于准确可靠地固定载波模糊度，而模糊度的确定又依赖伪距观测值，因此伪距观测值对于高精度基线解算至关重要。由于北斗伪距观测值存在系统性偏差，这将会对基线解算产生影响。基线解算一般采用双差方程求解，就此展开分析。
伪距非差观测方程一般可表示为：
$$ \begin{array}{l} P_i^p = \rho _i^p + c \cdot ({\rm{dt}}{{\rm{r}}_i}-{\rm{dt}}{{\rm{s}}^p}) + I_i^p + \\ \;\;\;\;\;\;\;\;T_i^p + O_i^p + {\rm{b}}{{\rm{r}}_i} + {\rm{b}}{{\rm{s}}^p} + \varepsilon \end{array} $$ (1) 式中，P表示伪距观测值；ρ表示卫星到测站的几何距离；c表示光速；dtr表示接收机钟差；dts表示卫星钟差；I表示电离层延迟；T表示对流层延迟；O表示卫星轨道误差；br表示接收机端硬件延迟；bs表示卫星端硬件延迟；ε表示伪距测量噪声和多路径等误差；下标i表示测站编号；上标p表示卫星编号。
在基准站和流动站间求差，可得站间单差观测方程：
$$ \begin{array}{l} \Delta P_{ij}^p = \Delta \rho _{ij}^p + c \cdot \Delta {\rm{dt}}{{\rm{r}}_{ij}} + \Delta I_{ij}^p + \Delta T_{ij}^p + \\ \Delta O_{ij}^p + \Delta {\rm{b}}{{\rm{r}}_{ij}} + \Delta {\rm{b}}{{\rm{s}}_{ij}^p} + \Delta \varepsilon \end{array} $$ (2) 式中，Δ表示单差算子；i、j表示测站编号；其余符号与式(1)相同。由于北斗卫星端的硬件延迟中包含了与高度角相关的伪距码偏差，因此当基准站和流动站的高度角存在较大差异时，站间差分不能完全消除卫星端硬件延迟中与高度角相关的偏差量。
在卫星间再次求差，可得伪距双差观测方程：
$$ \begin{array}{l} \Delta \nabla P_{ij}^{pq}{\rm{ = }}\Delta \nabla \rho _{ij}^{pq} + \Delta \nabla I_{ij}^{pq} + \Delta \nabla T_{ij}^{pq} + \\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\Delta \nabla O_{ij}^{pq} + \Delta \nabla {\rm{bs}}_{ij}^{pq} + \Delta \nabla \varepsilon \end{array} $$ (3) 式中，Δ$\nabla $表示双差算子；p、q表示卫星编号；其余符号与式(2)相同。星间差分消除了接收机端的硬件延迟，但是不同卫星的伪距码偏差对同一个测站也不相同，因此星间差分也不能够消除卫星端的伪距码偏差，并且还有可能加重伪距码偏差的影响[13]。
MW组合能够消除卫星钟差、电离层延迟、对流层延迟、接收机钟差以及站星几何距离等，其组合观测值仅受测量噪声和多路径的影响[16]。在双频基线解算过程中，也通常先$\nabla $利用伪距和载波的MW组合确定双差宽巷模糊度，再在宽巷模糊度的基础上解算原始载波模糊度[17-19]。因此，正确固定双差宽巷模糊度是高精度基线解算的前提。但是，由于北斗伪距码偏差的存在，采用MW组合解算可能导致双差宽巷模糊度固定错误或无法固定[8]。因此，通过分析伪距码偏差对双差宽巷模糊度固定的影响，可以间接分析该偏差对基线解算的影响。本文以北斗B1和B2双频数据为例，详细分析讨论伪距码偏差对基线解算的影响。MW组合表示为：
$$ \begin{array}{l} {\rm{MW = }}\Delta \nabla {\varphi _1}-\Delta \nabla {\varphi _2}-\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\frac{{{f_1}-{f_2}}}{{{f_1} + {f_2}}}\left( {\frac{{\Delta \nabla {P_1}}}{{{\lambda _1}}} + \frac{{\Delta \nabla {P_2}}}{{{\lambda _2}}}} \right) \end{array} $$ (4) 式中，MW表示双差宽巷模糊度；λ1、λ2分别为B1、B2的波长；f1、f2分别为B1、B2的频率；Δ$\nabla $P1、Δ$\nabla $P2为双差伪距观测值；Δ$\nabla $φ1、Δ$\nabla $φ2为双差相位观测值。
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为进一步定量分析双差后残留的伪距码偏差对基线解算的影响，本文分别利用文献[10]和文献[11]中的多项式伪距码偏差改正模型(分别称为模型1和模型2)进行了定量分析。多项式改正模型的形式一般为[10, 11]：
$$ C = {a_0}E + {a_1}{E^2} + {a_2}{E^3} $$ (5) 式中，C表示伪距码偏差改正值；a0、a1、a2表示由建模获得的经验模型系数；E表示卫星高度角。但多项式模型中一般没有常数项，因为常数项可以被卫星钟差吸收，故在改正模型中通常不加考虑[20]。
由于多项式改正模型是与高度角相关的函数，为分析双差后残留的伪距码偏差大小，本文首先分析了基线长度与高度角变化的关系, 如图 1所示。图 1中，H表示北斗卫星的轨道高度，R表示地球半径，B表示基准站，A和A′表示流动站，L表示基线长度，S表示卫星位置。∠1表示基线对应的地心转角，∠2表示测站A的卫星高度角，∠3表示过B的切线与过A的切线的交角，∠4表示基线对应卫星的旋转角，∠5表示过B点作AS的平行线与BS的夹角，∠6表示过B点作A点切线的平行线与过B点的AS平行线的夹角，∠7表示在B点作A点切线与B的切线的夹角，∠8表示测站A′的卫星高度角。
图 1 基线长度与高度角关系
Figure 1. Relationship Between Baseline Length and Elevation Angle
由图 1中的几何关系可以看出，∠1=∠3=∠7，∠2=∠6，∠4=∠5。假设基准站的卫星高度角已知，设其为α0，则有：
$$ {\alpha _0} = \angle 5 + \angle 6 + \angle 7 = \angle 4 + \angle 2 + \angle 1 $$ (6) 则可得流动站高度角的极小值为：
$$ {E_{{\rm{min}}}} = \angle 2 = {\alpha _0}-\angle 4-\angle 1 $$ (7) 由于卫星轨道高度远大于基线长度，可认为卫星S到基准站和流动站的距离相等，则有：
$$ \angle 4 \approx L/H $$ (8) 又由图 1中的几何关系有：
$$ \angle 1 = 2{\rm{arcsin}}\frac{L}{{2R}} $$ (9) 故流动站高度角的极小值可表示为：
$$ {E_{{\rm{min}}}} = \angle 2 \approx {\alpha _0}-{\rm{ }}\frac{L}{H}-2{\rm{arcsin}}\frac{L}{{2R}} $$ (10) 同理，可得流动站高度角的极大值为：
$$ {E_{{\rm{max}}}} = \angle 8 \approx {\alpha _0} + \frac{L}{H} + 2{\rm{arcsin}}\frac{L}{{2R}} $$ (11) 当给定基准站卫星高度角和基线长度后，由式(10)和式(11)即可求出高度角差异的变化范围[Emin, Emax]。考虑到高度角取值范围为0~ $\frac{{\rm{ \mathsf{ π} }}}{2}$，故当Emin < 0时，取Emin=0，当Emax> $\frac{{\rm{ \mathsf{ π} }}}{2}$时，取Emax=π－Emax。再结合经验模型系数，即可计算出每颗卫星在某一长度的基线条件下，站间单差后残留的最大伪距码偏差值。由于伪距码偏差改正模型与高度角以及高度角与基线长度的关系都是非线性的，为计算站间单差后残留的最大伪距码偏差值，本文直接采用搜索法计算极值。
首先，给定基线长度，并设卫星截止高度角为20°，让基准站卫星高度角在20°~90°范围内按照0.1°的步长进行搜索，每给定一个基准站卫星高度角后，由式(10)和式(11)可确定流动站卫星高度角的范围，并限制流动站高度角范围为20°~90°，然后在流动站高度角范围内按照0.1°的步长搜索出每颗卫星站间单差残留的最大伪距码偏差。由模型1和模型2在基线长度分别为100 km、200 km、300 km、500 km时的计算结果如图 2和图 3所示。其中，模型1针对北斗GEO(geostationary earth orbit)、IGSO(inclined geostationary orbit)、MEO(medium earth orbit)这3类卫星建立改正模型，而模型2对IGSO和MEO的每颗卫星建立改正模型。
图 2 模型1计算的站间单差后残留的最大码偏差
Figure 2. Maximum Code Biases of Single Differencing Between Stations Calculated by Model One
图 3 模型2计算的站间单差后残留的最大码偏差
Figure 3. Maximum Code Biases of Single Differencing Between Stations Calculated by Model Two
统计表明，除了PRN 7卫星的B2频率和PRN8卫星的B1频率的计算值外，由模型1计算的最大站间单差残留的码偏差均小于模型2计算值。这主要是由于建模时使用的数据和方法不同，导致建立的多项式伪距码偏差改正模型的系数不同，故最后由不同模型计算的最大站间单差残留码偏差存在差异。
考虑到不同卫星站间差分后的最大伪距码偏差残差各不相同，在最不理想的情况下，双差后残留的最大伪距码偏差是不同卫星同一频率上的最大单差残留值之和。同时，由于双差MW组合中使用了双频伪距观测值，故MW组合中残留的最大偏差值应考虑两个频率上残留的最大伪距码偏差。结合图 2和图 3的结果，由式(4)计算可得理论上双差后残留的最大伪距码偏差对MW组合确定双差宽巷模糊度的影响，其结果见表 1。由计算结果可知，随着基线长度的增加，伪距码偏差对MW组合确定双差宽巷模糊度的影响越来越大，对于300 km基线的影响可达0.36周。同时必须指出，这里的计算结果是从理论上推导出的最大影响，在实际基线解算中伪距码偏差的影响一般会小于该极值。
表 1 伪距码偏差对双差宽巷模糊度的最大影响
Table 1. Maximum Influence of Code Biases on the Double Differenced Wide-Lane Ambiguity Resolution
基线长度/km 模型1计算值/周 模型2计算值/周 100 0.06 0.12 200 0.12 0.24 300 0.17 0.36 500 0.29 0.60 -
为进一步验证双差后残留的伪距码偏差对基线解算的影响，实验选取了8条不同长度的实测基线，这些数据分别来源于广东CORS(continu-ously operating reference system)网、香港CORS网和MGEX(Multi-GNSS Experiment Campai-gn)网，观测日期为2015年年积日第326天，采样间隔为30 s，观测时长为24 h，详细情况见表 2。
表 2 双差宽巷模糊度固定率/%
Table 2. Fixing Rate of Double Differenced Wide-lane Ambiguity/%
基线名称 数据来源 基线长度/km G01- C01- C06- C11- G08 C02 C03 C04 C05 C07 C08 C09 C10 C12 C14 ZQGT-GMGT 广东CORS 45 97 69 61 63 28 84 89 89 90 92 98 HZHY-HYGT 广东CORS108 96 71 71 38 43 85 92 94 94 94 98 HZHY-FSGH 广东CORS 194 96 79 60 79 73 85 90 91 92 84 100 HYGT-FSGH 广东CORS 244 100 48 63 52 35 86 92 88 93 94 98 HYGT-GDLD 广东CORS 337 100 49 56 23 45 82 76 90 91 88 98 XNGT-FSGH 广东CORS 363 97 64 78 80 44 93 90 80 89 74 99 XNGT-LJGT 广东CORS 679 93 23 86 59 40 91 86 78 79 87 75 HKQT-JFNG 香港CORS+MGEX 911 100 63 87 66 20 63 49 95 74 46 64 为分析北斗不同类型卫星在不同基线长度情况下双差宽巷模糊度的固定情况，实验分别选取C01、C06和C11卫星作为参考卫星，并由式(4)计算C01与其他GEO卫星、C06与其他IGSO卫星以及C11与其他MEO卫星的双差宽巷模糊度。同时，每条基线也计算了一组GPS卫星(G01-G08)的双差宽巷模糊度作为参照。在得到双差宽巷模糊度后，用连续多个无周跳历元的平均值取整后作为双差宽巷模糊度真实值，并将双差宽巷模糊度减去该真值得到残差值[21]。考虑到卫星在低高度角时测站多路径影响较大，在数据处理时设卫星截止高度角为20°。由于伪距噪声较大，利用MW组合确定双差宽巷模糊度时，一般需通过多历元平滑取整来固定，当平滑后的模糊度残差小于给定阈值时，认为可以固定双差宽巷模糊度[22]。本文将双差宽巷模糊度残差序列进行了40个历元的平滑，并给定阈值为0.2，统计了此时的双差宽巷模糊度固定率，结果见表 2。
为了更加直观地显示伪距码偏差对双差宽巷模糊度的影响，图 4画出了小于300 km基线中G01-G08、C01-C02、C06-C10和C11-C14的双差宽巷模糊度残差序列图。图 5画出了大于300 km基线的G01-G08、C01-C02以及双差宽巷模糊度固定率最低的IGSO和MEO的双差宽巷模糊度残差序列图。
图 4 小于300 km基线的双差宽巷模糊度残差
Figure 4. Residuals of Double Differenced Wide-Lane Ambiguity with the Baseline Within 300 km
图 5 大于300 km基线的双差宽巷模糊度残差
Figure 5. Residuals of Double Differenced Wide-Lane Ambiguity with the Baseline over 300 km
从表 2可以看出，对于GPS卫星来说，其双差宽巷模糊度固定率不受基线长度的影响，始终保持在90%以上。而对于北斗卫星，结合图 4和图 5发现，GEO卫星的双差宽巷模糊度始终较低，即使在45 km的基线情况下，通过多历元平滑后，GEO卫星的双差宽巷模糊度残差序列仍存在偏差。这表明，无论基线长短，双差都不能较好地消除GEO卫星中的偏差，故偏差中可能存在不是与高度角相关的偏差量。目前，对于GEO卫星的伪距码偏差问题还存在一些争议，其对基线解算的影响也还需更进一步研究。但对于IGSO和MEO卫星而言，当基线长度小于300 km时，虽然北斗双差宽巷模糊度固定率略低于GPS，但基本和GPS保持一致，最低不会低于84%。结合图 4的残差序列图可以看出，对于300 km以内的基线，IGSO和MEO卫星的双差宽巷模糊度残差序列都比较平稳，不存在明显的系统性偏差。这表明，对于300 km以内的基线，双差可以较好地消除IGSO和MEO卫星的伪距码偏差。
然而，当基线长度大于300 km时，从表 2可以看出，部分IGSO和MEO卫星的双差宽巷模糊度固定率低于80%，且基线越长, 这样的卫星数越多。结合图 5的残差序列图发现，此时这些卫星的双差宽巷模糊度残差序列也出现了不同程度的系统性偏差，且基线越长, 系统性偏差越明显。这表明，当基线长度大于300 km时，双差并不能完全消除每颗IGSO和MEO卫星的伪距码偏差，残留的伪距码偏差会影响MW组合确定双差宽巷模糊度，且基线越长, 影响越大。
实验同时比较了理论计算的伪距码偏差对MW组合确定双差宽巷模糊度的最大影响与实测基线的双差宽巷模糊度的平均固定率，如图 6所示。图 6中，黑色和蓝色实线分别表示模型1和模型2计算的理论结果，红色虚线是表 2中IGSO和MEO的平均固定率。由于GEO卫星的伪距码偏差无论基线长短都不能消除，本文不作讨论。从图 6可以看到，随着基线长度的增加，理论上残留的最大伪距码偏差对MW组合确定双差宽巷模糊度的影响越来越大，同时，实测基线的双差宽巷模糊度固定率的平均值也越来越低。但对300 km以内的基线，北斗IGSO和MEO卫星的双差宽巷模糊度平均固定率基本都保持在90%左右。这就验证了理论分析与实测结果的一致性。
图 6 理论最大影响与双差宽巷模糊度平均固定率比较
Figure 6. Comparison of Theoretical Maximum Influence and Average Fixing Rate of Double Differenced Wide-Lane Ambiguity
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本文利用伪距码偏差改正模型计算了双差后残留的最大伪距码偏差, 分析了其对MW组合确定双差宽巷模糊度的影响。结果表明，随着基线长度的增加，伪距码偏差对MW组合确定双差宽巷模糊度的影响越来越大，对300 km基线的影响可达0.36周。本文还分析了实测基线的双差宽巷模糊度残差及其固定率的影响。结果表明，无论基线长短，GEO卫星的双差宽巷模糊度残差中始终存在系统偏差，且其双差宽巷模糊度的固定率也都较低，这表明双差并不能消除GEO卫星的伪距码偏差。而对于IGSO和MEO卫星而言，当基线长度小于300 km时，北斗双差宽巷模糊度残差中基本不存在系统性偏差，其双差宽巷模糊度固定率基本和GPS一致，故此时可以忽略伪距码偏差对基线解算的影响；但当基线超过300 km后，部分北斗卫星的双差宽巷模糊度残差序列中就存在系统性偏差，且其双差宽巷模糊度固定率也较低，这说明此时双差并不能完全消除每颗卫星的伪距码偏差，故需考虑伪距码偏差对基线解算的影响。
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摘要: 北斗二代系统伪距码中存在与高度角相关的系统性偏差，该偏差会影响高精度的数据处理。基于Melbourne-Wübbena（MW）组合，分别利用现有的伪距码偏差改正模型和实测基线的双差宽巷模糊度残差，分析了伪距码偏差对基线解算的影响。理论分析表明，随着基线长度的增加，伪距码偏差对MW组合确定双差宽巷模糊度的影响越来越大，对300 km基线的影响可达0.36周。实际算例表明，无论基线长短，地球同步轨道（geostationary earth orbit，GEO）卫星的双差宽巷模糊度残差中始终存在偏差；而对于倾斜地球同步轨道（inclined geostationary orbit，IGSO）和中轨（medium earth orbit，MEO）卫星而言，当基线小于300 km时，双差基本可以消除伪距码偏差，其双差宽巷模糊度固定率基本和GPS一致，但当基线超过300 km时，部分卫星的双差宽巷模糊度残差就会存在明显偏差，其双差宽巷模糊度固定率也较低，此时需考虑伪距码偏差的影响。Abstract: Pseudorange code biases will influence high precision data processing in BeiDou navigation satellite system (BDS). Based on Melbourne-Wübbena(MW) combination, we have analyzed the effect of code biases on baseline resolution according to the code biases correction models and the residuals of double differenced wide-lane ambiguity of baselines, respectively. The results show that the influence of code biases on double differenced wide-lane ambiguity resolution with MW combination is gradually obvious as the baseline becomes longer. Moreover, the impact on the 300 km baseline may reach up to 0.36 cycles. In addition, the results suggest that the code biases of geostationary earth orbit(GEO) have great influence over both short and long baselines. For inclined geostationary orbit (IGSO) and medium earth orbit (MEO), the code biases have little effect on baseline solution when the baseline is within 300 km, however, the residuals of wide-lane ambiguity of partial satellites have obvious biases when the baseline is over 300 km. Furthermore, the fixing rates of wide-lane ambiguity of these satellites are lower, so we should take into account the influence of code biases on baseline resolution at this time.
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图 2 模型1计算的站间单差后残留的最大码偏差
Figure 2. Maximum Code Biases of Single Differencing Between Stations Calculated by Model One
图 3 模型2计算的站间单差后残留的最大码偏差
Figure 3. Maximum Code Biases of Single Differencing Between Stations Calculated by Model Two
图 4 小于300 km基线的双差宽巷模糊度残差
Figure 4. Residuals of Double Differenced Wide-Lane Ambiguity with the Baseline Within 300 km
图 5 大于300 km基线的双差宽巷模糊度残差
Figure 5. Residuals of Double Differenced Wide-Lane Ambiguity with the Baseline over 300 km
图 6 理论最大影响与双差宽巷模糊度平均固定率比较
Figure 6. Comparison of Theoretical Maximum Influence and Average Fixing Rate of Double Differenced Wide-Lane Ambiguity
表 1 伪距码偏差对双差宽巷模糊度的最大影响
Table 1. Maximum Influence of Code Biases on the Double Differenced Wide-Lane Ambiguity Resolution
基线长度/km 模型1计算值/周 模型2计算值/周 100 0.06 0.12 200 0.12 0.24 300 0.17 0.36 500 0.29 0.60 
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表 2 双差宽巷模糊度固定率/%
Table 2. Fixing Rate of Double Differenced Wide-lane Ambiguity/%
基线名称 数据来源 基线长度/km G01- C01- C06- C11- G08 C02 C03 C04 C05 C07 C08 C09 C10 C12 C14 ZQGT-GMGT 广东CORS 45 97 69 61 63 28 84 89 89 90 92 98 HZHY-HYGT 广东CORS108 96 71 71 38 43 85 92 94 94 94 98 HZHY-FSGH 广东CORS 194 96 79 60 79 73 85 90 91 92 84 100 HYGT-FSGH 广东CORS 244 100 48 63 52 35 86 92 88 93 94 98 HYGT-GDLD 广东CORS 337 100 49 56 23 45 82 76 90 91 88 98 XNGT-FSGH 广东CORS 363 97 64 78 80 44 93 90 80 89 74 99 XNGT-LJGT 广东CORS 679 93 23 86 59 40 91 86 78 79 87 75 HKQT-JFNG 香港CORS+MGEX 911 100 63 87 66 20 63 49 95 74 46 64
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