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GNSS地面基准站数量、测站分布和观测质量是影响卫星定轨精度的主要因素。文献[1]全面地分析了基准站分布对GLONASS卫星定轨与钟差精度的影响。研究表明，基准站布局对区域导航系统具有重要作用，证实了测站的分布和几何强度对定轨精度的影响[2-4]。目前，IGS(international GNSS service)全球跟踪站达到500多个，如何利用现有站点优化选取来提高定轨精度，控制计算成本，进而提高GNSS实时产品服务能力，还有待更深入研究。
当前，普遍采用格网法进行基准站全球均匀选站[5]。其优点是可相对简单直观地获取测站的均匀分布构型，以达到较高定轨精度，然而，当同时考虑多个影响因素(如几何分布、站点稳定性等)时，很难实现全局最优化设计，不能保证几何构型达到最佳[6-7]。此外，该方法属于人机交互操作模式，人为因素干涉大，比较费时。且传统格网法缺少定轨地面构型的评价指标。有研究提出用几何精度衰减因子(geometric dilution of precision, GDOP)值来反映测站分布均匀程度[8-10]。GDOP值越小，测站分布越均匀，几何构型越好。文献[5]研究讨论了卫星定轨地面站几何构型对定轨精度的影响，地面站点的MDOP (定轨动力学参数精度衰减因子)越小，卫星定轨精度越高。MDOP值与地面站的均匀分布程度密切相关，且直接影响卫星轨道精度。
本文提出基于格网控制概率分配的测站随机优化选取方法，实现定轨测站构型自动优化筛选。在兼顾测站多个质量因子和测站几何分布的基础上，引入基于地面站均匀分布的评价指标来衡量测站构型的优劣。该方法可在有限时间内获取更好的地面测站分布构型，提高定轨参数、钟差参数和地球自转参数等的解算精度；能够快速自动选取高质量和最佳几何分布的测站。
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当利用地面观测站进行GNSS定轨时，卫星定轨的几何观测距方程可简写为：
$$ \rho_{j_{k}}^{i}=R_{j_{k}}^{i}+f(p)+\varepsilon_{j_{k}}^{i} $$ (1) 式中，ρjki为第k个历元卫星i与测站j之间实际距离；$R_{j_{k}}^{i}=\left[\left(x_{k}^{i}-X_{j k}\right)^{2}+\left(y_{k}^{i}-Y_{j_{k}}\right)^{2}+\left(z_{k}^{i}-\right.\right.Z_{j k} )^{2} ]^{\frac{1}{2}}$表示测站与卫星之间的几何距离；(x, y, z)表示卫星坐标；(X, Y, Z)表示测站坐标; εk表示观测噪声；f(p)表示钟差、模糊度、对流层、地球自转参数等附加模型参数。下文仅讨论轨道位置参数有关的几何图形矩阵，即假设这些参数均已解算得到。将式(1)按照一阶泰勒级数展开，得到误差方程式的线性化形式为：
$$ \Delta \boldsymbol{\rho}_{k}=\boldsymbol{H}_{k} \Delta \boldsymbol{X}+\boldsymbol{\varepsilon}_{k}, k=1,2 \cdots N $$ (2) 式中，Hk为第k个观测历元对应的几何图形矩阵，表达式为：
$$ \boldsymbol{H}_{k}=\left[\begin{array}{ccc}{\frac{x_{k}-X_{k, 1}}{R_{k}}} & {\frac{y_{k}-Y_{k, 1}}{R_{k}}} & {\frac{z_{k}-Z_{k, 1}}{R_{k}}} \\ {\frac{x_{k}-X_{k, 2}}{R_{k}}} & {\frac{y_{k}-Y_{k, 2}}{R_{k}}} & {\frac{z_{k}-Z_{k, 2}}{R_{k}}} \\ {\vdots} & {\vdots} & {\vdots} \\ {\frac{x_{k}-X_{k, n}}{R_{k}}} & {\frac{y_{k}-Y_{k, n}}{R_{k}}} & {\frac{z_{k}-Z_{k, n}}{R_{k}}}\end{array}\right] $$ 式中，n表示测站数；k表示观测历元。对式(2)按照最小二乘准则对卫星位置的修正值求解得[11]：
$$ \Delta \boldsymbol{X}=\left(\boldsymbol{H}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{H}\right)^{-1} \boldsymbol{H}^{\mathrm{T}} \Delta \boldsymbol{\rho}_{k} $$ (3) 其中，$\boldsymbol{H}=\sum\limits_{k=1}^{N} \boldsymbol{H}_{k}$, 由式(3)的误差引起的定轨位置误差为[12]：
$$ \sigma_{r}=\sqrt{\sigma_{x}^{2}+\sigma_{y}^{2}+\sigma_{z}^{2}}=\sigma_{0} \sqrt{\operatorname{tr}\left(\boldsymbol{H}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{H}\right)^{-1}} $$ (4) $$ \mathrm{MDOP}=\left[\operatorname{tr}\left(\boldsymbol{H}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{H}\right)^{-1}\right]^{\frac{1}{2}} $$ (5) 式中，tr表示矩阵对角线上的元素和，即矩阵的迹；σ0为距离测量中误差。当中误差一定时，MDOP的大小主要取决于H矩阵结构，而矩阵H由卫星与基准站之间的方向余弦构成，因此矩阵H的结构与测站相对于卫星的空间分布有着密切的联系。
地面站对卫星定轨的几何构型随着时间不断变化(见图 1)。在卫星定轨中，常使用一定弧段的观测资料积累实现定轨，此时，多个地面站、多个历元对卫星的累积观测资料给出了卫星定轨的几何信息。对应第j个测站，其几何图形矩阵可参数化为：
图 1 测站与卫星空间分布关系
Figure 1. Station Distribution for Satellite Orbit Determination
$$ \begin{array}{c}{\boldsymbol{H}_{k, j}=\left[\sin \theta_{j} \cos \varphi_{i} \quad \sin \theta_{j} \sin \varphi_{i} \quad \cos \theta_{j}\right]} \\ {j=1,2 \cdots n}\end{array} $$ (6) 式中，θj为卫星与地心连线和卫星与测站分布组成的圆锥半角；φi为卫星与测站分布的连线投影到地面与地球直角坐标系x轴的夹角。研究表明[13]，假设当地面测站均匀分布(如构成嵌套圆锥构型)时，可得：
$$ \begin{array} [c]{c} \left(\boldsymbol{H}_{k}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{H}_{k}\right)^{-1}=\\\operatorname{diag}\left(\frac{1}{\sum\limits_{c=1}^{T} \frac{n_{c}}{2} \sin ^{2} \theta_{j}}, \frac{1}{\sum\limits_{c=1}^{T} \frac{n_{c}}{2} \sin ^{2} \theta_{j}}, \frac{1}{\sum\limits_{c=1}^{T} n_{c} \cos ^{2} \theta_{j}}\right) \end{array} $$ (7) 式中，nc为第c个圆锥上的测站数；T为圆锥面总数。
当地面测站均匀分布在地球表面时，随着卫星的运动，其可见地面站都均匀可见，在此理想情形下，可累加得到：
$$ \left(\boldsymbol{H}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{H}\right)^{-1}=\left[\sum\limits_{k=1}^{\mathrm{N}}\left(\boldsymbol{H}_{k}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{H}_{k}\right)\right]^{-1} $$ (8) 由式(5)和式(8)可知，观测弧段越长，即观测历元越多，MDOP的值越小。将式(5)进一步展开得：
$$ \begin{aligned} \mathrm{MDOP}^{2} &=2\left(\sum\limits_{k=1}^{N} \sum\limits_{c=1}^{T} \frac{n_{c}}{2} \sin ^{2} \theta_{j}\right)^{-1}+\\ &\left(\sum\limits_{k=1}^{N} \sum\limits_{c=1}^{T} n_{c} \cos ^{2} \theta_{j}\right)^{-1} \end{aligned} $$ (9) 根据式(9)可知，在一定观测弧段，当测站数和圆锥面总数相同时，θj变大，即测站的分布较开阔时，MDOP值会变小，定轨精度提高。当测站分布均匀时，圆锥面总数会增多，T变大，MDOP的函数值减小。观测历元N越大，测站数nc越多，都会使得MDOP的值变小。
可见，随着观测时间的增长、测站数目的增多，定轨的几何图形在不断改善，即定轨精度不断提高。卫星可见性和数量一定的条件下，测站分布越广，定轨效果越好。因此考虑测站分布和质量，完善测站的选取方法，对定轨精度的提高有重要影响。
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目前常采用选站的方法是格网法，其基本思想是采用经纬度格网划分。该方法主要是根据选取的测站数量，用合适的经纬度格网划分全球，把多个离散站点划分在不同的区域。经纬度的格网数num用式(10)计算：
$$ \operatorname{num}=\left[\frac{360}{10 n} \times \frac{180}{10 n}\right], \quad n=1,2 \cdots n $$ (10) 式中, [ ]表示向上取整。
由于测站在全球分布极其不均匀，格网中站点数目也不同，这时一般需要综合考虑每个测站位置和质量，选取每个格网中较为理想的定轨测站构型。需要指出，格网法实际上很难实现一些素数问题的划分。
该方法主要考虑测站分布，很难同时权衡考虑测站稳定性和测站观测质量等信息，人为控制因素较多，具有一定的人为性。针对这种弊端，本文基于组合优化设计思想，针对全组合的候选构型数目巨大的问题，提出了导航卫星定轨测站构型的随机组合优化方法。
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基于以上问题，本文提出格网控制概率下的测站筛选方法，把概率统计思想引入测站选取中，即在格网法基础上，兼顾测站数据质量、稳定性和地理分布等信息，为每个测站综合分配一定的概率。基本思想如下：
1) 测站概率的格网控制
全球基准站的分布有地区性差异，为避免选取的测站集中在某一区域，需对测站位置进行整体控制，提高全局解随机优化收敛能力。将全球按照式(11)的格网均匀分区，统计格网中测站的数量及质量等信息。
$$ J W=180 / \sqrt{n / 2} $$ (11) 式中，JW表示经纬度网格的大小，单位为(°)；n为测站数。
2) 测站概率二次分配
当站点精度高，观测质量好，测站分配较大概率，概率分配计算公式为：
$$ G_{j}^{l}=\frac{b {\sigma_{0 j}}^{2}}{\sum\limits_{j=1}^{n_{l}} {\sigma_{0 j}}^{2}}+\frac{d m p_{j}}{\sum\limits_{j=1}^{n_{l}} m p_{j}} $$ (12) 式中，σ0j2=σX2+σY2+σZ2, 其中σX、σY、σZ为站点坐标分别在X、Y、Z方向的中误差；Gjl表示第l个格网中j点的概率；nl为格网中的点数; mpj为j点的多路径误差值；b、d表示经验值。
3) 蒙特卡洛随机实验
按照随机选取的原则，首先给每一个测站分配相应的概率：
$$ F_{j}=G_{j}^{l} \frac{1}{\mathrm{num}_{-} \mathrm{block}} $$ (13) 式中，num_block为含有测站的格网数；Fj为测站j的概率。
将所有测站作为实验总体，样本为S，从中随机选取n个测站，即随机选取一组测站列表：
$$ {\rm select}_{-} \text { list }=\operatorname{randsrc}(n, 1,[S ; F]) $$ (14) 式中，F为包含所有测站概率的矩阵；randsrc为按照概率F大小在总样本S选取n个测站的算法；select_list为测站列表。
4) 实验样本的筛选指标
当控制点均匀分布时，控制图形几何中心位置的GDOP可达到极小值[14]，为此可以计算地面n个测站对地心的GDOP值作为衡量地表测站均匀分布程度的指标。GDOP值越小，测站分布越均匀，同时几何图形对称性越好，此时定轨构型越好，每颗卫星定轨的动力学几何因子MDOP值越小。需要指出，构型优劣的评价指标并不唯一，例如，使用构型的体积最大指标、测站网间平均距离最短等指标。
本文提出加权GDOP准则，加权GDOP越小，选择测站的组合越好[7]，即得到测站列表。这种方法不仅能考虑到测站的质量和几何构型，而且还能使两者达到很好组合，使得定轨结果达到最佳。加权GDOP计算如下：
$$ \boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{cccc}{X_{1}} & {Y_{1}} & {Z_{1}} & {1} \\ {X_{2}} & {Y_{2}} & {Z_{2}} & {1} \\ {\vdots} & {\vdots} & {\vdots} & {\vdots} \\ {X_{n}} & {Y_{n}} & {Z_{n}} & {1}\end{array}\right] $$ (15) $$ \begin{array} [c]{c} \boldsymbol{P}=\operatorname{diag}\left(\frac{b s_{1}}{{\sigma_{0,1}}^{2}}+\frac{d s_{2}}{m p_{1}}, \frac{b s_{1}}{{\sigma_{0,2}}^{2}}+\frac{d s_{2}}{m p_{2}}\right) \cdot\\ \frac{b s_{1}}{{\sigma_{0, n}}^{2}}+\frac{d s_{2}}{m p_{n}} \end{array} $$ (16) $$ \mathrm{GDOP}=\operatorname{tr}\left(\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{P} \boldsymbol{A}\right)^{-1} $$ (17) 式中，s1和s2分别表示所有测站方差和多路径误差的中位数; b、d为经验值; P表示每组测站的权重。依据抗差估计理论[15]，当bs1/σ0, n2+ds2/mpn大于1时直接赋权重为1，小于1时按照实际值输出。避免有些点对几何构型改善明显，但质量较差，测站给的权重太小，从而使加权GDOP值过大，丧失该测站在定轨中应有的价值，进而降低该指标的有效性[16]。
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本文选取的实验数据来源于IGS网站，共203个站，测站精确坐标从SINEX文件获得。基于格网控制概率的随机优化方法，设定实验的采样数(本文选择10 000次)，然后按测站加权GDOP值大小排序，选出最小加权GDOP值的测站组合，即要选取的测站。其流程如图 2所示。
图 2 测站选取流程
Figure 2. Process of Stations Selection
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选择处理时间段为2016年年积日为180~194共15 d GPS观测数据。采取以上方法选取测站后，以IGS在官方发布的精密卫星的最终轨道作为参考评价的指标[17]，数据处理策略见表 1。
表 1 GPS精密定轨处理策略
Table 1. GPS Precise Orbit Determination Strategy
类别 模型和参数 观测量 消电离层组合伪距和相位非差观测值 采样间隔 300 s 高度截止角 7° 时间系统 GPS时 相对论效应 考虑 大气延迟 Saastamoinon模型+过程噪声 太阳光压 BERN5参数模型 地球重力场模型 EGM96模型12阶 潮汐 固体潮、海潮和极潮 地面接收机天线相位变化 igs_absolute_08.atx 初始轨道 广播星历 按照随机优选方法进行10 000次采样，每组测站实际最小加权GDOP值和理论值与测站数量的关系如图 3所示。
图 3 测站数与GDOP的关系
Figure 3. Relationship Between the Number of Stations and GDOP
从图 3可以看出，总体上，实际GDOP值与理论GDOP值随着测站增加而逐渐接近，测站数目达到一定数量，两者的变化曲线最终重合。随着测站数增加，加权GDOP的值逐渐减小，测站构成的几何图形逐渐变好。当测站数比较少，特别是小于60个站时，GDOP值的变化率比较大，说明在一定范围内，测站数增加，几何构型改善比较明显。当测站数达到60个以上，加权GDOP值基本不再发生变化，它的变化率趋向于0，这时再增加测站对几何结构改善随着测站数目增多变化缓慢。
以30个站为例，最小GDOP测站分布与卫星运行的轨迹如图 4所示(其中蓝色三角为测站，红色轨迹为卫星G01~G10运行轨迹)。选取样本中10个加权GDOP最小和10个最大的测站列表进行实验，以便对结果做统计分析。选取10、20、…、90个测站对GPS卫星进行精密定轨，计算轨道结果与IGS最终轨道比较，限于篇幅，给出部分精度图。
图 4 GNSS卫星分布图
Figure 4. Distribution of GNSS Satellites
图 5中，横坐标表示实验的组数，1~10和11~20分别表示选取最小和最大的加权GDOP值的实验组各10个，纵坐标表示GPS卫星定轨精度结果的均值。可以看出，当测站数相同时，前10组实验的定轨结果明显好于后10组，加权GDOP值的大小能够在一定程度上表示定轨精度的好坏。测站数一定，加权GDOP值越小，定轨精度越好。其中当测站数为10个时，最小和最大加权GDOP实验组的平均定轨精度分别为10.53 cm、43.14 cm，两者精度相差32.61 cm。测站数为30时，两者的平均定轨精度分别为2.13 cm、3.57 cm；90个测站时，两者的定轨精度分别为1.10 cm、1.32 cm，仅差0.22 cm。说明当测站达到一定数量，几何构型对导航卫星定轨精度的影响逐渐减弱。前10组计算的结果波动小，后10组相对波动较大。可以得出，加权GDOP值越小，计算结果越稳定。图 6表示加权GDOP值与定轨精度的关系图，可以看出定轨精度与加权GDOP的值成负相关。
图 5 不同测站的GPS定轨精度
Figure 5. GPS Orbit Determination Accuracy of Different Stations
图 6 加权GDOP值与定轨精度的关系图
Figure 6. Relationship Between Weighted GDOP Value and Orbit Determination Accuracy
随着测站数增多，GPS定轨精度会逐渐升高。选取30个测站时，GPS精密定轨的精度为2.13 cm。测站数小于60时，增加测站，定轨精度提高显著；测站数多于60时，定轨精度不会再有较大的提升。
分别以30和60个测站为例，计算15 d GPS精密定轨的结果，用传统格网法与本文提出方法轨道精度进行对比分析，如图 7所示。可以看出，随机优化选站的方法精度整体要高于格网法，在30个测站时，格网法平均定轨精度为3.64 cm，随机优化算法的精度为2.15 cm，提高了1.49 cm。60个测站时，格网法的精度为1.38 cm，本文方法的精度为1.26 cm，整体精度提高9.5%。可以看出，测站数量越少，本文方法的优势越明显。
图 7 格网法与随机优化法精度对比
Figure 7. Accuracy Comparison Between Grid Method and Stochastic Optimization Method
用随机优化的方法选取90、160和203个测站计算的轨道精度如图 8所示。
图 8 不同测站数量定轨精度图
Figure 8. Orbit Determination Accuracy of Different Stations
从图 8中可以看出，测站数为90、160和203时，定轨精度与测站数为60时相当，定轨精度并没有随测站的增加而提高，测站数为160时，平均轨道精度为1.03 cm，全部203个测站参与解算时，精度为1.08 cm。可见，当测站数达到一定程度，测站数增加并不会显著提高定轨精度，反而可能会使定轨精度降低。而且随着测站数增多，需要解算的定轨参数会大大增加，解算时间会加倍增长。
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本文提出的基于格网控制概率下的随机优选方法，能够快速自动选取几何分布与测站质量占优的测站列表，可广泛应用于实时精密轨道和预报轨道的解算中。通过该方法统计分析了15 d观测数据的定轨结果，进一步得出以下结论：①加权GDOP值越小，测站与卫星组成的几何构型越好，定轨的精度越高。②在一定范围内，随着测站数的增加，选取的测站数大于60时，定轨几何结构信息改善变化缓慢。③选取60个测站，定轨的精度能达到1.26 cm，与基于所选取的203个测站的定轨精度相当。并且当选取160个测站时，其精度比全部测站参与解算的精度要高。表明测站数目多，解算的轨道精度不一定高。
该方法应用效果优于格网法，特别是选取少量测站时，例如30个测站，定轨精度提高显著。结合神经网络法或蚁群，有望进一步提高该方法全局最优解的搜索效率。
Stochastic Optimization on Global Ground Reference Station Network for GNSS Satellite Precise Orbit Determination
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摘要: 为确保GNSS精密定轨精度和可靠性，需要顾及站点稳定性和观测质量等信息，在全球范围内均匀选取一定数目的地面基准站。在探讨测站数量和分布对导航卫星精密定轨影响的基础上，针对GNSS定轨地面跟踪站在全球分布不均匀的现状，综合考虑站点几何分布、站点稳定性和观测质量信息，提出基于格网控制概率下的全球测站随机优选方法。该方法综合利用格网方法和随机优化方法，通过全球测站分配一定的概率，进而随机抽样和筛选得到全球均匀分布的测站构型。实验结果显示，该方法在全球范围内选取30个测站时，GPS精密定轨的精度能达到2.15 cm，60个测站时，定轨精度优于1.26 cm；90个测站时，定轨精度可提高到1 cm以内。Abstract: The influence of the number and distribution of ground tracking stations on the precision orbit determination of navigation satellites is analyzed, and a stochastic optimization method for selecting the ground tracking stations for GNSS satellite precise orbit determination is proposed. The proposed method takes the information such as site location and quality into account, by assigning a certain probability to the global station. An algorithm is designed to optimally select a set of IGS ground tracking stations to achieve GPS satellite precise orbit determination of high precision. The results show that, based on the proposed method, by using 30 stations, the optimally-selected GPS precision orbit accuracy can reach 2.15 cm, while by using 60 stations the accuracy is better than 1.26 cm, the number of stations reaches 90, the precision of orbit determination can be increased to 1 cm.
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Key words:
- precise orbit determination /
- stochastic optimization /
- station distribution /
- GDOP
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图 6 加权GDOP值与定轨精度的关系图
Figure 6. Relationship Between Weighted GDOP Value and Orbit Determination Accuracy
图 7 格网法与随机优化法精度对比
Figure 7. Accuracy Comparison Between Grid Method and Stochastic Optimization Method
表 1 GPS精密定轨处理策略
Table 1. GPS Precise Orbit Determination Strategy
类别 模型和参数 观测量 消电离层组合伪距和相位非差观测值 采样间隔 300 s 高度截止角 7° 时间系统 GPS时 相对论效应 考虑 大气延迟 Saastamoinon模型+过程噪声 太阳光压 BERN5参数模型 地球重力场模型 EGM96模型12阶 潮汐 固体潮、海潮和极潮 地面接收机天线相位变化 igs_absolute_08.atx 初始轨道 广播星历 
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