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顾及地形效应的地面重力向上延拓模型分析与检验

刘敏 黄谟涛 邓凯亮 欧阳永忠 翟国君 吴太旗

刘敏, 黄谟涛, 邓凯亮, 欧阳永忠, 翟国君, 吴太旗. 顾及地形效应的地面重力向上延拓模型分析与检验[J]. 武汉大学学报 ● 信息科学版, 2018, 43(1): 112-119. doi: 10.13203/j.whugis20150519
引用本文: 刘敏, 黄谟涛, 邓凯亮, 欧阳永忠, 翟国君, 吴太旗. 顾及地形效应的地面重力向上延拓模型分析与检验[J]. 武汉大学学报 ● 信息科学版, 2018, 43(1): 112-119. doi: 10.13203/j.whugis20150519
LIU Min, HUANG Motao, DENG Kailiang, OUYANG Yongzhong, ZHAI Guojun, WU Taiqi. Test and Analysis of Upward Continuation Models for Earth Surface Gravity with Regard to the Effect of Topographic Height[J]. Geomatics and Information Science of Wuhan University, 2018, 43(1): 112-119. doi: 10.13203/j.whugis20150519
Citation: LIU Min, HUANG Motao, DENG Kailiang, OUYANG Yongzhong, ZHAI Guojun, WU Taiqi. Test and Analysis of Upward Continuation Models for Earth Surface Gravity with Regard to the Effect of Topographic Height[J]. Geomatics and Information Science of Wuhan University, 2018, 43(1): 112-119. doi: 10.13203/j.whugis20150519

顾及地形效应的地面重力向上延拓模型分析与检验

doi: 10.13203/j.whugis20150519
基金项目: 

国家自然科学基金 41474012

国家自然科学基金 41374018

国家重大科学仪器设备开发专项 2011YQ12004503

国家基础研究计划 613219

详细信息

Test and Analysis of Upward Continuation Models for Earth Surface Gravity with Regard to the Effect of Topographic Height

Funds: 

The National Natural Science Foundation of China 41474012

The National Natural Science Foundation of China 41374018

the Great Scientific Instrument Development Project of China 2011YQ12004503

the National Basic Research Program of China 613219

More Information
  • 摘要: 重力向上延拓在外部重力场逼近和航空重力测量数据质量评估中具有重要应用。本文深入分析研究了6种向上延拓计算模型的技术特点和适用条件,提出了应用超高阶位模型加地形改正、点质量方法结合移去-恢复技术实现“先向下后向上延拓”计算的实施策略,探讨了计算过程特别是前端向下延拓过程的稳定性问题。通过实际数值计算,定量评估了地形质量对不同高度向上延拓结果的影响,对比分析了不同向上延拓模型顾及地形效应的实际效果,同时对向上延拓模型计算精度进行了估计。在地形变化比较激烈的山区,地形质量对向上延拓结果的影响最大可达几十个mGal(10-5m·s-2),当计算高度为10 km时,该项影响超过3 mGal;向上延拓计算模型误差(不含数据误差影响)一般不超过1 mGal;基于超高阶位模型和地形改正信息实施向下延拓过渡的布阿桑(Poisson)积分向上延拓模型,具有计算过程简便、计算结果稳定可靠等优点。
  • 图  1  重力异常等值线图

    Figure  1.  Contour Map of Anomalies

    图  2  地形高度等值线图

    Figure  2.  Contour Map of Terrain Height

    表  1  向上延拓数据传播误差估计/(10-5m·s-2)

    Table  1.   Error Propagation of Upward Continuation/(10-5m·s-2)

    H/km 1 2 3 4 5
    m0=±2 1.70 0.85 0.57 0.42 0.34
    m0=±4 3.39 1.70 1.13 0.85 0.68
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    表  2  试验区块重力和地形数据变化特征统计

    Table  2.   Statistics of Gravity and Terrain Data in Test Area

    参量 最小 最大 均值 均方根
    重力/(10-5m·s-2) -96.1 167.2 5.5 40.5
    地形高度/m 1 056 4 116 1 987 2 035
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    表  3  模型一与其它模型的对比结果统计/(10-5m·s-2)

    Table  3.   Statistics of Differences Between Model No.1 and the Other Models/(10-5m·s-2)

    模型二 模型三 模型四 模型五
    均值 均方根 均值 均方根 均值 均方根 均值 均方根
    高度1 km -3.5 43.4 -3.5 43.4 -2.2 22.6 -2.6 29.4
    高度3 km -1.6 8.6 -1.6 8.6 -1.0 7.0 -1.5 8.7
    高度5 km -1.5 5.9 -1.5 5.9 -0.9 5.2 -1.4 5.9
    高度10 km -1.4 3.5 -1.4 3.9 -0.9 3.1 -1.3 3.5
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    表  4  不同模型计算0 m高度面重力异常/(10-5m·s-2)

    Table  4.   Anomalies at 0 m from Different Models/(10-5m·s-2)

    模型二 模型三 模型四 模型五
    均值 均方根 均值 均方根 均值 均方根 均值 均方根
    7.1 56.1 7.2 57.2 6.5 49.3 6.2 232.1
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    表  5  数据误差对延拓计算结果的影响估计/(10-5m·s-2)

    Table  5.   Influences of Data Error on Upward Continuations/(10-5m·s-2)

    误差量 延拓高度/km 模型一 模型二 模型三 模型四 模型五
    均值 均方根 均值 均方根 均值 均方根 均值 均方根 均值 均方根
    2 3 -0.02 0.48 -0.02 1.00 -0.01 1.59 -0.02 0.48 -0.02 1.09
    5 -0.02 0.27 -0.02 0.37 -0.01 1.01 -0.02 0.27 -0.02 0.43
    4 3 -0.02 0.94 -0.20 1.97 -0.01 3.11 -0.02 0.93 -0.02 1.99
    5 -0.03 0.52 -0.03 0.72 -0.02 1.98 -0.03 0.51 -0.03 0.84
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出版历程
  • 收稿日期:  2016-04-17
  • 刊出日期:  2018-01-05

顾及地形效应的地面重力向上延拓模型分析与检验

doi: 10.13203/j.whugis20150519
    基金项目:

    国家自然科学基金 41474012

    国家自然科学基金 41374018

    国家重大科学仪器设备开发专项 2011YQ12004503

    国家基础研究计划 613219

    作者简介:

    刘敏, 博士生, 主要从事海洋重力场测定理论方法及应用研究。Ouyangyz@sohu.com

    通讯作者: 邓凯亮, 博士。dengkailiang036@163.com
  • 中图分类号: P223

摘要: 重力向上延拓在外部重力场逼近和航空重力测量数据质量评估中具有重要应用。本文深入分析研究了6种向上延拓计算模型的技术特点和适用条件,提出了应用超高阶位模型加地形改正、点质量方法结合移去-恢复技术实现“先向下后向上延拓”计算的实施策略,探讨了计算过程特别是前端向下延拓过程的稳定性问题。通过实际数值计算,定量评估了地形质量对不同高度向上延拓结果的影响,对比分析了不同向上延拓模型顾及地形效应的实际效果,同时对向上延拓模型计算精度进行了估计。在地形变化比较激烈的山区,地形质量对向上延拓结果的影响最大可达几十个mGal(10-5m·s-2),当计算高度为10 km时,该项影响超过3 mGal;向上延拓计算模型误差(不含数据误差影响)一般不超过1 mGal;基于超高阶位模型和地形改正信息实施向下延拓过渡的布阿桑(Poisson)积分向上延拓模型,具有计算过程简便、计算结果稳定可靠等优点。

English Abstract

刘敏, 黄谟涛, 邓凯亮, 欧阳永忠, 翟国君, 吴太旗. 顾及地形效应的地面重力向上延拓模型分析与检验[J]. 武汉大学学报 ● 信息科学版, 2018, 43(1): 112-119. doi: 10.13203/j.whugis20150519
引用本文: 刘敏, 黄谟涛, 邓凯亮, 欧阳永忠, 翟国君, 吴太旗. 顾及地形效应的地面重力向上延拓模型分析与检验[J]. 武汉大学学报 ● 信息科学版, 2018, 43(1): 112-119. doi: 10.13203/j.whugis20150519
LIU Min, HUANG Motao, DENG Kailiang, OUYANG Yongzhong, ZHAI Guojun, WU Taiqi. Test and Analysis of Upward Continuation Models for Earth Surface Gravity with Regard to the Effect of Topographic Height[J]. Geomatics and Information Science of Wuhan University, 2018, 43(1): 112-119. doi: 10.13203/j.whugis20150519
Citation: LIU Min, HUANG Motao, DENG Kailiang, OUYANG Yongzhong, ZHAI Guojun, WU Taiqi. Test and Analysis of Upward Continuation Models for Earth Surface Gravity with Regard to the Effect of Topographic Height[J]. Geomatics and Information Science of Wuhan University, 2018, 43(1): 112-119. doi: 10.13203/j.whugis20150519
  • 重力向上和向下延拓是地球外部重力场赋值和多源数据融合处理最常用的技术手段之一[1-2]。近年来,我国的航空重力测量技术取得了较大发展[3-6]。航空重力测量成果是飞行高度上的重力扰动或重力异常,实际应用时需要将空中重力观测参量向下延拓到地面或大地水准面,以便联合其他类型的观测数据进行大地测量应用计算[7-9]。但应用中也会遇到相反的地球外部重力场赋值需求[1],比如航空重力测量系统技术性能评估与测量数据质量外部检核问题,需要将已知的地面重力向上延拓到飞行高度,直接与航空重力测量成果作比对和分析[10-11],以便对其观测精度作出客观评价。

    布阿桑(Poisson)积分方程是最常用的重力向上延拓解算模型之一[2]。该模型源于底律希勒(Dirichlet)边值问题的球面解,不能顾及地形高度起伏的影响,故只适用于海域重力向上延拓解算[11]。在实际应用中,国内外不少学者忽略了该模型的适用条件,直接将其应用于陆域重力向上延拓解算[7, 10, 12-16],引入了附加的计算误差,其量值大小取决于研究区域重力场和地形变化的复杂程度。地形因素是客观存在的,故在陆域必须考虑地形效应的影响。Moritz[1]推出了根据地面重力异常和地形高度数据计算外部空间重力异常的精密公式, 该模型计算过程比较复杂,现有数据条件难以保证计算精度,故在实践中极少被采用。目前, 在实施重力向下延拓计算中,一般采用“移去—恢复”技术,即首先移去地形质量对空中重力异常的影响,然后使用Poisson积分完成向下延拓计算,最后在计算结果中恢复地形质量的影响[8, 17]。在实施重力向上延拓计算时,也可以采用类似的思路来顾及地形效应的影响。但是,移去地形引力对地面重力影响后,仍需要将地面重力异常残差向下延拓到海平面才能应用于Poisson积分计算,这一过程又涉及不规则地形面处理问题。为了规避此问题,本文将Bjerhammar边值置换理论中的点质量方法应用到重力向上延拓计算[18-19],同时提出利用超高阶位模型加地形改正信息将地面重力向下延拓到海平面,然后通过Poisson积分实现向上延拓的稳定解算。

    • 据文献[2],由Dirichlet边值问题的球面解可直接写出重力向上延拓的Poisson积分公式:

      $$ \Delta {g_p} = \frac{{{R^2}\left( {r_p^2 - {R^2}} \right)}}{{4\pi {r_p}}}\iint\limits_\sigma {\frac{{\Delta g}}{{{D^3}}}d\sigma } $$ (1)

      式中,Δgp为空中待求计算点P处的重力异常;R为地球平均半径;rp=R+HH为计算点P的海拔高;D2=rp2+R2-2rpRcosψψrpR之间的夹角;Δg为地面重力异常;为单位球积分面积元。式(1)把积分面视为球面,忽略了地形高度的影响,因此只是近似的球面解模型(以下简称模型一)。在实际计算中,一般选用位模型作为参考场以减弱积分远区效应的影响,事先使用δΔgg-Δgwc替代式(1)中的Δg进行数值积分计算,事后在计算结果中恢复计算高度上的位模型重力异常[11-13]

    • 针对Poisson积分模型的球近似问题,Moritz基于格林(Green)恒等式,导出了顾及地形高一阶项影响的地球外部重力场扰动位解,并据此推出了相应的由地面重力异常向上延拓到一定高度的空中重力异常精密计算公式,其在平面直角坐标表示下的具体形式为[1]

      $$ T = {T_0} + {T_1} $$ (2)
      $$ \Delta {g_p} = \Delta {g_{0,p}} + \Delta {g_{1,p}} $$ (3)
      $$ \Delta {g_{0,p}} = \frac{H}{{2\pi }}\iint {\frac{{\Delta g}}{{{D^3}}}{\rm{d}}x{\rm{d}}y} $$ (4)
      $$ \begin{gathered} \Delta {g_{1,p}} = - \frac{1}{{4\pi }}\iint {\left( {\frac{1}{{{D_3}}} - \frac{{3{H^2}}}{{{D^5}}}} \right){T_1}{\rm{d}}x{\rm{d}}y} + \hfill \\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\frac{H}{{4\pi }}\iint {\frac{{{g_1}}}{{{D^3}}}{\rm{d}}x{\rm{d}}y} - \hfill \\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\frac{{3H}}{{4\pi }}\iint {\left( {\frac{3}{{{D^5}}} - \frac{{5{H^2}}}{{{D^7}}}} \right){T_0} \cdot h{\rm{d}}x{\rm{d}}y} + \hfill \\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\frac{{3H}}{{4\pi }}\iint {\frac{s}{{{D^5}}}{T_0} \cdot \tan \tau {\rm{d}}x{\rm{d}}y} - \hfill \\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\frac{1}{{4\pi }}\iint {\left( {\frac{1}{{{D^3}}} - \frac{{3{H^2}}}{{{D^5}}}} \right)\Delta g \cdot h{\rm{d}}x{\rm{d}}y} \hfill \\ \end{gathered} $$ (5)

      式中,T0T1分别代表对应于莫洛金斯基(Molodensky)边值问题解的地面扰动位T的零阶项和一阶项;Δg0, p和Δg1, p分别为空中待求计算点重力异常的零阶项和一阶项;h为积分流动点Q的地形高度;g1=-γ(ξtanβ1+ηtanβ2),γ为正常重力,ξη为垂线偏差的南北向和东西向分量,β1β2为地形倾斜角的南北向和东西向分量;s2=x2+y2;tanτ=∂h/∂x;其它符号意义同前。Moritz曾通过模拟仿真方法,对延拓重力异常一阶项Δg1, p作了定量估算,认为在绝大多数情况下,Δg1, p的量值大小不会超过其总量Δgp的10%。由式(5)知,Δg1, p不仅与对应的一阶项g1T1有关,还与T0·hT0·tanτ和Δg·h三个乘积项相关联,其计算过程相当复杂,计算精度很难得到保证,因此在实际应用中受到了很大制约。Moritz建议应用时应优先考虑首先使用向下延拓方法,将地面重力异常延拓到海平面,然后采用球面解模型完成向上延拓计算,本文将其简称为“先向下后向上延拓”方法。向下延拓计算采用下式[1-2]

      1) 取初值

      $$ \Delta {g^h}\left( 0 \right) = \Delta {g^d} $$ (6)

      2) 第k次迭代

      $$ \begin{gathered} \Delta g_p^h\left( k \right) = \Delta g_p^d - \frac{{{t^2}\left( {1 - {t^2}} \right)}}{{4\pi }} \cdot \hfill \\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\iint\limits_\sigma {\frac{{\left[ {\Delta {g^h}\left( {k - 1} \right) - \Delta g_p^h\left( {k - 1} \right)} \right]}}{{{D^3}}}{\rm{d}}\sigma } \hfill \\ \end{gathered} $$ (7)

      式中,Δgd和Δgh分别代表相对应的地面和海平面重力异常;t=R/rr=R+hp。由式(6)、式(7)和式(1)联合组成的模型称为基于迭代向下延拓过渡的向上延拓模型(以下简称模型二)。

    • 球面解模型即式(1)的主要缺陷是未能顾及地形效应的影响。解决此问题有两种途径:一种是“先向下后向上延拓”方法;另一种是“移去—恢复”方法,“移去”是指从地面重力异常Δgd中移去地形质量引力的作用,δΔgdgd-Δgdg,Δgdg为地形质量对地面点的影响;“恢复”是指将重力异常残差δΔgd代入球面公式(1)完成向上延拓计算后,在延拓结果δΔgpK中恢复地形质量引力的作用,ΔgpK=δΔgpKgKg,ΔgKg为地形质量对空中计算点重力异常的影响。从形式上看,“移去—恢复”计算已经顾及了地形质量的影响,但仍有一个技术环节是不严密的。具体体现为将重力异常残差δΔgd代入球面公式(1)进行向上延拓计算时,计算模型为:

      $$ \delta \Delta g_p^K = \frac{{{R^2}\left( {r_p^2 - {R^2}} \right)}}{{4\pi {r_p}}}\iint\limits_\sigma {\frac{{\delta \Delta {g^d}}}{{{D^3}}}{\rm{d}}\sigma } $$ (8)

      此时的δΔgd仍属于地形面上的重力异常,故直接将其代入球面公式进行计算也是不严密的。为了获得更精确的延拓结果,必须在积分计算之前,将δΔgd向下延拓到海平面求得相应的δΔgh,然后使用δΔgh完成球面积分式(8)的运算。显然,其中又不可避免要涉及到不规则地形面的处理问题,虽然可采用传统的迭代计算方法(即公式(6)和式(7))解决δΔgd向下延拓问题,但也在一定程度上增加了计算过程的复杂性。为区别起见,把在式(8)中使用δΔgh替代δΔgd所对应的球面公式称为基于移去—恢复技术和迭代向下延拓过渡的向上延拓模型(以下简称模型三)。地形效应改正Δgdg和ΔgKg的计算公式见文献[2, 18, 20]。

    • 通过两种途径解决向上延拓计算中的地形效应影响问题,“先向下后向上延拓”方法是其中之一。前端的向下延拓既可采用传统的迭代计算方法,也可采用式(9)的梯度法[1]

      $$ \Delta {g^h} = \Delta {g^d} - \frac{{\partial \Delta g}}{{\partial h}}h = \Delta {g^d} - \delta g $$ (9)

      式中,δg称为延拓改正数。虽然重力异常梯度可通过地面重力异常求积分得到[1-2],但需要比较密集的重力观测量,同时需要考虑重力异常梯度随高度变化问题,因此很难求得精确的延拓改正数δg。目前得到广泛应用的EGM2008超高阶位模型,在逼近全球重力场的精度和分辨率两个方面都达到了较高的水平[21-22],为此采用超高阶位模型替代重力观测值计算向下延拓改正数δg

      $$ \delta g = \Delta g_w^d - \Delta g_w^h $$ (10)

      将其代入式(9),可计算得到所需要的海平面重力异常:

      $$ \Delta {g^h} = \Delta {g^d} - \left( {\Delta g_w^d - \Delta g_w^h} \right) $$ (11)

      将Δgh代入球面解式(1),即可完成最后的向上延拓计算。式(10)中的位模型重力异常计算式参见文献[18]。这里使用的延拓改正数计算模型即式(10)是求两个相关参量的互差,计算参量中的系统性干扰因素在求差过程中得到消除或消弱。因此,通过求差方式可获得较高精度的延拓改正数[6],能够保证后续向上延拓计算结果的可靠性。

      为了减弱积分远区效应的影响,一般选用位模型作为参考场进行数值积分计算,即以δΔghgh-Δgwc替代式(1)中的Δg,计算完后再恢复计算高度上的位模型重力异常。将式(11)代入得:

      $$ \delta \Delta {g^h} = \Delta {g^d} - \left( {\Delta g_w^d - \Delta g_w^h} \right) - \Delta g_w^c $$ (12)

      如果选择参考场位模型及其阶次与用于计算向下延拓改正数的位模型完全一致,即如果取Δgwhgwc,那么就有:

      $$ \delta \Delta {g^h} = \Delta {g^d} - \Delta g_w^d $$ (13)

      式(13)说明,如果以地形面上的超高阶位模型计算值作为重力异常参考场,那么在效果上就等同于使用超高阶位模型将地面重力异常向下延拓到了海平面。为了进一步提高向下延拓的计算精度,据参照文献[23],在利用超高阶位模型计算向下延拓改正数基础上,增加地形改正信息的作用,使用下式代替式(11)计算海平面上的重力异常:

      $$ \Delta {g^h} = \Delta {g^d} - \left( {\Delta g_w^d - \Delta g_w^h} \right) - \delta {C_{q0}} $$ (14)
      $$ \delta {C_{q0}} = \left( {{C_0} - {{\bar C}_0}} \right) - \left( {{C_q} - {{\bar C}_q}} \right) $$ (15)

      式中,δCq0为地形信息计算得到的延拓改正数;Cq为地面点Q的局部地形改正数;Cq为一定网格大小范围内Cq的平均值;C0为与地面点相对应的海平面投影点O的局部地形改正数;C0为一定网格大小范围内C0的平均值。使用式(15)计算海平面重力异常完全避开了传统方法的弊端,可获得比较稳定可靠的解算结果[23]。由式(14)和式(1)联合组成的模型称为基于超高阶位模型和地形信息实施向下延拓过渡的向上延拓模型(以下简称模型四)。

    • 广义上,Bjerhammar边值置换理论也是一种“先向下后向上延拓”方法。该理论的核心是在Bjerhammar球面上构造一个点质量集合的虚拟扰动场源,使得在地球外部产生的扰动位与真实扰动位一致。实际上就是用质点位的线性组合来逼近地球外部扰动位,计算式为[19, 24]

      $$ \left\{ \begin{array}{l} T\left( P \right) = \sum\limits_{j = 1}^m {\frac{{G\delta {M_j}}}{{{D_{{P_j}}}}}} ,\;\;\;\;P \in \mathit{\Omega }\\ BT\left( P \right) \cdot \sum { = F\left( Q \right)} ,\;\;\;\;Q \in \Sigma \end{array} \right. $$ (16)

      式中,B为边界算子;∑代表地球表面;Ω为∑所界的闭点集关于三维Euler空间R3之补;GδM代表牛顿引力常数与扰动点质量的乘积;F(Q)代表地面已知观测量。对应于重力异常的边值条件方程为:

      $$ \Delta {g_i} = \sum\limits_{j = 1}^m {\left( {\frac{{{r_i} - {R_B}\cos {\psi _{ij}}}}{{D_{ij}^3}} - \frac{2}{{{r_i}{D_{ij}}}}} \right)G\delta {M_j}} $$ (17)

      式中,(ri, φi, λi)为第i个观测量的球坐标;(RB, φj, λj)为第j个质点的球坐标;RB=Rd为Bjerhammar球半径,R为地球平均半径;d为质点层的埋藏深度;m为质点的个数;Dijψij分别代表第i个观测量与第j个质点之间的空间距离和球心角。

      当已知地面重力异常的个数n等于质点个数m时,通过直接解算由式(17)组成的线性方程组,即可求得待定的点质量大小GδM;当nm时,可采用最小二乘平差方法求解GδM。可按式(18)计算地球外部空间任意P点的重力异常:

      $$ \Delta {g_p} = \sum\limits_{j = 1}^m {\left( {\frac{{{r_p} - {R_B}\cos {\psi _{pj}}}}{{D_{pj}^3}} - \frac{2}{{{r_p}{D_{pj}}}}} \right)G\delta {M_j}} $$ (18)

      式(17)和式(18)共同组成基于点质量方法实施重力异常“先向下后向上延拓”的计算模型(以下简称模型五)。点质量方法除了具有模型结构简单、能精确顾及地形、能综合处理多种观测量等优点外,在计算效果上,这种模式巧妙地将向下和向上延拓与函数插值自然结合,对低空外部扰动引力场具有较强的恢复能力[19]。另外,点质量方法不强求对地面观测数据作网格化处理,同时又能够对不同飞行高度的测点进行点对点向上延拓计算,相比其他积分计算方法具有更大的灵活性。

    • 从理论上对不同延拓模型的计算精度进行估计,不仅涉及模型自身的结构特征,还涉及输入参量观测精度、代表误差、位模型系数误差、远区截断误差等与使用数据相关的多种不确定因素。考虑到该问题的复杂性,同时顾及到计算模型精度理论估值只是一个统计意义上的参考量,在实际应用中起决定性作用的是输入参量的观测精度和分辨率,直接引用文献[12]基于Poisson积分导出的数据观测误差传播公式,对数据误差影响下的向上延拓模型计算精度做粗略估计。设地面重力异常的观测中误差为m0,取高斯函数作为误差协方差函数,误差函数的相关长度为l,则根据误差传播定律,由Poisson积分的平面公式可导出向上延拓计算精度估计为[12]

      $$ {m_H} = \frac{1}{{\sqrt {8\ln 2} }} \cdot \frac{{l \cdot {m_0}}}{H} $$ (19)

      式中,H为延拓计算高度,单位为km。由式(19)知,向上延拓数据传播误差与数据误差自身及其相关长度成正比,与计算高度成反比。当数据误差分别取m0=±2 mGal和m0=±4 mGal,l=2 km时,可求得对应于不同计算高度的mH值,具体结果如表 1所示。表 1结果虽然不能代表向上延拓计算模型的绝对精度,但可作为后面开展数值计算和精度分析的参考。

      表 1  向上延拓数据传播误差估计/(10-5m·s-2)

      Table 1.  Error Propagation of Upward Continuation/(10-5m·s-2)

      H/km 1 2 3 4 5
      m0=±2 1.70 0.85 0.57 0.42 0.34
      m0=±4 3.39 1.70 1.13 0.85 0.68
    • 为了考察地形质量对重力向上延拓计算结果的影响量值大小及其变化规律,选用美国陆地一个4°×4°区块(36°~40°N, 248°~252°E)作为试验区,开展地面重力向上延拓的数值计算和对比分析。选择美国地区的数据做试验,是考虑到EGM2008位模型在美国地区具有更高的逼近度[6, 21],有利于提高相应延拓计算结果的可靠性。该区块属于地形变化比较剧烈的大山区,同时拥有相对应的2'×2'网格地面重力异常和30″×30″地形高度数据,两组数据的变化特征如表 2所示,重力异常和地形高度的等值线图见图 1图 2,不难看出,两者之间具有很强的相关性。

      表 2  试验区块重力和地形数据变化特征统计

      Table 2.  Statistics of Gravity and Terrain Data in Test Area

      参量 最小 最大 均值 均方根
      重力/(10-5m·s-2) -96.1 167.2 5.5 40.5
      地形高度/m 1 056 4 116 1 987 2 035

      图  1  重力异常等值线图

      Figure 1.  Contour Map of Anomalies

      图  2  地形高度等值线图

      Figure 2.  Contour Map of Terrain Height

      考虑到不同计算模型之间的可比性,这里统一取ri=R+hirp=R+H;计算地形改正时,首先采用30″×30″地形高度数据计算相同网格的局部地形改正数,然后取平均, 形成2'×2'地形改正数;由2'×2'网格地面重力异常向下延拓计算相对应的2'×2'网格点质量,埋藏深度取d=3 km;位模型统一采用EGM2008。

    • 考虑到顾及地形高一阶项影响的延拓模型(即式(2)~式(5))过于复杂,实用价值不高,本试验不再对其作数值计算,这里只针对模型一~模型五计算结果作分析和检验。在5个延拓模型中,只有模型一是不顾及地形效应的近似模型,故这里首先计算模型二~模型五在不同高度的延拓值与模型一解算值的互差,以检验地形质量对重力向上延拓计算结果的影响效果。具体对比结果统计情况见表 3

      表 3  模型一与其它模型的对比结果统计/(10-5m·s-2)

      Table 3.  Statistics of Differences Between Model No.1 and the Other Models/(10-5m·s-2)

      模型二 模型三 模型四 模型五
      均值 均方根 均值 均方根 均值 均方根 均值 均方根
      高度1 km -3.5 43.4 -3.5 43.4 -2.2 22.6 -2.6 29.4
      高度3 km -1.6 8.6 -1.6 8.6 -1.0 7.0 -1.5 8.7
      高度5 km -1.5 5.9 -1.5 5.9 -0.9 5.2 -1.4 5.9
      高度10 km -1.4 3.5 -1.4 3.9 -0.9 3.1 -1.3 3.5

      表 3得知, ①地形效应对向上延拓结果的影响随计算高度的增大而减小,这符合预期的结论;②地形效应对向上延拓结果的影响最大可达几十个毫伽,即使在10 km的计算高度,此项影响也超过3 mGal, 因此在陆域开展向上延拓计算,一般都应顾及地形质量的作用;③模型二至模型五计算结果之间的互差也随计算高度的增大而减小,在5 km以上高度,不同模型之间的差异不超过1 mGal, 此结果说明,前述四类延拓方法的模型精度(在使用相同数据源条件下,两组计算结果互差的均方根值除以$ \sqrt 2 $可视为模型内符合精度)与其数据传播误差(表 1结果)基本处于同一个水平。值得注意的是,在较低的延拓高度上,不同模型之间的差异较大,在1 km高度上两者最大差异超过20 mGal。这说明在这样的高度段上,有些模型的计算结果是不“真实”的,此问题主要与前端的向下延拓过程有关。

      由前面的论述得知,顾及地形效应的模型二~模型五都涉及“先向下后向上延拓”过程,都必须通过将地面重力异常向下延拓到海平面作为过渡环节。由物理大地测量学知[2],位场向下延拓过程在数学上属于不适定反问题[6, 23],虽然向下延拓解的存在性、收敛性和等价性均可由著名的Runge-Krarup定理作保证[18],但其等价性的适用范围只限于地球表面及其外部空间,只能保证由延拓解正演形成的位场在地球表面及其外部空间保持一致,不能保证其在地球表面内部空间的等价性。这说明延拓至海平面的重力异常及以其为基础的数学模型,与物理意义上的现实性是不相对应的,它只是一组虚拟的重力异常[2, 25]。根据Newton逆算子的非唯一性原理,可通过不同的数学形式构造不同的等效场源,使其产生等效位函数能够任意逼近地球外部真实位函数。由此得知,分布在地球表面的一组重力异常观测值,可对应于地球内部无穷多个不同的虚拟重力异常场源。表 4列出了由模型二~模型五构造得到的在海平面(即对应0 m高度)上的虚拟重力异常统计量。

      表 4  不同模型计算0 m高度面重力异常/(10-5m·s-2)

      Table 4.  Anomalies at 0 m from Different Models/(10-5m·s-2)

      模型二 模型三 模型四 模型五
      均值 均方根 均值 均方根 均值 均方根 均值 均方根
      7.1 56.1 7.2 57.2 6.5 49.3 6.2 232.1

      表 4看出,由不同模型确定的虚拟重力异常虽然均值相差不大,但其变化形态差异非常显著,这样的结果与前述的理论分析是相吻合的。由表 2得知,本文试验区的地形高度最低为1 056 m,地形高度最高为4 116 m,平均高度为1 987 m。可见,5 km高度面完全包围试验区的地球表面,3 km高度面只部分包围试验区的地球表面,1 km高度面则完全被地球表面所包围。根据前面关于向下延拓等价性适用范围的论述,由不同模型确定的不同重力场源可确保在5 km高度面以上与地球真实重力场的一致性,而在1 km高度面以下,相对应的向上延拓计算结果将完全失去其真实性。这些都为表 3所展现的比对结果从显著差异到基本一致的变化趋势,提供了非常恰当的物理解释。需要说明的是,由于模型四是通过计算超高阶位模型和局部地形改正各自在两个高度面的差分,来实现地面重力异常向海平面延拓的,其延拓过程不涉及Newton逆算子运算,完全避开了传统向下延拓解算过程的不适定性问题。相对于其他延拓模型,模型四延拓计算结果在全高度段上都具有较好的稳定性,特别是在低空高度段,其延拓结果更具合理性,更接近地球重力场的实际分布,这一点可从表 2表 4的对比分析中得到验证。

      为了考察数据观测误差对向上延拓计算结果的影响,人为在地面重力异常中分别加入2 mGal和4 mGal白噪声干扰,重新完成“先向下后向上延拓”计算,对加入误差干扰前后的计算结果进行对比分析, 见表 5

      表 5  数据误差对延拓计算结果的影响估计/(10-5m·s-2)

      Table 5.  Influences of Data Error on Upward Continuations/(10-5m·s-2)

      误差量 延拓高度/km 模型一 模型二 模型三 模型四 模型五
      均值 均方根 均值 均方根 均值 均方根 均值 均方根 均值 均方根
      2 3 -0.02 0.48 -0.02 1.00 -0.01 1.59 -0.02 0.48 -0.02 1.09
      5 -0.02 0.27 -0.02 0.37 -0.01 1.01 -0.02 0.27 -0.02 0.43
      4 3 -0.02 0.94 -0.20 1.97 -0.01 3.11 -0.02 0.93 -0.02 1.99
      5 -0.03 0.52 -0.03 0.72 -0.02 1.98 -0.03 0.51 -0.03 0.84

      表 5看出,数据误差对向上延拓计算结果的影响随计算高度的增大而减小,虽然前端的向下延拓过程对数据误差有放大作用,但后端的向上延拓过程等效于一个低通滤波器,有抑制高频干扰信号的作用,因此数据误差在向上延拓过程中的传播总是呈逐步减弱的变化趋势,其影响量大小一般不会超过数据误差本身。对比表 1表 5计算结果看出,误差影响理论估计和实际估算值之间也具有较好的一致性。需要指出的是,模型三在作向下延拓之前作了移去地形效应处理,在完成向上延拓后又恢复地形效应的影响,理论上,这样的处理方式可在一定程度上起到增强向下延拓解算稳定性的作用,但由于地形效应计算不可避免存在一定的误差,这种误差必然会作为数据误差的一部分,通过向下和向上延拓过程传播给最终的延拓计算结果,同时由于“移去”和“恢复”运算引起的误差具有不对等性,无法得到有效抵消。因此,表 5中出现模型三计算效果反而不及其它模型的情况符合预期结果。

    • 地形效应对重力向上延拓结果的影响最大可达数10毫伽,在10 km高度上,此项影响超过3 mGal,故在陆域开展重力向上延拓计算必须顾及地形高度的作用。在3 km以上高度,不同向上延拓计算模型的差异一般小于1 mGal。联合超高阶位模型和地形改正信息实施向下延拓过渡的Poisson积分向上延拓模型(即模型四),不涉及Newton逆算子运算,在全高度段上都能给出比较稳定可靠的向上延拓计算结果。数据误差对向上延拓计算结果的影响随计算高度的增大而减小,在3 km以上高度,当数据误差为4 mGal时,其影响量一般小于1 mGal,向上延拓计算结果的综合精度估计小于1.5 mGal。需要指出,这里定义的计算高度是以地球平均半径R的球面作为起算面的,不同于通常所指的以地面起算的高度。本文得出的结论主要源于3 km以上高度计算结果的分析,但由于试验区域的地形平均高度在2 km左右,故上述结论的适用范围相当于地面起算1 km以上高度,可满足应用需求。

参考文献 (25)

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