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北斗卫星系统在中国及其周边区域已能获取与GPS近似的定位精度[1-4]。精密定位数据处理时，北斗卫星采用与GPS卫星基本一致的函数模型和随机模型。函数模型一般仅与定位方式有关，而随机模型主要反映观测数据质量，还与测量仪器及观测环境等因子相关。通常，随机模型采用卫星高度角和信噪比定权[5-11]。相比等权随机模型，能够明显改善定位结果，但仍难以反应观测数据的真实质量。为了更切实际的反应观测数据质量，基于最小二乘残差的随机模型被提出，且并被广泛运用[12-14]。最小二乘残差随机模型中，不同观测值的方差分量不同[15]。为了估计出合适的方差分量，各种方差分量估计方法被提出[16-20]，如最小范数二次无偏估计(minimum norm quadratic unbiased estimation，MINQUE)、赫尔默特法方差分量估计(HELMERT)、最优二次无偏估计(best invariant quadratic unbiased estimation，BIQUE)等。MINQUE方法无需分布假设，常用于GPS随机模型估计，可以改善GPS精密定位的精度和可靠性[21-27]。
北斗卫星观测值随机模型一般采用与GPS卫星观测值相同的方差分量[28]。虽然有学者研究区别对待北斗卫星和GPS卫星观测值的方差分量[29-32]，但仍设定为常量，未考虑其时变特性。本文通过分析不同类型北斗卫星观测值的方差分量发现，地球静止轨道(geostationary earth orbit，GEO)、倾斜地球同步卫星轨道(inclined geosynchronous satellite orbit，IGSO)、中地球轨道(medium earth orbit，MEO)卫星载波相位观测值方差分量的大小及时变特征均具有显著差异。
本文顾及不同类型北斗卫星的观测值的异方差特性，建立含3个未知方差分量的随机模型。采用迭代最小二乘与MINQUE结合的方法，实时估计各方差分量及位置参数。实施精密相对定位试验，与经验随机模型相比较，评估实时估计随机模型的性能。
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短基线站间单差(single differenced，SD)残差序列仅与单颗卫星观测值相关，常被用来分析观测值随机特性[33]。已知双差(double differenced，DD)整周模糊度及卫地距，站间单差观测量可表示为：
$$\begin{align} & \Delta \Phi _{Bi}^{s}-\Delta \rho _{Bi}^{s}-{{\lambda }_{Bi}}\Delta \nabla N_{Bi}^{rs}= \\ & \Delta \delta t+\Delta \delta {{t}_{0}}_{Bi}+{{\lambda }_{Bi}}\Delta N_{Bi}^{r}+\Delta \varepsilon _{Bi}^{s}~ \\ \end{align}$$ (1) 式中，Δ和Δ$\nabla $分别表示单差和双差；Δ$\nabla $NBirs为参考卫星r和跟踪卫星s在频率为Bi(i=1或2)时的双差整周模糊度；ΔΦBis、ΔρBis、Δδt、Δδt0Bi、ΔNBir、ΔεBis分别为单差载波相位观测值、卫地距、接收机钟差、硬件延迟、模糊度、观测噪声；λBi为载波波长。
式(1)中，设已知量为ΔLBis=ΔΦBis－ΔρBis－λBiΔ$\nabla $NBirs，未知量为ΔδBi=Δδt+Δδt0Bi+λBiΔNBir。利用式(1)单差观测量估计观测值方差分量时，发现同一卫星、不同频率观测值方差分量时变特性基本一致。因此，频率上的差异性可忽略不计，主要分析不同卫星观测值方差分量的差异性。假设频率B1和B2的载波相位观测值方差相等，那么频率间差分的单差观测量(frequency differenced single differenced，FD-SD)可表示为：
$$\Delta {{L}^{s}}_{w}=\Delta {{\delta }^{s}}_{w}+\Delta {{\varepsilon }^{s}}_{w}$$ (2) 式中，w表示频率间差分。设观测n颗卫星，FD-SD观测方程可表示为：
$$\Delta {{L}_{w}}=\Delta {{\delta }_{w}}+\Delta {{\varepsilon }_{w}}$$ (3) 利用最小二乘，估计FD-SD残差：
$$\Delta {{{\tilde{V}}}_{w}}=\frac{e{{e}^{\text{T}}}\Delta {{L}_{w}}}{n}-\Delta {{L}_{w}}$$ (4) 式中，e=(1 1 … 1)n×1T。
由$\Delta {{{\tilde{V}}}_{w}}$计算FD-SD观测量的方差[15]，其等于2倍SD观测量的方差或4倍非差观测量的方差(接收机类型相同，不同频率观测值方差分量近似相同)。据此，推算出卫星s非差载波相位观测量的方差为：
$${{\sigma }^{-s2}}=\frac{\Delta \tilde{V}_{w}^{s}\cdot \Delta \tilde{V}_{w}^{s}}{4\left( n-1 \right)/n}$$ (5) 式中，(n－1)/n为自由度。
在卫星定位中，观测值方差通常近似为卫星高度角的函数：
$${{\sigma }^{s2}}=\sigma _{0}^{-s2}/si{{n}^{2}}{{E}^{s}}$$ (6) 式中，Es为卫星高度角；σ0为方差分量，常假设为一个常量(2 mm或3 mm)。根据估计的方差，能够获得更切实际的方差分量σ0s2=σs2·sin2Es。
在观测北斗卫星时，若共观测n颗卫星，包含n1颗GEO、n2颗IGSO、n3颗MEO卫星。根据误差传播定律，GEO卫星观测值方差分量为：
$$\sigma _{0}^{-GEO}=\sqrt{\sum\limits_{s=0}^{{{n}_{1}}}{\sigma _{0}^{-s2}/{{n}_{1}}}}$$ (7) 同理，IGSO与MEO观测值方差分量能被估计。
图 1展示了不同类型北斗卫星方差分量的时间序列。图 1(a)为Hi-Target V30 GNSS接收机观测的2m基线的结果，图 1(b)为Trimble NetR9接收机观测的4m基线的结果。从图 1中可明显看出GEO方差分量序列更平滑，在约22小时内，GEO方差分量接近一个常量，IGSO和MEO的方差分量随时间变化显著。图 1(a)中，GEO、IGSO、MEO卫星观测值方差分量序列的均值分别为1.0 mm、1.4 mm、1.3 mm，均方根误差分别为0.2 mm、0.6 mm、0.8 mm。图 1(b)，GEO、IGSO、MEO卫星观测值方差分量的均值分别为0.9 mm、1.2 mm、1.0 mm，均方根误差分别为0.2 mm、0.5 mm、0.7 mm。GEO卫星方差分量的均方根误差明显小于其他卫星，与其为地球静止轨道卫星有关，该类卫星相对于地面测站的环境可认为相对不变，因此其方差分量具有稳定性。MEO卫星方差分量的均方根误差最大，因其相对于测站的运行周期最短(一天近似运行2周)，相对环境变化最大。IGSO卫星方差分量的均方根误差介于GEO和MEO之间，也与其运行特征相关。
图 1 GEO、IGSO、MEO卫星载波相位观测值方差分量
Figure 1. Variance Components of GEO,IGSO and MEO Satellite Carrier Phase Measurements
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不同类型北斗卫星观测值的方差分量大小不同，时间相关性也具有明显差异。考虑其随机特性的差异性，研究实时估计随机模型的方法，确定合适的观测值方差分量。该方法利用迭代最小二乘与MINQUE[20-27]相结合，实时估计不同类型北斗卫星观测值方差分量和精确的位置参数。引入方差分量σ0GEO、σ0IGSO、σ0MEO，构造随机模型方差矩阵D为：
$$D={{\sigma }^{GE{{O}^{2}}}}_{0}{{T}_{1}}+{{\sigma }^{IGS{{O}^{2}}}}_{0}{{T}_{2}}+{{\sigma }^{ME{{O}^{2}}}}_{0}{{T}_{3}}$$ (8) 式中，σ0GEO、σ0IGSO、σ0MEO分别为GEO、IGSO、MEO卫星载波相位观测值方差分量，T1、T2、T3为伴随矩阵。伴随矩阵可根据观测值的状态确定，假设第一颗卫星为参考卫星，s1和s2为GEO卫星，那么伴随矩阵T1可表示为
$${{T}_{1}}=M\Delta {{T}_{1}}{{M}^{\text{T}}}$$ (9) 式中，ΔT1=diag(0 fs1 0 …fs2 0)n×n为单差伴随矩阵，${{f}^{s}}=\frac{1}{{{\sin }^{2}}E_{k1}^{s}}+\frac{1}{{{\sin }^{2}}E_{k2}^{s}}$，k1和k2为相对定位中的两站点，M为双差变换矩阵：
$$M={{\left[ \begin{array}{*{35}{l}} -1 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ -1 & 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ -1 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{array} \right]}_{\left( n-1 \right)\times n}}$$ 同理，可构建T2和T3。
实时估计随机模型时，需同时估计函数模型中未知的位置参数向量。函数模型L=BX+ε中，L表示双差观测量向量，B表示设计矩阵，ε表示噪声向量，X表示未知的参数向量。随机模型D中，T1、T2、T3为已知矩阵，三个未知方差分量构成向量θ=(σ0GEO2σ0IGSO2σ0MEO2)T。实时估计X和θ，具体流程如下。
1) D=σ0GEO2T1+σ0IGSO2T2+σ0MEO2T3。第一次迭代过程中σ0GEO、σ0IGSO、σ0MEO给定经验值2 mm或3 mm；
2) P=D[I－B(BTD－1B)－1BTD－1]，其中I为单位矩阵；
3) q(=LTPT1PL LTPT2PL LTPT3PL)T；
4) $\bar{\theta }=S_{3\times 3}^{-1}q$，其中，S矩阵中的元素sij=tr{PT1PTj}，Tr{·}表示矩阵的迹；
5) X=(BTDB)－1BTDL。另外，X的精度为${{Q}_{X}}=\sqrt{{{V}^{\text{T}}}{{D}^{-1}}V/\left( m-1 \right)}\cdot {{\left( {{B}^{\text{T}}}DB \right)}^{-1}}$，其中V=BX－L；
6) 迭代计算，相邻两次计算基线分量差小于0.001 mm，停止迭代。
GEO卫星方差分量随时间变化平缓，可假设GEO卫星方差分量在几小时的范围内不变。那么可根据前几个历元估计σ0GEO，取其平均值作为GEO卫星方差分量，保持不变。后续历元中，仅需估计IGSO与MEO方差分量σ0IGSO和σ0MEO。
本文采用这种实时估计随机模型，进行北斗卫星精密相对定位。精密相对数据处理流程主要包含4个过程：首先，利用伪距观测值获取两站点初始位置及接收机钟差；然后，利用站点坐标初值和钟差，计算双差整周模糊的浮点解。在获取浮点解的过程中，载波相位观测值方差为经验值，伪距观测值方差为载波方差的10 000倍；其次，基于模糊的浮点解及其协方差阵，采用LAMBDA方法获取整周模糊；最后，去除整周模糊度，获得精密定位结果。本文主要针对最后一步，采用GEO、IGSO、MEO方差分量估计确定的随机模型，获得高精度定位结果。
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为了验证实时估计随机模型的性能，对A、B、C三条不同长度静态观测基线进行单历元定位测试。测试数据见表 1。
表 1 测试数据详情
Table 1. Information of Test Data
测试 日期 基线长度/m 接收机类型 采样率 总历元 卫星个数 A 2013-10-01 243 M300T 30 s 500 5GEO+4GSO+3MEO B 2013-10-01 645 M300T 5 s 1 000 5GEO+4GSO+3MEO C 2012-02-14 10 137 UB240 1 s 3 600 3GEO+4IGSO 单历元相对定位测试中，北斗卫星最低高度角设为10°。单历元解算采用两种随机模型，一是上述实时估计方差分量的随机模型，二是给定方差分量为2 mm经验值的高度角经验随机模型。另外，利用Bernese软件对上述基线进行静态解算，获取的基线结果作为真值。
图 2给出了A、B、C测试中基线分量在北(north，N)、东(east，E)、高(up，U)方向的偏差值DN、DE、DU(单历元基线分量结果减去真值)。其中，蓝色和红色分别表示经验随机模型和实时估计随机模型获取的结果。可明显看出，实时估计随机模型结果的偏差值总体上更加平缓。
图 2 采用实时估计(红色)与经验(蓝色)随机模型单历元定位结果比较
Figure 2. Comparison of Epoch-by-epoch Positioning Using Real-time Estimating (Red) and Empirical (Blue) Stochastic Models
图 2中各偏差值的平均值和均方根误差(RMS值)，如表 2。表 2中，实时估计随机模型的平均偏差总体小于经验随机模型。另外，根据式$\sqrt{D{{N}^{2}}+D{{E}^{2}}+D{{U}^{2}}}$计算基线点位偏差，表 2中所示各测试中经验和实时估计随机模型解算结果的点位偏差最大分别为12.8 mm和2.3 mm，后者明显改善。同时，实时估计随机模型解算结果的RMS也得到了明显的改善。N、E、U方向各分量RMS改善的百分比分别为：A测试改善了9.2%、18.4%、5.7%，B测试改善了26.6%、18.6%、40.3%，C测试改善了38.4%、17.7%、39.7%。在C测试中RMS改善效果最大，N方向改善了8.0 mm。
表 2 单历元定位结果的平均偏差及均方根误差RMS
Table 2. Mean Bias and RMS Values of Epoch-by-epoch Positioning Results
测试 随机模型 平均偏差/mm RMS/mm DN DE DU 点位 DN DE DU A 经验实时 0.3
0.8-0.2
-1.24.5
1.84.5
2.33.1
2.82.3
1.87.1
6.7B 经验
实时-1.0
-0.1-1.4
0.46.4
1.06.6
1.02.0
1.41.6
1.310.0
6.0C 经验
实时12.2
0.64.0
1.40.0
0.012.8
1.520.9
12.95.1
4.219.1
11.4图 3展示了各基线分量解算精度的均值。A、B、C测试中，相比经验随机模型，实时估计随机模型定位的精度均有所提高。A测试提高了9.5%、20.1%、17.5%，B测试提高了4.1%、18.0%、13.0%，C测试提高了41.3%、54.5%、51.6%。在C测试中精度提高效果最明显，U方向定位精度提高了12.6 mm。
图 3 单历元定位结果的平均定位精度
Figure 3. Mean Precisions of Epoch-by-epoch Positioning Results
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本文采用频间-站间(FD-SD)差分观测值残差序列，估计了GEO、IGSO、MEO卫星载波相位观测值方差分量，发现不同类型北斗卫星观测值具有明显不同的方差特性。在约一天的时间范围内，GEO方差分量约为一常量，具有较强的时间相关性。IGSO和MEO方差分量时间相关性较弱。不同接收机，观测量方差分量也具有显著差异。本文提出实时估计随机模型，能更切实际地确定GEO、IGSO、MEO卫星观测值方差分量，并实时估计位置参数。实时估计的随机模型能提高北斗卫星单历元动态定位的精度，基线单历元平均定位精度能改善12.6 mm，稳定性能提高8.0 mm，对实时动态形变监测具有一定意义。如果观测值几何信息不足，实时估计随机模型中的未知方差分量并非总能成功估计，会出现方差分量估计的不收敛等问题。
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摘要: 为分析北斗卫星观测值随机特性，估计了地球静止轨道、倾斜地球同步卫星轨道、中地球轨道卫星载波相位观测值的方差分量。发现不同接收机和不同类型卫星观测值方差分量的大小和时变特性具有明显差异。为构建更切实际的方差结构随机模型，提出利用迭代最小二乘和最小范数二次无偏估计相结合的方法，实时估计不同类型北斗卫星观测值方差分量。为评估实时估计随机模型的性能，对243 m、645 m、10 137 m三条不同长度基线进行精密相对定位测试，结果表明：实时估计随机模型能有效改善北斗卫星精密单历元动态相对定位性能，尤其当站间距离较长时改善更显著。10 137m基线测试结果表明，1h数据单历元解在北、东、高方向，平均定位精度分别提高了41.3%、54.5%、51.6%，稳定性分别提高了38.4%、17.7%、39.7%。Abstract: In order to analze the stochastic characteristics of BDS (BeiDou satellites) observations, GEO(geostationary earth orbit),IGSO(inclined geosynchronous satellite orbit),MEO(medium earth orbit) satellites observations variance components are estimated. The observation variance components of different receivers and different types of BDS are proved to be significantly different in size and time-varying characteristics. To deal with the heterogeneous variances, a real-time estimating BDS observations stochastic model procedure is developed with the methods of iterative least-squares and MINQUE(minimum norm quadratic unbiased estimation).To demonstrate its performance, precise relative positioning experiments are carried out using 243m, 645m and 10 137 m baselines, respectively. In contrast to the empirical stochastic model, the real-time estimating stochastic model can improve the performance of BDS precise relative positioning, and improve more significantly for the longest baseline.10 137 m baseline test results indicate that the real-time estimating stochastic model can improve mean positioning precision 41.3%、54.5%、51.6% and RMS values of multi-epoch position offsets 38.4%、17.7%、39.7% in N(north), E(east), U(up) direction respectively.
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Key words:
- BDS /
- stochastic model /
- variance component /
- precise relative positioning
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图 1 GEO、IGSO、MEO卫星载波相位观测值方差分量
Figure 1. Variance Components of GEO,IGSO and MEO Satellite Carrier Phase Measurements
图 2 采用实时估计(红色)与经验(蓝色)随机模型单历元定位结果比较
Figure 2. Comparison of Epoch-by-epoch Positioning Using Real-time Estimating (Red) and Empirical (Blue) Stochastic Models
表 1 测试数据详情
Table 1. Information of Test Data
测试 日期 基线长度/m 接收机类型 采样率 总历元 卫星个数 A 2013-10-01 243 M300T 30 s 500 5GEO+4GSO+3MEO B 2013-10-01 645 M300T 5 s 1 000 5GEO+4GSO+3MEO C 2012-02-14 10 137 UB240 1 s 3 600 3GEO+4IGSO 
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表 2 单历元定位结果的平均偏差及均方根误差RMS
Table 2. Mean Bias and RMS Values of Epoch-by-epoch Positioning Results
测试 随机模型 平均偏差/mm RMS/mm DN DE DU 点位 DN DE DU A 经验实时 0.3
0.8-0.2
-1.24.5
1.84.5
2.33.1
2.82.3
1.87.1
6.7B 经验
实时-1.0
-0.1-1.4
0.46.4
1.06.6
1.02.0
1.41.6
1.310.0
6.0C 经验
实时12.2
0.64.0
1.40.0
0.012.8
1.520.9
12.95.1
4.219.1
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