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随着国家海洋战略的逐渐推进，海上石油地球物理勘探、海底地质探测、海底管线铺设、水下施工以及陆海一体化等各项海洋活动都需要水下位置信息，水下声学[1]定位技术日益发展壮大。为获取水下高精度位置信息，常采用声线跟踪的方法[2-4]，即跟踪声波在换能器与应答器之间的传播路径，利用最小二乘法解算水下应答器的坐标。其中，分层等梯度[3, 5]声线跟踪方法采用逐层计算获取的声线轨迹与真实声线轨迹最为接近[6]，精度较高。但当换能器与应答器组成的观测几何结构不好时[7, 8]，例如当水面的换能器距离应答器较远时，声线入射角(图 1中角θ0)会增大，此时若采用分层等梯度声线跟踪方法计算，会导致入射角迭代发散，无法得到正确结果。目前水声定位试验声线入射角研究多控制在70°以下[9, 10]，国内外鲜有学者对声线跟踪大入射角问题进行研究。本文通过分析大入射角迭代发散的问题，提出了一种新的入射角迭代方法，通过理论分析及模拟算例对新方法进行了验证。
图 1 声线在水中的传播
Figure 1. Transmission of Sound Wave in Water
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依据文献[11-15]，声波在海水中的传播遵循Snell法则：
(1) 式中,θ为声波入射角；C为声速；p为Snell常数。
分层等梯度声线跟踪方法假设声波经历的水柱分为N个等梯度层，即声波在每层的传播速度是等梯度的。在水深为zi的i层，分别用Ci和θi表示声波的传播速度和入射角。第i层内的声速梯度gi可表示为：
(2) 式中,Δzi为第i层的水层厚度；Ci+1为第i+1层声速。
在声速常梯度变化的情况下，波束在第i层内的实际传播轨迹为一连续的、对应一定曲率半径Ri的弧段[16]，Ri的表达式为：
(3) 式中,第i层内声线的水平位移[17]yi为：
(4) 式中,yi为第i层声线的水平位移。
利用分层等梯度声线跟踪方法对水下待定点进行定位时，初始入射角迭代采用的方法是弦截法[18, 19]，这是一种离散的牛顿迭代法，迭代公式为：
(5) 式中,pk为第k次迭代得到的Snell常数。
计算入射角时，首先迭代计算p，获取满足条件的p后再根据Snell法则转换求出入射角大小。弦截法迭代法中p采用以下公式迭代[20]：
(6) 其中,y0为水平位移的初始值，可通过观测的浮标数据与求得的应答器初始位置计算得到。根据弦截法公式迭代求p后，可获得声源处的声线入射角。
分层等梯度声线跟踪方法在入射角不太大的情况下是有效的。在水面的换能器距离应答器较远时，若进行入射角迭代，迭代出的p会导致sinθ出现大于1的情况，此时入射角计算结果异常，迭代失败。其原因在于将式(1) Snell法则全微分，可得：
(7) 当入射角θ逐渐增大，趋近于90°时，cosθ趋近于0，迭代时p的微小扰动会对入射角θ产生较大的影响，导致入射角迭代失败，结果发散。
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为了改进大入射角情况下的迭代效果，本文基于分层等梯度声线跟踪理论提出了一种新的入射角迭代方法。由于在入射角较大的情况下Snell常数p的微小变化会引起入射角θ的较大变化，将Snell常数p转换成曲率半径R进行迭代计算，p与R的关系见式(3) 。
首先，用第一层的曲率半径R表示p，可得：
(8) 根据式(4) ，可得声线水平位移为：
(9) 根据式(6) ，可得用弦截法迭代求解曲率半径R的方程为：
(10) 对比式(6) 、式(10) ，弦截法迭代方程中的参数由p变成R，R的初始值由p的初始值计算得到。
图 2为p与R的微小变化对水平位移y产生影响的对比，可以看出p的微小变化会对水平位移y产生很大的影响，导致水平位移陡增；相比之下，R的微小变化对于水平位移y的影响要小得多。
图 2 R与p的微小变化对水平位移的影响
Figure 2. Effect of Small Changes of R and p on Horizontal Displacement
从理论上分析，改进后的以曲率半径R为迭代参数的公式具有如下优势。
1) 当入射角θ很大时，p是一个很小的数，R是一个大数，在公式的形式上避免了分母是一个极小数。
2) 根据Snell常数p与曲率半径R的关系式
(11) 从式(11) 可以看出，R的微小变化对p的影响很小，迭代得到稳定的R，进而转换得到稳定的入射角θ。
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本文采用模拟的浮标数据进行定位。定位模型为圆曲线模型，解算的方法根据王燕[21]的声线修正方法应用于圆曲面交会进行迭代，坐标满足要求时可结束迭代，以获取水下应答器的位置信息。分别采用原算法和本文提出的新迭代方法解算对比两种方法的有效性。
如图 3所示，模拟四个浮标布设成正方形，浮标间距分别模拟为2 200 m、2 400 m和4 000 m。给浮标的三维坐标分别加上2 m的余弦波动。海底模拟4个应答器A、B、C、D，坐标分别为(0,0,-500) ，(0,40,-500) ，(40,0,-500) ，(40,40,-500) ，单位均为m。总共模拟100个历元。
图 3 数据模拟
Figure 3. Data Simulation
水域模拟采用如图 4所示的中国南海声速剖面，数据来源于Yang论文[8]，采样间隔为1 m。误差模拟如下：换能器定位中误差x、y、z方向各为10 cm，应答器时延偏差为10 cm，声速测量误差为0.15 m/s。
图 4 500 m水深声速剖面
Figure 4. Sound Speed Profile of 500 m Water Depth
依据模拟得到的数据，分别采用两种入射角迭代方法进行解算，获取水下4个应答器的位置，与模拟应答器的真值对比，得到真误差，其计算和对比结果见表 1~表 3。
表 1 浮标间距2 200 m时两种方法解算结果
Table 1. Results of the Two Methods (Buoys Span 2 200 m)
原算法解算误差/m 本文算法解算误差/m 水深500 m Δx A -0.001 9 -0.001 9 B 0.006 0 0.006 0 C -0.004 1 -0.004 1 D 0.010 1 0.010 1 浮标间距2 200 m Δy A -0.014 5 -0.014 5 B -0.001 0 -0.001 0 C 0.006 5 0.006 5 D 0.000 6 0.000 6 最大入射角79.85° Δz A -0.435 5 -0.434 4 B -0.403 1 -0.402 0 C -0.436 9 -0.435 8 D -0.438 0 -0.437 0 表 2 浮标间距2 400 m时两种方法解算结果
Table 2. Results of the Two Methods (Buoys Span 2 400 m)
原算法解算误差/m 新算法解算误差/m 水深500 m Δx A - -0.018 6 B - -0.018 9 C - 0.010 6 D - 0.004 6 浮标间距2 400 m Δy A - 0.007 1 B - 0.007 5 C - 0.011 2 D - 0.007 4 最大入射角 81.8° Δz A - -0.510 3 B - -0.503 1 C - -0.507 9 D - -0.510 3 表 3 浮标间距4 000 m时两种方法解算结果
Table 3. Results of the Two Methods (Buoys Span 4 000 m)
原算法解算误差/m 新算法解算误差/m 水深 500 m Δx A - -0.002 4 B - -0.004 5 C - 0.003 3 D - -0.003 2 浮标间距 4 000 m Δy A - -0.002 0 B - 0.008 7 C - 0.002 3 D - 0.014 0 最大入射角 88.8° Δz A - -0.863 7 B - -0.871 3 C - -0.870 3 D - -0.856 7 从表 1中可以看出，浮标间距2 200 m时，最大入射角在80°以下，此时两种方法解算出的水平位置结果一致，最大真误差为1.45 cm，最小不到1 mm。高程结果精度相当，都大于40 cm，其中原方法真误差平均值为42.8 cm，新方法真误差平均值为42.7 cm。说明在入射角小于80°时，两种方法均适用，并且效果相当。
从表 2可以看出，当浮标间距扩大到2 400 m时，最大入射角为81.8°。此时，原算法的入射角迭代失效，定位失败。新算法可以解算得到结果，水平方向真误差最大为1.89 cm，最小为4.6 mm，高程方向真误差略有增大，四个点真误差均略大于50 cm，真误差平均值为50.8 cm。
从表 3可以看出，当浮标间距增大到4 000 m时，最大入射角增大到88.8°时，原入射角迭代算法失效，而新方法仍能继续解算。水平方向的真误差仍在毫米至厘米级，最大误差为1.4 cm，最小误差为2 mm。但随着入射角的增大，声线传播距离会增大，垂直方向的精度会下降，4个点的高程真误差均大于86 cm，真误差平均值为86.6 cm。
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本文针对水下声线跟踪大入射角问题进行了研究，提出了一种新的声线入射角迭代方法，并通过理论及算例对该方法进行验证。得到以下结论：
1) 在声线入射角不大于80°时，本文新方法和原方法的定位精度相当；在声线入射角度大于80°时，新方法的定位效果优于原方法；
2) 新入射角迭代算法的核心是迭代参数由Snell常数p变成曲率半径R。扩大了入射角解算的范围，在海洋工程及海洋地球物理勘探数据处理领域有良好的应用前景。
A Large Incidence Angle Ray-Tracing Method for Underwater Acoustic Positioning
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摘要: 在高精度水下声学定位中，常采用分层等梯度声线跟踪的方法对水下目标进行定位。但当声线入射角度过大时，该方法入射角的迭代解算会出现发散问题。首先，针对该问题产生的原因进行了分析，并在此基础上提出了一种新的入射角迭代方法，新方法采用曲率半径R代替Snell常数p进行迭代。利用500 m水深模拟数据进行了验证，结果表明：在声线入射角较小时（如不大于80°），新方法和原方法的定位精度相当；在声线入射角度进一步增大时，新方法的定位效果优于原方法。Abstract: In the field of the precise underwater acoustics, the constant gradient ray-tracing method is the normal choice for positioning. But when the incidence angle is too large, the iteration of the incidence angle will diverge. In this paper, we analyze the reason behind this problem, and present a new iteration method for cases of large incidence angles. The key element of this method is to change the iteration parameter from the Snell refraction constant p to the radius of curvature R. We use simulation data to test the effectiveness of our method. The results show that when the incidence angle is not too large (e.g.≤80°), our new method and the original constant gradient ray-tracing method have the same accuracy, but when the incidence angle is large (e.g. >80°), the accuracy of our method is better than the original method.
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图 2 R与p的微小变化对水平位移的影响
Figure 2. Effect of Small Changes of R and p on Horizontal Displacement
表 1 浮标间距2 200 m时两种方法解算结果
Table 1. Results of the Two Methods (Buoys Span 2 200 m)
原算法解算误差/m 本文算法解算误差/m 水深500 m Δx A -0.001 9 -0.001 9 B 0.006 0 0.006 0 C -0.004 1 -0.004 1 D 0.010 1 0.010 1 浮标间距2 200 m Δy A -0.014 5 -0.014 5 B -0.001 0 -0.001 0 C 0.006 5 0.006 5 D 0.000 6 0.000 6 最大入射角79.85° Δz A -0.435 5 -0.434 4 B -0.403 1 -0.402 0 C -0.436 9 -0.435 8 D -0.438 0 -0.437 0 
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表 2 浮标间距2 400 m时两种方法解算结果
Table 2. Results of the Two Methods (Buoys Span 2 400 m)
原算法解算误差/m 新算法解算误差/m 水深500 m Δx A - -0.018 6 B - -0.018 9 C - 0.010 6 D - 0.004 6 浮标间距2 400 m Δy A - 0.007 1 B - 0.007 5 C - 0.011 2 D - 0.007 4 最大入射角 81.8° Δz A - -0.510 3 B - -0.503 1 C - -0.507 9 D - -0.510 3
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表 3 浮标间距4 000 m时两种方法解算结果
Table 3. Results of the Two Methods (Buoys Span 4 000 m)
原算法解算误差/m 新算法解算误差/m 水深 500 m Δx A - -0.002 4 B - -0.004 5 C - 0.003 3 D - -0.003 2 浮标间距 4 000 m Δy A - -0.002 0 B - 0.008 7 C - 0.002 3 D - 0.014 0 最大入射角 88.8° Δz A - -0.863 7 B - -0.871 3 C - -0.870 3 D - -0.856 7
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图(4) / 表(3)
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