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利用正交化方法确定独立基线及独立双差模糊度

任锴 宋小勇 贾小林

任锴, 宋小勇, 贾小林. 利用正交化方法确定独立基线及独立双差模糊度[J]. 武汉大学学报 ● 信息科学版, 2016, 41(7): 974-977. doi: 10.13203/j.whugis20140262
引用本文: 任锴, 宋小勇, 贾小林. 利用正交化方法确定独立基线及独立双差模糊度[J]. 武汉大学学报 ● 信息科学版, 2016, 41(7): 974-977. doi: 10.13203/j.whugis20140262
REN Kai, SONG Xiaoyong, JIA Xiaolin. Using Orthogonal Transformation Method to Select Independent Baselines and Independent Double-difference Ambiguities[J]. Geomatics and Information Science of Wuhan University, 2016, 41(7): 974-977. doi: 10.13203/j.whugis20140262
Citation: REN Kai, SONG Xiaoyong, JIA Xiaolin. Using Orthogonal Transformation Method to Select Independent Baselines and Independent Double-difference Ambiguities[J]. Geomatics and Information Science of Wuhan University, 2016, 41(7): 974-977. doi: 10.13203/j.whugis20140262

利用正交化方法确定独立基线及独立双差模糊度

doi: 10.13203/j.whugis20140262
基金项目: 

国家自然科学基金 Nos. 41074020, 41204020

地理信息工程国家重点实验室开放研究基金 No.SKLGIE2015-M-1-2

详细信息
    作者简介:

    任锴,博士,主要从事GNSS理论研究与数据处理工作。Rpvt1204@163.com

  • 中图分类号: P228.41

Using Orthogonal Transformation Method to Select Independent Baselines and Independent Double-difference Ambiguities

Funds: 

The National Natural Science Foundation of China, Nos Nos. 41074020, 41204020

the Open Research Fund Program of Skate Key Laboratory of Geo-Information Engineering No.SKLGIE2015-M-1-2

图(1) / 表(1)
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出版历程
  • 收稿日期:  2015-06-12
  • 刊出日期:  2016-07-05

利用正交化方法确定独立基线及独立双差模糊度

doi: 10.13203/j.whugis20140262
    基金项目:

    国家自然科学基金 Nos. 41074020, 41204020

    地理信息工程国家重点实验室开放研究基金 No.SKLGIE2015-M-1-2

    作者简介:

    任锴,博士,主要从事GNSS理论研究与数据处理工作。Rpvt1204@163.com

  • 中图分类号: P228.41

摘要: 介绍了利用Gram-Schmidt正交化算法构建独立向量集的原理,并利用关联矩阵和向量权的思想构建独立基线向量集和独立双差模糊度向量集,讨论了三种构建双差模糊度向量的特点,给出了选择独立基线和独立双差模糊度的正交化算法。通过一个全球GPS网定轨算例,给出了计算结果,验证了方法的有效性。

English Abstract

任锴, 宋小勇, 贾小林. 利用正交化方法确定独立基线及独立双差模糊度[J]. 武汉大学学报 ● 信息科学版, 2016, 41(7): 974-977. doi: 10.13203/j.whugis20140262
引用本文: 任锴, 宋小勇, 贾小林. 利用正交化方法确定独立基线及独立双差模糊度[J]. 武汉大学学报 ● 信息科学版, 2016, 41(7): 974-977. doi: 10.13203/j.whugis20140262
REN Kai, SONG Xiaoyong, JIA Xiaolin. Using Orthogonal Transformation Method to Select Independent Baselines and Independent Double-difference Ambiguities[J]. Geomatics and Information Science of Wuhan University, 2016, 41(7): 974-977. doi: 10.13203/j.whugis20140262
Citation: REN Kai, SONG Xiaoyong, JIA Xiaolin. Using Orthogonal Transformation Method to Select Independent Baselines and Independent Double-difference Ambiguities[J]. Geomatics and Information Science of Wuhan University, 2016, 41(7): 974-977. doi: 10.13203/j.whugis20140262
  • 在GNSS相位观测值数据处理中,如精密相对定位和精密轨道确定[1],以及利用GNSS基线解的基线网平差数据处理[2],需要依据某种优先原则选取独立基线和独立双差模糊度,以得到最优网平差解和模糊度固定解。对独立数据集的选取,其实质可归结为在一组向量中寻找满足一定约束条件的最大线性无关集。文献[3]提出了利用关联矩阵法构造最大权独立向量集的方法。该方法可选择独立基线和独立双差模糊度,并可向更高维向量扩展,由于其利用了关联矩阵求秩运算,算法思路较简明,但是矩阵求秩运算较复杂[4]。Bernese软件[5]在选取独立基线时,给出了一种给基线端点逐级设标识的最短路径算法,但该方法并不适用于独立双差模糊度的选取。文献[1, 6]探讨了独立双差模糊度选取的Gram-Schmidt方法。本文推导了Gram-Schmidt正交化算法构建独立向量集原理,由于算法基于一般向量集,具有通用性,不限于处理独立基线、独立双差模糊度选择问题。在构造向量集时可参考文献[3]关联矩阵和向量权的思想。

    • 在独立基线选取时,其基线向量的构造方式可借鉴关联矩阵[3]的设计。假定有n个测站,全部测站从1至n排序,一条基线对应一个向量,基线向量维数为n维,假设基线PiPj的起点为第i测站,终点为第j测站 ,则对应基线向量第i元素为1,第j元素为-1,其余元素为0,如此构造全部基线向量。由基线向量定义可知,向量点积为2。

      按基线的边长进行排序,第一条基线向量直接选入独立基线集,并单位化,之后逐个基线向量按Gram-Schmidt正交化算法进行判定,最终得到最短(长)独立基线集。

    • 构造独立双差模糊度向量集主要有以下3种方式:

      1) 基于非差模糊度。在非差相位数据处理中,一个测站对一颗卫星的观测值称为一个非差观测,对应的模糊度称为非差模糊度。一个双差观测值由两个测站及同步观测的2颗卫星共4个非差观测组差构成,相应的双差模糊度是这4个非差模糊度间的线性组合。一个双差模糊度对应一条基线,一条基线包括多个双差模糊度。设有双差模糊度Δ∇abij,对应测站为ab,卫星为ij,可由4个非差模糊度NbjNaiNbiNaj线性组成,表示为:

      (1)

      假定一条基线有n个非差模糊度,给全部非差模糊度从1至n排序号,一个双差模糊度对应一个向量,向量维数为n维,如双差模糊度Δ∇abij所形成的向量设计如下:非差模糊度NbjNai所对应序号的向量元素设为1,非差模糊度NibNaj所对应序号的向量元素设为-1,其余元素为0,如此构造所有双差模糊度向量,此时向量点积为4。

      按形成双差模糊度有效同步观测时间或双差模糊度可固定为整数的概率为权,将该基线所有双差模糊度按权大小排序,第一个双差模糊度对应向量直接选入独立双差模糊度集,并单位化,之后逐个双差模糊度按正交化算法进行判定,得到该基线的最优独立双差模糊度。

      全网独立双差模糊度的选取,可先逐个基线选独立双差模糊度,之后对这些选出的双差模糊度进行独立性判断,得到整网的独立双差模糊度。也可以先选择独立基线,之后对逐条独立基线按非差模糊度方式选独立双差模糊度,所有选出的双差模糊度构成整网的独立双差模糊度。

      2) 基于站间单差模糊度。两个测站同步观测1颗卫星,相应的两个非差观测量组差,形成站间单差观测量,对应的模糊度为站间单差模糊度。式(1)可整理为式(2),表明一个双差模糊度由两个站间单差模糊度组成。

      (2)

      选全网的独立双差模糊度集,首先进行独立基线的选择,之后按顺序逐条处理独立基线。处理一条基线时,两端测站已知,将此基线的所有卫星形成的n个站间单差模糊度进行排序并编号,双差模糊度向量维数为n,则一个双差模糊度Δ∇abij,卫星j所对应单差模糊度abj相应序号的向量元素为1,卫星i所对应单差模糊度abi相应序号的向量元素为-1,其余向量元素为0,如此构造该基线所有双差模糊度向量,向量点积为2。

      将该基线所有双差模糊度按权排序,独立集的选择方法同前。对独立基线逐条处理,直至选出全部独立基线的独立双差模糊度集,如此形成的全网双差模糊度集显然是独立的。

      3) 基于星间单差模糊度。1个测站同步观测两颗卫星,相应的两个非差观测量组差,形成星间单差观测量,对应的模糊度为星间单差模糊度。式(1)可整理为式(3),表明一个双差模糊度由两个星间单差模糊度构成。

      (3)

      选全网的独立双差模糊度集,首先进行独立卫星对的选择,如采用设定参考星的星型方式。之后按顺序逐个处理独立卫星对。处理一个卫星对时,两端卫星已知,将此卫星对的所有测站形成的n个星间单差模糊度进行排序编号,向量维数为n,则一个双差模糊度Δ∇abij,测站b所对应单差模糊度bij相应序号的向量元素为1,测站a所对应单差模糊度aij相应序号的向量元素为-1,其余元素为0,构造该星对全部双差模糊度向量,向量点积为2。

      独立模糊度集的选择方法同前。对独立卫星对逐个进行,直至选出全部独立双差模糊度集,显然,所选出总的双差模糊度集是独立的。

      对以上3种方式比较可知,方式(2)、(3)在选独立双差模糊度集时,每个向量只有两个非0元素,方式(1)为4个非0元素;对同样的一条基线或者星对,方式(1)向量维数由基线的非差模糊度数决定,其明显高于单差模糊度数,即向量的维数高;方式(1)可以针对所有基线或是星对处理,然后对初选的双差模糊度再选独立双差模糊度,方式(2)、(3)需针对独立基线、独立星对分步进行。由此,可根据观测网形复杂程度等选择不同的独立双差模糊度选择方式,适应计算效率、内存开销需求的不同。

    • 假定已有的线性无关向量集经Gram-Schmidt正交化处理,得到矩阵E(包含正交单位向量eii=1,…,n),维数为m×nm为向量维数,n为已定义的独立向量个数。对一个新向量a,判定其是否与已有线性无关向量集相关,可首先假设其相关,即假设向量a可由向量ei线性表示:

      (4)

      系数ci利用正交单位向量性质,有:

      (5)

      利用正交单位向量性质,还可以得到关系式:

      (6)

      由此得到判断准则: $\left| a\centerdot a-\sum\limits_{i=1}^{n}{c_{i}^{2}} \right|<\varepsilon $ ,当假设成立时,ε应为某个很小的值,表明向量a可由已有独立向量集的向量线性表达;否则向量a应为新增的独立向量,独立向量集E增加为m×(n+1)维。

      对于新增线性无关向量,可利用Gram-Schmidt正交化[7],再单位化,变为新的正交向量基。正交化过程中可利用正交单位向量的性质,得到正交单位化方法:

      (7)
      (8)

      这样,通过对所有候选向量按照某种优先权顺序排序,第一条向量直接选入独立向量集,并单位化,之后的向量按照顺序逐个进行判断,最终得到最大权独立向量集。

      该方法有明显的优势,从推导过程可以看出,该方法可以处理高维向量集,正交化算法较简单,不需复杂的计算,新增独立向量的处理可利用先期判断部分的已有结果,新增计算量小。

    • 选择一个全球网GPS精密事后定轨算例,包括IGS全球分布的100个测站,24 h一个定轨弧段,观测29颗卫星,采样间隔300 s。对于这样一个大网,利用非差无电离层相位、伪距观测数据,在模糊度实数解之后,组双差模糊度,实现模糊度固定解。

      在选择独立双差模糊度时,按照正交化方法,首先在基线长小于4 000 km的605条基线中选择独立基线,共99条,计算时不需要对所有基线判别,只要判定独立基线数达99个时,即可终止计算。图 1为测站和选定的独立基线示意图。

      图  1  独立基线示意图

      Figure 1.  Network Map of Independent Baselines

      然后,对每条独立基线的独立双差模糊度进行选择,以宽巷和窄巷双差模糊度可固定为整数的概率为权,双差模糊度向量的构造基于非差模糊度。统计每条独立基线的独立双差模糊度选择情况见表 1,限于篇幅,表中仅列出几条基线情况并给出总计情况。

      由结果可知,605条基线中选择最短路径独立基线共99条,而99条独立基线总计形成了31 485个双差模糊度,其中只有5 635个独立双差模糊度,独立双差模糊度数占双差模糊度数的17.9%。该正交化方法很好的实现了独立基线、独立双差模糊度的选取。

      表 1  独立双差模糊度选取情况

      Table 1.  Selection Statistics of Independent Double-difference Ambiguity

      基线号双差模糊度数独立双差模糊度数独立双差模糊度数占比
      1278450.162
      2248470.190
      3288460.160
      4231480.208
      5277450.163
      6319460.144
      7271500.185
      8327500.153
      9457630.138
      10360530.147
      总计31 4855 6350.179
    • 选择独立基线、独立双差模糊度,在GNSS高精度数据处理中,非常重要,尤其在大网数据处理中,好的选取方法,可以减小计算量,提高计算效率。而利用Gram-Schmidt正交化方法选择独立基线、独立双差模糊度,算法较为简洁,本文给出了详细的算法原理。在建立向量集的过程中,可参考关联矩阵、向量权思想。本文三种双差模糊度向量集构造方式的讨论表明,根据不同的条件,可选择不同的方式。最后通过一个包括100个测站的定轨实例,表明Gram-Schmidt正交化方法的有效性。

参考文献 (7)

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