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基于方差分量估计的正则化配置法及其在多源重力数据融合中的应用

孙文 吴晓平 王庆宾 刘晓刚 朱志大

孙文, 吴晓平, 王庆宾, 刘晓刚, 朱志大. 基于方差分量估计的正则化配置法及其在多源重力数据融合中的应用[J]. 武汉大学学报 ● 信息科学版, 2016, 41(8): 1087-1092. doi: 10.13203/j.whugis20140159
引用本文: 孙文, 吴晓平, 王庆宾, 刘晓刚, 朱志大. 基于方差分量估计的正则化配置法及其在多源重力数据融合中的应用[J]. 武汉大学学报 ● 信息科学版, 2016, 41(8): 1087-1092. doi: 10.13203/j.whugis20140159
SUN Wen, WU Xiaoping, WANG Qingbin, LIU Xiaogang, ZHU Zhida. Normalized Collocation Based on Variance Component Estimate and Its Application in Multi-source Gravity Data Fusion[J]. Geomatics and Information Science of Wuhan University, 2016, 41(8): 1087-1092. doi: 10.13203/j.whugis20140159
Citation: SUN Wen, WU Xiaoping, WANG Qingbin, LIU Xiaogang, ZHU Zhida. Normalized Collocation Based on Variance Component Estimate and Its Application in Multi-source Gravity Data Fusion[J]. Geomatics and Information Science of Wuhan University, 2016, 41(8): 1087-1092. doi: 10.13203/j.whugis20140159

基于方差分量估计的正则化配置法及其在多源重力数据融合中的应用

doi: 10.13203/j.whugis20140159
基金项目: 

国家863计划 2013AA122502

国家自然科学基金 41274029

国家自然科学基金 41304022

国家自然科学基金 41404020

地球空间环境和大地测量教育部重点实验室开放基金 11-01-03

详细信息
    作者简介:

    SUN Wen, PhD, specializes in physical geodesy.geodesysw@hotmail.com

  • 中图分类号: P223

Normalized Collocation Based on Variance Component Estimate and Its Application in Multi-source Gravity Data Fusion

Funds: 

The National High Technology Research and Development Program 2013AA122502

the National Natural Science Foundation of China 41274029

the National Natural Science Foundation of China 41304022

the National Natural Science Foundation of China 41404020

the Open Research Fund Program of Key Laboratory of Earth Spatial Environment and Geodesy, Ministry of Education 11-01-03

图(5) / 表(3)
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出版历程
  • 收稿日期:  2015-04-17
  • 刊出日期:  2016-08-05

基于方差分量估计的正则化配置法及其在多源重力数据融合中的应用

doi: 10.13203/j.whugis20140159
    基金项目:

    国家863计划 2013AA122502

    国家自然科学基金 41274029

    国家自然科学基金 41304022

    国家自然科学基金 41404020

    地球空间环境和大地测量教育部重点实验室开放基金 11-01-03

    作者简介:

    SUN Wen, PhD, specializes in physical geodesy.geodesysw@hotmail.com

  • 中图分类号: P223

摘要: 针对信号与误差的方差分量不一致问题及协方差阵病态性问题,分别在多源重力数据最小二乘配置融合过程中引入方差分量估计方法及Tikhonov正则化方法,得到基于方差分量估计的正则化配置法,实际算例结果表明,利用该方法能够有效削弱上述问题,减小重力数据融合结果的系统差,提高数据融合的精度及可靠性。

English Abstract

孙文, 吴晓平, 王庆宾, 刘晓刚, 朱志大. 基于方差分量估计的正则化配置法及其在多源重力数据融合中的应用[J]. 武汉大学学报 ● 信息科学版, 2016, 41(8): 1087-1092. doi: 10.13203/j.whugis20140159
引用本文: 孙文, 吴晓平, 王庆宾, 刘晓刚, 朱志大. 基于方差分量估计的正则化配置法及其在多源重力数据融合中的应用[J]. 武汉大学学报 ● 信息科学版, 2016, 41(8): 1087-1092. doi: 10.13203/j.whugis20140159
SUN Wen, WU Xiaoping, WANG Qingbin, LIU Xiaogang, ZHU Zhida. Normalized Collocation Based on Variance Component Estimate and Its Application in Multi-source Gravity Data Fusion[J]. Geomatics and Information Science of Wuhan University, 2016, 41(8): 1087-1092. doi: 10.13203/j.whugis20140159
Citation: SUN Wen, WU Xiaoping, WANG Qingbin, LIU Xiaogang, ZHU Zhida. Normalized Collocation Based on Variance Component Estimate and Its Application in Multi-source Gravity Data Fusion[J]. Geomatics and Information Science of Wuhan University, 2016, 41(8): 1087-1092. doi: 10.13203/j.whugis20140159
  • 随着观测技术的不断进步,重力数据来源呈现多样化趋势。这些不同来源的数据分辨率与精度均有不同,若将其作为原始数据简单地代入大地水准面的计算,则会因为数据间的矛盾导致最终的大地水准面精度严重降低。通常来说,分辨率较高的观测手段伴随着较低的精度,若舍弃这些精度低的数据,则会造成分辨率的严重浪费。最佳方法是进行多源重力数据融合,消除已知矛盾,充分利用不同来源数据的各自优势,得到区域高分辨率、高精度的重力数据。常用的方法主要是最小二乘配置模型[1-3]

    最小二乘配置理论属于统计学范畴,最初应用于重力异常场信号的内插与外推,后经Moritz、Krarup、Tscherning等人的深入研究与改进,现已广泛应用于测量数据的处理中。其核心思想是将异常信号场认为是一个均匀且各向同性的平稳随机过程,而实际地球重力场是其中的一个实现(样本),则可根据其中的部分采样(观测值)推估未知点的重力场分布。

    • 设观测信号为l,待估信号为S,误差为n,以CSSCnn分别表示待估信号和误差的方差-协方差阵,CSt表示待估信号与观测信号之间的协方差阵,Ctt表示观测信号的协方差阵,不考虑系统性参数,则[4]:

      (1)

      式(1)即为常用的最小二乘配置模型,待求信号与观测值之间通过协方差产生联系。

      通常,协方差函数应具有三维特性,即应选用能够表征三维空间距离特征的协方差函数,此处选择如下模型作为局部协方差函数[5]

      (2)

      式中,h为两点间的空间距离;C0为局部重力异常的方差;b为常数;zPzQ分别为两点的高程。

      利用已知的重力异常数据,可对协方差函数中的参数进行统计与拟合。若已知数据按照规则格网形式保存,则地面与空中数据各自的协方差函数按照规则格网的拟合方法[5]进行,拟合方法可采用非线性最小二乘拟合迭代求解。

      实际计算时,由于误差特性未知,无法精确确定误差协方差阵,通常依经验确定[2],即根据原始数据的精度直接对误差的方差设置一个固定值,此时误差-协方差阵为对角阵,相同来源的数据具有相同的方差值。信号之间的协方差阵由拟合出的局部协方差模型根据不同信号之间的距离确定。

    • 影响式(1)求解精度的关键在于协方差矩阵确定的精确程度和(Ctt+Cnn)-1解算的精度。最小二乘配置解算中常出现病态甚至奇异的情况,当Ctt+Cnn病态时,得到的结果必然与真值相差甚远,难以满足数据融合的需求。

      文献[6]提出了多源数据融合的正则化方法,令(Ctt+Cnn)-1l=X,则(Ctt+Cnn)X=l,再令A=Ctt+Cnn,则可得观测方程:

      (3)

      式(3)可通过Tikhonov正则化方法加以解决,设α为正则化参数,其解可表示为:

      (4)

      则最小二乘配置的正则化解为:

      (5)

      正则化参数的选取可采用GCV函数法、L-曲线法等[6]

    • 文献[7]推导了基于方差分量估计的最小二乘配置模型,并将其成功应用于地理信息系统(GIS)误差纠正。对于多源数据融合的最小二乘配置模型,类似问题同样存在,即拟合得到的信号协方差阵与依经验给定的误差协方差阵之间的方差因子不一致,从而导致最终结果偏离实际结果,更有可能因此引入系统误差,严重降低延拓精度。

      略去相关推导,直接给出基于方差分量估计的配置法计算公式[8],观测方程可表示为:

      (6)

      式中,t为已知信号; u为推估信号; 0n2与σ0t2分别表示信号与噪声的单位权方差。由Helmert型方差分量估计理论[9]0n2与σ0t2可以求解为:

      (7)

      式中,k为观测值个数,且

      (8)

      方差分量估计是一个迭代过程,首先利用设定的初始协方差阵由式(9)求解信号t和残差V

      (9)

      并代入式(7)求解方差值,然后对协方差矩阵更新并重新计算:

      (10)

      式中,(C-1)i、(C-1)i-1分别表示第ii-1次的迭代结果。当利用CttCnn初始值代入求解时,隐含了一个条件,即假设0n20t2=1,故在方差分量估计的过程中,以0n20t2=1作为迭代终止条件,实际计算时只需达到一定精度即可。在方差分量估计过程中考虑协方差矩阵的病态性问题,引入正则化方法,得到基于方差分量估计的正则化配置模型:

      (11)

      利用式(11)进行多源数据融合,不仅考虑协方差矩阵病态性问题,同时顾及噪声协方差阵与信号协方差阵方差因子不一致的问题,相比式(1)的经典最小二乘配置模型具有较大优势。

    • 现有某海域1°×1°区域,船测重力异常数据Δg0分辨率为2′×2′,如图 1所示(图 1中略去了该地区的详细经纬度坐标,下同);卫星测高数据分辨率为1′×1′。卫星测高数据来源于Sandwell发布的全球海洋重力异常模型[10],版本为V18.1。为了验证基于方差分量估计的正则化配置法在相同高度面的多源重力数据融合中的有效性,设计如下实验。考虑到计算机的计算能力,将卫星测高数据稀疏成2′×2′分辨率,称为Δg2,最终融合结果的点位分布与Δg2相同。考虑到船测重力的控制作用,且为了体现多分辨率融合的特征,将船测重力异常稀疏成5′×5′分辨率,称为Δg1,原始的2′×2′船测重力异常Δg0作为已知点进行检核使用。

      图  1  2′×2′船测重力异常数据(Δg0)

      Figure 1.  2′×2′Shipborne Gravity Anomaly (Δg0)

      为了检验所提方法对系统差的处理效果,在Δg2中加入如下三种误差,误差e1e1~N(1, 2);误差e2e2~N(2, 2);误差e3e3~N(3, 2)。加入误差的数据分别标记为Δg21、Δg22和Δg23,各自统计情况列于表 1

      表 1  各重力异常数据统计/mGal

      Table 1.  Statistics of Different Data / mGal

      Min Max Mean Std RMS
      Δg0 -35.13 43.08 3.62 ±14.72
      Δg1 -31.16 31.87 3.66 ±13.90
      Δg2 -43.14 57.43 3.23 ±18.02
      Δg2g1 -15.43 15.18 -0.39 ±5.32 3.13
      Δg21 -41.79 56.70 4.18 ±18.06
      Δg22 -40.76 56.46 5.24 ±18.16
      Δg23 -41.61 59.24 6.23 ±18.14
      Δg21g2 -15.68 16.39 0.56 ±5.56 3.13
      Δg22-Δg2 -18.31 18.72 1.62 ±5.69 3.19
      Δg23-Δg2 -14.54 18.87 2.61 ±5.67 3.51

      分别利用最小二乘配置法、正则化配置法以及基于方差分量估计的正则化配置法进行两类数据融合处理,下面对结果作详细分析。

    • 表 2列出了融合所用数据的统计方差与参数b的拟合值。

      表 2  协方差函数拟合结果

      Table 2.  Fitting Results of Covariance Function

      Δg1 Δg2 Δg21 Δg22 Δg23
      C0/mGal2 192.36 323.79 325.85 326.46 324.07
      b/km 6.21 9.84 9.75 9.78 9.75

      利用拟合所得的协方差函数计算协方差时,已知点的自协方差由各自拟合所得的参数计算;计算待求点与已知点的协方差时,统一使用Δg1的拟合参数,噪声方差阵由各数据所加误差大小确定。

    • 利用上述三种方法,将Δg1分别与Δg2、Δg21、Δg22和Δg23进行融合,所得结果精度统计情况列于表 3表 3中方法1为最小二乘配置法,方法2为正则化配置法,方法3为基于方差分量估计的正则化配置法。

      表 3  多源重力数据融合结果/mGal

      Table 3.  Results of Multi-source Gravity Data Fusion/mGal

      数据 Min Max Mean Std RMS
      方法1 Δg1、Δg2 -457.94 475.61 4.93 126.80 126.82
      Δg1、Δg21 -201.73 180.92 -0.23 58.53 58.50
      Δg1、Δg22 -346.04 266.09 -0.27 73.19 73.15
      Δg1、Δg23 -153.67 149.73 -0.36 42.88 42.86
      方法2 Δg1、Δg2 -8.60 8.12 -0.01 2.62 2.62
      Δg1、Δg21 -12.05 16.12 0.26 3.86 3.86
      Δg1、Δg22 -12.77 13.76 0.29 3.70 3.71
      Δg1、Δg23 -11.19 17.26 0.35 3.86 3.88
      方法3 Δg1、Δg2 -8.55 7.88 0.02 2.53 2.52
      Δg1、Δg21 -10.60 13.73 -0.06 2.86 2.86
      Δg1、Δg22 -9.26 13.75 0.004 2.83 2.83
      Δg1、Δg23 -9.35 12.45 0.05 2.95 2.95

      表 3可以看出,方法1由于协方差阵Ctt+Cnn病态导致最终结果非常不稳定,误差被严重放大,无法作为实际融合结果使用;方法2能够提高配置法数据融合的精度与稳定性,且对于原始数据中的系统误差不敏感,所得结果系统误差较小;方法3能够有效提高融合结果的精度,尤其在系统差方面,相比方法2结果的系统误差具有明显的优势。方法3的融合结果及其误差分布如图 2~5所示。

      图  2  2融合结果及其误差等值线图

      Figure 2.  Fusion Result and Its Error Distribution ofΔg1 andΔg2

      图  3  21融合结果及其误差等值线图

      Figure 3.  Fusion Result and Its Error Distribution ofΔg1 andΔg21

      图  4  22融合结果及其误差等值线图

      Figure 4.  Fusion Result and Its Error Distribution ofΔg1 andΔg22

      图  5  Δg1、Δg23融合结果及其误差等值线图

      Figure 5.  Fusion Result and Its Error Distribution ofΔg1 andΔg23

      综合表 3图 2~5可以看出,随着误差的增大,最终融合结果的精度也逐渐降低;方法2的应用有效抑制了原始误差的放大;利用方差分量估计调节误差协方差阵与信号协方差阵的权比,使得两者的单位全方差一致,最终提高融合结果的精度,这充分说明了在融合过程中方差分量估计的重要性和必要性。实验中的误差均为已知正态分布的误差,在实际数据处理时,数据的误差难以准确获得其分布状况,此时利用经验确定难以准确描述误差的分布特性,利用方差分量估计则可以有效削弱该问题的影响,提高融合结果的精度。

    • 针对多源重力数据融合中常用的经验法确定噪声方差阵不足的问题,将正则化方法及方差分量估计引入最小二乘配置模型,据此提出基于方差分量估计的正则化配置法,一方面削弱了信号协方差阵与噪声协方差阵单位权方差的不统一问题造成的影响,另一方面解决了协方差阵条件数过大导致信号滤波与推估时出现的病态问题,并利用模拟算例验证了该方法的有效性。结果表明,基于方差分量估计的正则化配置法能够有效改善融合结果的稳定性,并且通过方差分量估计大大降低了融合结果的系统误差,相比传统最小二乘配置融合方法具有较大优势。

参考文献 (10)

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